2025北師版七年級數(shù)學(xué)下冊培優(yōu)專練：平行線中的常見模型

專題2.3平行線中的常見模型

?思想方法

方程思想：指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元

建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。

分類討論思想：當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，我們就需要對研究對象進(jìn)行分類，然后對每

一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重（互斥性）不漏（完備性）；

2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）；

3.逐級分類（逐級性）。

?典例分析

【典例1】請閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這章知識點(diǎn)時的一段筆記，然后解決問題.

小明：老師說在解決有關(guān)平行線的問題時，如果無法直接得到角的關(guān)系，就需要借助輔助線來幫助解答,

今天老師介紹了一個“美味”的模型“豬蹄模型”.即

已知：如圖1,ABWCD,E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE,CE得到々1EC.

求證：/.AEC=NZ+NC

小明筆記上寫出的證明過程如下:

證明：過點(diǎn)E作EFII4B

Vzl=NA

'：AB\\CD,EFWAB

：.EF\\CD

匕2=zC

Z-AEC=zl+z2

乙AEC=Z-A+Z-C

請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法，完成下面的兩個問題.

（1）如圖，若ABIICD,ZE=60°,求N8+NC+NF；

(2)如圖，ABWCD,8E平分N4BG,CF平分NDCG,NG=N"+27°,求

【思路點(diǎn)撥】

(1)作EMIMB,FNWCD,如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得EM||2B||FN||CD,所以乙8=Z1,42=Z3,Z4+zC=

180°,然后利用等量代換計算NB+NF+NC=240°；

（2）分別過G、H作A8的平行線MN和RS,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可用乙4BG和NDCG分別

表示出N"和NG,從而可找到NH和NG的關(guān)系，結(jié)合條件可求得N"=51。.

【解題過程】

解：（1）作EM||4B,FNWCD,如圖，且4B||CD

：.EM\\AB\\FN\\CD

：.^B=zl,z2=z3,z4+zC=180°

；?4B+乙CFE+ZC=Z1+Z3+z4+zf=乙BEF+z4+zC=Z.BEF+180°,

■:乙BEF=60°,

工乙B+乙CFE+"=60°+180°=240°；

(2)如圖，分別過G、〃作A5的平行線MN和RS,

9：BE^^Z.ABG,CF平分乙DCG,

：.^ABE=-2LABG,乙SHC=乙DCF=-Z.DCG,

22

a：AB\\CD

：.AB\\CD\\RS\\MN

:.乙RHB=LABE=-^ABG,乙SHC=乙DCF=-zDCG,

22

：ZNGB+乙ABG=AMGC+乙DCG=180°,

J2BHC=180°-乙RHB-乙SHC=180°^ABG+乙DCG),

乙BGC=180°一乙NGB-匕MGC=180°一(180°-^ABG)-(180°-ZDCG)=^ABG+乙DCG-180°

:?乙BGC=360°-2乙BHC-180°=180°-2(BHC,

,：Z.BGC=乙BHC+27°,

：.180°一2乙BHC=乙BHC+27°,

AZ-BHC=51°.

?學(xué)霸必刷

1.(2023下?廣東茂名?七年級統(tǒng)考期中)如圖，ABWED,Z.B+Z.C+AD=()

A.180°B.360°C.540°D.270°

【思路點(diǎn)撥】

過C點(diǎn)作直線CF||2B,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NB+Z.BCF=180°,乙FCD+AD=180°,然后再計算NB+

Z.C+乙0即可.

【解題過程】

解：如圖，過C點(diǎn)作直線CFII4B,

???AB||ED,

CF||ED,

乙B+Z.BCF=180°,Z.FCD+NO=180°,

Z-B+Z.BCF+Z.FCD+Z.D=360°,

即48+2BCD+4。=360°.

故選：B.

2.(2023上?甘肅張掖?八年級統(tǒng)考期末)如圖，直線Lil%，乙4=125。，zB=85°,貝Ij/l+42=()

A.30°B.35°C.36°D.40°

【思路點(diǎn)撥】

作直線GIIl2>U口2,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得Nl=N3,N2=z6,44+45=180°,進(jìn)而即可求得+z2.

【解題過程】

解：如圖，作直線，3口2,UII12>

1

IIl2,

4IIi3IIi4IIG，

?z.1=z.3,z2=z6,z.4+z.5=180°,

2Z=125°,乙B=85°,

.43+44+乙5+46=125°+85°=210°,

.43+46=210°-180°=30°,

.41+42=43+46=30°,

故選：A.

