高中數(shù)學開放性試題的常見類型及教學建議

【摘要】與條件給定，且不多不少，全部應(yīng)用就可以解題的傳統(tǒng)數(shù)學試題不同，開放性試題以不確定性、發(fā)散性、探究性及生成性為基本特征，注重考查學生的靈活性和廣泛性。目前的開放性試題一般有列舉實例型、結(jié)論是否型、結(jié)構(gòu)不良型等類型。教學中，教師可以通過開放題境，現(xiàn)場編題；開放結(jié)論，實施探究；合作學習，開放思維；建立模型，開放策略等策略，助力學生有效應(yīng)對開放性試題。【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；解題解學；高考；開放性試題教育部在《關(guān)于做好2024年普通高校招生工作的通知》（教學〔2024〕2號）中明確提出“優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)和試題形式，增強試題的應(yīng)用性、探究性、開放性?！遍_放性試題以不確定性、發(fā)散性、探究性及生成性為基本特征在各種考試題型中獨樹一幟，它在一定程度上彌補了傳統(tǒng)試題的一些不足，在考查學生靈活性和廣泛性，考查學生的實踐能力和創(chuàng)新意識，以及情感、態(tài)度、價值觀等方面有著比較明顯的優(yōu)勢。一、數(shù)學開放性試題的常見類型傳統(tǒng)數(shù)學試題的特點是條件都是給定的，而且不多不少，全部應(yīng)用就可以解題；解題的思路是固定的，即使是一題多解的題目，每種解法的思路也是固定的，只要沿著固定的思路就能解題；解題的結(jié)果也是唯一確定的，能得出確切的結(jié)論和數(shù)值。與之相對，開放性試題通常會具有以下一些特點：有的題目條件不充分，需要學生補充后才能解題，補充的條件不同，解題的思路和解法也會不同；有的題目的結(jié)論不是事先給定的，甚至答案是不確定的，存在著多樣的解答；有的題目沒有現(xiàn)成的解題模式，往往需要在求解過程中從多個角度進行思考和探索。目前出現(xiàn)的開放性數(shù)學試題，通常有以下幾種類型。1.列舉實例型這類試題一般會給出一些條件，要求學生從中獲取信息，整理信息，寫出符合要求的結(jié)論或是具體實例。例1（2021年新高考2卷第14題）：寫出一個具有性質(zhì)①②③的函數(shù)f（x）=_______。①f（x1x2）=f（x1）f（x2）；②當x∈（0，+∞）時，f'（x）gt;0；③f'（x）是奇函數(shù)。評注：該題要求學生在理解函數(shù)性質(zhì)①②③的基礎(chǔ)上從抽象到具體構(gòu)建出一個函數(shù)f（x）。解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)性質(zhì)，第①條為自變量積的函數(shù)值等于對應(yīng)函數(shù)值的積，第②條是在x軸正半軸為增函數(shù)，第③條導函數(shù)是奇函數(shù)，則原函數(shù)為偶函數(shù)。本題的結(jié)論開放，答案不唯一，例如f（x）=|x|，f（x）=x2等。該試題在考查學生思維的靈活性方面發(fā)揮了很好的作用，同時也給不同水平的學生提供了充分發(fā)揮自己數(shù)學能力的空間。2.結(jié)論是否型這類試題沒有給出明確的結(jié)論，通常以“是否存在”或“是否滿足”等問詢的方式出現(xiàn)。需要學生根據(jù)條件進行推理，自己確定試題的結(jié)論。例2（2020年北京卷第21題）已知{an}是無窮數(shù)列。給出兩個性質(zhì)：①對于{an}中任意兩項ai，aj（igt;j），在{an}中都存在一項am，使[ai2aj=am]；②對于{an}中任意項an（n..3），在{an}中都存在兩項ak，al（kgt;l）。使得an=[ak2al]。（1）若an=n（n=1，2，……），判斷數(shù)列{an}是否滿足性質(zhì)①，說明理由；（2）若an=2n-1（n=1，2，……），判斷數(shù)列{an}是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由；（3）若{an}是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：{an}為等比數(shù)列。評注：本題前兩小題的結(jié)論都是以“是否”的形式出現(xiàn)，結(jié)論不明確，且第（1）小題的結(jié)論是否定的，所給數(shù)列不滿足性質(zhì)①；第（2）小題的結(jié)論是肯定的，所給數(shù)列同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②。本題具有較好的開放性，有利于考查不同層次學生的推理與思維能力。3.結(jié)構(gòu)不良型初始條件、解決策略和目標結(jié)論這三者中至少有一個不明確的試題稱為結(jié)構(gòu)不良試題。數(shù)學學科的結(jié)構(gòu)不良試題主要包括：問題條件或部分數(shù)據(jù)缺失或冗余；問題目標界定不明確；具有多種解決方法、途徑；具有多種評價解決方法的標準；所涉及的概念、規(guī)則和原理等不確定。高考中的結(jié)構(gòu)不良試題通常不要求學生自己補充條件，而是從所給出的幾個條件中選擇一條或多條補充到試題中，然后進行解答，或者對給出的條件進行重新組合，實現(xiàn)不同的問題解答路徑。此外，也有高考試題給出不同的結(jié)論，請學生選擇并加以論證。例3（2021年高考甲卷理科第18題）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立。