2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)九年級（下）質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）含答案

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市萊蕪區(qū)九年級（下）質(zhì)檢

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.2024年全國普通高校畢業(yè)生規(guī)模預(yù)計(jì)達(dá)到1179萬人，將1179萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.1.179X107B.1.179x108C.1.179x103D.1179x104

2.下列命題正確的是（）

A.方差越小則數(shù)據(jù)波動(dòng)越大B.等邊三角形是中心對稱圖形

C.對角線相等的四邊形是矩形D.正多邊形的外角和為360。

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.3a2—a—2aB.(a+1)2=a2+b2

C.a^b24-a2=aD.(a2b)2=a4b2

23

C.|a|>\b\D.a—b<0

6.小剛同學(xué)一周的跳繩訓(xùn)練成績（單位：次/分鐘）如下：156,158,158,160,162,165,169,這組數(shù)據(jù)

的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.160,162B.158,162C.160,160D.158,160

。（2,乃）都在反比例函數(shù)y=5（kK0）的圖象上，貝仇，y）乃

7.已知點(diǎn)4（—3,月）,8(—2,3),C(-l,y2),2

的大小關(guān)系為（）

為

A.y2<yi<B.y3<yi<yiC.y2<y3<71D.yi<y3<y-i

第1頁，共19頁

8.如圖，在矩形2BCD中，AB=6,AD=8,P是4D上不與4和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足為E,F,貝UPE+PF的值為()

A.菅12B.24C.5D.仔28

9.如圖，在口4BCD中，AB=2,AD=3,乙ABC=60°,在和上

分別截取4EG4E<AB),AF,使AE=AF,分別以E,F為圓心，以大

于的長為半徑作弧，兩弧在NZMB內(nèi)交于點(diǎn)G,作射線4G交BC于點(diǎn)H,

連接DH,分別以。，H為圓心，以大于夕)”的長為半徑作弧，兩弧相交

于點(diǎn)M和N,作直線MN交CD于點(diǎn)K,貝UCK的長為（）

3231

A-B-C.7D-

455Z

10.如圖1,在RtA/lBC中，AABC=90°,BC=4,動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)4開始沿邊以每秒0.5個(gè)單位長度的速度

運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B開始沿BC邊以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，

連接。凡尸為中點(diǎn)，連接力F，CF,設(shè)時(shí)間為t(s),DE?為y,y關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示，則下列說法

正確的是()

①當(dāng)t=1時(shí)，DE=2.5；@AB=2；

③DE有最小值，最小值為2；④4F+CF有最小值，最小值為仔.

A.①②③B.①③④

即圖2

B.C.②③D.②④

二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。

11.在平面直角坐標(biāo)系中有五個(gè)點(diǎn),分別是力(1,3),8(—1,3),C(-l,-3),0(4,3),

￡(3,-5),從中任選一個(gè)點(diǎn)，選到的這個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限的概率是

D

12.如圖，紙片的邊緣4B,CD互相平行，將紙片沿EF折疊，使得點(diǎn)B,。分別

__

A

落在點(diǎn)8',。處.若N1=80。，貝比2的度數(shù)是B

13.在Rtz\4BC中，2LACB=90°,AB=6,AABC的周長為14,則邊上的

高為,

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14.小明周六從家出發(fā)沿一條路勻速步行去圖書館查閱資料，資料查閱完畢后沿原路勻速返回，速度與來

時(shí)相同，途中遇到同學(xué)小亮，交談一段時(shí)間后以相同速度繼續(xù)行進(jìn)，直至返回家中，如圖是小明離家距離

與時(shí)間久（無）的關(guān)系，則小明與小亮交談的時(shí)間為h..

15.如圖，在矩形紙片48CD中，AB=4,AD=6,E為4。中點(diǎn)，F(xiàn)為邊CD上

一點(diǎn)，連接EF,將ADEF沿EF翻折，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為D',G為邊BC上一點(diǎn)，連

接AG,將△力BG沿4G翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好也為￡>',則8G=.

三、計(jì)算題：本大題共1小題，共7分。

16.計(jì)算：（-1）201。x（|）-3+（s譏58。苫）。+|A/3-4COS60°|

四、解答題：本題共9小題，共83分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.（本小題7分）

'2%—1<3%

解不等式組：口_0；0,，并把它的解集在如圖所示的數(shù)軸上表示出來.