3.（2023下?重慶九龍坡?七年級重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線ABIICD,E,M分別為直線45、

CO上的點(diǎn)，N為兩平行線間的點(diǎn)，連接NE、NM,過點(diǎn)N作NG平分REMN交直線CO于點(diǎn)G,過點(diǎn)N作NF1NG,

交直線CD于點(diǎn)F,若NBEN=160。，則乙MNG+4NFG的度數(shù)為（

A.110°B.115°C.120°D.125°

【思路點(diǎn)撥】

過N點(diǎn)作NHIIA8,貝!L48||N”||CD,由平行線的性質(zhì)得4BEN+ZENG+4GNM+NMNF=360。，NG平分

乙ENM和4BEN=160。得4ENG+乙GNM+乙MNF+乙NFG=200°,再由NF1NG可變形推得NGNM+

乙NFG=110°.

【解題過程】

解:過N點(diǎn)作NHIMB,則4BIWHIIC。,如圖所示:

乙BEN+Z.ENH=乙HNF+乙NFG=180°,

???乙BEN+乙ENG+乙GNM+乙MNF+NFG=360°,

???乙BEN=160°,

???（ENG+乙GNM+乙MNF+乙NFG=200°,

???NG平分乙ENM,

???CENG=乙GNM,

???乙GNM+乙GNM+乙MNF+乙NFG=200°,

NF1NG,

???乙GNM+（MNF=^GNF=9。。,

??.Z.GNM+90°+乙NFG=200。,

???^MNG+^NFG=110°.

故選：A.

4.（2023下?福建寧德?七年級校聯(lián)考期中）如圖，已知直線48、CD被直線/C所截，AB//CD,E是平面內(nèi)

任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線28、CD、AC上），^BAE=a,乙DCE=0.下列各式：①a+小②a—0,

③S—a,④360。一。一6，乙4EC的度數(shù)可能是（）

A.②③B.①④C.①③④D.①②③④

【思路點(diǎn)撥】

由題意根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計算求解

即可.

【解題過程】

解：(1)如圖1,由AB〃C。，可得/AOC=NDCEi=°,

ZAOC=ZBAE1+ZAEiC,

XAE]C=/3-a.

(2)如圖2,過及作AB平行線，則由AB〃CD可得/l=/BAE2=a,Z2=ZDCE2=p,

XAE2C=a+/3.

圖2

(3)如圖3,由A3〃CD,可得/B0E3=/DCE3=4,

/BAE3—BOE3+/AE3C,

???ZAE3C=a-/S.

圖3

(4)如圖4,由AB〃CQ,可得N54E4+/A&C+NQCE4=360。,

ZAE4C=360°-a-/3.

B

￡4<X/CD

圖4

(5)(6)當(dāng)點(diǎn)E在。的下方時，同理可得/AEC=a/或.-a.

綜上所述，NAEC的度數(shù)可能為￡-a,a+/3,a-/3,360。r/,即①②③④.

故選：D.

5.(2023上?貴州六盤水?八年級?？茧A段練習(xí))如圖，已知力BIIDE,乙4BC=80。，ZCDE=140°,則

/.BCD=.

【思路點(diǎn)撥】

本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì).過點(diǎn)C作CFII4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角的和差，求解即可得到結(jié)論.

【解題過程】

解:如圖，過點(diǎn)C作CFII4B,

.-.乙BCF=￡.ABC=80°,

5L-：ABWE,

：.DEWCF,

：.乙DCF+Z.CDE=180°,

.-.乙DCF=40°,

???4BCD=4BCF-乙DCF=80°-40°=40°.

故答案為：40°.

6.（2022下?廣東茂名?七年級?？茧A段練習(xí)）觀察下列圖形：已知磯兒在第一個圖中，可得，則按照以上

【思路點(diǎn)撥】

分別過B、P2、P3作直線的平行線P1E,P2F,P3G,由平行線的性質(zhì)可得出：Zl+Z3=180°,Z5+Z6=180°,

o

Z7+Z8=180°,N4+/2=180°于是得到Nl+N2=10°,Nl+NP/+N2=2xl80,Zl+ZP;+ZP2+Z2=3xl80,

/1+/巳+/尸2+/尸3+/2=4義180°,根據(jù)規(guī)律得到結(jié)果/1+N2+/P+…+/Pn=(w+1)xl80°.

【解題過程】

解：如圖，過R作AQIIa,

???PrQWb

.-?Zl+Z3=180°,Z4+Z2=180°

同理可得,/1+NAB尸2+/P1P2B+N2=3x180°,

如圖，分別過B、尸2、尸3作直線AB的平行線尸/E，P2F,P3G,

'：AB//CD,

:.AB〃PIE〃P2F〃P3G.

由平行線的性質(zhì)可得出：Zl+Z3=180°,Z5+Z6=180°,Z7+Z8=180°,Z4+Z2=180°

.?.第1個圖中：Zl+Z2=180°,

第2個圖中：Zl+ZP/+Z2=2xl80,

第3個圖中：Z1+ZP;+ZP2+Z2=3X180°,

O

第4個圖中：Z1+ZPI+ZP2+ZP3+Z2=4X180,

.?.第w個圖中：N1+N2+NB+…+NPn=(n+l)xl80°.

故答案為：(n+1)xl80.

