2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：等腰三角形與直角三角形（28題）（解析版）

專題19等腰三角形與直角三角形（28題）

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在ABC中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊3C的中點(diǎn)，點(diǎn)E,F

分別在邊A3,AC上，AE=CF,則四邊形AEDF的面積為（）

A.18B.90C.9D.6A/2

【答案】C

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是

解題關(guān)鍵.連接A。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及AE=CF得出VADEACD廣，將四邊形AEER的

面積轉(zhuǎn)化為三角形ADC的面積再進(jìn)行求解.

【詳解】解：連接AD,如圖:

VABAC=9Q°,AB=AC=6,點(diǎn)。是中點(diǎn)，AE=CF

：.ZBAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC

：.NADE^CDF,

,?S四邊形的。-=S4AED+S^ADF-S&CFD+^^ADF=^AADC=萬>^AABC

又：Ge=6x6xg=18

S四邊形AEDF=JSABC=9

故選：C

2.（2024?青海?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，。是AC的中點(diǎn)，ZBZ）C=60°,AC=6,則BC的長是

)

4

A.3B.6C.GD.3百

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到即C等邊三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：,??在RtAABC中，ZABC=90°,。是AC的中點(diǎn)，

/.BD=-AC=CD,

2

NBDC=60。,

.3DC等邊三角形，

BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故選：A.

3.（2024.四川廣元.中考真題）如圖，將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到VADE,點(diǎn)8,C的對應(yīng)點(diǎn)分別

為點(diǎn)，E,連接CE,點(diǎn)。恰好落在線段CE上，若CZ）=3,BC=\,則4）的長為（）

【答案】A

【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得AC=AE,

NC4E=90。，OE=3C=1,推出/XACE是等腰直角三角形，CE=4,過點(diǎn)A作AHLCE于點(diǎn)氏得到HD=1,

利用勾股定理求出的長.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得△ABC/ZC4E=90°,

AAC=AE,NC4E=90°,DE=BC=1,

”（無是等腰直角三角形，CE=CD+OE=3+1=4,

過點(diǎn)4作4”，怎于點(diǎn)"，

???HD=HE-DE=2-1=1,

22

???AD=ylAH^HD=A/22+12=45，

故選：A.

4.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在扇形A03中，NAO3=80。，半徑。4=3,C是.上一點(diǎn)，連

接OC,D是OC上一點(diǎn)，且OD=OC,連接30.若3DJ_0C,則AC的長為（）

D.兀

【答案】B

【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接8C,根據(jù)0D=DC,

BD1OC,易證△03C是等腰三角形，再根據(jù)OB=OC,推出△C?C是等邊三角形，得到N30c=60。，

即可求出ZAOC=20。，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可.

【詳解】解：連接3C,

0D=DC,BDLOC,

OB=BC,

△03C是等腰三角形,

OB=OC,

OB=OC=BC,

△03C是等邊三角形,

NBOC=60°,

ZAOB=8Q°,

，ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

QA=3,

71

….A…C=-20-x-37-1=—,

1803

故選：B.

5.(2024?黑龍江牡丹江?中考真題)小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABC。，AD=12cm,CD=10cm,他進(jìn)

行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使AD與BC重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△42N沿AN折疊得到△AZXV,AD交折痕于點(diǎn)E,則線段EN

圖1

【答案】B

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出=進(jìn)而得出E4=4V,設(shè)E4=AN=nm,貝U

EM=(12-x)cm,根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,列出方程求解即可.

【詳解】解：：四邊形A3CD是矩形，

AB=CD=l0cm,

由折疊可得：AM=-AB=5cm,AD=AD'=12cm,MN1AB,ZDAN=ZD'AN,

2

四邊形4WND是矩形，

MNAD,MN=AD=12cm,

：.ZDAN=ZANM,

：.ZANM=ZIyAN,

：.EA=EN,

設(shè)E4=￡2V=xcm,貝!JEM=(12-x)cm,

在RtzMME中，根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2=AE2,

即52+(12-x)2=x2,

169

解得:x=----

24

即EN=?cm,

24

故選：B.