23~

-3-2-I012345

18.（本小題7分）

如圖，在口4BCD中，點(diǎn)E,F分別是AD,BC上的點(diǎn)，且DE=BF,連結(jié)BE,DF,求證：BE=DF.

19.（本小題8分）

根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

第3頁，共19頁

探究車牌識別系統(tǒng)的識別角度

某小區(qū)為解決“停車難”這個(gè)問題，改造

一樓地面

一個(gè)地下停車庫.圖1是該地下停車庫坡道

出入口的側(cè)面示意圖.地下停車庫高

素材1〃〃乙4C

車庫地面

BC=4.5mBC1AC,出入口斜坡28長

（圖1）

20.5m.

圖2是地下停車力葷門口安裝的車牌識別設(shè)備，攝像頭。點(diǎn)位于B點(diǎn)正上方=1.5m,D,B,C三

點(diǎn)共線.攝像頭在斜坡上的有效識別區(qū)域?yàn)镋B,車輛進(jìn)入識別區(qū)域無需停留，閘門3秒即會(huì)自動(dòng)打

開，車輛通文t后，閘門才會(huì)自動(dòng)關(guān)閉,（參考數(shù)據(jù)s譏53。=0.8,cos53°?0.6,tan53°

素材2

/D一樓?地面

______________1產(chǎn)

）［）））人IC

0:車庫地面

（圖2）（圖3）

素材3汽車從地下車庫駛出，在斜坡上保持勻速行駛，車庫限速

任務(wù)一確定斜坡坡比：如圖1,求筆的值.

問題解判斷車輛是否順利通過：如圖3,當(dāng)NEDB=53。時(shí)，

決任務(wù)二請判斷此時(shí)車輛以最高限速行駛到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，閘門是否

已經(jīng)打開，請通過計(jì)算說明.

20.（本小題8分）

如圖，在。。中，4B是直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，AC=9,BC=3,點(diǎn)E在4B上，AE=2BE,連接CE并

延長交。。于點(diǎn)D，連接AD,AF1CD,垂足為F.

⑴求證：△ADF^AABC；

（2）求OF的長.

21.（本小題9分）

為了增強(qiáng)青少年的法律意識，呵護(hù)未成年人健康成長，某學(xué)校展開了法律知識競賽活動(dòng)，并從七、八年級

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分別隨機(jī)抽取了40名參賽學(xué)生，對他們的成績進(jìn)行了整理、描述和分析.

①抽取七、八年級參賽學(xué)生的成績統(tǒng)計(jì)圖如圖(不完整)：

七年級參賽學(xué)生成績扇形統(tǒng)計(jì)圖

說明：A：0<x<60；B：60<x<70；C：70<x<85；

②抽取八年級參賽學(xué)生的成績等級為“C”的分?jǐn)?shù)為：70,71,71,72,73,74,75,76,77,77,

78,80,81,82,84.

③抽取七、八年級參賽學(xué)生成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如表:

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

七73.57484

八73.5—85

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

(2)八年級這40名學(xué)生成績的中位數(shù)是；

(3)在這次競賽中，小明和小亮均得了75分，但小明的成績在其所在年級排名更靠前，可知小明是(

填“七”或“八”)年級的學(xué)生；

(4)該校七年級有720名學(xué)生，八年級有800名學(xué)生，若該校決定對于競賽成績不低于85分的學(xué)生授予“法

治先鋒”稱號，則請估計(jì)七、八年級獲得“法治先鋒”稱號的學(xué)生共有多少人？

22.(本小題10分)

某超市銷售4B兩種品牌的牛奶，購買3箱2種品牌的牛奶和2箱8種品牌的牛奶共需285元；購買2箱4種

品牌的牛奶和5箱B種品牌的牛奶共需410元.

(1)求4種品牌的牛奶，8種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是多少元？

(2)若某公司購買4B兩種品牌的牛奶共20箱，且4種品牌牛奶的數(shù)量至少比B種品牌牛奶的數(shù)量多6箱，

又不超過B種品牌牛奶的3倍，購買4B兩種品牌的牛奶各多少箱才能使總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用為多少

元？

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23.(本小題10分)

如圖，直線y=|久與雙曲線y=/左40)交于4B兩點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(加,-3),點(diǎn)C是雙曲線第一象限分

支上的一點(diǎn)，連接BC并延長交x軸于點(diǎn)。，且BC=2CD.

