《數(shù)學(xué)歸納法》導(dǎo)學(xué)案

第5課時數(shù)學(xué)歸納法1.使學(xué)生了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實質(zhì).2.掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟;會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與自然數(shù)有關(guān)的命題.多米諾骨牌游戲,首先要用力推第一塊骨牌,在任何兩塊骨牌之間有恰當(dāng)?shù)木嚯x時,第一塊倒下,就會使第二塊倒下,第二塊倒下就會導(dǎo)致第三塊倒下,……以致很多都會倒下!如果我們在骨牌間抽出幾塊,使有兩塊之間存在一個較大的缺口,推倒了第一塊骨牌,后面的骨牌就不會都倒下了.如果第一塊骨牌我們不使它倒下,后面的骨牌也就不會倒下的.問題1:要使得所有骨牌全都倒下須滿足的條件(1);

(2).

問題2:數(shù)學(xué)歸納法:證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取時命題成立;

(2)(歸納遞推)假設(shè).

問題3:數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與有關(guān)的命題的證明方法,第一步是遞推的“”,第二步是遞推的“”,兩個步驟缺一不可.

問題4:在證明過程中要防范以下兩點(1)第一步驗證n=n0時,n0不一定為1,要根據(jù)題目要求.

(2)第二步中,歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,在證明n=k+1時,命題也成立的過程中一定要用,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+),驗證n=1時A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+42.某個命題與自然數(shù)n有關(guān),若n=k(k∈N+)時命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時該命題也成立,現(xiàn)已知n=5時,該命題不成立,那么可以推得().A.n=6時該命題不成立 B.n=6時該命題成立C.n=4時該命題不成立 D.n=4時該命題成立3.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1n+1+1n+2+…+1n+n>1324的過程中,由4.若n為大于1的自然數(shù),求證:1n+1+1n+2+…+用數(shù)學(xué)歸納法證明等式用數(shù)學(xué)歸納法證明:1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式求證:1n+1+1n+2+…+13n>56(n≥2歸納—猜想—證明已知數(shù)列{an}滿足Sn+an=2n+1(n∈N+).(1)寫出a1,a2,a3,并推測an的表達(dá)式.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.用數(shù)學(xué)歸納法證明:對任意的n∈N+,11×3+13×5+…+1(若n∈N+且n≥5,求證:2n>n2.已知數(shù)列{an}的第一項a1=5且Sn-1=an(n≥2,n∈N+).(1)求a2,a3,a4,并由此猜想an的表達(dá)式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+12+14+…+12n-1>12764(n∈N+)A.7 B.8 C.9 D.102.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”,在第二步時,正確的證法是().A.假設(shè)n=k(k∈N+),證明n=k+1命題成立B.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+1命題成立C.假設(shè)n=2k+1(k∈N+),證明n=k+1命題成立D.假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)),證明n=k+2命題成立3.用數(shù)學(xué)歸納法證明122+132+…+1(n+1)2>12-1n+2.假設(shè)4.證明:62n-1+1能被7整除(n∈N+).(2014年·安徽卷)設(shè)實數(shù)c>0,整數(shù)p>1,n∈N+.(1)證明:當(dāng)x>-1且x≠0時,(1+x)p>1+px.(2)數(shù)列{an}滿足a1>c1p,an+1=p-1pan+cpan1-p