6.（2024?福建?中考真題）小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中OAB

與，ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線/對稱，點(diǎn)E,尸分別是底邊。的中點(diǎn)，OELOF.下

列推斷錯(cuò)誤的是（）

A.OBVODB.NBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；

A.由對稱的性質(zhì)得NAO3=NDOC,由等腰三角形的性質(zhì)得NBOE=gNAOB,NDOF=；NDOC,即可

判斷;

B./BOC不一定等于ZAOB,即可判斷；

C.由對稱的性質(zhì)得OAB空ODC,由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；

D.過。作GM_L,可得ZGOD=ZBOH,由對稱性質(zhì)得NBOH=ZCOH同理可證ZAOM=ZBOH,

即可判斷；

掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.OELOF,

.-.ZBOE+ZBOF=90°,

由對稱得ZAOB=ZDOC,

點(diǎn)、E,尸分別是底邊AB,C。的中點(diǎn)，。鉆與一。DC都是等腰三角形,

NBOE=-ZAOB,ZDOF=-NDOC,

22

ZBOF+ZDOF=90°,

:.OBLOD,結(jié)論正確，故不符合題意；

B.480C不一定等于NAOB,結(jié)論錯(cuò)誤，故符合題意;

C.由對稱得OAB^ODC,

?.?點(diǎn)E,尸分別是底邊AB,CD的中點(diǎn)，

：.OE=OF,結(jié)論正確，故不符合題意；

過。作

:./GOD+NDOH=90。,

ZBOH+ZDOH=90°,

/GOD=/BOH,由對稱得/BOH=ZCOH,

:.Z.GOD=Z.COH,

同理可證ZAOM=/BOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180。，結(jié)論正確，故不符合題意；

故選：B.

7.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程犬-101+21=0的兩個(gè)根，則這個(gè)三角形

的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得%=3,

々=7,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進(jìn)而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由方程x2-10x+21=0得，%=3,x2=l,

V3+3<7,

等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

.??這個(gè)三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

8.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）如圖，在..ABC中，ZC=90°,ZB=30°,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為

半徑畫弧分別交AB,AC于點(diǎn)M和點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于

點(diǎn)尸，連接AP并延長交BC于點(diǎn)。.若，ACD的面積為8,則的面積是（）

【答案】B

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含30。的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，由作圖知AD平

分NBAD,則可求NC4D=/ZMB=30。，利用含30。的直角三角形的性質(zhì)得出C￡>=；AD,利用等角對

等邊得出4￡?=8￡>,進(jìn)而得出C￡>=gB￡>,然后利用面積公式即可求解.

【詳解】解:VZC=90°,=30°,

ZC4B=60°,

由作圖知：平分—BA。，

:.ZCAD=ZDAB=3G°,

：.CD=^ADfZB=ZBAD,

:.AD=BD,

：.CD=-BD,

2

Q—CD,AC八八［

...SACD=2=CD=1

SABD-BDACBD2

2

又,AC。的面積為8,

Z\ABD的面積是2*8=16,

故選B.

9.（2024?安徽?中考真題）如圖，在Rt/VIBC中，AC=3C=2,點(diǎn)。在48的延長線上，S.CD=AB,則

A.曬_6B.V6-V2c.2V2-2D.2.X/2-A/6

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點(diǎn)。作。ELCB的延長

線于點(diǎn)E,則/阻＞=90。，由NACB=90。，AC=BC=2,可得A3=2近，NA=NASC=45。，進(jìn)而得

至1」8=2a,ZDBE=45°,即得ABDE為等腰直角三角形，得到=設(shè)DE=BE=x,由勾股定理

得（2+x『+/=（2應(yīng)?，求出x即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)。作DELCB的延長線于點(diǎn)E,則/8即=90。，

VZACB=90°,AC=BC=2,

AB=V22+22=272,ZA=ZABC=45°,

CD=272,ZDBE=45°,

?*.△BDE為等腰直角三角形，

/.DE=BE,

設(shè)DE=BE=x,貝！］CE=2+x,

在RtACDE中，CE2+DE2=CD2,

?*.（2+X）2+X2=（2A/2）2,

解得占=岔-1,x2=-^-1（舍去），

/.DE=BE=^f3-l,

BD=^（^-1）2+（V3-1）2=76-72,

故選：B.

10.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，等邊.ABC鋼架的立柱CDLAB于點(diǎn)。，AB長12m.現(xiàn)將鋼架立

柱縮短成DE,/BED=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-12V3）mB.（24—8』）mC.（24一6⑹mD.（24-4⑹m

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用.利用三角函數(shù)的定義分別求得DE=2G，

BE=A6=AE,CD=60利J用新鋼架減少用鋼=AC+BC+CD—AE-鹿一。石，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可求

解.

