新高考背景下數(shù)學(xué)解題教學(xué)的常見誤區(qū)及對策

【摘要】在新高考背景下，針對數(shù)學(xué)解題教學(xué)過程中可能存在的誤區(qū)：重視解法套路的提煉、重視最優(yōu)解法的獲取、重視解題分析的引導(dǎo)、重視規(guī)范解答的示范，結(jié)合案例給出了四種解決對策：回歸本原通法、注重經(jīng)驗積累、注重讓位真思、注重試錯糾錯。【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；誤區(qū)；對策新高考改革給數(shù)學(xué)解題教學(xué)帶來了全新的機遇與挑戰(zhàn)。新高考強調(diào)對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查，注重知識的綜合運用與思維的深度拓展。因此，原有的解題教學(xué)模式可能會深陷誤區(qū)，阻礙學(xué)生在新高考體系下數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升與個性發(fā)展。本文就高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中出現(xiàn)的幾個誤區(qū)進行分析并提出相應(yīng)的對策。一、走出套路誤區(qū)，注重回歸本原1.誤區(qū)：重視解法套路的提煉，忽視概念原理的領(lǐng)悟在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師有時過度重視解法套路的提煉，熱衷于整理各類題型的固定解法步驟，讓學(xué)生機械記憶。這會導(dǎo)致學(xué)生雖能應(yīng)對一些常規(guī)題目，但遇到稍作變化、需要靈活運用概念原理的問題時便不知所措。例如，在學(xué)習(xí)拋物線定義時，教師提問滿足到定點F（1，0）的距離比到定直線x=0距離大1的點的軌跡是什么？有了拋物線的定義，不少學(xué)生就將定直線x=0轉(zhuǎn)化為定直線為x=-1，把原題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)到一定點F（1，0）和一條定直線x=-1的距離相等的點的軌跡，得到答案y2=4x。顯然，這種解法只是進行了簡單的模仿，忽略了概念原理的生成。2.對策：回歸本原通法，讓基礎(chǔ)更厚實對于上述問題，回顧拋物線定義的由來，不妨從代數(shù)角度來求證：由已知條件可得PF=d+1，即[（x-1）2+y2]=|x|+1，化簡得（x-1）2+y2=x2+1+2|x|，即-2x+y2=2|x|?？梢缘玫?，當(dāng)x≥0時，y2=4x，當(dāng)xlt;0時，y=0。通過代數(shù)計算可以發(fā)現(xiàn)，結(jié)果并不是上面簡單的模仿，可以發(fā)現(xiàn)圖形是由拋物線和一個射線組成。然后，教師進一步提問：（1）若將定直線變成x=-2，則滿足到定點的距離F（1，0）比到定直線x=-2距離小1的點的軌跡是什么？（2）若將定直線變成x=[12]，則滿足到定點的距離F（1，0）比到定直線x=[12]距離大[32]的點的軌跡是什么？學(xué)生通過代數(shù)計算可得（1）y2=4x；（2）當(dāng)x≥[12]時，y2=4x；當(dāng)xlt;[12]時，y2=3-2x。教師繼續(xù)追問學(xué)生，通過定義的領(lǐng)悟、本源方法的回歸，你能體會到這類問題的共性嗎？為什么有時是一段，有時是兩段呢？如何不通過代數(shù)計算發(fā)現(xiàn)結(jié)果是一段或者兩段？學(xué)生結(jié)合圖形反思領(lǐng)悟，可以發(fā)現(xiàn)（1）中若點在直線x=-2左側(cè)，到定點的距離F（1，0）一定大于到定直線x=-2距離，而（2）中點可能在直線x=[12]的兩側(cè)，所以有兩種情況。有了回歸本原通法的分析，學(xué)生下次在解決同類問題時就不會是簡單的模仿。通過深入理解概念原理構(gòu)建扎實的知識基礎(chǔ)，學(xué)生在面對復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題時，就能夠依據(jù)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻把握靈活應(yīng)變。二、走出優(yōu)解誤區(qū)，注重經(jīng)驗積累1.誤區(qū)：重視最優(yōu)解法的獲取，忽視解題經(jīng)驗的積累教師在講解題目時，往往會直接展示最為便捷高效的解題路徑，學(xué)生也將目光聚焦于記住最優(yōu)解法，卻忽視了在探尋解法過程中解題經(jīng)驗的積累。這使得學(xué)生一旦脫離教師的引導(dǎo)，面對新題時缺乏獨立思考和探究的能力。例1證明不等式[12-1+122-1+123-1+…+12n-1lt;53]（n∈N*）生解：因為2n-1gt;3·2n-2（n≥3），所以[12-1+122-1+123-1+…+12n-1]lt;1+[13]+[13?2]+[13?22]+…+[13?2n-2]=1+[13]+[13][?][121-12]（1-[12n-2]）=[53]-[13?2n-2]因為[13?2n-2]gt;0，所以[12-1+122-1+123-1+…+12n-1lt;53]（n∈N*）不可否認(rèn)，這種解法很簡潔，將原數(shù)列放縮為等比數(shù)列，使得問題輕松求解。