2025年廣東省深圳市南山實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考一模數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題深圳市南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)2024-2025學(xué)初三年級(jí)第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)說(shuō)明：1．答題前，請(qǐng)將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和學(xué)校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫(xiě)在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼好．2．全卷共8頁(yè)，共20題．考試時(shí)間90分鐘，滿(mǎn)分100分．3．作答選擇題時(shí)，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)的信息點(diǎn)框涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題時(shí)，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答案（含作輔助線(xiàn)）寫(xiě)在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在本試卷或草稿紙上，其答案一律無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．第一部分選擇題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1.幾種氣體的液化溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如下表：氣體氦氣（He）氫氣（H）氮?dú)猓∟）氧氣（O）液化溫度（℃）其中液化溫度最低的氣體是（）A.氦氣 B.氫氣 C.氮?dú)?D.氧氣2.在一個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，有一扇形的面積占整個(gè)圓面積的，則這個(gè)扇形的圓心角為（）A. B. C. D.3.河堤橫斷面如圖所示，堤高，迎水坡的坡比為，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.4.如圖，小樹(shù)在路燈照射下形成投影．若這棵樹(shù)高，樹(shù)影，樹(shù)與路燈的水平距離，則路燈的高度為（）A. B. C. D.6m5.深圳書(shū)城灣區(qū)域，高空俯瞰像兩只眼睛，也被稱(chēng)為“灣區(qū)之眼”，是深圳新時(shí)代重大文化設(shè)施之一，預(yù)計(jì)2025年6月啟用．預(yù)計(jì)第一年進(jìn)書(shū)城672萬(wàn)人次，進(jìn)書(shū)城人次逐年增加，第三年進(jìn)書(shū)城1050萬(wàn)人次，若進(jìn)書(shū)城人次的年平均增長(zhǎng)率相同．設(shè)進(jìn)書(shū)城人次的年平均增長(zhǎng)率為，則根據(jù)題意，可列方程是（）A. B.C. D.6.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A.順次連接菱形四邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形B.反比例函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形C.線(xiàn)段的長(zhǎng)度是，點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)且，且D.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根7.如圖，字樹(shù)機(jī)器人小P在三角形地塊上進(jìn)行走路測(cè)試，它從點(diǎn)A出發(fā)沿折線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A后停止．設(shè)小P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為y，圖2是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，其中點(diǎn)F為曲線(xiàn)的最低點(diǎn)，當(dāng)小P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，小P到線(xiàn)段的距離為（）A. B. C. D.8.如圖，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)C，F(xiàn)分別是直線(xiàn)和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)D是線(xiàn)段CF的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)面積取得最小值時(shí)，的值是（）A B. C. D.第二部分非選擇題二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9.已知，，則______．10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問(wèn)為田幾何？”注釋?zhuān)和鹛锸侵干刃涡螤畹奶?，下周是指弧長(zhǎng)，徑是指扇形所在圓的直徑．那么這塊宛田的面積是____平方步．11.一元二次方程的兩個(gè)根分別為．若，則___________．12.如圖，中，，頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖象上，則______°．13.如圖，在菱形中，，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，且，連接，若是直角三角形，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．三、解答題（本大題共7小題，共61分）14.【閱讀理解】已知，求的值．解：由已知可得，則，．①，②．（1）第②步運(yùn)用了______公式；（A．平方差B．完全平方）【類(lèi)比探究】（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題：已知，求值．15.