【詳解】解：：等邊一ABC，CD_LAB于點(diǎn)，48長12m,

AD=BD=—AB=6m,

2

'：NBED=60°,

：.tan60°=—=73,

DE

：-DE=2A/3,

BE=ylDE2+BD2=4A/3=AE，

,?ZCBD=60°,

/.CD=BD-tanZCBD=出BD=6石m,BC=AC=AB=12m,

新鋼架減少用鋼=4。+3。+8-隹一3￡-￡>￡'

=24+6V3-8A/3-2A/3=（24-4V3）m,

故選：D.

11.（2024?天津?中考真題）如圖，ABC中，48=30,將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到DEC,點(diǎn)、A,B

的對應(yīng)點(diǎn)分別為，E,延長W交DE于點(diǎn)尸，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得NBCE=NACD=60。，結(jié)合NB=30,即可得證胡，CE,再根

據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)證明兩直線平行，來分析AC〃小不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運(yùn)算或線段的運(yùn)算

得出A和C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的.

【詳解】解：記跖與CE相交于一點(diǎn)女，如圖所示:

,/ABC中，將，ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到DEC,

ZBCE=ZACD=6O°

"：ZB=30°

...在BHC中,ZBHC=180°-ZBCE-ZB=90°

BF±CE

故D選項(xiàng)是正確的，符合題意；

設(shè)NACW=x。

ZACB=6O°-x°,

"：ZB=30°

ZEDC=ABAC=180°-30°-（60。-x。）=90°+x°

ZEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°

,?x。不一定等于30。

/EDC+NACD不一定等于180。

AC〃上不一定成立，

故B選項(xiàng)不正確，不符合題意；

VZACS=60°-x°,NAC?=60。，x°不一定等于0。

NACB=NACD不一定成立，

故A選項(xiàng)不正確，不符合題意；

,/將ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得至％DEC,

：.AB=ED=EF+FD

：.BA>EF

故C選項(xiàng)不正確，不符合題意；

故選：D

二、填空題

12.（2024?浙江?中考真題）如圖，D,E分別是..ABC邊AB,AC的中點(diǎn)，連接BE,DE.若

ZAED=NBEC,DE=2,則BE的長為

【答案】4

【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出/C=ZAED=/BEC,得出BE=BC=4

【詳解】解：：。，E分別是工ABC邊A3,AC的中點(diǎn)，

OE是,ABC的中位線，

/.DE//BC,BC=2DE=4,

ZAED=ZC,

'：ZAED=NBEC,

：.ZC=NBEC,

：.BE=BC=4,

故答案為：4

13.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知A（3,0）,B（0,2）,過點(diǎn)8作＞軸的

垂線/,P為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO,PA,則尸O+P4的最小值為.

【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì).先取點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)A,

連AO交直線/于點(diǎn)C,連AC,得到AC=A'C,A'Arl,再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短,

得到當(dāng)O,P,A三點(diǎn)共線時(shí)，PO+R4的最小值為AO,再利用勾股定理求AO即可.

【詳解】解：取點(diǎn)A關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)A,連AO交直線/于點(diǎn)C,連AC,

則可知AC=HC,AN_L/,

PO+PA^PO+PA>AO,

即當(dāng)O,P,A三點(diǎn)共線時(shí)，PO+P4的最小值為A0,

,直線/垂直于y軸，

AAJ_x軸，

VA(3,0),3(0,2),

AO=3,A4'=4,

...在RtAAO中，

AO=A/0L42+A4,2=V32+42=5，

故答案為：5

14.(2024?天津.中考真題)如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,F,G均在格點(diǎn)上.

(2)點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上，過點(diǎn)A,E,尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分別與AE,"的

延長線相交于點(diǎn)B,C,ABC中，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)N在邊45上，點(diǎn)尸在邊AC上.請用不刻摩的直

尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M,N,P,使&WNP的周長最短，并簡要說明點(diǎn)M,N,尸的位置

是如何找到的(不要求證明).

【答案】72圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點(diǎn)“關(guān)于A3、AC的對稱點(diǎn)M］、M2,連接MM】、MtM2,分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、P,

△WP的周長等于的長，等腰三角形的腰長為AM,當(dāng)AM的值最小時(shí)，陷加2的值最小,

此時(shí)M是切點(diǎn)，由此作圖即可.