但是如何獲取這個最優(yōu)解的呢？下次面對新面孔學(xué)生還能順利解題嗎？2.對策：注重經(jīng)驗積累，讓反思更深入因此，在上述問題的教學(xué)中，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生思考三個問題：（1）為什么想到這種方法？放縮的本質(zhì)內(nèi)涵是什么？（2）有沒有其他放縮的形式？（3）有沒有其他解決問題的角度？教師可以提示學(xué)生觀察通項[12n-1]，要想得到理想效果直接將[12n-1]變成等比數(shù)列[12n]，雖然容易求和但是發(fā)現(xiàn)方向反了；因此必須將分母2n-1變小，此時發(fā)現(xiàn)[k+1k+1?]2n-1=[kk+1?]2n+[kk+1?]2n-1，這樣只要保證[1k+1?]2n-1≥0即可。若k=3，得到n≥2，就可以帶來上面的不等式2n-1gt;3[?]2n-2（n≥3）。有了這樣的分析，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)很多其他放縮方法。對解題方法的本質(zhì)挖掘，不僅可以讓學(xué)生學(xué)會一題多解，從結(jié)果來看當(dāng)k取值越大，放縮越精確，學(xué)生進一步學(xué)會了這種從彌補的角度進行放縮，從而達(dá)到“見木見林”的高度。繼續(xù)解決例1，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進一步反思證明不等式除了放縮為等比數(shù)列，還可以放縮為裂項相消的方法。教師要善于與學(xué)生一起分析每一個步驟的合理性，嘗試其他可能的解法并比較優(yōu)劣，注重底層邏輯的挖掘，一起從題目的條件和問題中挖掘出一般性的解題策略和數(shù)學(xué)思想。通過這樣的教學(xué)，可以使得學(xué)生的每一次解題的經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為應(yīng)對多樣化的數(shù)學(xué)問題的能力，從而進一步提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。三、走出引導(dǎo)誤區(qū)，注重讓位真思1.誤區(qū)：重視解題分析的引導(dǎo)，忽視第一思維的讓位由于教學(xué)進度的壓力，為了讓學(xué)生盡快掌握解題方法、提高解題能力，教師通常選擇直接向?qū)W生展示標(biāo)準(zhǔn)的解題步驟和方法，從題目條件的分析、相關(guān)知識點的運用到最終答案的得出，都進行細(xì)致入微的引導(dǎo)和講解，卻忽略了學(xué)生第一思維的發(fā)展空間，這一現(xiàn)象值得深入研究和反思。由于對知識系統(tǒng)性傳授的認(rèn)知偏差，教師往往認(rèn)為只有通過完整、系統(tǒng)的講解過程，才能讓學(xué)生構(gòu)建起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)知識體系，忽略了學(xué)生在探索過程中形成的知識建構(gòu)方式。其實數(shù)學(xué)課不僅僅要讓學(xué)生掌握知識和解題技巧，還要注重基本的活動經(jīng)驗積累。第一思維的讓位會對學(xué)生思維的獨立性產(chǎn)生抑制，讓學(xué)生逐漸形成依賴心理，遇到問題首先等待教師的講解，而不是主動運用自己的思維去嘗試解決，缺乏獨立思考和分析問題的能力。第一思維蘊含著學(xué)生獨特的創(chuàng)造力和想象力，忽視其發(fā)展會導(dǎo)致學(xué)生思維的固化。第一思維的讓位會導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的降低，由于缺乏自主探索和成功解決問題的體驗，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣逐漸減弱。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成了被動地接受知識和模仿解題，而不是主動地探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂趣。2.對策：注重讓位真思，讓參與更充分當(dāng)學(xué)生在自主探索過程中遇到困難時，教師要把握好介入的時機和方式。不能直接給出答案，而應(yīng)通過提問、啟發(fā)等方式引導(dǎo)學(xué)生進一步思考自己的思路，幫助他們發(fā)現(xiàn)問題所在，并嘗試自己修正和完善。在學(xué)生嘗試解決問題但陷入困境時，教師可以提問：“你是怎么理解題目中的這個條件的？你為什么會選擇這樣的解題方法？”引導(dǎo)學(xué)生反思自己的思維過程。在學(xué)生充分表達(dá)和嘗試自己的第一思維后，教師再展示標(biāo)準(zhǔn)的解題分析方法，并與學(xué)生的思路進行對比。讓學(xué)生明白不同思維方式的優(yōu)缺點，引導(dǎo)他們將自己的思維與教師的引導(dǎo)相結(jié)合，形成更加完善的解題策略。