(1)求k的值并寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)線段EF=1在x軸上運(yùn)動(dòng)，且尸點(diǎn)在右側(cè)，求四邊形BEFC周長的最小時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,Q,使得四邊形4BPQ是矩形？若存在，請直接寫

出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

備用圖

24.(本小題12分)

閱讀材料并完成問題.

材料：直線y=依+b(kK0)上任意兩點(diǎn)外如及)，力冷，線段MN的中點(diǎn)P(

比3,乃)，P點(diǎn)坐標(biāo)及上可用公式：右=紅/，乃="產(chǎn)；人=修計(jì)算.例如：直線

Z.乙-^1人Z

y=2x+1上兩點(diǎn)N(3,7),則啊=?=2,乃=妥=5,即線段MN的中點(diǎn)

P(2,5),k=1^=2.

已知拋物線y=mx2-2mx-3(m>0),根據(jù)以上材料解答下列問題：

(1)若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)4(3,0),求小的值；

(2)在(1)的條件下，B,C為該拋物線上兩點(diǎn)，線段BC的中點(diǎn)為D,若點(diǎn)。(2,1),求直線BC的表達(dá)式；

以下是解決問題的一種思路，僅供大家參考：

設(shè)直線BC的表達(dá)式為：y=kx+b,B(xB,y^),C(xc,yc),則有功=血形-2瓶%一3①，yc=mxc-2mxc

—3②.①—②得：yB-yc=2m(xB—xc)=m(xB—xc)(xB+xc)—2m(xB-xc),兩邊同除以(久l

xc)>得工:=k=m%+久c)-2ni...；

(3)該拋物線上兩點(diǎn)E,F,直線EF的表達(dá)式為：y=(5"—2)根久+n(n>0).

I.請說明線段EF的中點(diǎn)在一條定直線上；

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口.將I中的定直線八繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線G,當(dāng)l<x<3時(shí)，該拋物線與6只有一個(gè)交點(diǎn)，求

小的取值范圍.

備用圖

25.（本小題12分）

在Rt△力中，乙4cB=90°,乙ABC=60°.

(1)如圖1,在AACE中，^CAE=120°,AE=2AC,F是2E中點(diǎn)，連接BF.若BC=1,求線段BF的長;

(2)如圖2,在△BCD中，Z.BDC=120°,BD=2CD,F是AB中點(diǎn)，連接DF,求器的值;

(3)如圖3,在ACDE中，/.CDE=120°,DE=2CD,E是48中點(diǎn)，尸是4E中點(diǎn)，連接BD,DF,求需的

值.

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參考答案

I.A

2.0

3.D

4.A

5.D

6.D

7.B

8.B

9.C

10.D

H-

-5

12.50°

13.1

14.0.4

15.6-2-^/5

16.解：原式=1x8+1+.一4x/|=8+1+2-避=n一和

(2x—l<3%①

17.解"曰_曰二②,

23

解不等式①得：x>-1,

解不等式②得：x<4,

??不等式組的解集為：-1<xw%

在數(shù)軸上表示為：

-3-2-1o12345

18.證明：?.?四邊形/8C。為平行四邊形，

:?DE//BF.又DE=BF,

四邊形8EDF為平行四邊形，

BE=DF.

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19.解：任務(wù)一：vBC=4.5m,BC1AC,AB=20.5m,

AC—y/AB2-BC2—20m,

.BC_4.5_9

"7c--20--40；

任務(wù)二：閘門沒有打開，理由如下:

如圖，過點(diǎn)E作EF1于F,

D一樓地面

；B/"/

???設(shè)E/7=4%m,貝!JDF=3xm,

???EF1BC,BC1AC,

??.EF//AC,

BEFs△BAC,

.BF_BC_9

??而一就一而

9

.?.BF=—EF=0.9%m,

40

BD=DF-BF=2.1%m=1.5m,

解得X=|.

BE=yjEF2+BF2=^/(4x)2+(0.9x)2=4.1%=4.1X12.93(m),

車輛以最高限速行駛到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間為：蕓7=2.1秒，

5—0.0

???2.1<3,

???閘門沒有打開.

20.(1)證明：???是直徑，

AAACB=90°,VAF1CD,

???^AFD=2LACB=90。，

???Z-ADF=由

ADFs△ABC；

(2)解：如圖，過點(diǎn)C作C”1AB于點(diǎn)H.