【詳解】（1）由勾股定理可知，AG=VFIF=魚，

故答案為：及

（2）如圖，根據(jù)題意，切點(diǎn)為M；連接ME并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)A11；取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)。和格

點(diǎn)H,連接DH并延長，與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)加2；連接加1加2,分別與AB,AC相交于點(diǎn)N,P,則點(diǎn)

15.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，等腰ASC中，AB=AC=2,ABAC=120°,將ABC沿其底邊中

線AD向下平移，使A的對應(yīng)點(diǎn)A滿足44'=gar）,則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

【分析】本題考查平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三線合一,根據(jù)平移的性質(zhì)，推出AEFsA'B'C,

根據(jù)對應(yīng)邊上的中線比等于相似比，求出所的長，三線合一求出AD的長，利用面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：,??等腰.ABC中，AB=AC=2,/A4c=120。，

ZABC=30°,

A￡＞為中線，

AADIBC,BD=CD,

AD=；AB=1,BD=6AD=下）,

BC=2/,

:將ABC沿其底邊中線AD向下平移，

B'C//BC,B'C=BC=2y/3,A'G=AD=1,

AEFsA'B'C,

.EFA'D

'B'C~A;G'

：AA'=-AD,

3

222

?.DA,=-AD=-A,G=-

333

.EFA'D_2

*BfC~A^G~3f

故答案為：述.

16.（2024.黑龍江牡丹江.中考真題）矩形ABCD的面積是90,對角線AC,3。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是3C邊的

三等分點(diǎn)，連接OE,點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，OP=3,連接CP,則PC+PE的值為.

【答案】13或J而

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理.當(dāng)CE>BE時(shí)，利用三角形中位線定理

求得CE=12,再求得矩形的邊長,利用勾股定理求得DE的長,再根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)即可求解;當(dāng)CE<BE

時(shí)，同理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，

-----------------

:矩形ABC。，

二點(diǎn)。是8D的中點(diǎn)，

;點(diǎn)P是。E的中點(diǎn)，

ABE=2OP=6fCP=PE=PD,

??,點(diǎn)E是5C邊的三等分點(diǎn)，

CE=2BE=12,BC=3BE=18,

:矩形A8CD的面積是90,

BCxCD=90,

：.CD=5,

?■?DE=V52+122=13>

PC+PE=DE=13；

?.,矩形ABC。，

???點(diǎn)。是80的中點(diǎn)，

:點(diǎn)尸是DE的中點(diǎn)，

:.BE=2OP=6,CP=PE=PD,

丁點(diǎn)E是BC邊的三等分點(diǎn)，

：.CE」BE=3,3c=3+6=9,

2

?矩形ABC。的面積是90,

BCxCD=90,

：.CD=10,

,,DE=+1()2=>/109,

/?PC+PE=DE=

故答案為：13或Vi而.

17.（2024?山東?中考真題）如圖，已知NM4N,以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別與A"、AN

相交于點(diǎn)8,C；分別以8,C為圓心，以大于;BC的長為半徑作弧，兩弧在/M4N內(nèi)部相交于點(diǎn)尸，

作射線AP.分別以A,8為圓心，以大于gAB的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)。，E,作直線。E分別

與AB,AP相交于點(diǎn)P，Q.若AB=4,NPQE=675°,則尸到AN的距離為.

M

【答案】V2

【分析】如圖，過尸作切_LAC于H,證明NA4尸=NC4P,DEJ.AB,AF=BF=-AB=2,再證明

2

NE4H=45。，再結(jié)合勾股定理可得答案.

【詳解】解：如圖，過/作fW_LAC于H,

由作圖可得：ZBAP=ZCAP,DEJ.AB,AF=BF=-AB=2,

2

,/ZPQE=67.5°,

ZAQF=67.5°,

ZBAP=ZCAP=90°-67.5°=22.5°,

：.NE4H=45°,

/.AH=FH=—AF=j2,

2

尸到AN的距離為應(yīng)；

故答案為：72

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：基本作圖，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，等腰三

角形的判定，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)，逐步操作.

18.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）已知矩形紙片ABCD,AB=5,BC=4,點(diǎn)尸在邊BC上，連接AP,

將尸沿AP所在的直線折疊，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)為5,，把紙片展平，連接班'，CB',當(dāng)V3C3'為直角三角

形時(shí)，線段CP的長為.

