2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：平行四邊形（特殊平行四邊形）中的最值問題（解析版）

專題4平行（特殊平行）四邊形中的最值問題

類型一：平行四邊形中的最值問題

類型二：矩形中的最值問題

類型三：菱形中的最值問題

類型四：正方形中的最值問題

類型一：平行四邊形中的最值問題

1.如圖，在平行四邊形N8CD中，ZC=135°,AB=2,4D=3,點(diǎn)、H,G分別是CD,8c上的動點(diǎn)，連

接/〃，GH.E,尸分別為N",G”的中點(diǎn)，則EF的最小值是（）

A.2B.V2C.亨D.2V2

【分析】過點(diǎn)/作NN,5c于點(diǎn)N,證△/8N是等腰直角三角形，得BN=AN=五,再由三角形中位線

1

定理可得EF=pG,當(dāng)/G_L8c時，/G有最小值，即跖有最小值，即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)/作NNLBC于點(diǎn)N,

:四邊形/BCD是平行四邊形，ZC=135°,

J.AB//BC,

：.ZJ9+ZC=180°,

Z5=180°-ZC=180°-135°=45°,

?：ANLBC,

：.ZBAN=90°-ZB=45°,

AABN是等腰直角三角形，

V2V2r-

/.BN=AN=x2=V2?

■:E、F分別為4H、GH的中點(diǎn)，

???斯是△4G"的中位線，

1

：.EF=-AG,

當(dāng)時，/G有最小值，即斯有最小值,

，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)N重合時，NG的最小值為五，

'-EF的最小值為日＞

故選：C.

2.如圖，在△4BC中，4B=BC=15,NC=18,。是2C邊上任意一點(diǎn)，連接40,以4D,8為鄰邊作

UADCE,連接。E,則。E長的最小值為（）

【分析】設(shè)/C,ED交于點(diǎn)、0,過點(diǎn)。作于點(diǎn)R勾股定理求得。2,等面積法求得0E根據(jù)

垂線段最短，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)R重合時，0D最小，進(jìn)而求得。E的最小值，即可求解.

【解答】解：設(shè)/C,ED交于點(diǎn)0,過點(diǎn)。作。尸，2C于點(diǎn)尸，連接05,如圖所示，

在平行四邊形/OCE中，AO=CO,EO=DO,

"：AB=BC=\5,

：.BO.LAC,

,：AC=18,

；./O=CO=9,

在RtASOC中，8。=7SC2-OC2=12,

11

,/SAOBC=-^CO'BO=-BC-OF,

二。9=7.2,

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合時，OD最小，

：.ED的最小值為200=14.4.

故選：A.

3.如圖，在平行四邊形/BCD中，ZC=120°,⑷3=4,AD=8,點(diǎn)、H、G分別是邊CD、8c上的動

點(diǎn).連接/〃、“G,點(diǎn)￡為的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為G”的中點(diǎn)，連接￡足則所的最大值與最小值的差為

A.2B.2V3-2C.V3D.4-V3

【分析】如圖，取40的中點(diǎn)M,連接CM、AG.AC,作2c于N.首先證明N/CD=90°,求出

1

AC,AN,利用三角形中位線定理，可知所=/G,求出NG的最大值以及最小值即可解決問題.

【解答】解：如圖，取4。的中點(diǎn)連接CM、AG.AC,作NNJ_3c于N.

/.ZZ>=180°-ZBCD=6Q°,4B=CD=4,

：W=￡)Af=￡)C=4,

...△CW是等邊三角形，

ZDMC=ZMCD=60°,AM=MC,

：.ZMAC=ZMCA=30°,

：.ZACD=9Q°,

：.AC=4V3，

在RtZk/CN中，NC=4百，ZACN=ZDAC=30°,

1「

.'.AN=-AC=2V3,

,:AE=EH,GF=FH,

1

：.EF=~AG,

?.?點(diǎn)G在8c上，

的最大值為NC的長，最小值為NN的長，

?'-AG的最大值為4百，最小值為2百，

斯的最大值為2百，最小值為百，

產(chǎn)的最大值與最小值的差為：V3

故選：C.

4.如圖，在△/2C中，NACB=9Q°,/C=3,BC=4,點(diǎn)。為2c上一點(diǎn)，ZDAC^30°,￡為射線40

上一動點(diǎn)，四邊形2CEE為平行四邊形，連接AF,則3尸的最小值為(

15L5L「33L

A.—V3B.-V3+1C.4V3--D.7V3+3

4-ZZZ

【分析】延長8C到點(diǎn)G,使CG=8。，作直線尸G,作8"_LFG于點(diǎn)“，由N/C3=90°,NDAC=

30°,得NO=2CD,則/。=百。=3,求得。。=百，貝ijCG=8。=4一百，所以8G=8-百，再證

1V3

明四邊形。GFE是平行四邊形，則尸G〃D￡,可證明/G8〃=30°,貝！JG〃=WG=4—虧，而3G=

33

2GH,則百G"=4百-萬，所以8尸的最小值為4百-萬，于是得到問題的答案.