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??.AC=9,BC=3,乙ACB=90°,

??.AB=yjBC2+AC2=P+92=3回,

???AE=2BE,

??.BE=①，AE=2聞，

AC-BC

回

???CH_9

10'

=y/BC2-CH2=心一心"）］=嚕^

???BH

???EH=BE-BH=Z^,

10

22

??.EC=yJCH+EH=祥）2+（窄）2;g，

???乙CHE=/.AFE=90°,^AEF=^CEH,

???△AFE^△CHE,

AF_AE

"07-EC，

.Ap_2回X嚅_18月

71313，

???△ADFs△ABC,

DF_BC_1

~AF~~AC~3f

DF=^JH.

13

(2)將八年級學(xué)生成績按從低到高順序排列，結(jié)合條形統(tǒng)計(jì)圖和八年級C等級分?jǐn)?shù)情況可知，第20位和第21

位分別為75,76,

第10頁，共19頁

因此八年級這40名學(xué)生成績的中位數(shù)是歿&=75.5,

故答案為:75.5；

(3)七年級的中位數(shù)為74,八年級的中位數(shù)為75.5,

因此同樣是7(5分)的情況下，在七年級的排名更靠前，可知小明是七年級的學(xué)生，

故答案為：七；

(4)720X20%+802X上=144+240=384(A),

40

答：估計(jì)七、八年級獲得“法治先鋒”稱號的學(xué)生共有384人.

22.解：(1)設(shè)4種品牌的牛奶每箱價(jià)格是a元，B種品牌的牛奶每箱價(jià)格是b元.

根據(jù)題意，得崗：器：噩

解噓需.

答：力種品牌的牛奶每箱價(jià)格是55元，B種品牌的牛奶每箱價(jià)格是60元.

(2)設(shè)購買4品牌的牛奶x箱，則購買B品牌的牛奶(20-%)箱.

根據(jù)題意,得｛屋器廢6，

解得13Wx<15,

設(shè)總費(fèi)用為勿元，則W=55久+60(20-%)=-5x4-1200,

-5<0,

勿隨x的增大而減小，

1?113<%<15,

???當(dāng)x=15時(shí)，W值最小，”最小=—5x15+1200=1125,20—15=5(箱).

答：購買力品牌的牛奶15箱、B品牌的牛奶5箱才能使總費(fèi)用最少，最少總費(fèi)用為1125元.

23.解：(1)直線y=|x與雙曲線y=1(k40)交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)4(皿一3),

—Q3=-3m

2,

k7=—3m

解得：｛屋「，

二點(diǎn)力(一2,-3),反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=p

?.?直線y=|x與雙曲線y=5都關(guān)于原點(diǎn)。對稱，

???點(diǎn)48關(guān)于原點(diǎn)。對稱，

第11頁，共19頁

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3)；

(2)過點(diǎn)B作8”1%軸于點(diǎn)”，過點(diǎn)C作CK1%軸于點(diǎn)K,如圖1所示:

??.BH=3,

???BC=2CD,

BD=3CD,

vBH1%軸,CK1%軸，

BH//CK,

???△BCKs"BH,

.CK_CD

.CK_CD

??可-3CD'

??.CK=1,

???點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1,

對于y=p當(dāng)y=1時(shí)，x=6,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,1),

???BC=,(2—6)2+(3—1)2=2^/5,

當(dāng)線段EF=1在久軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BEFC的周長為：BC+EF+BE+CF,

??.當(dāng)BE+CF為最小時(shí)，四邊形的周長為最小，

作點(diǎn)3關(guān)于久軸對稱點(diǎn)P,過點(diǎn)P作尸Q〃無軸，且尸Q=1(點(diǎn)Q在點(diǎn)P的右側(cè))，連接PE,QF,QC,如圖2所

示：

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???線段EF在汽上移動(dòng)，且EF=L

??.PQ//EF,PQ=EF=1,

???四邊形AEFQ是平行四邊形，

PE=QF=BE,

BE+CF=QF+CF,

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：QF+CF<QC,

.??點(diǎn)Q,F,C在同一條直線上時(shí)，QF+CF為最小，即BE+CF為最小，如圖3所示:

?.?點(diǎn)B(2,3),點(diǎn)B與點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱,

.-?點(diǎn)P(2,—3),

???AQ=1,

?-?點(diǎn)Q(3,—3),

設(shè)直線CQ的表達(dá)式為：y=kx+b,

將點(diǎn)C(6,l),點(diǎn)Q(3,—3)代入y=kx+6,

4S[6fc+b=1

何：[3k+b=-3，

解得：G(k=-

???直線QC的表達(dá)式為：y=2%-7,

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對于y=裊-7,當(dāng)y=0時(shí)，％=斗，