【答案】彳或2

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分兩種情況進(jìn)

行討論：當(dāng)/3CB'=90。時(shí)，當(dāng)/班'C=90。，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：：四邊形A3CD為矩形，

：./BCD=NADC=/ABC=NBAD=90。,AB=CD=5,AD=BC=4,

當(dāng)/3CB'=90。時(shí)，如圖所示：

/BCD=90。,

.?.點(diǎn)"在CD上，

根據(jù)折疊可知：AB'=AB=5,BP=B'P,

設(shè)CP=尤，貝U3P=3'P=4—x,

""DB'=>/AB'2—AD2=J5。-4。=3,

CB'=DC—DB'=5-3=2,

在RtCB'P中，根據(jù)勾股定理得：B'P-=B'C2+CP2,

即（4一力2=22+/,

解得：尤=：3,

3

即CP=，

2

當(dāng)/83'C=90。，如圖所示：

?*./PBP=ZPB'B,

ZPBB'+NBCB'=90°,ZPB'B+NPB'C=90°,

NBCB'=ZCB'P,

/.PC=PB',

：.PC=PB,

'：BC=BP+PC=4,

：.CP=2；

3

綜上分析可知：CP=］或2.

3

故答案為：1或2,

19.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在ABC中，ZABC=60°,BC=8,E是8c邊上一點(diǎn)，且3E=2,

點(diǎn)/是ABC的內(nèi)心，以的延長線交AC于點(diǎn)。，P是BD上一動(dòng)點(diǎn),連接尸E、PC,則PE+PC的最小

值為.

【答案】2而

【分析】在A3取點(diǎn)孔使BF=BE=2,連接PR,CF,過點(diǎn)F作EF/，3c于H,利用三角形內(nèi)心的定

義可得出ZABD=NCBD,利用SAS證明BFP”BEP,得出尸尸=尸_￡,則尸E+PC=尸產(chǎn)+PCNC尸，當(dāng)C、

P、廠三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最小，最小值為CF,利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出3”,利用勾股定

理求出戶H,C尸即可.

【詳解】解：在A8取點(diǎn)E使BF=BE=2,連接P/，CF,過點(diǎn)尸作加，3c于H,

是，ABC的內(nèi)心，

?*.BI平分/ABC,

：.ZABD=ZCBD,

又BP=BP,

：.BF2—BEP（SAS）,

/.PF=PE,

：.PE+PC=PF+PC>CF,

當(dāng)C、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PC最小,最小值為CF,

"?FHIBC,ZABC=60°,

???NBFH=30。,

：,BH=LBF=1,

2

：?FH7BF-BH。=5CH=BC-BH=J,

?*-CF=ylCH2+FH2=2A/13，

PE+PC的最小值為2而\

故答案為：2萬.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，全等三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等

知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造全等三角形和含30。的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

20.（2024?四川廣元中考真題）如圖，在，ASC中，AB=5,tanZC=2,則AC+^^BC的最大值為

5

Z--------------

【答案】5應(yīng)

【分析】過點(diǎn)8作3DLAC,垂足為O,如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到AC+正8C=AC+OC,延

5

長。C到E,使EC=CD=x,連接BE,如圖所示，從而確定AC+且BC=AC+OC=AC+CE=AE,

5

NE=45。,再由輔助圓-定弦定角模型得到點(diǎn)E在二。上運(yùn)動(dòng)，AE是，。的弦，求AC+且BC的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即AE是直徑時(shí)，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【詳解】解：過點(diǎn)8作BDLAC,垂足為。，如圖所示:

由勾股定理可得BC=0,

DCx即@5C=0C,

BC非x55

AC+"

AC+DC,

延長。。到E,使EC=CD=x,連接班，如圖所示:

AC+—BC=AC+DC=AC+CE=AE,

5

BDVDE,DE=2x=BD,

.二BDE是等腰直角三角形，則NE=45。，

在中，AB=5,NE=45°,由輔助圓-定弦定角模型，作“ABE的外接圓，如圖所示:

由圓周角定理可知，點(diǎn)E在一。上運(yùn)動(dòng)，AE是。的弦，求AC+或BC的

"J_______

最大值就是求弦AE的最大值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦AE過圓心。，即AE是直徑時(shí)，弦最大，如圖所

/1￡是＜。的直徑,

ZABE=90°,

NE=45。,

匹是等腰直角三角形，

AB=5,

BE=AB=5,則由勾股定理可得AE=+=50，即AC+半3c的最大值為50，

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、

圓周角定理、動(dòng)點(diǎn)最值問題-定弦定角模型等知識，熟練掌握動(dòng)點(diǎn)最值問題-定弦定角模型的解法是解決問

題的關(guān)鍵.