【解答】解：延長3C到點(diǎn)G,使CG=8D,作直線歹G,作3”，尸G于點(diǎn)〃，

VZACB=90°,AC=3,BC=4,ZDAC=30°,

；.AD=2CD,

'-AC=y/AD2-CD2=V(2CD)2-CD2=0CD=3,

：.CD=V3,

:.CG=BD=4-而,

：.BG=BC+CG=4+4-y/3=8一百，

V四邊形BCFE是平行四邊形，

J.BC//EF,BC=EF,

'JDG//EF,DG=CG+CD+BD+CD=BC=EF,

四邊形DGFE是平行四邊形，

J.FG//DE,

.?.點(diǎn)F在經(jīng)過點(diǎn)G且與DE平行的直線上運(yùn)動，

VZBHG=90°,ZBGH=ZADG=900-ZDAC=60a,

:.NGBH=90°-/BGH=3Q°,

11「有

：.GH=~BG=~x(8-V3)=4一半

\'BG=2GH,

:.BH=JBG2—GH2=J(2GH)2_GH2=而GH=百X(4—y)=4百一*

YBF'BH,

「3

:.BF>4也一5,

「3

/的最小值為4百-萬，

故選：c.

5.如圖，在平行四邊形4BCD中，48=3,BC=5,點(diǎn)、E,尸分別是40,上的動點(diǎn)，AE=CF,連接

EF,過點(diǎn)8作8GLEF,垂足為G,若S平行四邊形”8=12,則2G的最大值為_VK

【分析】連接AD交EF于點(diǎn)Z,作AWLDC交。C的延長線于點(diǎn)8，由平行四邊形的性質(zhì)得。C=4B=

3,AD=BC,AD//BC,則NEDL=NFBL,而AE=CF,可證明OE=8R由S平行四邊形NBCO=￡>C?.=

3BH=12,求得3H=4,則。8=面匚壽=3,所以?！?6,則BD=JBH?+DH2=2后,再證明

1

△DLE學(xué)ABLF,得DL=BL=5BD=值,因?yàn)?G,斯于點(diǎn)G,所以8G的最大值為后，于是得到

問題的答案.

【解答】解：連接AD交跖于點(diǎn)L作。交。。的延長線于點(diǎn)〃，則NH=90°,

???四邊形/5C。是平行四邊形，AB=3,BC=5,

；?DC=AB=3,AD=BC,AD//BC,

：./EDL=/FBL,

?；AE=CF,

：.AD-AE=BC-CF,

：.DE=BF,

,:S平行四邊形N8CQ=℃?5//=35/7=12，

：.BH=4,

?*.CH-VBC2-BH2=V52-42=3,

???DH=DC+CH=3+3=6,

:?BD=y/BH2+DH2=V42+62=2V13,

在ADLE和尸中，

(Z.D0E=Z.BOF

1乙EDL=^FBL,

WE=BF

:ADLE迫ABLF(AAS),

11

'.DL=BL=~BD=-x2V13=V13-

?..2G，斯于點(diǎn)G,

:.BGWBL,

：.BG<V13,

:?BG的最大值為g,

7

H

6.如圖，在平行四邊形/BCD中，已知N8=4,BC=6,ZABC=60°，點(diǎn)尸是8c邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)尸不

與B,C重合），連接4P,作點(diǎn)8關(guān)于直線4P的對稱點(diǎn)0,則線段0c的最小值為_277-4_.

【分析】過點(diǎn)4作N4_L3c于〃，禾!j用解直角三角形得/〃=/8?sin//8C=2Vi，BH=AB-cosZABC=

2,CH=BC-BH=4,由勾股定理得4c=2行，再由/0=/8=4,可得點(diǎn)0在以4為圓心㈤5為半徑的

04上，即當(dāng)C、。、/三點(diǎn)共線時0c最小，0c的最小值=/。-/0=277-4.

【解答】解:如圖3,過點(diǎn)4作于〃，連接NC,

'：AB=4,BC=6,NABC=6Q°,

則NH=2百，BH==2,

：.CH=BC-BH=6-2=4,

在RtA^C/f中，NC=AH2+CH2=J(2V3)2+42=2”，

:點(diǎn)8與點(diǎn)。關(guān)于直線AP對稱，

：.AQ=AB=4,

...點(diǎn)。在以4為圓心為半徑的ON上，

...當(dāng)C、。、4三點(diǎn)共線時。C最小，QC的最小值=/。-/。=2”—4,

故答案為：2V7-4.

7.如圖，四邊形CU8C為平行四邊形，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/(a,0),B(6,c),其中a,b,c

滿足Va-12+724—2a=\16—b\+(c—10)2.