百度推出了“文心一言”AI聊天機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱(chēng)甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱(chēng)乙款）．有關(guān)人員開(kāi)展了對(duì)甲，乙兩款聊天機(jī)器人的使用滿(mǎn)意度評(píng)分測(cè)驗(yàn)，并分別隨機(jī)抽取20份評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（評(píng)分分?jǐn)?shù)用x表示，分為四個(gè)等級(jí)：A：，B：，C：，D：），下面給出了部分信息：甲款評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿(mǎn)意”的數(shù)據(jù)：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中C組包含的所有數(shù)據(jù)：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款評(píng)分統(tǒng)計(jì)表：設(shè)備平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8685.5b乙86a87根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）上述圖表中______，______，______．（2）在此次測(cè)驗(yàn)中，有280人對(duì)甲款進(jìn)行評(píng)分、300人對(duì)乙款進(jìn)行評(píng)分．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，估計(jì)其中對(duì)甲、乙兩款聊天機(jī)器人非常滿(mǎn)意的用戶(hù)總?cè)藬?shù)．（3）DeepSeek（簡(jiǎn)稱(chēng)丙款）推出后引發(fā)廣泛討論．現(xiàn)有甲、乙、丙三款聊天機(jī)器人，小明和小紅各自隨機(jī)選擇其中一款進(jìn)行體驗(yàn)測(cè)評(píng)．請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖法，求兩人都選擇同款聊天機(jī)器人的概率．16.如圖，四邊形中，為對(duì)角線(xiàn)，．（1）證明：四邊形平行四邊形；（2）已知，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，頂點(diǎn)分別在邊上（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）．17.某品牌大米遠(yuǎn)近聞名，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài)，某超市每天購(gòu)進(jìn)一批成本價(jià)為每千克4元的該大米，以不低于成本價(jià)且不超過(guò)每千克7元的價(jià)格銷(xiāo)售．當(dāng)每千克售價(jià)為5元時(shí)，每天售出大米；當(dāng)每千克售價(jià)為6元時(shí)，每天售出大米，通過(guò)分析銷(xiāo)售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷(xiāo)售大米的數(shù)量與每千克售價(jià)（元）滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）超市將該大米每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷(xiāo)售該大米的利潤(rùn)可達(dá)到1800元？（3）當(dāng)每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)為多少？18.如圖，為的直徑，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，是的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，連接交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．19.【項(xiàng)目主題】合理設(shè)計(jì)，實(shí)用便民【項(xiàng)目背景】為了提升交通安全，南山某城市隧道入口進(jìn)行道路設(shè)施規(guī)劃，計(jì)劃安裝車(chē)道指示燈．現(xiàn)需要對(duì)隧道入口隔音屏頂部的裝燈位置進(jìn)行合理設(shè)計(jì)．某數(shù)學(xué)興趣小組成員開(kāi)展了如下探究活動(dòng)：素材1圖1是隧道入口隔音屏，其頂部輪廓可近似的看成拋物線(xiàn)，其截面如圖2所示．以地面為軸，以左側(cè)墻面為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線(xiàn)符合．最高點(diǎn)離地面，照明燈安裝軸右側(cè)的點(diǎn)，距軸．素材2為測(cè)量素材1的點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)度，小組參考《海島算經(jīng)》中的測(cè)量方法，使用兩根標(biāo)桿進(jìn)行測(cè)量，具體測(cè)量方法如圖3所示．經(jīng)測(cè)量，標(biāo)桿（標(biāo)桿垂直于地面），兩桿相距15步，從退行10步到點(diǎn)，從退行15步到點(diǎn)．（共線(xiàn)，共線(xiàn)）素材3為提高通行效率，需在隔音屏頂部加裝燈架，為每個(gè)車(chē)道增設(shè)指示燈．按要求，指示燈需距離地面．如圖2所示，燈架，，均平行于軸，共線(xiàn)，且所在直線(xiàn)平行于軸，，的坐標(biāo)為．為加強(qiáng)穩(wěn)固性，還需在每個(gè)燈架上端加裝兩個(gè)長(zhǎng)度為的支架．記燈架和支架總長(zhǎng)．根據(jù)提供素材，完成下列問(wèn)題：（1）數(shù)學(xué)小組計(jì)算出的長(zhǎng)度，具體如下：解：設(shè)，步，，，______①，又，，，，______②，______③．請(qǐng)補(bǔ)全上述求解過(guò)程中①②③所缺的內(nèi)容：（2）根據(jù)已知條件，求出拋物線(xiàn)的解析式（不需要寫(xiě)出x的取值范圍）．（3）求出素材3中l(wèi)的值，并判斷長(zhǎng)的材料能否完成燈架和支架的安裝．20.定義：三角形一邊上點(diǎn)將該邊分為兩條線(xiàn)段，且這兩條線(xiàn)段的積等于這個(gè)點(diǎn)到該邊所對(duì)頂點(diǎn)連線(xiàn)的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”．如圖1，中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，若，則稱(chēng)點(diǎn)D是中邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”．