三、解答題

21.（2024?陜西?中考真題）如圖，已知直線/和/外一點(diǎn)A,請用尺規(guī)作圖法，求作一個(gè)等腰直角ABC,

使得頂點(diǎn)B和頂點(diǎn)C都在直線/上.（作出符合題意的一個(gè)等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作

法）

A

【答案】見解析

【分析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖.過點(diǎn)A作垂足為B,再在直線/上截取

點(diǎn)C,使3C=AB,連接AC,則ABC是所求作的等腰直角三角形.

【詳解】解：等腰直角ABC如圖所示：

22.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）數(shù)學(xué)老師在課堂上給出了一個(gè)問題，讓同學(xué)們探究.在中,

ZACB=9Q°,ABAC=30°,點(diǎn)。在直線5c上，將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,過點(diǎn)E作

EF//BC,交直線AB于點(diǎn)足

（1）當(dāng)點(diǎn)。在線段3C上時(shí)，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問題：某同學(xué)在思考這道題時(shí)，想利用AD=AE構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在上截取=

連接DM,通過證明兩個(gè)三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題：

（2）當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長線上時(shí)，如圖②：當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長線上時(shí)，如圖③，請判斷并直接

寫出線段3D,EF,AB之間的數(shù)量關(guān)系;

拓展思考：

(3)在(1)(2)的條件下，若AC=6g,CD=2BD,則斯=.

【答案】(1)見解析；⑵圖②：AB=BD-EF,圖③：AB=EF-BD；(3)10或18

【分析】(1)在邊上截取A"=,連接DM,根據(jù)題意證明出DAM%AEF(SAS)，得至UAF=DM,

然后證明出aWD是等邊三角形，得到==進(jìn)而求解即可；

(2)圖②:在8￡>上取點(diǎn)H,使BH=AB,連接AH并延長到點(diǎn)G使AG=AF,連接DG,首先證明出^ABH

是等邊三角形，得到/54H=60。，然后求出的H=然后證明出FAE^GAD(SAS),得到

EF=DG,ZAFE=ZG,然后證明出是等邊三角形，得到D〃=OG=EF,進(jìn)而求解即可；

圖③：在EF上取點(diǎn)H使AH=AF,同理證明出EAH^ADB(AAS),得到5￡>=AH,AB=EH,進(jìn)而

求解即可；

(3)根據(jù)勾股定理和含30。角直角三角形的性質(zhì)求出BC=6,AB=12,然后結(jié)合CD=23D,分別(1)

(2)的條件下求出3D的長度，進(jìn)而求解即可.

【詳解】(1)證明：在A5邊上截取AM=EF,連接DM.

在Rt^ABC中，ZB=90°-ABAC=90°-30°=60°.

EFBC,

ZEFB=ZB=60°.

又，ZEAD=60°,

:.ZEFB=ZEAD.

又?ZBAD=ZEAD-ZEAF,ZAEF=ZEFB-ZEAF,

:.ZBAD=ZAEF.

又-AD=AE,AM=EF,

DAM^AEF(SAS).

:.AF=DM.

ZAMD=ZEFA=180°-ZEFB=180°-60°=120°.

ZBMD=180°-ZAMD=180°-120°=60°.

ZB=60°,

:.ZBMD=ZB=ZBDM.

：.3MD是等邊三角形.

:.BD=BM=DM,

AB=AM+BM,

AB=EF+BD;

(2)圖②：當(dāng)點(diǎn)。在線段3C的延長線上時(shí)，AB=BD-EF,證明如下：

如圖所示，在5。上取點(diǎn)“，使BH=AB,連接AH并延長到點(diǎn)G使AG=AF,連接OG,

*,*_ABH是等邊三角形，

：.ZBAH=6Q0,

???線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,

：.ZDAE=60°,AE=AD,

；?ZBAH=NDAE,

AZBAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,ZBAE=ZHAD,

又「AG=AFf

：.FAE^GW(SAS),

:?EF=DG,ZAFE=ZG,

BD//EF,

：.ZABC=ZF=ZG=60°,

?：ZDHG=ZAHB=6Q。,

???△DHG是等邊三角形，

：.DH=DG=EF,

:.AB=BH=BD-DH=BD-EF；

圖③：當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長線上時(shí)，AB=EF-BD,證明如下：