C1)求出a,b,c的值；

(2)若點(diǎn)E,廠分別為線段OC,48上的點(diǎn)，且OE=AF,AD1DF,點(diǎn)X的坐標(biāo)為(9,0),求出線

【分析】(1)根據(jù)二次根式有意義的條件可解得。=12,進(jìn)而可得|16-川+(c-10)2=0,然后根據(jù)非

負(fù)數(shù)的性質(zhì)解得6=16,c=10即可；

(2)首先確定點(diǎn)C坐標(biāo)，連接OE,CF,AC,AC與EF交于點(diǎn),G,取/G中點(diǎn)K,連接。K,HK,證

明四邊形NEC尸為平行四邊形，進(jìn)而可確定點(diǎn)G,K坐標(biāo)，利用勾股定理可得/G,"K的值，根據(jù)“直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得DK的值，在△DAK中，由三角形三邊關(guān)系可得。8>

DK+HK,所以當(dāng)點(diǎn)。、K、〃在同一直線上時，取最大值，即可獲得答案.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，V^12+V24^=|16-b|+(c-10)2,

可知a-12^0,24-2心0,

解得a=12,

A116-b\+(c-10)2=0,

V|16-b\^Q,(c-10)2^0,

.*.16-6=0,c-10=0,

解得6=16,c=10；

(2)由(1)可知，A(12,0),B(16,10),

:.OA=n,

V四邊形OABC為平行四邊形，

：.BC=OA=n,BC//OA,

：.C(4,10),

如圖，連接CF,AC,/C與斯交于點(diǎn)G,取NG中點(diǎn)K,連接DK,HK,

V四邊形OABC為平行四邊形，

；.OC=B4,OC//BA,

?：OE=BF,

：.OC-OE=BA-BF,即CE=AF,

...四邊形AECF為平行四邊形，

：.CG=AG,

：.G(8,5),K(10,2.5),

4G=V(12-8)2+(0-5)2=V41，

?CADLDF,點(diǎn)K為/G中點(diǎn)，

1V41

：.DK=~AG=--,

，2

,:H(9,0),

?*-HK=4(9-10)2+(0—2.5)2=手，

?.,在中，DH>DK+HK,

...當(dāng)點(diǎn)。、K、〃在同一直線上時，

D8取最大值，最大值為D"=DK+HK=母；①.

8.如圖，在口/BCD中，M,N分別是ND,8c的中點(diǎn)，ZWC=90°,連接NN,DN,NN與8M交于點(diǎn)

O.

(1)求證：AABM%ACDN；

(2)點(diǎn)P在直線2M上，若BM=3,CM=4,求△〃、小)的周長的最小值.

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)首先得出/8=CO,AM=CN,進(jìn)而得出0△CON；

（2）首先得出平行四邊形4BMW■為菱形，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)尸位于點(diǎn)川時，NP+DP取到最小值為AD,利

用勾股定理求出即可.

【解答】（1）證明：：在口/BCD中，M,N分別是NO,3c的中點(diǎn)，

：.AB=CD,

在A4BM和△CDN中，

（AB=CD

\^BAM=^DCM,

VAM=CN

:AABM沿/\CDN（￡4S）；

（2）解：?.,在口48CD中，M,N分別是4D,2C的中點(diǎn)，

J.AM//BN,AM=NB,

...四邊形ABNM為平行四邊形；

在RtZ\3CM中，N為8C中點(diǎn)，

：.MN=BN,

平行四邊形為菱形.

垂直平分/N,

點(diǎn)、N關(guān)于■BM的對稱點(diǎn)為點(diǎn)/.

當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M時，NP+DP取到最小值為AD.

在RtZXBCN中，BM=3,CM=4,

由勾股定理得=5,

又由（1）知，BM=DN=3,

...△PND的周長的最小值：5+3=8.

9.如圖，在口N8CD中，已知48=2,BC=4,ZABC=60°,N/3C的平分線交/。于點(diǎn)G,點(diǎn)尸從3

點(diǎn)開始，沿射線8G運(yùn)動.

（1）計(jì)算BG的長度；

（2）點(diǎn)P運(yùn)動到何處時與點(diǎn)。的距離最小，并求出最小距離；

（3）點(diǎn)P在運(yùn)動過程中，PC+PD的最小值是2依.

【分析】（1）過N作N//J_3G于〃，求出//8G=/C5G=//G8=30°,求出即可求出答

案；

（2）過。作DPL2G于尸，此時P點(diǎn)與點(diǎn)。的距離最小，求出。G,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)

求出即可；

(3)作。關(guān)于直線2G的對稱點(diǎn)E,連接CE,交直線2G于P,則此時尸C+PD的值最小，且等于CK

長，求出EZ,即可求出CE的值，得出答案即可.