（1）①在中，，于點(diǎn)D，則點(diǎn)D______（填“是”或“不是”）中邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”；②如圖2，的頂點(diǎn)是網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫(huà)出邊上的一個(gè)“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”點(diǎn)M（AB的中點(diǎn)除外）．（2）如圖3，平行四邊形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，連接交對(duì)角線(xiàn)于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是中邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”．①求證：點(diǎn)F也是中邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”；②連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，若點(diǎn)F是中邊上的“比中項(xiàng)妙點(diǎn)”，且，求的值．深圳市南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)2024-2025學(xué)初三年級(jí)第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)說(shuō)明：1．答題前，請(qǐng)將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和學(xué)校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫(xiě)在答題卡指定的位置上，并將條形碼粘貼好．2．全卷共8頁(yè)，共20題．考試時(shí)間90分鐘，滿(mǎn)分100分．3．作答選擇題時(shí)，選出每題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目答案標(biāo)號(hào)的信息點(diǎn)框涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．作答非選擇題時(shí)，用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將答案（含作輔助線(xiàn)）寫(xiě)在答題卡指定區(qū)域內(nèi)．寫(xiě)在本試卷或草稿紙上，其答案一律無(wú)效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．第一部分選擇題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分，每小題有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的）1.幾種氣體的液化溫度（標(biāo)準(zhǔn)大氣壓）如下表：氣體氦氣（He）氫氣（H）氮?dú)猓∟）氧氣（O）液化溫度（℃）其中液化溫度最低的氣體是（）A.氦氣 B.氫氣 C.氮?dú)?D.氧氣【答案】A【解析】【分析】本題主要考查有理數(shù)比較大小，掌握比較有理數(shù)大小的方法是解決本題的關(guān)鍵．先將液化溫度從低到高排序，然后找出最低溫度即可．【詳解】解：，液化溫度最低的氣體是氦氣．故選A．2.在一個(gè)扇形統(tǒng)計(jì)圖中，有一扇形的面積占整個(gè)圓面積的，則這個(gè)扇形的圓心角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了扇形面積和圓心角的關(guān)系，掌握每部分占整個(gè)部分的分率等于這部分的圓心角占的分率，是解題的關(guān)鍵．扇形面積占整個(gè)圓形的，用乘以進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意，扇形的圓心角為：，故選：D．3.河堤橫斷面如圖所示，堤高，迎水坡的坡比為，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角，熟練掌握坡度的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)坡度的定義列式計(jì)算即可．【詳解】解：堤高，迎水坡的坡比為，，，故選：D．4.如圖，小樹(shù)在路燈照射下形成投影．若這棵樹(shù)高，樹(shù)影，樹(shù)與路燈的水平距離，則路燈的高度為（）A. B. C. D.6m【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先求解，再根據(jù)相似三角形的判定證出，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：，由題意得：，，，，，．故選B．5.深圳書(shū)城灣區(qū)域，高空俯瞰像兩只眼睛，也被稱(chēng)為“灣區(qū)之眼”，是深圳新時(shí)代重大文化設(shè)施之一，預(yù)計(jì)2025年6月啟用．預(yù)計(jì)第一年進(jìn)書(shū)城672萬(wàn)人次，進(jìn)書(shū)城人次逐年增加，第三年進(jìn)書(shū)城1050萬(wàn)人次，若進(jìn)書(shū)城人次的年平均增長(zhǎng)率相同．設(shè)進(jìn)書(shū)城人次的年平均增長(zhǎng)率為，則根據(jù)題意，可列方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程方程的應(yīng)用，理解題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)第一年的人次和第三年的人次，增長(zhǎng)率為，用復(fù)利增長(zhǎng)公式列方程即可．【詳解】解：設(shè)進(jìn)書(shū)城人次的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得：，故選：C．6.下列命題中，錯(cuò)誤的是（）A.順次連接菱形四邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形B.反比例函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形C.線(xiàn)段的長(zhǎng)度是，點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)且，且D.