如圖所示，在石尸上取點(diǎn)H使AH=AF,

EF//BC,

：.ZF=ZABC=60°,

9：AH=AF,

???△AHF是等邊三角形，

：.ZAHF=ZHAF=6Q0,

：.ZAHE=120°,

??,將線段AO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段A石,

AAD=AE,ZDAE=60°f

???/DAB+ZEAH=180°-ZEAD-ZHAF=60°,

ZD+ZDAB=ZABC=60°,

；?ZD;NEAH,

/DBA=180?！猌ABC=120。=ZEHA,

又???=

AEAH^AADB（AAS）,

:?BD=AH,AB=EH,

?:AH=FH,

BD=HF,

：.AB=EH=EF-FH=EF-BD；

（3）如圖所示，

；?AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

.?.（2BC）2=BC2+（6A/3）2,

???BC=6,

：.AB=2BC=12,

VCD=2BD,BC=BD+CD,

：.CD=-BC=2

3f

由（1）可知，BD+EF=AB,

???EF=AB-BD=12-2=10；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長線上時(shí),

VCD<BD,與CD=2BD矛盾,

，不符合題意；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)。在線段CB的延長線上時(shí),

VCD=2BD=BD+BC,BC=6,

：.BD=BC=6,

由(2)可知，AB=EF-BD,

'：AB=2BC=12,

：.EF=AB+BD=12+6=1S.

綜上所述，所=10或18.

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，含30。角直角三角

形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn).

23.(2024?江西?中考真題)追本溯源：

題(1)來自于課本中的習(xí)題，請你完成解答，提煉方法并完成題(2).

(1)如圖1,在ABC中，3D平分/ABC,交AC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作8C的平行線，交A3于點(diǎn)E,請判

斷一方DE的形狀，并說明理由.

方法應(yīng)用：

(2)如圖2,在YABCD中，BE平分NABC,交邊AD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AFXBE交DC的延長線于點(diǎn)凡

交BC于點(diǎn)、G.

①圖中一定是等腰三角形的有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

②已知AB=3,BC=5,求CF的長.

【答案】（1）一3/犯是等腰三角形；理由見解析；（2）①B；②CF=2.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和

等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵；

（1）利用角平分線的定義得到利用平行線的性質(zhì)得到=推出

ZBDE=ZABD,再等角對等邊即可證明.5DE是等腰三角形；

（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性質(zhì)可以得到四個(gè)等腰三角形；

②由①得產(chǎn)，利用平行四邊形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：（1）是等腰三角形；理由如下：

平分NABC,

ZABD=NCBD,

'：DE//BC,

：./BDE=/CBD,

：.ZBDE=ZABD,

EB=ED,

是等腰三角形；

（2）①：YASCD中，

同（1）ZABE=NCBE=ZAEB,

：.AB=AE,

'：AF±BE,

/.ZBAF=ZEAF,

VAE//BC,AB//CD,

：.ZBGA=ZEAF,ZBAF=ZF,

'：NBGA=NCGF,

/.ZBGA=ZBAG,ZDAF=ZF,ZCGF=ZF,

：.AB^AG,DA=DF,CG=CF,

即.ABE、ABG.AADF.ZiCGF是等腰三角形；共有四個(gè)，

故選：B.

②：YABCZ）中，AB=3,BC=5,

AB=CD=3,BC=AD=5,

由①得ZM=D-，

CF=DF—CD=5—3=2.

24.（2024?山東威海?中考真題）感悟

如圖1,在,ABE中，點(diǎn)C,。在邊BE上，AB=AE,BC=DE.求證：ZBAC=ZEAD.

(1)如圖2,用直尺和圓規(guī)在直線BC上取點(diǎn)。，點(diǎn)E(點(diǎn)。在點(diǎn)E的左側(cè))，使得NE4D=N及1C,且

DE=BC(不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)如圖3,用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點(diǎn)。，在直線BC上取一點(diǎn)E,使得NCDE=NSAC,且

DE=AB(不寫作法，保留作圖痕跡).

【答案】見解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：

證明△ABC名△AED,即可求得NBAC=/E4D；

應(yīng)用(1)：以點(diǎn)A為圓心，以長度為半徑作弧，交直線3C于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E,以點(diǎn)A為圓心，以

AC長度為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)。，連接AD,AE；

應(yīng)用(2)：以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)￡>,以點(diǎn)C為圓心,

以2C長為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E,連接。E.

【詳解】感悟：

,/AB=AE,

：.ZB=ZE.

在,ABC和AAED中

AB=AE

<ZB=ZE

BC=DE

：.△ABC—XAED.

ZBAC^ZEAD.

應(yīng)用：

(1)：以點(diǎn)A為圓心，以AB長度為半徑作弧，交直線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)E,以點(diǎn)A為圓心，以AC

長度為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)。，連接AD,AE,圖形如圖所示.