【解答】解:(1)過4作/〃_L8G于",

VZABC=60°,8G平分//3C,

AZABG=ZCBG=?>Qa,

四邊形ABCD是平行四邊形,

J.AD//BC,

...NNG2=NCBG=30°=NABG,

.'.AG=AB=2,

在RtZ\/3〃中，AH=~AB=l,由勾股定理得："一"=百,

"：AB=AG,AHLBG,

:.BG=2BH=2S；

過。作DPLBG于P,止匕時P點(diǎn)與點(diǎn)D的距離最小,

則NDPG=90°,

■:NDGP=NAGB=30°,-/G=4-2=2,

1

：.DP^~DG=\,

即最小距離是1；

作。關(guān)于3G的對稱點(diǎn)E,連接CE,交直線3G于尸，交4D于Z,則此時尸C+PD的值最小，且等于

CE長，

由(2)知：￡>￡=2X1=2,

?:CD=AB=2,

：.CD=DE,

VZABC^60°,BG平介/ABC,

：.ZGBC=30°,

:四邊形ABCD是平行四邊形，

AZADC=ZABC=60°,AD//BC,

:.NPGD=NGBC=30°,

'JDELBG,

.,./EZ）Z=180°-90°-30°=60°,

即NEDG=//DC,

,:DE=DC=2,

J.DZLAD,CE=2CZ,

在RtZ\CDZ中，ZC￡>Z=60°,DC=2,ZDEC=90°,

：.DZ=1,CZ=百，

即CE=24

故答案為2日.

類型二：矩形中的最值問題

10.如圖，已知在Rt^4BC中，/ACB=90°,/C=3,2C=4,點(diǎn)尸在斜邊48上（不與4、2重合），

過尸作PEL/C,PFLBC,垂足分別是￡、F,連接EF.隨著尸點(diǎn)在邊上位置的改變，則跖長度

的最小值.（）

【分析】連接尸C,過點(diǎn)C作CZ/L/8于點(diǎn)”，先求出/8=5,證明四邊形PEC尸是矩形，則M=PC,

當(dāng)尸C的值最小時，M的值為最小，再根據(jù)“垂線段最短”得當(dāng)點(diǎn)P于點(diǎn)“重合時，尸C的值為最小，

最小值為線段CH的長，則EF的最小值是線段CH的長，然后根據(jù)三角形的面積公式求出線段CH的長

即可得出答案.

【解答】解：連接尸C,過點(diǎn)C作CHLA8于點(diǎn)〃，如圖所示：

由勾股定理得：AB=^JAC2+BC2=5,

"：PE±AC,PF±BC,

ZPEC=ZPFC=ZACB=90a,

，四邊形PEC尸是矩形，

：.EF=PC,

.?.當(dāng)PC的值最小時，EF的值為最小，

?.?點(diǎn)尸在斜邊48上（不與/、8重合），

根據(jù)“垂線段最短”得：當(dāng)點(diǎn)尸于點(diǎn)〃重合時，PC的值為最小，最小值為線段S的長,

：.EF的最小值是線段CH的長，

11

,/S“BC=WCH=-AC'BC,

尸長度的最小值為2.4.

故選：C.

11.如圖，尸是矩形/5CD的對角線AD上一點(diǎn)，45=3,BC=5,PE_LBC于點(diǎn)E,尸尸，CD于點(diǎn)尸，連接

AP,EF,則4P+E下的最小值為（）

【分析】連接。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到斯=。，/尸鉆廠的最小值即為公+C尸的最小值，當(dāng)/，尸，C

三點(diǎn)共線時，4P+CP的值最小，且為/C的長度，根據(jù)勾股定理得到NC="5+Be?=J32+52=

V34,于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接CP,

:四邊形/2C。是矩形，

:.EF=CP,

J.AP+EF的最小值即為NP+CP的最小值，

當(dāng)/,P,C三點(diǎn)共線時，/P+CP的值最小，且為/C的長度,

?..四邊形/BCD是矩形，

?,./C=y/AB2+BC2=V32+52=V34.

J.AP+EF的最小值為百3

故選：C.

D

C

12.如圖，AB=4Q五,點(diǎn)。在48上，△/CD是邊長為10的等邊三角形，過點(diǎn)。作與CD垂直的射線，

DP,過射線。尸上一動點(diǎn)G（不與。重合）作矩形CDG//,記矩形CDG8的對角線交點(diǎn)為。，連接

A.20V2B.20C.40V2D.40

【分析】根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：OC=OD,再證明則NO4B=30°；點(diǎn)。

一定在NC42的平分線上運(yùn)動，根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)02,4。時，。2的長最小，根據(jù)直角三角形30

度角所對的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論.

【解答】解，：四邊形CDGH是矩形，

11

：.CG=DH,OC=-CG,OD^-DH,

：.OC=OD,

:△/CD是等邊三角形，

J.AC^AD,NC4D=60°,

'：OA=OA,

AACO^AADO,

1

/.ZOAB=ZCAO=2x60°=30°，

二點(diǎn)。一定在/C42的平分線上運(yùn)動，所以當(dāng)02，/。時，05的長最小，

'：ZOAB=30°,ZAOB=90°,

11

：.OB=-AB=-x40V2=20VL

即OB的最小值為20匹,

故選：A.

