2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：菱形（2個知識點+4類熱點題型講練+習(xí)題鞏固）（原卷板）

第04講菱形

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1,熟悉菱形的定義，掌握菱形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用性質(zhì)。

①菱形的定義與性質(zhì)

2.掌握菱形的判定方法，能夠熟練的選擇合適的判定方法判定菱

②菱形的判定

形。

菱形利用羲形的性質(zhì)求線段長度

\利用蔓形的性質(zhì)求角的度數(shù)

題型T利用菱形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)

菱形的列定與性質(zhì)綜合

t5知識清單

知識點01菱形的定義與性質(zhì)

i.菱形的概念：

有一組鄰邊的平行四邊形是菱形。

2.菱形的性質(zhì)：

①菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形所有的性質(zhì)。

特殊性：

②邊的特殊性：四條邊都。

即：ABBCCDAD

③對角線的特殊性：對角線相互________且_______每一組對角。

即：ACBD,S.ZDACZBACZDCAZBCA,

ZADBZCDBZABDZCBD。

④面積計算：等于對角線乘積的一半。即S菱形

⑤對稱性：既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。

【即學(xué)即練1】

I.下列關(guān)系中，是菱形的性質(zhì)但不是平行四邊形的性質(zhì)的是（）

A.對角線垂直B.兩組對邊分別平行

C.對角線互相平分D.兩組對角分別相等

【即學(xué)即練2】

2.如圖，在菱形/BCD中，4B=5,對角線/C=6.若過點/作垂足為￡,則/￡的長為（）

【即學(xué)即練3】

3.如圖，菱形4BCD,/B=60°,E,尸分別是C3,CD上兩點，連接AF,EF,且/E4F=60°,

如果/R4E=a,則下列說法錯誤的是（）

A.ZCEF^aB.NFAD=60°-a

C.NEFC=6Q°-aD.ZAFD=90°-a

【即學(xué)即練4】

4.如圖，在菱形48。中，對角線NC、8。交于點。點G是N8的中點，若OG=2.5,BD=8,則菱形

ABCD的面積是（）

C

A.48B.36C.24D.18

知識點02菱形的判定

I.菱形的判定：

判定方法文字語言數(shù)學(xué)語言圖形

四條邊都_________的四\9ABBC_____CDAD

直接判定

邊形是菱形，四邊形/BCD是菱形

1

鄰邊__________的平行;在口/BCD中，AB=AD

平行四邊形四邊形是菱形二四邊形48cA是菱形

加特殊性對角線____________的;在口488中，ACVBDC

四邊形是菱形二四邊形48co是菱形

【即學(xué)即練1】

5.下列條件中，能判定四邊形是菱形的是（）

A.對角線垂直

B.兩對角線相等

C.兩對角線互相平分

D.兩對角線互相垂直平分

【即學(xué)即練2】

6.已知：如圖，在四邊形N8CD中，AD//BC,對角線/C的垂直平分線與邊8C分別相交于點￡、

F.求證：四邊形4FCE是菱形.AED

'0

B

FC

題型精講

題型01用菱形的性質(zhì)求線段長度

【典例1】菱形4BCD中，若對角線/C=8CTO,BD=6cm,則菱形/BCD的周長是（）

A.25B.20C.15D.10

【變式1】如圖，在菱形4BCD中，對角線NC、區(qū)D相交于點O,點〃為邊4D的中點.若菱形/BCD的

周長為20,則08的長為（）

5

A.-B.4C.5D.10

【變式2】如圖，四邊形48co是菱形，對角線/C、BD交于點O,DELAB于點、E,尸是線段4D的中點,

5

連接若。N=4,OF=~,則的長為（）

6121824

A.-B.-C.-D.-

【變式3】如圖，在菱形/BCD中，//=60°,點￡,尸分別在邊N8,8c上，ZEDF=60°,BF=抵,

BE=1,則AD的長為（）

A.V6B.V3+1C.V6+1D.2V3-1

【變式4】如圖所示，在邊長為2的菱形/BCD中，/D45=60°,點￡為中點，點尸是/C上一動點,

則￡尸+8廠的最小值為.（提示：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)）

D

C

E

R

題型02利用菱形的性質(zhì)求角的度數(shù)

【典例1］如圖，在菱形48CD中，對角線NC與3。相交于點O,OELAB垂足為E,若NBCD=50°,

貝ijNBOE的大小為（）

【變式1】如圖，四邊形48CD是菱形，對角線NC、8。相交于點。，DHLBC于點、H,連接?！?，ZBAD

=56°,則4D//O的度數(shù)是（）

A.38°B.34°C.28°D.24°

【變式2】如圖，在菱形4BCD中，/ABC=66°,對角線ZC,BD交于點O,E為CD的中點，連接。￡,

則N/0E的度數(shù)為（）

A.114°B.120°C.123°D.147°

【變式3】如圖，在菱形488中，N4BC=a,點E為對角線8。上一點，尸為/。邊上一點，連接CE,

EF,若CE=EF,CELBD,則NDEF一定等于（）

1

A.aB.90°--aC.90°-aD.90°+a

題型03利用菱形的性質(zhì)求點的坐標(biāo)

【典例1】如圖，菱形ON8C的頂點C在x軸的正半軸上，頂點/的坐標(biāo)為(-3,4),頂點3的坐標(biāo)為.