(2)：以點(diǎn)C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)以點(diǎn)C為圓心，以2C

長為半徑作弧，交直線BC于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)連接OE,圖形如圖所示.

根據(jù)作圖可得：CD^AC,CE=BC,

又ZACB=NDCE,

：._ACB咨DCE,

：.ZCDE=ZBAC,DE=AB.

25.(2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題)已知ABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN^-ZBAC,/MAN

2

在/SAC的內(nèi)部，點(diǎn)M、N在3c上，點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，探究線段的0、NC、MV之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖①，當(dāng)/B4C=90。時(shí)，探究如下：

由ABAC=90°,AB^AC可知,將AACV繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到../趾，則QV=且ZPBM=90°,

連接PM，易證△4WP四△4VW,可得MP=MV,在RtAPBM中，BM'+BP2^MP2>則有

BM2+NC2^MN2.

(2)當(dāng)ZBAC=60。時(shí)，如圖②：當(dāng)NBAC=120。時(shí)，如圖③，分別寫出線段9公NC、之間的數(shù)量關(guān)

系，并選擇圖②或圖③進(jìn)行證明.

【答案】圖②的結(jié)論是：BM2+NC2+BM-NC=MN2;圖③的結(jié)論是：BM2+NC2-BM-NC=MN2;證

明見解析

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊的一

半，勾股定理等知識，選②，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)在一ABC外作NABK=60。，在3K上截取BQ=CN,連接

QA.QM,過點(diǎn)。作垂足為H,構(gòu)造全等三角形，得出AN=AQ,/CAN=NQAB,再證明

四△4W,得到MN=QW；在中由勾股定理得QH?+府2=，即

［乎8。［+^BM+^BQ^=QM2,整理可得結(jié)論；選③方法同②

【詳解】解：圖②的結(jié)論是：BM2+NC2+BM-NCMN2

證明：*/AB=AC,ABAC=60°,

.ABC是等邊三角形，

ZABC=ZACB=a)°,

以點(diǎn)8為頂點(diǎn)在ABC外作/ABK=60。，在BK上截取BQ=CN,連接QAQM,過點(diǎn)。作QHLBC,

垂足為H,

AB=AC,ZC=ZABQ,CN=BQ

:.AACN^AABQ

/.AN=AQfZCAN=ZQAB

又,ZCAN^ZBAM=30°

ZBAM+ZQAB=30°

即/QAM=/MAN

又,AM=AM,

,\AAQMmAANM,

:.MN=QM；

?.,ZABQ=60°,ZABC=60°,

NQBH=60。,

：.ZBQH=30°,

:.BH=；BQ,0H=BBQ

22

HM=BM+BH=BM,

在RtZkQHM中，可得：QH2+HM2=QM2

Y

BQ+BM+^BQ]=QM2

7

整理得BM2+BQ2+BMBQ=QM2

BM2+NC2+BM-NC=MN2

圖③的結(jié)論是：BM2+NC2-BM-NC=MN2

證明：以點(diǎn)8為頂點(diǎn)在ABC外作Z4BK=30。，在BK上截取8。=CN,連接QA、QM,過點(diǎn)。作QH，8C,

垂足為H,

AB=AC,ZC=ZABQCN=BQ

:.AACN^AABQ

AN=AQ,ZCAN=ZQAB

又*.NCAN+NBAM=60°

:.ZBAM+ZQAB=60°

即ZQAM=ZMAN

又,AM=AM,

.\AAQMANM,

:.MN=QM

在Rt.5?！爸?，NQ3H=60。，/3QH=30。

；.BH=；BQ,@H=立BQ

22

HM=BM-BH=BM~^BQ,

在RtZkQHM中，可得：QH2+HM2=QM2

即日BQ+^BM-^BQ^=QM2

整理得BM2+BQ2-BMBQ=QM2

BM2+NC2—BM?NC=MN2

26.（2024.北京?中考真題）已知/WW=a（Oo<a<45。），點(diǎn)8,C分別在射線4V,AM1.,將線段5c

繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。-2a得到線段BD,過點(diǎn)。作AN的垂線交射線A"于點(diǎn)E.

（2汝口圖2,當(dāng)點(diǎn)。在/M4N內(nèi)部時(shí)，作。尸〃4V,交射線于點(diǎn)/，用等式表示線段所與AC的數(shù)

量關(guān)系，并證明。

【答案】