山東省濟(jì)南市歷城第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月模塊檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁歷城一中高63級(jí)模塊檢測(cè)試試題2025.03.31數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為的導(dǎo)數(shù)，且，則（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義變形即可.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，，所以.故選：B2.若二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是,則實(shí)數(shù)的值為（）A.-2 B.2 C.-4 D.4【答案】C【解析】【分析】分別求出和展開式中項(xiàng)的系數(shù)，即可求出的值.【詳解】，的展開式的通項(xiàng)公式為，，所以展開式中項(xiàng)的系數(shù)是，展開式中項(xiàng)的系數(shù)是，所以，解得，故選：C.3.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：∵函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，∴對(duì)任意的a＜x1＜x2＜b，有也即在a,x1,x2,b處它們的斜率是依次增大的．∴A滿足上述條件，對(duì)于B存在使，對(duì)于C對(duì)任意的a＜x1＜x2＜b，都有，對(duì)于D對(duì)任意的x∈[a，b]，不滿足逐漸遞增的條件，故選A．考點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系.4.用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【詳解】對(duì)于①②③，兩兩相鄰，依次用不同顏色涂，共有種涂色方法，對(duì)于④，與②③相鄰，但與①相隔，此時(shí)可用剩下的一種顏色或者與①同色，共2種涂色方法，則由分步乘法計(jì)數(shù)原理得種不同的涂色方法.故選:C5.若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切點(diǎn)到直線的距離即為所求最小距離．【詳解】直線的斜率，函數(shù)定義域?yàn)?，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)，由，令，解得或（舍去），，此時(shí)，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，所以曲線上點(diǎn)到直線的最小距離，為點(diǎn)到直線的距離.故選：C.6.若函數(shù)在區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理列式計(jì)算.【詳解】由已知得，明顯為單調(diào)遞增函數(shù)，若函數(shù)在上有極值點(diǎn)，則且，解得.即.故選：C.7.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示．下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A.B.第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等C.記第n行的第i個(gè)數(shù)為，則D.第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為【答案】C【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用組合數(shù)性質(zhì)即可求解；選項(xiàng)B、D，利用楊輝三角中數(shù)的排列規(guī)律即可判斷；選項(xiàng)C，先用楊輝三角確定，再結(jié)合二項(xiàng)式定理可得.【詳解】對(duì)A，由可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，第2023行有2024項(xiàng)，中間兩項(xiàng)最大，即和，也就是第2023行中第1012個(gè)數(shù)和第1013個(gè)數(shù)相等，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C，第n行的第i個(gè)數(shù)為，所以，故C正確；對(duì)D，第30行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為，故D錯(cuò)誤．故選：C．8.定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且恒成立，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小即可.【詳解】因時(shí)，，所以可化為，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上的單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以gπ6所以fπ6cos對(duì)于A：因?yàn)閒π6>對(duì)于B：因?yàn)?fπ6對(duì)于C：成立；對(duì)于D：2f故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.20件產(chǎn)品中有18件合格品，2件次品，從這20件產(chǎn)品中任意抽取3件，則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法表述正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】直接法：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品有兩種可能：恰有1件次品和恰有2件次品，運(yùn)即可算求解；間接法：法一：20件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法減去沒有次品（全為合格品）的抽法；法二：先抽取1件次品，再從剩余的19件中任取2件，減去重復(fù)一次的情況（2個(gè)次品）.【詳解】直接法：抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品有如下可能：抽出的3件產(chǎn)品中恰有1件次品的抽法；抽出的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的抽法；故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為，A錯(cuò)誤，B正確；間接法：法一：這20件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法為，抽出的3件產(chǎn)品中沒有次品（全為合格品）的抽法為，故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為，C正確；法二：先抽取1件次品，再從剩余的19件中任取2件，抽法為，但2個(gè)次品的情況重復(fù)一次，抽出2個(gè)次品的抽法為，故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為，D正確；故選：BCD.10.已知，則（）A.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1B.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1011項(xiàng)C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，令可得；對(duì)B，根據(jù)展開式有2023項(xiàng)可得；對(duì)C，令求得，再令即可求得；對(duì)D，對(duì)展開式兩邊分別求導(dǎo)再將代入可得.【詳解】在展開式中，令可得：，故A選項(xiàng)正確．展開式有2023項(xiàng)，所以第1012項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤．展開式中，令可得：，再令，得所以可得，故C選項(xiàng)正確．對(duì)展開式兩邊分別求導(dǎo)得：，再令可得，故D選項(xiàng)正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)（為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（

