中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專(zhuān)題36 圓中的重要模型之輔助線(xiàn)模型（八大類(lèi)）（原卷版）

專(zhuān)題36圓中的重要模型之輔助線(xiàn)模型（八大類(lèi)）

在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線(xiàn)來(lái)解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助

線(xiàn)，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線(xiàn)的方法有很多，本專(zhuān)

題通過(guò)分析探索歸納八類(lèi)圓中常見(jiàn)的輔助線(xiàn)的作法。

模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）

【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．

在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，通常可以連接半徑

構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)

端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題

例1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是O的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知P30，

AOC80，則BD的度數(shù)是（）

A．30°B．25°C．20°D．10°

例2.（2023?南召縣中考模擬）如圖，O的直徑AB與弦CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，

則∠E等于（）⊙

A．42°B．28°C．21°D．20°

例3．（2023·江蘇沭陽(yáng)初三月考）如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作弦DE，使CD=CO．若

AD的度數(shù)為35°，則BE的度數(shù)是_____．

例4．（2023年山東省淄博市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，ABAC，BAC120，

D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)E．若AD2，DE3，則O的半徑為（）

3

A．10B．10C．210D．310

2

模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題）

【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過(guò)點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。

在圓中，求弦長(zhǎng)、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過(guò)

弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半

徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。

例1．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一個(gè)圓形餐盤(pán)的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD

是矩形．當(dāng)餐盤(pán)正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與BC邊相切，則此餐盤(pán)的半徑等于cm．

例2．（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，ABC內(nèi)接于O，圓的半徑為7，BAC60，則弦BC

的長(zhǎng)度為．

例3．（2021·湖北中考真題）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》

中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理，如圖1，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2，已知圓

心O在水面上方，且O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為6米，O半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，

則點(diǎn)C到弦AB所在直線(xiàn)的距離是（）

A．1米B．47米C．2米D．47米

例4．（2023·廣東廣州·九年級(jí)校考自主招生）如圖所示，圓O的直徑AB與弦MN相交于點(diǎn)P．已知圓的直

徑AB4，APN45，則MP2NP2的值是（）

A．82B．8C．43D．4

模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）

【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=1∠AOB。

2

例1．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，O是ABC的外接圓，若C25，則BAO（）

A．25B．50C．60D．65

例2．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P是O上一點(diǎn)，若AOB70，則APB的度數(shù)為

（）

A．110B．145C．135D．160o

例3．（2023秋·重慶·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一塊直角三角板的30角的頂點(diǎn)P落在O上，兩邊分別

交O于A、B兩點(diǎn)，若O的直徑為8，則弦AB長(zhǎng)為（）

A．8B．4C．22D．23

例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC,BC為O的兩條弦，D，G分別為AC,BC的中點(diǎn)，O的

半徑為2．若C45，則DG的長(zhǎng)為（）

3

A．2B．3C．D．2

2

模型4、遇直徑作直徑所對(duì)的圓周角（構(gòu)造直角三角形）

【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。

如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問(wèn)題的重要思路，在證明有關(guān)問(wèn)題中注意90o的圓

周角的構(gòu)造。

例1．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，AD是O的直徑，弦BC交AD于點(diǎn)E，連接AB，AC，

若BAD30，則ACB的度數(shù)是（）

A．50B．40C．70D．60

例2．（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，ACDCAB，AD2，AC4，則⊙O

的半徑為（）

A．23B．32C．25D．5

例3．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，BCBD，CDB30，

AC23，則OE（）

3

A．B．3C．1D．2

2

模型、遇°的圓周角連直徑

590

【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。

A

C

B

O

遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒(méi)有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。

例1．（2022·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在O上，ACBC,AC4,ADC30，則

BC的長(zhǎng)為（）

A．43B．8C．42D．4

3

例2．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）如圖，半徑為的A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)C0,1，B是y軸左側(cè)A優(yōu)弧上

2

一點(diǎn)，則tanOBC為（）

122

A．B．C．D．2

343

例3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，O是矩形ABCD的外接圓，若AB4,AD3，則圖中陰影部分

的面積為．（結(jié)果保留）

模型6、遇切線(xiàn)連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）

【模型解讀】如圖，已知直線(xiàn)AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。

O

ACB

已知圓的切線(xiàn)時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來(lái)，得半徑與切線(xiàn)垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的

有關(guān)性質(zhì)解題。

例1．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，如圖，PA、PB分別切O于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為優(yōu)弧AB上

一點(diǎn)，若ACBAPB，則ACB的度數(shù)為（）

A．67.5B．62C．60D．58

例2．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AC是O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，連接OA，OC．若A30，AB23，

BC3，則OC的長(zhǎng)度是（）

A．3B．23C．13D．6

例3．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）如圖，AB是圓O的直徑，BC是切線(xiàn)，B是切點(diǎn)，弦AD∥OC，

AE

CD與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，BCAB，則（）

AB

1123

A．B．C．D．

2335

模型7、證明切線(xiàn)的輔助線(xiàn)（證垂直或直角）

【模型解讀】證明直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn).