7.(2022下?安徽安慶?七年級統(tǒng)考期末)如圖，直線4B//CD,點(diǎn)M、N分別在直線AB、CD上，點(diǎn)E為直

線A8與之間的一點(diǎn)，連接ME、NE,且NMEN=80。，ZAME的角平分線與NCNE的角平分線交于點(diǎn)F,

則ZMFN的度數(shù)為.

CD

N

【思路點(diǎn)撥】

分兩種情況畫圖討論：分別過點(diǎn)E和點(diǎn)尸作EG〃AB,FH//AB,可得EG〃FH〃AB,AB//CD,可得

EG//FH//AB//CD,情況一根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NMFN=/MFH+/NFW=NAA/+NCNF=40。；情況二根

據(jù)平行線的性質(zhì)可得/MFN=/MFH+NNFH=ZAMF+ZCNF=140°.進(jìn)而得到結(jié)論.

【解題過程】

解：分兩種情況畫圖討論：分別過點(diǎn)E和點(diǎn)/作EG〃AB,FH//AB,

：.EG//FH//AB,

U：AB//CD,

：.EG//FH//AB//CD,

EG//AB//CD,

:?/AME=/MEG,ZCNE=ZNEGf

：.NAME+NCNE=NMEG+NNEG=NMEN=8。。,

*：ZAME的角平分線與NCNE的角平分線交于點(diǎn)F,

：.ZAMF=-ZAME/CNF上/CNE,

22f

1

ZAMF+ZCNF=-(/AME+/CNE)=40。，

2

\'FH//AB//CD.

：.ZMFH=ZAMF,NNFH=NCNF,

：.ZMFN=ZMFH+ZNFH=ZAMF+ZCNF=40°,

如圖，

9：EG//AB//CD,

：.ZBME=ZMEG,ZDNE=ZNEG,

：.ZBME+ZDNE=ZMEG+ZNEG=ZMEN=80°,

AZAME+ZC7VE=36O°-(/BME+NDNE)=280。

ZAME的角平分線與NCNE的角平分線交于點(diǎn)F,

：.ZAMF=-ZAMEZCNF=-ZCNE,

22f

1

AZAMF+ZCNF=-Q/AME+/CNE)=140°,

2

'：FH//AB//CD,

：.ZMFH=ZAMF,ZNFH=ZCNF,

：.ZMFN=ZMFH+ZNFH=ZAMF+ZCNF=140°.

綜上所述：AMFN的度數(shù)為40?；?40°.

故答案為：40?；?40。.

8.(2023下?四川達(dá)州?七年級?？计谥?如圖，已知NMB4+NB4C+NNCA=360。.

(1)MD和NE平行嗎？為什么？

(2)若N4BD=70。，^ACE=36°,BP和CP分另(］平分N4BD,^ACE,求NBPC的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)過點(diǎn)A作4FIIM0,利用已知條件求出M。||NE即可；

(2)過點(diǎn)尸作PQIIMD,根據(jù)角平分線得出ZDBP=^Z.ABD=35°,乙PCE=^ACE=18°,再利用平行

線的性質(zhì)求出即可.

【解題過程】

(1)解：MD||NE,理由如下：

過點(diǎn)A作4FIIM0,如下圖所示：

則NMB4+/.BAF=180°,

又LMBa+^BAC+乙NCA=360°,

：.^FAC+ANCA=180°,

：.AF||NE,

：.MD||NE.

(2)解：過點(diǎn)P作PQIIMD,如下圖所示:

H

D

和CP分另ij平分N48D,/.ACE,/.ABD=70°,/.ACE=36°,

Z.DBP=-Z.ABD=35°,乙PCE=-/.ACE=18°,

22

'：PQIIMD,

:.乙DBP=lBPQ=35°,

又；MD||NE,

：.PQ||NE,

：2PCE="PC=18°,

:.乙BPC=53°.

9.（2023下?山東聊城?七年級校考階段練習(xí)）如圖，已知直線“IILG、9和4、%分別交于點(diǎn)4B、C、

D,點(diǎn)P在直線?；颍ド锨也慌c點(diǎn)力、B、C、D重合.記NAEP=N1,Z.PFB=z2,^EPF=z3.

(1)若點(diǎn)P在圖(1)位置時，求證：N3=N1+N2；

(2)若點(diǎn)P在圖(2)位置時，寫出Nl、42、N3之間的關(guān)系并給予證明.

【思路點(diǎn)撥】

此題兩個小題的解題思路是一致的，過P作直線匕、12的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和41、N2相等的

角，然后結(jié)合這些等角和N3的位置關(guān)系，來得出N1、42、N3的數(shù)量關(guān)系.

【解題過程】

(1)過P作PQII

E

⑴

???；!||l2,

，PQII/iIIl2,

由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得:

Z1=LQPE、Z2=4QPF；

VZ.3=4QPE+Z.QPF,

/.z3=zl+z2.

（2）關(guān)系：Z3+Z1+Z2=360°.