13.如圖，矩形48c。中，AB=6,BC=3,若NC、上各取一點(diǎn)M、N,使3M+MN的值最小，求這個

最小值（)

l2426

A.5B.3V3C.-D.-

【分析】由對稱性可得/8=/"=4,HM=BM,BO=HO,可得MN+BM=HM+MN,則當(dāng)點(diǎn)“，點(diǎn)

點(diǎn)N共線且時，MN+5M的最小值為”N,根據(jù)三角形的面積公式可求//N的長，即可求解.

【解答】解：如圖，作點(diǎn)8關(guān)于/C的對稱點(diǎn)〃，連接HB,交4。于O,連接HM,

過點(diǎn)、H作HNL4B于N,

:?AB=AH=6,HM=BM,BO=HO,

：.MN+BM=HM+MN,

???當(dāng)點(diǎn)7/,點(diǎn)M,點(diǎn)N共線且HN,4g時，〃7\葉敏的最小值為

U：AB=6,BC=3,

??AC=y/AB2+BC2=3心

11

9,

-SAABC=-XABXBC=-ACXBO,

6「

:?BO=^,

12「

:.BH=M后

丁OC=y/BC2-OB2=|V5,

312

/.^O=3V5--V5=_yV5>

11

/.S“BH=^AB-HN=-BH-AO,

BHAO—V5x—V524

HN==-5--------S_=

AATB365

24

：.MN+BM的最小值為行-,

故選：C.

A--N---B

14.如圖，矩形N8CD中，AB=BC=\,動點(diǎn)￡,尸分別從點(diǎn)/,C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度

的速度沿48,CD向終點(diǎn)8,。運(yùn)動，過點(diǎn)￡,廠作直線/,過點(diǎn)/作直線/的垂線，垂足為G,則NG

【分析】由勾股定理可求/C的長，由''44S"可證△C。尸名△ZOE,可得NO=CO=1,由NG_LER

可得點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動，則/G為直徑時，/G有最大值為1,即可求解.

;四邊形48co是矩形，

：.AB//CD,/B=90°,

,:AB=GBC=1,

-"-AC=JAB2+BC2=V3+1=2,

?..動點(diǎn)￡,F分別從點(diǎn)4C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿N3,CD向終點(diǎn)8,。運(yùn)動,

:.CF=AE,

■:ABHCD,

：./ACD=NCAB,

又；/C0F=NAOE,

.?.△COF"LAOE(AAS),

：.AO=CO=1,

"：AG±EF,

...點(diǎn)G在以NO為直徑的圓上運(yùn)動，

為直徑時，NG有最大值為1,

故答案為：1.

15.如圖，矩形N5CD中，AB=4,BC=6,￡為射線A4上一動點(diǎn)，以為直徑的圓與CE相交于點(diǎn)〃,

則￡＞二長度的最小值為2.

【分析】直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，取2c的中點(diǎn)G,連接HG,DG,可推出

1,--------------

ZBHE=ZBHC=90°,HG^~BC=BG=CG=3,求出DG=JcD?+CG2=5,根據(jù)。G-//GW。8,

即可求解；

【解答】解：取8c的中點(diǎn)G,連接8",HG,DG,如圖所示：

為直徑，

:.NBHE=NBHC=90°,

1

：.HG=-BC^BG=CG=3,

,；CD=4B=4,

:.DG=VCD2+CG2=5,

,：DG-HGWDH,

：.DH^5-3=2,

故答案為：2.

16.如圖，在矩形/BCD中，AB=4,40=5,點(diǎn)、E,G分別在邊48,CD上，且/E=CG,點(diǎn)、F在邊BC

上，連接斯，BG,若BF=2,則￡F+2G的最小值為—病

AD

BFC

【分析】如圖，連接DE,作。關(guān)于的對稱點(diǎn)。'，連接F交AB于E',連接DE,D'E,證明

四邊形8成)G為平行四邊形，可得BG=DE,當(dāng)D',E,尸三點(diǎn)共線時，D'E+EF=D'F,此時EB+8G

最小，過尸作切。于〃，則四邊形/出叼為矩形，再進(jìn)一步可得答案.

【解答】解：如圖，連接DE,作。關(guān)于48的對稱點(diǎn)。'，連接。'F交AB于E',連接。E,D'E,

由軸對稱的性質(zhì)可得：DE=D'E,DE=D'E',AD=AD'=5,

?.,矩形A8CD,

：.AB//CD,AB=CD,

?:AE=CG,

:.BE=DG,

四邊形BEDG為平行四邊形，

；.BG=DE,

EF+BG=EF+DE=EF+D'E,

...當(dāng)D',E,尸三點(diǎn)共線時，D'E+EF=D'F,此時EF+5G最小,

過尸作F"，/。于〃，則四邊形N8F”為矩形，

：.FH=AB=4,AH=BF=2,

：,D'H=7,

:.D'F=742+72=V65，

J.EF+BG的最小值為屈.

