江蘇省鎮(zhèn)江市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析）

鎮(zhèn)江市2024～2025學(xué)年度第二學(xué)期高二期中質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.對于考試成績的統(tǒng)計(jì)，若小明的成績處在第95百分位數(shù)上，則以下說法正確的是（）A.小明得了95分B.小明答對了95%的試題C.95%的參加考試者得到了和小明一樣的考分或還要低的分?jǐn)?shù)D.小明排名在第95名【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：第95百分位數(shù)是指把數(shù)據(jù)從小到大排序，至少有95%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，至少有5%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值，故選：C．2.（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義和排列數(shù)公式判斷即可.【詳解】，故選：B.3.若函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可求得.【詳解】因?yàn)?，則.故選：C.4.樣本中共有5個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3.若該樣本的平均數(shù)為1，則樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的運(yùn)算公式求解.【詳解】因?yàn)闃颖綼,0,1,2,3的平均數(shù)為1，則，解得a＝－1，則樣本的方差，故標(biāo)準(zhǔn)差.故選：D.5.在4名男學(xué)生和2名女學(xué)生中選3名學(xué)生參加社會實(shí)踐活動(dòng)，其中至少要有一位女學(xué)生，則不同的選法種數(shù)為（）A16 B.20 C.24 D.28【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件利用組合知識并借助排除法即可作答.【詳解】在4名男學(xué)生和2名女學(xué)生中選3名學(xué)生參加社會實(shí)踐活動(dòng)，共有種選法，其中，選取的3名學(xué)生都是男學(xué)生，有種選法，所以，至少要有一位女學(xué)生的選法有種.故選：A.6.已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，不等式對任意的恒成立，結(jié)合參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，不等式對任意的恒成立，即，當(dāng)時(shí)，，所以，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.7.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】寫出展開式通項(xiàng)，對比所求項(xiàng)的指數(shù)，求出參數(shù)值，代入通項(xiàng)即可得解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，所以的展開式通項(xiàng)為，由可得，因此，展開式中的系數(shù)為.故選：D.8.過原點(diǎn)的直線與曲線都相切，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)式斜率公式列式，即可求解.【詳解】由得，由得，設(shè)過原點(diǎn)的直線分別與曲線相切于點(diǎn)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，且，故，所以直線的斜率為，所以，所以，所以，即，代入得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列有關(guān)線性回歸分析的問題中，正確的是（）A.回歸直線至少經(jīng)過點(diǎn)、、、、中的一個(gè)點(diǎn)B.若線性回歸方程為，則當(dāng)變量增加個(gè)單位時(shí)，平均增加個(gè)單位C.兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于D.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是【答案】BD【解析】【分析】利用回歸直線相關(guān)知識可判斷ABD選項(xiàng)；利用線性相關(guān)系數(shù)可判斷C選項(xiàng).詳解】對于A選項(xiàng)，回歸直線不一定經(jīng)過樣本點(diǎn)，但一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若線性回歸方程為，則當(dāng)變量增加個(gè)單位時(shí)，平均增加個(gè)單位，B對；對于C選項(xiàng)，兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于或，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量、，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則，解得，D對.故選：BD.10.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)C.方程有三個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)，可判斷A選項(xiàng)；解方程可判斷B選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷C選項(xiàng)；直接驗(yàn)證，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，由可得或，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，A對；對于B選項(xiàng)，由得或，所以，只有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，函數(shù)的極大值為，極小值為，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以，若方程有三個(gè)不同解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，C對；對于D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，，則，D對.故選：ACD.11.現(xiàn)有本不同的書，下列說法正確的有（）A.如果平均分成堆，則共有種分法B.如果分給甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，則共有種不同分法C.如果任意分給甲、乙、丙三人，則共有種不同分法D.如果分給甲、乙、丙三人，且甲分得的書比乙多，則共有種分法【答案】ABD【解析】【分析】利用平均分組原理可判斷A選項(xiàng)；利用組合計(jì)數(shù)原理可判斷B選項(xiàng)；利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可判斷C選項(xiàng)；考慮在所有的分法中除去甲乙兩人分得書本的數(shù)量相同的情況，剩余的為甲乙兩人分得書的數(shù)量不相同，且甲分得的書比乙多和乙分得的書比甲多的分法種數(shù)相等，結(jié)合間接法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，將本不同的書平均分成堆，則不同的分法種數(shù)為種，A對；對于B選項(xiàng)，將本不同的書分給甲、乙、丙三人，且甲得本、乙得本、丙得本，則不同的分法種數(shù)為種，B對；對于C選項(xiàng)，將本不同書任意分給甲、乙、丙三人，則每本書有種不同的選擇，所以，不同的分法種數(shù)為種，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，將本不同的書任意分給甲、乙、丙三人，共有種，在所有的分法中除去甲乙兩人分得書本的數(shù)量相同的情況，剩余的為甲乙兩人分得書的數(shù)量不相同，且甲分得的書比乙多和乙分得的書比甲多的分法種數(shù)相等，若甲乙分得書的數(shù)量相等，則甲乙丙三人分得書的數(shù)量可以為、、、，所以，甲乙分得書的數(shù)量相等的分法種數(shù)為，因此，甲分得的書比乙多的分法種數(shù)為種，D對.