過P作PQ||匕，

||12,

???PQIIhII12,

同（1）可證得：^3=ACEP+ADFP；

V/.CEP+41=180°,Z.DFP+42=180°,

4CEP+Z.DFP+N1+42=360°,

即N3++N2=360°.

10.（2023下?江蘇蘇州?七年級校考階段練習(xí)）問題情境：如圖①，直線28IICD,廠分別在直線A3,

CD±.

(1)猜想：若=130。，z2=150°,試猜想NP=°；

(2)探究：在圖①中探究Nl,N2,NP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若41+/2=325。，4EPG=75°,求NPGF的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)過點(diǎn)P作MNII4B,利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；

(2)利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；

(3)分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作MNII48、KRWAB,然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即可.

【解題過程】

(1)解：如圖過點(diǎn)P作MNII4B,

\'AB\\CD,

：.AB\\MN\\CD.

J.Z.1+Z.EPN=180°,

Z2+乙FPN=180°.

Vzl=130°,Z2=150°,

Azi+42+乙EPN+乙FPN=360°

:.乙EPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

VZ.P=4EPN+4FPN,

.".ZP=80°.

故答案為：80°；

(2)解：NP=360。一/,1—42,理由如下:

如圖過點(diǎn)P作MN||48,

*：AB\\CD,

：.AB\\MN\\CD.

：./.1+Z.EPN=180°,

乙2+乙FPN=180°.

Az.1+42+乙EPN+乙FPN=360°

?:乙EPN+乙FPN=(P,

乙P=360°-zl-Z2.

(3)如圖分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作MNII/B、KRWAB

：.AB\\MN\\KR\\CD.

.*.Z1+ZEP/V=18O°,

乙NPG+乙PGR=180°,

乙RGF+乙2=180°.

???Z.1+Z,EPN+乙NPG+Z-PGR+RGF+42=540°

?:(EPG=乙EPN+乙NPG=75°,

乙PGR+乙RGF=^PGF,

Z1+Z2=325°,

：.Z-PGF+41+42+乙EPG=540°

:?乙PGF=540°-325°-75°=140°

故答案為：140。.

11.(2023下?湖北黃岡?七年級武穴市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中)如圖，已知：點(diǎn)A、C、8不在同一條直線，4DIIBE

(1)求證：zB+zC-ZX=180°：

(2)如圖②，AQ、BQ分另!]為NZMC、NEBC的平分線所在直線，試探究NC與N4QB的數(shù)量關(guān)系；

(3)如圖③，在(2)的前提下，且有力CIIQB,直線ZQ、BC交于點(diǎn)P,QP1PB,直接寫出

"AC：Z.ACB：乙CBE=.

【思路點(diǎn)撥】

(1)過點(diǎn)C作CFII4D,則CFIIBE,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出乙4CF=乙4、ZBCF=180°-ZB,據(jù)此可得；

(2)過點(diǎn)。作QMI3D，貝UQMIBE,根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義可得出=|QCBE-NCW),

結(jié)合(1)的結(jié)論可得出241QB+NC=180。；

(3)由(2)的結(jié)論可得出NC4。=[zCBE①，由QP_LPB可得出NC4D+NCBE=180。②，聯(lián)立①②可求

出NC4。、NCBE的度數(shù)，再結(jié)合(1)的結(jié)論可得出乙4cB的度數(shù)，將其代入^ACB：4CBE中可求

出結(jié)論.

【解題過程】

(1)在圖①中,過點(diǎn)C作CFIM0,則CFUBE.

圖1

,/CFWADWBE,

J.^ACF=z/1,ABCF+^B=180°,

/.ACB+NB—=Z.ACF+Z.BCF+ZB-zA=zX+180°-44=180°.

(2)在圖2中，過點(diǎn)Q作QMII40,則QMIIBE.

E.」B

圖②

9

：QM\\ADfQM\\BEf

：.Z.AQM=^LNAD,乙BQM=LEBQ.

?.?4、平分4。/。，BQ平分乙CBE,

，乙NAD二3乙CAD,乙EBQ=江CBE,

：.AAQB=Z.BQM-Z.AQM=三（乙CBE-Z.CAD^.

VZ-C=180°-（乙CBE-/.CAD}=180°-2jAQB,

：.2^AQB+ZC=180°.

（3）U：AC\\QB,

乙

：.^AQB=Z.CAP=^CADf^ACP=PBQ="CBE,

：

./-ACB=180°-Z,ACP=180°--2Z.CBE.

V2/-AQB+Z-ACB=180°,

i

J.Z-CAD=%2BE..

又〈QPIPB,

：.Z-CAP+^LACP=90°,即NC/0+乙CBE=180°,

：.Z.CAD=60°,ACBE=120°,

J.Z.ACB=180°-（乙CBE-ZTZ。）=120°,

AZ-DAC：^LACB：Z.CBE=60°：120°：120°=1：2：2,

故答案為：1：2：2.