O

ACB

遇到證明某一直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)：

（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線(xiàn)和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線(xiàn)的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證

明該直徑與直線(xiàn)垂直。如圖，已知過(guò)圓上一點(diǎn)C的直線(xiàn)AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線(xiàn)AB是⊙O的

切線(xiàn)．

（2）無(wú)點(diǎn)作垂線(xiàn)：需證明的切線(xiàn)，條件中沒(méi)有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線(xiàn)的定義，過(guò)圓心作該直線(xiàn)

的垂線(xiàn)，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線(xiàn)

AB是⊙O的切線(xiàn)．

例1．（2023年四川省攀枝花市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB為O的直徑，如果圓上的點(diǎn)D恰使ADCB，

求證：直線(xiàn)CD與O相切．

例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，OAOB5，AB8，O的直徑為6．求證：直

線(xiàn)AB是O的切線(xiàn)．

例3．（2023年遼寧省盤(pán)錦市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為O的直徑，延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G，

使得CGCB，連接GB，過(guò)點(diǎn)C作CD∥GB，交AB于點(diǎn)F，交點(diǎn)O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB．交GB

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．(1)求證：DE與O相切．(2)若AC4，BC2，求BE的長(zhǎng)．

例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB為O的直徑，過(guò)點(diǎn)D

作DFBC，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接BD．若EADBDF180．

2

(1)求證：EF為O的切線(xiàn)．(2)若BE10，sinBDC，求O的半徑．

3

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）

當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線(xiàn)）。

利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線(xiàn)是各角的平分線(xiàn)，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。

例1．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為RtABC的

內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）△．△

5

例2．（2023秋·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在ABC中，ABACBC，ADBC于D，O為ABC

3

R

的內(nèi)切圓，設(shè)O的半徑為R，AD的長(zhǎng)為h，則的值為（）

h

3211

A．B．C．D．

8732

例3．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，ABC的內(nèi)切圓I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，

若I的半徑為r，A，則BFCEBC的值和FDE的大小分別為（）

A．2r，90B．0，90C．2r，90D．0，90

22

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，連接OA，OC．若A30，AB23，

BC3，則OC的長(zhǎng)度是（）

A．3B．23C．13D．6

2．（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，如圖，PA、PB分別切O于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為優(yōu)弧AB上

一點(diǎn)，若ACBAPB，則ACB的度數(shù)為（）

A．67.5B．62C．60D．58

3．（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）如圖，已知點(diǎn)A、B、C在O上，C為AB的中點(diǎn)．若BAC35，

則AOB等于（）

A．140B．120C．110D．70

4．（2023年四川省涼山州數(shù)學(xué)中考真題）如圖，在O中，OABC，ADB30，BC23，則OC（）

A．1B．2C．23D．4

5．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB為O的直徑，直線(xiàn)CD與O相切于點(diǎn)C，連接AC，若

ACD50，則BAC的度數(shù)為（）

A．30B．40C．50D．60

6．（2023·廣東·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E，下列說(shuō)法不正確的

是（）

A．若DEDO，則DE是⊙O的切線(xiàn)B．若ABAC，則DE是⊙O的切線(xiàn)

C．若CDDB，則DE是⊙O的切線(xiàn)D．若DE是⊙O的切線(xiàn)，則ABAC

7．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，AB為O的直徑，CD為O的弦，連接AC、AD，

若BAC27°，則ADC的度數(shù)為度．

8．（2023秋·福建福州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，O的弦ABCD，點(diǎn)E為垂足，AE3，BE7，

且ABCD則O的半徑為．

9．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作

O的切線(xiàn)交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，若ADC115，則CBA和P的度數(shù)分別為．

10．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，ABC的內(nèi)切O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，

F，且AD2，ABC的周長(zhǎng)為14，則BC的長(zhǎng)為．

11．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，ABC內(nèi)接于O，CAB30，CBA45，

CDAB于點(diǎn)D，若O的半徑為2，則CD的長(zhǎng)為.

12．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，BD是O的弦，點(diǎn)C在BD上，以BC為邊作等邊

三角形ABC，點(diǎn)A在圓內(nèi)，且AC恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，其中BC12，OA8，則BD的長(zhǎng)為．

13．（2023·江蘇·中考真題）如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)C，D在O上．若DAB66，則ACD

度．

14．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）為了測(cè)量一個(gè)圓形光盤(pán)的半徑，小明把直尺、光盤(pán)和三角尺按圖所示

放置于桌面上，并量出AB4cm，則這張光盤(pán)的半徑是cm．（精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：31．73）

15．（2021·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O的直徑AB＝4，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，Q為AP的

中點(diǎn)，若點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是．

16．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？既＃┤鐖D，在O中，弦ABBC,AB8,BC6，D是BC一點(diǎn)，

BOD60，則劣弧BD的長(zhǎng)為．

17．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，在23的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，D

都在格點(diǎn)上，線(xiàn)段CD與弧AC交于點(diǎn)E