J4

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為目,0),

q

OCFL=2,1

4

???EF=1,

??.OE=OF-EF=21牛-117=2

44

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(學(xué),0)；

(3)存在，理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)P在久軸上上時(shí)，過點(diǎn)B作BM1x軸于點(diǎn)M,如圖4所示:

???點(diǎn)B(2,3),

OM=2,BM=3,

在Rt△OBM中，由勾股定理得：OB=[OM2+BM2=槨,

???四邊形A8PQ是矩形，

AOMB=乙OBP=90°,

又?：BOM=KPOB,

OBMs△OPB,

.OB_OM

.屆一工

?,布一回

???OP=13芋

點(diǎn)P的坐標(biāo)為保0)；

第14頁，共19頁

②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí)，過點(diǎn)P作PB1y軸于點(diǎn)M如圖5所示:

BN=2,ON=3,

同理可證明：&OBNs&OPB,0B=713,

OB_ON

~OP~~OBf

■-OP=y,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,第.

綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3。)，(0,竽).

24解：(1)把點(diǎn)/坐標(biāo)代入拋物線y=血％2_2根%一3得：9m-6m-3=0,解得m=l.

(2)當(dāng)m=l時(shí)，拋物線解析式為：y=%2—2%-3.

由于點(diǎn)。是線段BC中點(diǎn)，根據(jù)材料可知：歿迎=2,生產(chǎn)=1.

B、C兩點(diǎn)在拋物線上，貝!JJ/R=培―2次一3,yc—x^—2x(j—3.

兩式相減得：yB~yc=第一好一2物+2%C=(XB—XC)(XB4~第「2).

yB-yc'I”、

高心=(%B+XC-2)=2.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,由材料可得k=2,則y=2x+b.

把點(diǎn)D坐標(biāo)代入得：1=2x2+匕，b=-3.

故直線BC的表達(dá)式為y=2%-3.

(3)I.根據(jù)(2)題干思路，對于直線EF,k=(572-2)m,b=n.

則k=m[xE+%F)—2m.

結(jié)合直線EF和拋物線解析式可得：mx2-2mx-3=(5^/2-2)mx+n,

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整理得：mx2—5y/2mx—3—n=0,

由根與系數(shù)的關(guān)系得：孫=5#，

則EF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：迎產(chǎn)=空，

乙2

EF中點(diǎn)在定直線x=乎上.

口.如圖，直線%的與坐標(biāo)軸相交于48兩點(diǎn)，過原點(diǎn)。作L的垂線，點(diǎn)。為垂足，拋物線交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)

G,其對稱軸與x軸、直線G分別交于。、H.

對于拋物線y=mx2—2mx—3,對稱軸為％=--1.

當(dāng)?shù)?0時(shí)，y=—3,則拋物線過點(diǎn)G(0,—3).

直線X=竽繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到直線6，OC=￥，AOBC=45°,

：.△BCO為等腰直角三角形，BD=y[2OC=5.

故直線12相當(dāng)于直線y=X向右平移了5個(gè)單位長度，直線%的解析式為y=x-5.

令租工2-2血%—3=%-5,整理得：mx2—(2m+l)x+2=0,

A=(2m+l)2—4x2m=(2m—l)2,令4=0,m=-1.

此時(shí)X=_一(2M：D=2,y=2—5=—3,所以拋物線與L相切于點(diǎn)F(2,—3).

根據(jù)拋物線的對稱性，y=6/_2曜一3過定點(diǎn)6(0,-3)和尸(2,-3).

當(dāng)拋物線從與直線％相切位置之后，到其頂點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)H時(shí)，在這個(gè)過程拋物線與G都有兩個(gè)交點(diǎn)；拋物線

頂點(diǎn)低于點(diǎn)“后，在l<x<3范圍內(nèi)拋物線只與直線％有一個(gè)交點(diǎn)工

拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為：mx(l)2-2mx1-3=m-3.

點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為：y”=l-5=-4.

m-3<—4,即?？i<—1.

綜上可知，TH的取值范圍為租<-1或m=|-.

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25.解：(1)如圖1中，Rt△ABC中，/-ACB=90°,^ABC=60°,BC=1,

ABAC