12.（2023下?廣東湛江?七年級?？计谥校┤鐖D1,已知A5〃CD,ZB=30°,ZZ）=120°；

ABB

E

圖1圖2

(1)若/E=60°,則/歹=；

(2)請?zhí)剿鱊E與/F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

(3)如圖2,已知“平分/BEF,FG平分NEFD,反向延長EG交EP于點(diǎn)P,求/尸的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)如圖1,分別過點(diǎn)E,F作EM〃4B,FN〃4B,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZB=LBEM=30°,zM￡F=乙EFN,

乙D+4DFN=180。，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NB=NBEM=30。，乙MEF=KEFN,^AB//CD,AB//FN,得到

CD//FN,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NO+ADFN=180。，于是得到結(jié)論；

(3)如圖2,過點(diǎn)尸作FH〃EP,設(shè)NBEF=2x。，則NEFD=(2久+30)。，根據(jù)角平分線的定義得到NPEF=

三乙BEF=x0,乙EFG=^EFD=(%+15)°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NPEF=乙EFH=x°,乙P=乙HFG,于

是得到結(jié)論.

【解題過程】

(1)解：如圖1,分別過點(diǎn)E,尸作EM//4B,FN//AB,

圖1圖2

EM//AB//FN,

：.4B=乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,

X---AB//CD,AB//FN,

CD//FN,

???4D+乙DFN=180°,

又???NO=120°,

???乙DFN=60°,

???乙BEF=乙MEF+30°,乙EFD=乙EFN+60°,

???乙EFD=Z.MEF+60°

???乙EFD=Z-BEF+30°=90°；

故答案為：90°；

(2)解：如圖L分別過點(diǎn)E,F作EM”AB,FN//AB,

??.EM//AB//FN,

???乙B=乙BEM=30°,4MEF=乙EFN,

又,：AB"CD,AB//FN,

??.CD//FN,

???乙D+乙DFN=180°,

又???ZD=120°,

???乙DFN=60°,

???乙BEF=Z.MEF+30°,乙EFD=乙EFN+60°,

???乙EFD=乙MEF+60°,

???乙EFD=乙BEF+30°；

(3)解：如圖2,過點(diǎn)F作FH〃EP,

由(2)知，乙EFD=乙BEF+30°,

設(shè)4BEF=2%。，貝吐EFD=(2%+30)。，

???EP平分N8EF,G尸平分4EFO,

???乙PEF=三乙BEF=%0,乙EFG=三乙EFD=(%+15)°,

???FH//EP,

???乙PEF=乙EFH=%°,乙尸=乙HFG,

???乙HFG=Z.EFG-Z.EFH=15°,

???Z.P=15°.

13.(2023下?廣東韶關(guān)?七年級?？计谥?如圖1,MN〃PQ,點(diǎn)、C、8分別在直線MN、尸。上，點(diǎn)A在直

線MN、PQ之間.

(1)求證：ZCAB=ZMCA+ZPBA；

(2)如圖2,CD//AB,點(diǎn)E在尸。上，NECN=NCAB,求證：ZMCA=ZDCE；

(3)如圖3,B/平分/ABP,CG平分/ACMAF//CG.若/CA8=60。，求NAFB的度數(shù).

圖1圖2圖3

【思路點(diǎn)撥】

(1)過點(diǎn)A作A￡>〃跖V,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得到/MC4=NZMC,ZPBA=ZDAB,根據(jù)角的

和差等量代換即可得解；

(2)由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到；.、/C42+NAC￡)=180。，由鄰補(bǔ)角定義得到NECM+NECN=180。，

再等量代換即可得解；

(3)由平行線的性質(zhì)得至【J,/型2=120。-/GC4,再由角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到/GC4-ZABF

=60°,最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180。即可求解.

【解題過程】

解：(1)證明：如圖1,過點(diǎn)A作AD〃WN,

圖1

,JMN//PQ,AD//MN,

.,.AD//MN//PQ,

：.ZMCA^ZDAC,/PBA=/DAB,

ZCAB=ZDAC+ZDAB=ZMCA+ZPBA,

即：ZCAB=ZMCA+ZPBA；

(2)如圖2,,：CD//AB,

：.ZCAB+ZACD=\SQ°,

'：ZECM+ZECN=180°,

'：ZECN=ZCAB

AZECM=ZACD,

即ZMCA+ZACE=NDCE+NACE,

：.ZMCA=ZDCE；

(3)U：AF//CG,

.\ZGCA+ZMC=180°,

VZCAB=60°

即ZGCA+ZCAB+ZFAB=180°,

???ZFAB=180°-60°-ZGCA=120°-ZGCA,

由(1)可知，ZCAB=ZMCA+ZABPf

/平分NA3P,CG平分4ACN,

：.ZACN=2ZGCA,/ABP=2NABF,

又?.,NMCA=180。-NACN,

：.ZCAB=180°-2ZGCA+2ZABF=60°,

：.AGCA-ZABF=60°,

ZAFB+ZABF+ZMB=180°,

NA尸3=180。-AFAB-ZFBA

=180。-(120°-ZGCA)-ZABF

=180。-120°+ZGCA-ZABF

=120。.