故答案為：V65.

17.如圖，在矩形/BCD中，已知N8=4,BC=2,E為48的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸是ND/2平分線上的一個動點(diǎn)

(不與點(diǎn)/重合).

(1)證明：PD=PE；

(2)連接尸C,求尸C的最小值.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到利用MS定理證明△。/尸且2\￡/尸，根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）作CPP,根據(jù)垂線段最短得到PC最小，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.

【解答】（1）證明：???四邊形/BCD為矩形，

:./DAB=90°,

；”平分/D4B,

：.ZDAP=ZEAP=45°,

在尸和中，

（AD=AE

\^DAP=AEAP,

VAP=AP

：.^\DAP^/\EAP（MS）

：.PD=PE；

（2）解：如圖1,作CPLAP'于P,

則尸'C最小，

,:ABHCD,

：.ADFA=ZEAP,

:ZDAP=ZEAP,

：.ZDAP=ZDFA=45°,

:.FC=DF=4D=2,ZP'FC=45°,

,V2r-

：.P'C=FCX—=V2

圖1

類型三：菱形中的最值問題

18.如圖，己知菱形N2CD的邊長為6,點(diǎn)/是對角線NC上的一動點(diǎn)，且N48C=120°,貝UM4+MB+VD

的最小值是（）

A.3百B.3+3V3C.6+V3D.6百

【分析】過點(diǎn)用■作于點(diǎn)E,連接AD交NC于。，點(diǎn)M運(yùn)動到DE上，且。射線時，DE

取得最小值，此時DK最短，即"Z+MB+VD最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出DE的

長，進(jìn)而可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)M作于點(diǎn)E,連接3D交/C于。，

；菱形48co中,ZABC=120°,

：.ZDAB=60°,AD=AB=DC=BC,

是等邊三角形，

/.ZMAE=30°,

：.AM=2ME,

'：MD=MB,

：.MA+MB+MD=2ME+2DM=2DE,

點(diǎn)〃運(yùn)動到DE上，且DEL射線48時，DE取得最小值，此時DE最短，即MZ+MB+MD最小，

?菱形48c0的邊長為6,

?*.DE=>JAD2-AE2=V62-32=3百，

：.2DE=6y/3.

：.MA+MB+MD的最小值是6百.

19.如圖，在菱形/BCD中，/C=8,BD=6.E是CD邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E分別作斯，OC于點(diǎn)尸，EGL

0D于點(diǎn)G,連接FG,則FG的最小值為（

D

A.2.4B.3C.4.8D.4

11

【分析】連接OE,由菱形的性質(zhì)得/CLBD,OD=OB=~BD,OC=OA=~AC,利用勾股定理可以求

得。C的長為5,又因?yàn)轷?，。C,EG±OD,可證四邊形OFEG為矩形，根據(jù)矩形的對角線相等的性質(zhì)

可得G尸=?！?當(dāng)OELCD時，OE最短,再利用面積法求出OE的長即可求解PG的最小值.

【解答】解：連接

?..四邊形/BCD是菱形，

11

C.ACLBD,0D=]BD=3,OC=~AC^4,

由勾股定理得CD=VOD2+0C2=后+42=5,

又,：EF_LOC,EG±OD,

二四邊形OFEG為矩形，

:.GF=OE,

當(dāng)OEJ_CD時，OE值最小，

11

止匕時，S^OCD=2OC'0D=2CD，OE'

OCOD4x3

：.FG的最小值為2.4.

故選：A.

20.如圖，在菱形/2CZ）中，AB=5,BD=8,點(diǎn)P為線段2。上不與端點(diǎn)重合的一個動點(diǎn).過點(diǎn)尸作直線

BC、直線8的垂線，垂足分別為點(diǎn)及點(diǎn)足連結(jié)P4,在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，PE+P/+P尸的最小值等

于（）

AD

/

BEC

A.7B.7.8C.13D.13.8

【分析】連接4。交8。于點(diǎn)。連接PC,先通過菱形的性質(zhì)和勾股定理，計(jì)算出OC的長度，再根據(jù)S

△5仃+/0〃=*38建立等式推算出PE+P尸的值為定值，最后利用垂線段最短即可得到答案.