教師還可以將學(xué)生提出的不同解題思路和標(biāo)準(zhǔn)解法一起列在黑板上，從解題的簡潔性、準(zhǔn)確性、通用性等方面進行對比分析，幫助學(xué)生拓寬思維視野。例2：已知橢圓E：[x24]+y2=1的左，右頂點分別為A，B，圓x2+y2=4上有一動點P，P在x軸上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結(jié)DC，PB。設(shè)直線PB，DC的斜率存在且分別為k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范圍。例2的通常解法思路為路徑1：[設(shè)AP：y=k（x+2）→D點坐標(biāo)→k2——P點坐標(biāo)→k1——————→λ=f（k1）]事實上，例2學(xué)生除了上面給出的解題思路外，教學(xué)實踐中學(xué)生的出發(fā)點和想法還有很多，比如路徑2：設(shè)BP：y=k1（x-2）→AP：y=-[1k1]（x+2）→D點坐標(biāo)→k2→λ=g（k1）路徑3：設(shè)CD：y=k2（x-1）→D點坐標(biāo)→kAD→k1→λ=h（k2）設(shè)點和設(shè)線是解析幾何的兩大出發(fā)點，本題學(xué)生提出的其他路徑同樣能順利地解決問題，這樣的思考是有效的、貼近學(xué)生實際的。重視解題分析的引導(dǎo)與保護學(xué)生的第一思維同等重要。通過營造適宜的教學(xué)環(huán)境、合理介入引導(dǎo)以及進行有效的對比整合，讓學(xué)生充分參與，實現(xiàn)兩者的平衡發(fā)展，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)其獨立思考和創(chuàng)新思維能力。教師在課堂上要鼓勵學(xué)生大膽表達(dá)自己的第一思維，無論其想法是否正確，都給予充分的尊重和耐心的傾聽。在講解前，先讓學(xué)生獨立思考幾分鐘，然后請學(xué)生分享自己的初步想法和思路，教師不急于評價，而是引導(dǎo)其他學(xué)生進行討論和分析，從而營造寬松的思維環(huán)境。四、走出示范誤區(qū)，注重試錯糾錯1.誤區(qū)：重視規(guī)范解答的示范，忽視錯誤資源的利用傳統(tǒng)的解題教學(xué)往往側(cè)重于規(guī)范解答的示范，卻忽視了對學(xué)生錯誤的挖掘與利用。例3：已知數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，a1=1，an+1=[13]Sn，求數(shù)列{an}的通項公式。規(guī)范解答如下：因為a1=1，an+1=[13]Sn，得到n≥2，an=[13]Sn-1，由兩式相減，得到an+1-an=[13]an（n≥2），所以an="""""。應(yīng)該說教師在解題教學(xué)中規(guī)范解答示范必不可少，但是本題講解就這樣結(jié)束，學(xué)生會提出不少質(zhì)疑，下次面對類似的題目還會繼續(xù)走不少彎路，那么面對學(xué)生中產(chǎn)生的多種思維角度尤其是多種得不到正確結(jié)果的方法我們?nèi)绾翁幚砟兀?.對策：注重試錯糾錯，讓資源再利用學(xué)生錯誤解題過程若能得到妥善運用，將成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與解題能力的有效工具。對于本題，學(xué)生的兩種典型錯誤如下。方法1：因為a1=1，an+1="[13]Sn，得到n≥2，an="[13]Sn-1。兩式相減，得an+1-an="[13]an，所以an=（[43]）n-1。方法2：因為a1=1，an+1=[13]Sn，又因為an+1=Sn+1-Sn，得到Sn+1="[43]Sn，Sn=（[43]）n-1，求得an="[13]（[43]）n-2?？梢园l(fā)現(xiàn)學(xué)生的這兩種解法得到的結(jié)果不一樣，與教師給出的示范解答也不一樣，看來兩種方法都出現(xiàn)了錯誤。認(rèn)真思考，仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)方法1與正確答案的區(qū)別就是忽略了n≥2。事實上，學(xué)生在解這類數(shù)學(xué)題的過程中經(jīng)常會忽略這樣的范圍，所以教師應(yīng)該讓錯誤資源再利用，讓學(xué)生在知錯中醒悟。方法2中，學(xué)生從消去通項an的角度來解決問題，這樣的解題出發(fā)點很好，但是問題又出在哪里呢？通過與學(xué)生一起糾錯，發(fā)現(xiàn)由Sn=（[43]）n-1求an的過程中應(yīng)該依據(jù)an=[S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2]，從而得到正解an=。學(xué)生的典型錯誤反映了學(xué)生在知識理解、思維邏輯、解題方法運用等方面的漏洞與偏差。通過對錯誤的分析與糾正，能夠精準(zhǔn)定位學(xué)生的學(xué)習(xí)難點和易錯點，學(xué)生也能更深刻地理解數(shù)學(xué)概念與原理，避免再次犯錯。錯誤資源猶如一面鏡子