14.（2023下?四川南充?七年級闔中中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線可|%，A是〃上的一點(diǎn)，5是/2上的一

點(diǎn)，直線/3和直線〃，/2交于。和O,直線CO上有一點(diǎn)P.

（1）如果P點(diǎn)在C,。之間運(yùn)動時，問4R4C,乙APB,4尸80有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（2）若點(diǎn)P在。，。兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動時（尸點(diǎn)與C,。不重合），試探索NPAC,乙4PB,NPBO之間的關(guān)

系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）

【思路點(diǎn)撥】

(1)過點(diǎn)P作PEIIk，由“平行于同一條直線的兩直線平行”可得出PEIIA%，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等“

得出"AC=NAPE、乙PBD=LBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論；

(2)按點(diǎn)P的兩種情況分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在直線匕上方時；②當(dāng)點(diǎn)P在直線%下方時，同理(1)可得NP4C=

NAPE、乙PBD=KBPE,再根據(jù)角與角的關(guān)系即可得出結(jié)論.

【解題過程】

⑴解：^PAC+APBD=AAPB.

過點(diǎn)P作PEI?,如圖1所示.

PEWh，，川2，

PE%g，

???乙PAC=Z-APE,乙PBD=乙BPE,

Z.APB=Z.APE+Z.BPE,

??.Z,PAC+乙PBD=Z-APB.

(2)解：結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)P在直線k上方時，4PBD—乙PAC=4APB；當(dāng)點(diǎn)P在直線)下方時，乙PAC-乙PBD=

乙4PB.

①當(dāng)點(diǎn)P在直線人上方時，如圖2所示.過點(diǎn)P作PEI&.

PE%||小

Z.PAC=乙APE,乙PBD=乙BPE,

v乙APB=乙BPE-Z.APE,

???Z.PBD-Z.PAC=乙APB.

②當(dāng)點(diǎn)P在直線(2下方時，如圖3所示.過點(diǎn)尸作PEIIJ

???PEIEIG，

???/.PAC=/.APE,乙PBD-Z.BPE,

■■■乙APB=Z.APE-乙BPE,

???^PAC-乙PBD=^APB.

15.(2023上?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥?已知直線48IICD,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接24、

PD.

圖1圖3

⑴如圖1,已知乙4=50。,ND=150。，求乙4PD的度數(shù);

(2)如圖2,判斷NP4B、乙CDP、N&PD之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出證明過程.

(3)如圖3,在(2)的條件下，AP1PD,DN平分4PDC,^^PAN+1^.PAB=^APD,求乙4ND的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)過點(diǎn)P作EF||48,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N4PE=乙4=50°,4EPD=180°-150°=30°,即可求出

“PD的度數(shù);

(2)過點(diǎn)P作EF||4B,則4B||EF||CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZCDP=乙DPF,"PA+Z.PAB=180°,

又NFP4=乙DPF-AAPD,艮可得出NCDP+APAB-/LAPD=180°；

(3)PD交4N于點(diǎn)。，由力P1PD,得出A4PO=90。，由NPAN+(NPAB=N4PD得出NP4N+=

90°,由NPO4+/PAN=90。，得出NP04=[NPZB,由對頂角相等得出NN。。=由角平分線的

’性質(zhì)得出4ODN=jzPDC,即乙4N0=180°-^PAB+乙PDC）,由（2）得：NCOP+^PAB-^APD=180°,

代入計算即可求出N4V。的度數(shù).

【解題過程】

圖1

???乙4=50°,

??.Z.APE=z.A=50°,

???ABIICD.

???EF||CD,

乙CDP+乙EPD=180°,

???乙D=150°,

???(EPD=180°-150°=30°,

???Z.APD=乙APE+乙EPD=50°+30°=80°；

(2)關(guān)系：/-CDP+/.PAB-AAPD=180°

證明：如圖2,過點(diǎn)P作EFIIZB,貝肥B||如尸||CD,

圖2

???乙CDP=乙DPF,Z.FPA+/-PAB=180°,

???Z.FPA=Z-DPF-Z.APD,

???乙DPF-Z,APD+乙PAB=180°,

???乙CDP+^PAB一^LAPD=180°,

故答案為：乙CDP+APAB-/.APD=180°；

(3)如圖3,PD交AN于點(diǎn)、O,

CD

圖3

AP1PD,

???^APO=90°,

???/.PAN+-^PAB=/.APD,

2

：./.PAN+-/.PAB=90°,

2

???乙POA+乙PAN=90°,

/.POA=-^PAB,

2

???Z.POA=乙NOD,

???乙NOD=-Z.PAB,

2

DN平分乙PDC,

乙ODN=-^PDC,

2

???乙AND=180°一乙NOD-乙ODN

=180°-1^PAB+ZPDC),

由(2)得：/.CDP+/.PAB-Z.APD=180°,

???乙CDP+乙PAB=180°+Z,APD,

1

???乙AND=180°--{￡.PAB+乙PDC)

1

=180。-2(180。+乙4PD)

1

=180°--(180°+90°)

=45°.