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】C【解析】【分析】本題考查了命題的真假判斷，熟練掌握菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理，反比例函數(shù)圖象，黃金分割的概念，意義二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)和矩形的判定定理，反比例函數(shù)圖象，黃金分割的概念，意義二次方程根的判別式逐項(xiàng)判斷即可，【詳解】解：A．順次連接菱形四邊的中點(diǎn)所得到的四邊形是矩形，該命題正確，故該選項(xiàng)不符合題意；B．反比例函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，該命題正確，故該選項(xiàng)不符合題意；C．線(xiàn)段的長(zhǎng)度是，點(diǎn)是線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)且，則，，該命題錯(cuò)誤，故該選項(xiàng)符合題意；D．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)b，方程的，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，該命題正確，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．7.如圖，字樹(shù)機(jī)器人小P在三角形地塊上進(jìn)行走路測(cè)試，它從點(diǎn)A出發(fā)沿折線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A后停止．設(shè)小P的運(yùn)動(dòng)路程為x，線(xiàn)段的長(zhǎng)度為y，圖2是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，其中點(diǎn)F為曲線(xiàn)的最低點(diǎn)，當(dāng)小P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，小P到線(xiàn)段的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線(xiàn)段最短．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，在圖2中點(diǎn)表示當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小，勾股定理求得．然后等面積法即可求解．【詳解】解：如圖過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，在圖2中點(diǎn)表示當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，最小，由題意得，，，，在中，由勾股定理得，，，．故選：A．8.如圖，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)C，F(xiàn)分別是直線(xiàn)和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，，點(diǎn)D是線(xiàn)段CF的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)面積取得最小值時(shí)，的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，正確得出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題關(guān)鍵．先利用直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓，再根據(jù)圓的性質(zhì)可得當(dāng)與相切，且點(diǎn)位于軸的正半軸上時(shí)，取最小值，然后利用直角三角形的三角函數(shù)即可得出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，則，軸，點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑的圓，，，，面積為，則當(dāng)面積取得最小值時(shí)，應(yīng)最小，由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)與相切，且點(diǎn)位于軸的正半軸上時(shí)，取最小值，，∴，又，，，∴，故選：B．第二部分非選擇題二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）9.已知，，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．先通分再帶入計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為．10.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有宛田，下周三十步，徑十六步，問(wèn)為田幾何？”注釋?zhuān)和鹛锸侵干刃涡螤畹奶?，下周是指弧長(zhǎng)，徑是指扇形所在圓的直徑．那么這塊宛田的面積是____平方步．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形面積計(jì)算公式可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：（平方步）；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積計(jì)算公式，熟練掌握扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．11.一元二次方程的兩個(gè)根分別為．若，則___________．【答案】【解析】【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，得出即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，∴所以．故答案為．12.如圖，中，，頂點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖象上，則______°．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，得到，，證明，得到，得出，得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)分別在反比例函數(shù)與的圖象上，，，，，，，，∴，∴，，故答案為：．13.