）A.時(shí)，恒成立B.時(shí)，無極值C.若有3個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為D.時(shí)，有唯一零點(diǎn)且【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，時(shí)，二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，顯然，時(shí)，參變分離，記，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值得到的范圍為，C正確；D選項(xiàng)，二次求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的，滿足.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，令，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，令，令，則，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增，無極值，故B正確；對(duì)于C，令，當(dāng)時(shí)，顯然，故不是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，記，則，令得或，令得，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，且當(dāng)和時(shí)，，故有3個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為，C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，令，則，令，則，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增，則此時(shí)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，又，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的，滿足，選項(xiàng)D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的最小值為________．【答案】6【解析】【分析】求導(dǎo)函數(shù)，令恒成立，變量分離轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最大值.【詳解】，，可得，令，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故答案為:6【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：變量分離，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進(jìn)而求又一函數(shù)的最值.13.中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除法有較深的研究，設(shè)、、為整數(shù)，若和被除得余數(shù)相同，則稱和對(duì)模同余，記為，若，，則的值可以是：_______①，②，③，④；（填寫序號(hào)）【答案】①【解析】【分析】化簡(jiǎn)，利用二項(xiàng)展開式求出除的余數(shù)，結(jié)合題中的定義判斷即可得解.【詳解】因?yàn)椋膫€(gè)選項(xiàng)中，只有時(shí)，除以余數(shù)是．故答案為：①.14.已知函數(shù)，，若關(guān)于的不等式有解，則的最小值是__________.【答案】##【解析】【分析】參變分離可得有解，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.【詳解】由得，顯然，所以有解，令，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，則，即的最小值是.

故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是參變分離得到有解，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在的展開式中，（1）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若第項(xiàng)是有理項(xiàng)，求的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二項(xiàng)式定理求出通項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，求解即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即可求解.【小問1詳解】，，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，即第5項(xiàng)，所以.【小問2詳解】，，當(dāng)為整數(shù)時(shí)為有理項(xiàng)，即，即第項(xiàng)有理項(xiàng)，則的取值集合為.16.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求在區(qū)間上的最值．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．極小值為,無極大值；（2）最小值為,最大值為2．【解析】【分析】（1）求導(dǎo),得到,令得,或（舍去）,將定義域分成幾段考慮導(dǎo)數(shù)正負(fù),得出單調(diào)區(qū)間,由單調(diào)性,得到函數(shù)的極值.（2）與（1）方法相同(只是定義域發(fā)生改變),求出極值后再與端點(diǎn)值比較即可得到最值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?．令得,或（舍去）,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．函數(shù)的極小值為,無極大值．【小問2詳解】由（1）知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,,,又因?yàn)?所以函數(shù)在區(qū)間的最小值為,最大值為2．17.設(shè)函數(shù)，且．（1）若的圖象與相切，求的值；（2）在（1）的條件下，若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)是，分析可得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組，解得即可；（2）依題意方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，則，設(shè)函數(shù)與直線相切的切點(diǎn)是，因?yàn)?，所以，所以有，可得，又，相減得，所以，所以，解得或（舍去）；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈膱D象與有三個(gè)公共點(diǎn)，即方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，解得或；當(dāng)時(shí)，解得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，因?yàn)榕c有三個(gè)交點(diǎn)，所以，即的取值范圍為．18.已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)的圖象上是否存在兩點(diǎn)（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請(qǐng)求出直線；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出直線的斜率，再求出，從而得到的等式，再進(jìn)行換元和求導(dǎo)，即可解出答案.【小問1詳解】由題可得因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題意得，斜率，,由得，，即，即令，不妨設(shè)，則，記所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以方程無解，則滿足條件的兩點(diǎn)不存在.19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)m取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）（2）；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）只需分別求出的值即可求解；（2）構(gòu)造函數(shù)，原題