16.（2023下?江蘇?七年級專題練習(xí)）已知/3IICD,連接A,C兩點(diǎn).

ABMAB

(1)如圖1,NC4B與N4CD的平分線交于點(diǎn)E,則N2EC等于度；

(2)如圖2,點(diǎn)M在射線48反向延長線上,點(diǎn)N在射線CD上.乙4MN與N2CN的平分線交于點(diǎn)E.若乙4MN=

45°,Z.ACN=70°,求NMEC的度數(shù)；

(3)如圖3,圖4,M,N分別為射線AB,射線CD上的點(diǎn)，乙4MN與乙4CN的平分線交于點(diǎn)E.設(shè)乙4MN=

a,乙ACN=0),請直接寫出圖中NMEC的度數(shù)(用含a,p的式子表示).

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到乙8"+乙4C。=180。，利用角平分線的定義求出Na4E+N"E=90。，即可

求出答案；

(2)過點(diǎn)E作EFII4B,得到EFIICD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NBME=NMEF,AFEC=Z.ECD,根據(jù)角平

分線的定義求出NBME=3乙BMN=22.5°,Z.ECD=(乙4co=35°,即可得到答案；

(3)由平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行內(nèi)錯角相等，即可求解.

【解題過程】

(1)解：如圖1,,：AB\\CD,

J.Z.BAC+/.ACD=180°,

分別平分Z_B4C,/.ACD,

：./.CAE=-ABAC,4ACE=-^ACD,

22

^CAE+LACE=j(^BAC+Z.ACD)=：x180°=90°,

：.^AEC=180°-+NACE)=90°；

故答案為：90.

(2)如圖2,過點(diǎn)E作EFII4B,

圖2

V^IICD,

：.EF\\CD,

???乙BME=KMEF,乙FEC=LECD,

???ME,CE分另lj平分乙BMN,^ACD,

ii

AZ-BME=-Z.BMN=22.5°,乙ECD=-^ACD=35°,

22

:?乙MEC=乙MEF+乙CEF=22.5°+35°=57.5°；

(3)①如圖3,過點(diǎn)E作EFIIZB,

圖3

9

：AB\\CDf

：.EF\\CD,

：.LAME+Z-MEF=180°,

V/LAME=-Z.AMN=-a,

22

1

A/-MEF=180°--a,

2

■:乙ECD=-/-ACD=-B,

2

:.乙FEC=4ECD=-B,

2L

/.MEC=Z.MEF+/.FEC=180°--a+-S；

22產(chǎn)

②如圖4,過點(diǎn)E作EFII4B,

AMB

9：ABKD,

：.EF\\CD,

ii

C.Z.AME=-ZMEF=-a,乙FEC+乙ECD=180°,

22

?:乙ECD=-Z-ACD=-B,

2

:.乙FEC=180°-|/?,

AMEC=乙MEF+乙CEF=180°--B+-a.

2

(1)如圖1,求證：AD||BC；

(2)如圖2,點(diǎn)尸是射線D4上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作FG||8D交射線BC于點(diǎn)G,點(diǎn)N是FG上一點(diǎn)，連接NE,求

證：乙DEN=LADE+乙ENG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。N,點(diǎn)尸為BD延長線上一點(diǎn)，DM平分乙BDE交BE于點(diǎn)M,若DN平

分乙PDM,DE1EN,乙DBC-乙DNE=LFDN,求NEDN的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用角平分線的定義可得乙=然后再利用等量代換可得乙4DE=N8ED,從而利用平行線

的判定，即可解答；

(2)過點(diǎn)E作EH||BD,可知EH||FG,利用平行線的性質(zhì)可得NOEH=乙BDE,乙HEN=4ENG,由NBDE=

AADE,可知NADE=NDEH,由乙DEN=LDEH+乙HEN,可證得結(jié)論；

(3)設(shè)乙BDM=2x,利用角平分線的定義可得乙BDM=Z.MDE=2x,從而可得=乙BDE=24BDM=

4%,進(jìn)而可得N4DB=2乙BDE=8%,然后利用平行線的性質(zhì)可得NB=180°-8x,再根據(jù)垂直定義可得

乙DEN=90°,最后利用(2)的結(jié)論可得4ENG=90°-4%,再利用角平分線的定義可得NMON=90°-X,

從而可得NEDN=9(T-3無，進(jìn)而可得NDNE=3久，^FDN=7x-90°,再根據(jù)已知NFDN=7x-90。，列

出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答.