如圖，在菱形中，，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，且，連接，若是直角三角形，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】或【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，得出是等邊三角形，得到，，求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，可證明，得到，，得到是定值，若是直角三角形，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；即可得到答案．【詳解】解：菱形中，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，，，，，，是定值，若是直角三角形，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，則，；當(dāng)時(shí)，，則，；故答案為：或．三、解答題（本大題共7小題，共61分）14.【閱讀理解】已知，求值．解：由已知可得，則，．①，②．（1）第②步運(yùn)用了______公式；（A．平方差B．完全平方）【類(lèi)比探究】（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問(wèn)題：已知，求的值．【答案】（1）B；（2）【解析】【分析】本題考查了完全平方公式在分式中的應(yīng)用，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性即可．（1）根據(jù)解題步驟即可求解；（2）由題意得，推出，根據(jù)即可求解；【詳解】解：（1）第②步運(yùn)用了完全平方公式，故答案為：B（2）由已知可得，則，∴，即，∵，∴15.百度推出了“文心一言”AI聊天機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱(chēng)甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱(chēng)乙款）．有關(guān)人員開(kāi)展了對(duì)甲，乙兩款聊天機(jī)器人的使用滿(mǎn)意度評(píng)分測(cè)驗(yàn)，并分別隨機(jī)抽取20份評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（評(píng)分分?jǐn)?shù)用x表示，分為四個(gè)等級(jí)：A：，B：，C：，D：），下面給出了部分信息：甲款評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中“滿(mǎn)意”的數(shù)據(jù)：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中C組包含的所有數(shù)據(jù)：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款評(píng)分統(tǒng)計(jì)表：設(shè)備平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲8685.5b乙86a87根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：（1）上述圖表中______，______，______．（2）在此次測(cè)驗(yàn)中，有280人對(duì)甲款進(jìn)行評(píng)分、300人對(duì)乙款進(jìn)行評(píng)分．請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，估計(jì)其中對(duì)甲、乙兩款聊天機(jī)器人非常滿(mǎn)意的用戶(hù)總?cè)藬?shù)．（3）DeepSeek（簡(jiǎn)稱(chēng)丙款）推出后引發(fā)廣泛討論．現(xiàn)有甲、乙、丙三款聊天機(jī)器人，小明和小紅各自隨機(jī)選擇其中一款進(jìn)行體驗(yàn)測(cè)評(píng)．請(qǐng)用列表法或樹(shù)狀圖法，求兩人都選擇同款聊天機(jī)器人的概率．【答案】（1），，（2）（3）【解析】【分析】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖、中位數(shù)、眾數(shù)以及樣本估計(jì)總體等知識(shí)，正確理解中位數(shù)、眾數(shù)的意義，熟練掌握中位數(shù)、眾數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)中位數(shù)的定義可得的值，根據(jù)眾數(shù)的定義可得的值，用1分別減去其他三個(gè)等級(jí)所占百分比可得的值；（2）由A、B兩款的非常滿(mǎn)意的人數(shù)之和即可得出答案；（3）用列表法或樹(shù)狀圖法求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)乙款扇形統(tǒng)計(jì)圖可得，A組B組共有人，第十個(gè)和第十一個(gè)評(píng)分分別為86、87，所以中位數(shù)．根據(jù)眾數(shù)的定義可得，，．【小問(wèn)2詳解】解：甲款評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)中“非常滿(mǎn)意”的人數(shù)占比，對(duì)甲、乙兩款聊天機(jī)器人非常滿(mǎn)意的用戶(hù)總?cè)藬?shù)．【小問(wèn)3詳解】解：列表如下：小紅小明甲乙丙甲甲、甲甲、乙甲、丙乙乙、甲乙、乙乙、丙丙丙、甲丙、乙丙、丙兩人都選擇同款聊天機(jī)器人的概率．16.如圖，四邊形中，為對(duì)角線(xiàn)，．（1）證明：四邊形是平行四邊形；（2）已知，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作菱形，頂點(diǎn)分別在邊上（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）作圖見(jiàn)詳解【解析】【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，菱形的判定，熟練的利用菱形的判定進(jìn)行作圖是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)四邊形兩組對(duì)角分別相等，四邊形是平行四邊形，證明即可；（2）根據(jù)“對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形”，做的垂直平分線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，即可畫(huà)出菱形．【小問(wèn)1詳解】解：∵四邊形中，，∴四邊形是平行四邊形．【小問(wèn)2詳解】解：如圖，做的垂直平分線(xiàn)，分別交于點(diǎn)，四邊形就是所求作的菱形．17.