【解答】解：如圖，連接4C交友）于點(diǎn)O,連接尸C,

???四邊形48CD是菱形，

11

：.ACLBD,OB=-BD=-X8=4,AB=BC=CD=5,

在RtZ"O5中，由勾股定理得：04={AB?-0B?='52—42=3,

：.OC=OA=3f

PELBC,PF工CD,SABCP+SACDP=S"CD，

111

：.-BC-PE+-CD?PF=-BD.0C,

/.5P￡+5PF=8X3,

解得：PE+PF=4.8,

即尸E+尸尸的值為定值4.8,

當(dāng)R4最小時，PE+P4+P廠有最小值，

??,當(dāng)9時，P4的最小值=04=3,

：.PE+PA+PF的最小值=4.8+3=7.8,

故選：B.

21.如圖，在菱形48cZ）中，E、尸分別是邊C。、5C上的動點(diǎn)，連接EF,G、H分別為4￡、斯的

中點(diǎn)，連接G".若ND=45°,AD=4,則GH的最小值為（）

A.2B.4C.2五D.V2

【分析】由三角形中位線定理可得/尸=2G〃，則當(dāng)/尸有最小值時，G"有最小值，即當(dāng)/尸，3c時,

/尸有最小值，由等腰直角三角形的性質(zhì)可求N尸的最小值，即可求解.

【解答】解：如圖，連接4F,

?；G、H分別為AE、￡尸的中點(diǎn)，

：.AF=2GH,

當(dāng)//有最小值時，G"有最小值，

...當(dāng)//，3c時，4F有最小值，

.四邊形4BCD是菱形，

；./8=/。=45°,48=40=4,

：.AF的最小值=凈B=2近,

.?.G”的最小值為VL

故選：D.

22.如圖，P為菱形/BCD的對角線/C上的一個定點(diǎn)，0為/。邊上的一個動點(diǎn)，/P的垂直平分線分別

交48,AP于點(diǎn)、E,G,/DAB=30°,若尸。的長的最小值為3,則AE的長為6.

【分析】過P作PK_LN8于K,連接尸￡,由線段垂直平分線的性質(zhì)推出/E=P￡,因此

由菱形的性質(zhì)得到/胡。=2/8/尸=30°,由三角形的外角性質(zhì)得到NPEK=2N84P=30°,由含30

度角的直角三角形的性質(zhì)得到尸￡=2PK,由角平分線的性質(zhì)推出PK=3,得到尸￡=2X3=6,因此/￡=

6.

【解答】解：過戶作于K,連接PE,

〈GE垂直平分4尸，

:.AE=PE9

：.ZEAP=ZEPA,

??,四邊形48C。是菱形，

???ZC平分N54。，

:?/BAD=2/BAP=30°,

：.ZPEK=ZEAP+ZEPA=2ZBAP=30°,

VZPXE=90°，

:.PE=2PK,

當(dāng)月。，4。時，尸。的長最小，最小值是3,

此時ZC平分N5/。，PK2AB,PQLAD,

：.PK=PQ=3,

???尸￡=2X3=6,

J.AE—6.

故答案為：6.

23.如圖，菱形48co的邊長為遙，ZBCD=120°,P,Q分別是2C,2。上的動點(diǎn)，且CP=DQ,則/尸+/0

的最小值為2b.

【分析】如圖，連接/C,過點(diǎn)C作CTLC4,使得CT=4D=1,連接NT.證明出

(SAS),推出/尸=￡7,推出NP+/0=/P+PT2/T,求出NT即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接/C,過點(diǎn)C作CTLC4,使得CT=4D=1,連接NT.

;四邊形4BCD是菱形,

；.AB=CB=CD=AD,NABC=N4DC=60°,NADB=《NADC=30°,

：.￡\ABC是等邊三角形，

ZACB=60°,AC=AB=Q

\'AC±CT,

：.ZECT=30Q,

ZADQ=ZPCT,

,:CP=DQ,CT=DA,

/./\ADQ^/\TCP(S4S),

：.AQ=PT,

：.AP+AQ=AP+QT^AT,

VZACT=90°,AC=CT=標(biāo),

：.AT=VxC2+CT2=2百，

：.AP+AQ^2^3>

J.AP+AQ的最小值為2百.

故答案為：2百.

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為4的菱形/5CA的頂點(diǎn)/,。分別在x軸，y軸的正半軸上移動,

點(diǎn)，，C之間的距離為4,連接OC,則線段OC長度的最大值為_2向+2_.

【分析】取/O的中點(diǎn)￡,連接C￡,OE,AC,先證明△NBC和△/￡>(7是等邊三角形，即可求出CE的

長，再在RtA4OO中利用斜邊中線性質(zhì)求出OE,最后根據(jù)OE+CE2OC確定當(dāng)C、O、E三點(diǎn)共線時

OC最大，最大值為OC=OE+CE,據(jù)此求解即可.