【解題過程】

(1)證明：:DE平分乙4DB,

^ADE=KBDE,

'."DE=乙BED,

：.^ADE=乙BED,

：.AD||BE；

(2)證明：過點(diǎn)E作EH||BD,

圖2

:?乙DEH=乙BDE,

■:乙BDE=/.ADE,

：.LADE=乙DEH,

?；BD||FG,

：.EH||FG,

：.Z-HEN=乙ENG,

VADEN=乙DEH+乙HEN,

:.(DEN=乙ADE+乙ENG；

(3)解：設(shè)ZBDM=2%,

〈DM平分4BDE,

?"BDM=4MOE=2%,

AZ-ADE=Z.BDE=1Z.BDM=4%,

/.Z-ADB=2(BDE—8x,

'：AD||BC,

：.AB=180°-^ADB=180°-8x,

,：DE1EN,

:.(DEN=90°,

由(2)得：乙DEN=Z.ADE+乙ENG,

：.乙ENG=乙DEN-/LADE=90°-4%,

?；DN平分匕PDM,

：.Z.MDN=|APDM=|(180°-NBDM)=1(180°-2%)=90°-%,

:.乙EDN=4MDN-乙MDE=90°-x-2x=90°-3x,

：.乙DNE=90°-4EDN=3%,乙FDN=^ADE-乙EDN=4x-(90°-3x)=7x-90°,

■:乙DBC-乙DNE=4FDN,

.?.180°-8x-3x=7%-90°,解得：x=15°,

"EDN=90°-3%=45°,

."EDN的度數(shù)為45。.

18.(2023下?遼寧沈陽?七年級校聯(lián)考階段練習(xí))已知直線AM、CN和點(diǎn)8在同一平面內(nèi)，且AM〃CN,

AB±BC.

(1)如圖1,求NA和/C之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若垂足為。，求證：NABQ=NC；

(3)如圖3,已知點(diǎn)。、E、尸都在直線AM上，旦/ABD=NNCB,BF平分/DBC,BE平分NABZ).若

ZFCB+ZNCF=180°,NBFC=3/DBE,請直接寫出/E8C的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

（1）通過平行線性質(zhì)和直角三角形內(nèi)角關(guān)系求解.

（2）畫輔助平行線找角的聯(lián)系.

（3）利用（2）的結(jié)論，結(jié)合角平分線性質(zhì)求解.

【解題過程】

解：（1）如圖1,

B

圖1

U：AM//CN,

：.ZC=ZAOB.

9：AB±BC,

：.NABC=90。,

ZA+ZAOB=90°,

ZA+ZC=90°,

故答案為：ZA+ZC=90°；

(2)如圖2,過點(diǎn)5作3G,

：.DB±BG,

：.ZDBG=90°,

：.ZABD+ZABG=90°,

VABXBC,

???ZCBG+ZABG=90°,

/ABD=/CBG,

?:AM〃CN,

；?NC=/CBG,

：.ZABD=ZC；

(3)如圖3,過點(diǎn)5作BG〃。相

:.CN〃BG,

：./CBG=/BCN,

b平分NQBC,BE平分NA30,

，/DBF=NCBF,ZDBE=ZABE,

???/ABD=/NCB,

：.NABD=NCBG,

：./ABF=/GBF,

設(shè)/DBE=a,/ABF呻,

貝IJNA3-z,NABD=2a=/CBG,

/GBF=/AFB=B，

/BFC=3/DBE=3a,

?:BG〃DM,

：./DFB=/GBF=6,

：.NAFC=NBFC+/DFB=3a邛,

VZAFC+Z^CF=180°,NFCB+/NCF=180。,

/FCB=/AFC=3a邛,

△5。/中，ZCBF+ZBFC+ZBCF=180°W：

2o+￡+3a+3a+夕=180°,

VAB±BC,

?"+丑+2a=90。,

a=15°,

JZABE=15°,

???ZEBC=AABE+ZABC=15°+90°=105°.

19.(2023下廣東韶關(guān)?七年級統(tǒng)考期中)如圖1,點(diǎn)/、B分別在直線G”、MN上,^GAC=乙NBD,乙C=乙D.

圖1圖2圖3

(1)求證：GH//MN；(提示：可延長4C交MN于點(diǎn)P進(jìn)行證明)

(2)如圖2,4E平分NG4C,DE平分4BDC,若N4ED=NG4C,求NG4C與N4CD之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖3,BF平分4DBM,點(diǎn)K在射線8/上，^KAG=^/.GAC,若乙4KB=乙4。。，

直接寫出NGAC的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。和平角定義得到N4QD=NE+Z.EAQ,結(jié)合平行線的性質(zhì)得到NBDQ=

乙E+AEAQ,再根據(jù)角平分線的定義證得NCDB=2乙E+AGAC,結(jié)合已知即可得出結(jié)論；

(3)分當(dāng)K在直線GH下方和當(dāng)K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線定

義求解即可.

【解題過程】

解：(1)如圖1,延長4C交MN于點(diǎn)P