某品牌大米遠(yuǎn)近聞名，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài)，某超市每天購(gòu)進(jìn)一批成本價(jià)為每千克4元的該大米，以不低于成本價(jià)且不超過(guò)每千克7元的價(jià)格銷(xiāo)售．當(dāng)每千克售價(jià)為5元時(shí)，每天售出大米；當(dāng)每千克售價(jià)為6元時(shí)，每天售出大米，通過(guò)分析銷(xiāo)售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷(xiāo)售大米的數(shù)量與每千克售價(jià)（元）滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）超市將該大米每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天銷(xiāo)售該大米的利潤(rùn)可達(dá)到1800元？（3）當(dāng)每千克售價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)為多少？【答案】（1）（2）6元（3）當(dāng)每千克售價(jià)定為7元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)為2550元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為，將代入，求出k和b的值，即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，列出方程求解即可；（3）設(shè)利潤(rùn)為w，根據(jù)總利潤(rùn)=每千克利潤(rùn)×銷(xiāo)售量，列出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．【小問(wèn)1詳解】解∶根據(jù)題意可得，該函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，將代入得：，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為，【小問(wèn)2詳解】解；根據(jù)題意可得：，∴，整理得：，解得：，∵售價(jià)不低于成本價(jià)且不超過(guò)每千克7元，∴每千克售價(jià)定為6元時(shí)，利潤(rùn)可達(dá)到1800元；【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)利潤(rùn)為w，，∵，函數(shù)開(kāi)口向下，∴當(dāng)時(shí)，w隨x的增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，此時(shí)，∴當(dāng)每千克售價(jià)定為7元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)為2550元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟，正確理解題意，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出方程和函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．18.如圖，為的直徑，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，是的切線(xiàn)，為切點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，連接交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．（1）連接，由切線(xiàn)的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)得，根據(jù)得，由等腰三角形角平分線(xiàn)性質(zhì)得；（2）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到，設(shè)，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，由切線(xiàn)的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)得，根據(jù)得，即，，，，由等腰三角形角平分線(xiàn)性質(zhì)得；【小問(wèn)2詳解】解：，，，，設(shè)，，，，，，，，，．19.【項(xiàng)目主題】合理設(shè)計(jì)，實(shí)用便民【項(xiàng)目背景】為了提升交通安全，南山某城市隧道入口進(jìn)行道路設(shè)施規(guī)劃，計(jì)劃安裝車(chē)道指示燈．現(xiàn)需要對(duì)隧道入口隔音屏頂部的裝燈位置進(jìn)行合理設(shè)計(jì)．某數(shù)學(xué)興趣小組成員開(kāi)展了如下探究活動(dòng)：素材1圖1是隧道入口隔音屏，其頂部輪廓可近似的看成拋物線(xiàn)，其截面如圖2所示．以地面為軸，以左側(cè)墻面為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線(xiàn)符合．最高點(diǎn)離地面，照明燈安裝軸右側(cè)的點(diǎn)，距軸．素材2為測(cè)量素材1的點(diǎn)到地面的距離的長(zhǎng)度，小組參考《海島算經(jīng)》中的測(cè)量方法，使用兩根標(biāo)桿進(jìn)行測(cè)量，具體測(cè)量方法如圖3所示．經(jīng)測(cè)量，標(biāo)桿（標(biāo)桿垂直于地面），兩桿相距15步，從退行10步到點(diǎn)，從退行15步到點(diǎn)．（共線(xiàn)，共線(xiàn)）素材3為提高通行效率，需在隔音屏頂部加裝燈架，為每個(gè)車(chē)道增設(shè)指示燈．按要求，指示燈需距離地面．如圖2所示，燈架，，均平行于軸，共線(xiàn)，且所在直線(xiàn)平行于軸，，的坐標(biāo)為．為加強(qiáng)穩(wěn)固性，還需在每個(gè)燈架上端加裝兩個(gè)長(zhǎng)度為的支架．記燈架和支架總長(zhǎng)．根據(jù)提供素材，完成下列問(wèn)題：（1）數(shù)學(xué)小組計(jì)算出的長(zhǎng)度，具體如下：解：設(shè)，步，，，______①，又，，，，______②，______③．請(qǐng)補(bǔ)全上述求解過(guò)程中①②③所缺的內(nèi)容：（2）根據(jù)已知條件，求出拋物線(xiàn)的解析式（不需要寫(xiě)出x的取值范圍）．（3）求出素材3中l(wèi)的值，并判斷長(zhǎng)的材料能否完成燈架和支架的安裝．【答案】（1）①，②，③；（2）（3），長(zhǎng)的材料能完成燈架和支架的安裝【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到答案；（2）根