【變式1】如圖，在菱形/BCD中，/8〃y軸，且8(7,-2),C(3,1),則點/的坐標(biāo)為

【變式2】如圖，菱形/BCD的對角線交于原點。，若點8的坐標(biāo)為(4,加)，點。的坐標(biāo)為(?,2),則

【變式3】如圖，在坐標(biāo)系中放置一菱形。48C,已知//8C=60°,點8在y軸上，04=1,先將菱形

ON8C沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2017次，點8的落點依次為B2,

B.(1345.5,爭

A.(1345,0)

C.(1345,爭

D.(1345.5,0)

題型04菱形的判定與性質(zhì)綜合

【典例1］如圖，在中，BA=BC,。是邊/C上的中點，延長2。至點。，使得DELBC

于點E'AD

(1)求證：四邊形/BCD是菱形./V

(2)若CD=5,DE=4,求NC的長.//

【變式1】如圖，在Rt^/CE中，N/CE=90°,點D是NE的中點，連接CD,過點C作C2〃/￡,過點

N作N8〃CD,CB,AB交于點、B,連接80.

(1)求證：四邊形N8C。是菱形；

(2)連接BE交ZC于點G,交CD于點/，若BD=BC,CD=4,求OG的長.

【變式2】如圖，口/BCD對角線NC,AD相交于點。，過點。作DE〃/C且。E=OC,連接CE,0E,

OE=CD.

(1)求證：C74BCD是菱形;

(2)若48=2,NABC=6Q°,求/E的長.

【變式3】如圖，Zk/BC中，AC=2AB,平分/8/C,過點C作CEL4。交/。延長線于點E,點廠是

/C中點，連接EREB.A

(1)證明：四邊形是菱形；

(2)若/3/C=120°,AB=2V7.求邊3C的長./\n

C

E

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.兩組對邊分別相等B.兩組對邊分別平行

C.對角線互相垂直D.有一個角是直角

2.在下列條件中選取一個作為增加條件，能使口458成為菱形的是（）

A.AC=BDB.4B=DCC.ACLBDD.AD//BC

3.若菱形4BCD的邊的長為2c加，則菱形/BCD的周長為（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.如圖，菱形/BCD的對角線NC、8。相交于點。，過點。作于點〃，連接若。/=4,

0H—3,貝（IS菱形/BCD為（）

A.6B.8C.24D.12

5.如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°,則重合部分構(gòu)成的四邊形

A.6cmB.6V3cmC.8V3cmD.10V3cm

6.如圖，在菱形/BCD中，/ABC=60°,對角線/C與AD相交于點。，/尸，3c于點尸，交助于點

P.若/5=6,則DP的長為（）

A.2V3B.3V3C.4V3D.6百

7.如圖，已知按以下步驟作圖，如圖1?圖3.

（1）以點/為圓心，任意長為（2）分別以點3,。為圓心，（3）分別連接DC,BC.

半徑作弧，與//的兩邊分別交長為半徑作弧，兩弧相交于

于二點5、D；點C；

A

圖3

圖1圖2

則可以直接判定四邊形/BCD是菱形的依據(jù)是（）

A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.四條邊相等的四邊形是菱形

8.如圖，。是坐標(biāo)原點，菱形/8OC的頂點8在x軸的負(fù)半軸上，頂點C的坐標(biāo)為（3,4）,則頂點/的

坐標(biāo)為（）

（-2,4）D.（-4,V3）

9.如圖，已知42=8,P為線段N2上的一個動點,分別以AP,PB為邊在AB的同側(cè)作菱形APCD和菱形

PBFE,點、P,C,E在一條直線上，/DAP=60°,M,N分別是對角線NC,的中點.當(dāng)點P在線段

43上移動時，點兒W之間的距離最短為（）

E____________F

ApB

A.2B.2V3C.4D.4V3

10.如圖，在菱形/BCD中，對角線/C與2。相交于點。，E,尸分別是的中點，下列結(jié)論：①

四邊形NECF是菱形；②NBAE=/DCF；@ZDAF=ZFAO；@S^ABCD=EF-AC,其中正確結(jié)論

的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

BC

11.在四邊形/BCD中，對角線NC與3。相交于點O,且。N=OC,OB=OD,請你添加一個條件

使四邊形是菱形.

12.如圖，將四根長度相等的細(xì)木條首尾相連，用釘子釘成四邊形/BCD,若/B=2,N3=60°,則4c

兩點間的距離為.

13.如圖，數(shù)學(xué)活動課上，老師給每位同學(xué)發(fā)放兩根長度相等的木條和一根橡皮筋，要求大家根據(jù)所給的

材料在平面內(nèi)制作一個菱形.小明先用兩根木條釘成一個角形框架然后將橡皮筋兩端分別固定

在點/,B處,拉動橡皮筋上到C處.當(dāng)四邊形。4C8是菱形時，小明量得橡皮筋比固定時長了1倍，

則

14.如圖，在△48C中，點。、E、廠分別在邊2C、AB、。上，5.DE//CA,DF//BA,下列四種說法：①

四邊形AEDF是平行四邊形；

②如果NA4C=90°,那么四邊形NEDF是菱形；

③如果40平分NA4C,那么四邊形4EZE是菱形;

④如果/8=/C,那么四邊形NEDF是菱形.

其中，正確的有.（只填寫序號）

15.如圖，在菱形N8C。中，ZABC=60°,連接8D點尸是線段8。上一點，過點尸作尸￡_L48,PF±

AD,垂足分別為點E,F.若/3=4,則尸￡+尸尸的值為

16.已知：四邊形/BCD是菱