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知二次函數(shù)從1到的平均變化率為，請寫出滿足條件的一個(gè)______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】利用平均變化率的定義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，令，解得.所以可以取任意實(shí)數(shù)，不妨取，則從1到的平均變化率為.故答案為：（答案不唯一）.13.的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為______.（用數(shù)字作答）【答案】180【解析】【分析】先求二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，再由乘法法則求出的展開式中含的項(xiàng)即可得解.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，含的項(xiàng)的系數(shù)為；當(dāng)時(shí)，含x的項(xiàng)的系數(shù)為，的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：180.14.如圖，已知海島到海岸公路的距離為，、間的距離為．從到，先乘船到海岸公路處，再乘汽車從處到處，已知船速為，車速為，則從到所需的最少時(shí)間為______h.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，則，求出、的長，設(shè)從到所需時(shí)間為，求出的解析式，利用導(dǎo)數(shù)法可求出的最小值.【詳解】設(shè)，其中，根據(jù)題意，，，，則，，設(shè)從到所需時(shí)間為，則，其中，則，由可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的最值．【答案】（1）（2）最大值為，無最小值【解析】【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出函數(shù)的最大值和最小值.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，，，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.【小問2詳解】由可得，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故的最大值為，函數(shù)無最小值.16.某學(xué)校食堂給學(xué)生配餐，準(zhǔn)備了5種不同的葷菜和種不同的素菜．（1）當(dāng)時(shí)，若每份學(xué)生餐有1葷3素，共有多少種不同配餐供學(xué)生選擇？（2）若每位學(xué)生可以任選2葷2素，要保證至少有100種不同的選擇，求的最小值．【答案】（1）20；（2）5.【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出不同的選擇方法種數(shù)；（2）利用組合數(shù)結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得出每位學(xué)生的不同選擇方法種數(shù)，結(jié)合題意可得出關(guān)于的不等式，由此可求得正整數(shù)的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，學(xué)校共有5種不同的葷菜和4種不同的素菜，若每份學(xué)生餐有1葷3素，不同的選擇方法有種.【小問2詳解】從5種不同的葷菜和種不同的素菜中，任選2葷2素，不同的選擇方法有種，根據(jù)題意，令，即，即，因?yàn)?，所以解?所以的最小值為5.17.某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)有獎(jiǎng)競賽，對考試成績優(yōu)秀（成績不小于分）的學(xué)生進(jìn)行了獎(jiǎng)勵(lì)．學(xué)校為了掌握考試情況，隨機(jī)抽取了部分考試成績，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖．已知第一小組的頻數(shù)為．（1）求的值和樣本容量；（2）用每個(gè)區(qū)間的組中值作為相應(yīng)學(xué)生的成績，估計(jì)所有參賽學(xué)生的平均成績；（3）假設(shè)在抽取的樣本中，男生比女生多人，且女生的獲獎(jiǎng)率為，問：能否有的把握認(rèn)為獲獎(jiǎng)與性別有關(guān)？附：．【答案】（1），樣本容量為（2）分（3）沒有，理由見解析【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值，利用樣本容量、頻數(shù)與頻率之間的關(guān)系可求出樣本容量；（2）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加，可得出所有參賽學(xué)生的平均成績；（3）列出列聯(lián)表，計(jì)算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【小問1詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為，則，解得，因?yàn)榈谝恍〗M的頻數(shù)為，則樣本容量為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知，所有參賽學(xué)生的平均成績?yōu)榉?【小問3詳解】提出零假設(shè)獲獎(jiǎng)與性別無關(guān)，由題意可知，抽取的樣本中，男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為，且女生的獲獎(jiǎng)人數(shù)為人，成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為人，則男生獲獎(jiǎng)人數(shù)為人，可得出如下列聯(lián)表：獲獎(jiǎng)不獲獎(jiǎng)合計(jì)男生女生合計(jì)所以，，所以，沒有的把握認(rèn)為獲獎(jiǎng)與性別有關(guān).18.設(shè).（1）求；（2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；（3）若，求.【答案】（1）（2）20，21，22（3）【解析】【分析】（1）利用賦值法，令，，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理可得，根據(jù)題意列式求解即可；（3）整理可得，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算求解.【小問1詳解】由，令，可得；令，可得；所以.【小問2詳解】由題意知的展開式的通項(xiàng)為，，所以，.因?yàn)槭侵形ㄒ坏淖畲笾?，可得，即，解得，所以的所有可能取值?0，21，22.【小問3詳解】由題意可得：，所以，，則.因?yàn)?，所?19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值．（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】（1）極大值為，無極小值（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求出函數(shù)的極大值和極小值；（2）對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，可得出函數(shù)