①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{[Sn]}是等差數(shù)列；③a2=3a1。評注：本題要求學生根據(jù)所給條件合理構(gòu)建一個命題，并證明命題成立。試題設(shè)計了個不同的組合方案，組成三個真命題，給學生充分的選擇空間，選擇什么樣的條件和結(jié)論，直接影響到問題的思維和證明過程，有益于不同學生在不同層面上發(fā)揮自己的數(shù)學能力。二、數(shù)學開放性試題的教學建議如何有效應(yīng)對開放性試題，目前大家還在探索之中，筆者作了以下幾點嘗試。1.開放題境，現(xiàn)場編題教學中，對于一些可改變題境的問題，教師可以創(chuàng)設(shè)開放性問題情境，讓學生現(xiàn)場編題，舉一反三，鼓勵學生大膽提出問題與解決問題。例如，教師先讓學生解決下列拋物線的問題：已知定點A（4，1），F(xiàn)是拋物線C：y2=4x的焦點，P是C上一點，則|PA|+|PF|的最小值為______。然后讓學生類比該題解題原理，若定點A（4，1）不變，請以橢圓[x2100+y236=1]或雙曲線[x24?y212=1]為背景，命制一道類似的問題，并解答。本題的關(guān)鍵是將拋物線上的點到焦點的距離，轉(zhuǎn)化為其到準線的距離?；谶@個原理，以橢圓或雙曲線為背景命題時，最后的表述式要寫成|PA|+[1e]|PF|的形式。所以，以橢圓、雙曲線為背景的兩道試題可命制為：（1）已知定點A（4，1），F(xiàn)是橢圓C：[x2100+y236=1]的右焦點，P是C上一點，則|PA|+[54]|PF|的最小值為________。（2）已知定點A（4，1），F(xiàn)是雙曲線C：[x24?y212=1]的右焦點，P是C上一點，則|PA|+[12]|PF|的最小值為________。評注：更換題境，讓學生現(xiàn)場命題，可引導學生領(lǐng)悟一類問題的內(nèi)在規(guī)律，達到舉一反三的效果。經(jīng)常這樣做，可增強學生對問題進行變式意識，能有效提升學生解決開放性試題的能力。對于本題而言，如果想提高難度，還可以不給出橢圓與雙曲線的方程，讓學生自己去尋找一個適合題意的橢圓或雙曲線。2.開放結(jié)論，實施探究教學中，對于一些背景相同但結(jié)論多樣的問題，可以放手讓學生探究，讓其自行發(fā)現(xiàn)相關(guān)結(jié)論或性質(zhì)。例5：如圖1，已知F是拋物線C：y2=2px（pgt;0）的焦點，過點F且傾斜角為α的直線交拋物線于A，B兩點，由點A，B分別向拋物線的準線作垂線，垂足為A1，B1，設(shè)P，Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）。以此為背景，你能得到的結(jié)論有"。評注：開放結(jié)論，組織學生探究，可充分培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力。值得注意的是，讓學生記住這些結(jié)論不是目的，更重要的是引導領(lǐng)悟解決問題的方法、體驗探究的過程，這樣才能有效提升學生解決開放性試題的能力。3.合作學習，開放思維在教學中，對于解題切入角度較多的試題，宜開展合作學習，互相啟發(fā)，共同探索解題思路。例6（2022·新高考Ⅰ卷第14題改編）：寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的兩條直線的方程____________。解析：如圖2所示，根據(jù)條件，可判斷出兩圓相外切，所以共有3條公切線。如何選擇不同的切線方程去求解，不同的學生有不同的想法。圖3中的切線n和切線l，其方程是易求的；而切線m方程的求解，解法多樣，是培養(yǎng)學生發(fā)散性思維能力的好機會。為此，在教學中，筆者給了學生充分思考時間后，又開展了小組合作討論，然后讓學生上臺展示，結(jié)果出現(xiàn)了如下幾種解題思路：方程組法、向量法、等角法。評注：采用合作學習，學生之間可以進行有效思維碰撞，集思廣益，得到意想不到的效果（事實上，課堂上學生還得到了其它解決，這里不再贅述）。經(jīng)常開展小組合作學習，可拓寬學生的思維渠道，提升學生應(yīng)對開放性試題的能力。4.建立模型，開放策略在教學中，教師可以引導學生建立一些常見的模型。雖然這些模型的性質(zhì)與結(jié)論不能直接應(yīng)用于解題之中，但有助于我們明確方向，指導探究，優(yōu)化解法，進而拓展解題策略。例7（2023·新高考Ⅱ卷第21題改編）如圖3，雙曲線C：[x24]－[y216]＝1的左、右頂點分別為A1，A2，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P。試探究：是否存在一條直線，使得點P恒在該直線上？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由。解析：這樣的直線是否存在，方向不明。平時教學中，如果幫助學生建立了下列模型1，則可幫助其快速明確結(jié)論方向。模型1：圓錐曲線極點與極線的雙割線模型如圖4，P（x0，y0）為不在圓錐曲線上的點（非圓錐曲線的中心），過點P引兩條割線依次交曲線于點A，B，C，D，連接DB，CA交于點M，連接AD，BC交于點N，則直線MN為點P對應(yīng)的極線，且直線MN的方程為Ax0x+Cy0y+D[x0+x2]+E[y0+y2]+F=0。不難發(fā)現(xiàn)，該試題中就有這樣的模型1，圖3中的MN與A1A2是過點（-4，0）的兩割線，且MA1與NA2的交點P，若設(shè)MA2與NA1的交點為Q，則直線PQ就是點（-4，0）關(guān)于該雙