【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為4的菱形/BCD的頂點(diǎn)/,。分別在x軸，y軸的正半軸上移

動，如圖，連接NC,取的中點(diǎn)E,連接CE,OE,

由題意得AB—BC—AC—4—AD—DC,

：.AABC和△4DC是等邊三角形，

；.NB4C=/DAC=60°,

?.,點(diǎn)E是4D的中點(diǎn)，

1

：.AE=~AD=2,CE±AD,

:.CE~AC2-AE2=2^,

1

???在中，OE=p4D=2,

/.OC<OE+CE=2^3+2,

???當(dāng)C、。、E三點(diǎn)共線時0c最大，最大值為2百+2,

故答案為：2V3+2.

25.如圖所示，在菱形/BCD中，AB=4,NB4D=120。，△4EF為正三角形，點(diǎn)￡、尸分別在菱形的邊

BC、CD上滑動，且￡、尸不與3、C、。重合.

(1)證明不論￡、F在BC、CD上如何滑動，總有BE=CF；

(2)當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形NEC尸的面積和△(7￡尸的周長是否發(fā)生變化？如

果不變，求出這個定值；如果變化，求出最小值.

【分析】(1)先求證48=4C,進(jìn)而求證△48C、△/(?￡)為等邊三角形，得/4=60°,NC=48進(jìn)而求

證A4BEgA4CF,即可求得8E=CF；

=

(2)根據(jù)△4BE絲A4C/可得SAASESAACF>故根據(jù)S四邊形NEC尸uSAAEC+SzUCFuSzUEc+SAZBEuSugC

即可解題；由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形/￡尸的邊NE與8c垂直時，邊AE最短.△/￡尸的周長

會隨著/E的變化而變化，求出當(dāng)4E最短時，的周長即可.

【解答】解：(1)如圖，連接/C,

:四邊形N8C。為菱形，ZBAD=nO°,

：.ZBAC=6Q°,

尸是等邊三角形，

；./EAF=60°,

：.Z1+ZEAC^6O°,/3+N￡/C=60°,

/.Z1=Z3,

VZBAD^UO0,

ZABC=60°,

：.△/3C和△NCO為等邊三角形，

.,.Z4=60°,AC=AB,

.?.在和△/<?尸中，

zl=z3

AB^AC

./.ABC=Z4

:.AABE咨MCF(ASA).

:.BE=CF；

(2)四邊形/EC尸的面積不變，△(7￡尸的周長發(fā)生變化.理由如下:

由(1)得△4B-CF,

則S“BE=S4CF，

故S四邊形XECFuSA^EC+SAjcFMSA^Ec+SAAgEuSAylBC，是定值，

作/3c于5點(diǎn)，則28=2,

11_________

S四邊形ZECF=SA^BC=]BC?AH——BC-Y/AB2—BH2—4百.

/\CEF的周長=CE+CF+EF=CE+BE+EF=BC+EF=BC+AE

由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形/斯的邊/￡與BC垂直時，邊AE最短.

故的周長會隨著/￡的變化而變化，且當(dāng)/￡最短時，的周長會最小=4+〃5—即/2

=4+2省.

類型四：正方形中的最值問題

26.如圖，正方形N8CO的邊長為4,點(diǎn)E與點(diǎn)尸分別為射線8C,CD上一點(diǎn)，且歐=。凡連接NE,BF

并交于點(diǎn)G,點(diǎn)尸為邊CD上一點(diǎn)，DP=\,連接尸G,則線段PG長度的最小值為()

【分析】如圖，取中點(diǎn)。，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/8=3C=4,BD=^2BD,NO8c=45°,求得

BO=OA=2,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到//￡8=N8/C,求得//G3=90°,推出點(diǎn)G在以N5為直

徑的圓上運(yùn)動，連接。尸，當(dāng)點(diǎn)G在。尸上時，線段尸G長度的值最小，過尸作于，，根據(jù)勾股

定理得到OP=Jp“2+0”2=/2+/=近7,求得PG=O尸-OG=VI7-2,于是得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，取N8中點(diǎn)O,

?.?四邊形/BCD是正方形，

：.AB=BC=4,BD=皿BD,〃8c=45°,

:點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，

：.BO=OA=2,

,:BE=CF,ZABE=ZBCF=90°,

:.LABE會LBCF(SAS),

：.NAEB=ZBFC,

：.ZBFC+ZFBC=90°=ZAEB+ZFBC,

：.ZAGB=90°,

.?.點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動，連接。尸，當(dāng)點(diǎn)G在。P上時，線段尸G長度的值最小,

過尸作PHLAB于H,

：.PH=AD=4,AH=DP=1,

：.0H=1,

OP=VPH2+OH2=&+/=V17,

：.PG=OP-OG=717—2,

即線段PG長度的最小值為后-2,

(2,0),B(0,4),點(diǎn)P為線段上一個動點(diǎn)，連接4P,以4P為

邊在第一象限構(gòu)造正方形APMQ,連接BM,當(dāng)有最小值時，點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.,2)B.(3,2)C.(V5-1，2)D.(2V3-1，2)

【分析】過點(diǎn)M作兒W_Ly軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)0作軸于點(diǎn)E,可證明△肱