答案第5課時數(shù)學(xué)歸納法知識體系梳理問題1:(1)第一塊骨牌倒下(2)任意兩塊相鄰骨牌,只要前一塊倒下,后一塊必定倒下問題2:(1)第一個值n0(n0∈N+)(2)當(dāng)n=k(k≥n0,k∈N+)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立問題3:正整數(shù)基礎(chǔ)依據(jù)問題4:(1)選擇合適的起始值(2)n=k成立的結(jié)論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.Dn=1時,n+3=4.2.C其逆否命題“若當(dāng)n=k+1時該命題不成立,則當(dāng)n=k時也不成立”為真,故n=5時不成立可知n=4時不成立.3.1(2k+1)(2k+2)不等式的左邊增加的式子是124.解:(1)當(dāng)n=2時,12+1+12+2=712>13(2)假設(shè)當(dāng)n=k時原不等式成立,即1k+1+1k+2+…+12k>1324,則當(dāng)n=k+1時,左邊=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2+1k+1-1k+1>1324+12k+1+12k+2-重點難點探究探究一:【解析】①當(dāng)n=1時,左邊=1-12=12,右邊=11+1=12.左邊=②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時等式成立,即1-12+13-14+…+12k-1-12k則當(dāng)n=k+1時,(1-12+13-14+…+12k-1-1=(1k+1+1k+2+…+12k)=1k+2+1k+3+…=1(k+1)+1+1(k即當(dāng)n=k+1時,等式也成立.綜合①和②可知,對一切正整數(shù)n,等式都成立.【小結(jié)】用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題,關(guān)鍵在于“看項”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式的兩邊各有多少項,項的多少與n的取值是否有關(guān),由n=k到n=k+1時,等式兩邊會增加多少項,增加了怎樣的項.探究二:【解析】①當(dāng)n=2時,左邊=13+14+15+16>②假設(shè)n=k(k≥2,k∈N+)時命題成立,即1k+1+1k+2+…+則當(dāng)n=k+1時,1(k+1)+1+1(k+1)+2=1k+1+1k+2+…+13k+(13k+1+13k+2+13k+3-1k+1)>56+(13k∴當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.由①②可知,原不等式對一切n≥2,n∈N+均成立.【小結(jié)】利用數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)n=k+1時也成立,證明不等式的常用方法:比較法、分析法、綜合法及放縮法等,均要靈活地選用.探究三:【解析】(1)由Sn+an=2n+1得a1=32,a2=74,a3=∴猜想:an=2n+1-12(2)當(dāng)n=1時顯然成立.假設(shè)n=k時命題成立,即ak=2-12k,所以Sk=2k+1-ak=2k+1-(2-12k)=2k+則當(dāng)n=k+1時,因為Sk+1+ak+1=2(k+1)+1,所以ak+1=2(k+1)+1-Sk+1=2(k+1)+1-[2(k+1)-1+12k+1]=2-12k+1成立所以猜想恒成立.[問題]上述證明過程正確嗎?[結(jié)論]我們先猜想an,根據(jù)an得到Sn,上述證明過程中為了求ak+1先代入了Sk+1的值,出現(xiàn)了循環(huán)證明.正確解法如下:(1)由Sn+an=2n+1得a1=32,a2=74,a3=∴猜想:an=2n+1-12(2)當(dāng)n=1時成立.假設(shè)n=k時命題成立,即ak=2-12k,所以Sk=2k+1-ak=2k+1-(2-12k)=2k+則當(dāng)n=k+1時,Sk+1+ak+1=2(k+1)+1,所以Sk+2ak+1=2(k+1)+1,所以ak+1=(k+1)+12-12Sk=(k+1)+12-12(2k+12k-1)=2-12所以猜想對一切n∈N+恒成立.【小結(jié)】在用數(shù)學(xué)歸納法證明第二步當(dāng)n=k+1時命題成立,必須用上歸納假設(shè).思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)當(dāng)n=1時,左邊=11×3=13,右邊12×1+1=13,左邊=(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+且k≥1)時等式成立,即有11×3+13×5+…+1(則當(dāng)n=k+1時,11×3+13×5+…+1=k2k+1+=2k2+3k+1所以當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由(1)(2)可知,對一切n∈N+等式都成立.應(yīng)用二:(1)當(dāng)n=5時,25>52,不等式成立.(2)假設(shè)n=k(k≥5,k∈N+)時,2k>k2.則當(dāng)n=k+1時,2k+1=2·2k=2k+2k>k2+k2>k2+2k+1=(k+1)2,即n=k+1時不等式成立.由(1)(2)知,當(dāng)n∈N+且n≥5時,不等式2n>n2成立.應(yīng)用三:(1)a2=S1=a1=5,a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,猜想an=5×2n-2(n≥2,n∈N+).(2)①當(dāng)n=2時,a2=5×22-2=5,猜想成立.②假設(shè)n=k時成立,即ak=5×2k-2(k≥2,k∈N+),當(dāng)n=k+1時,由已知條件和假設(shè)有ak+1=Sk=a1+a2+…+ak=5+5+10+…+5×2k-2=5+5(1-2k-1故n=k+1時猜想也成立.由①②可知,對n≥2,n∈N+有an=5×2n-2.基礎(chǔ)智能檢測1.B左邊=1+12+14+…+12n-1=1-122.DA、B、C中,k+1不一定表示奇數(shù),只有D中k為奇數(shù),k+2為奇數(shù).3.122+132+…+1k2+1(k+1)2+1(k+2)2>12-1k+3將n=k+1代入左邊的式子時,最后一項為14.解:(1)當(dāng)n=1時,62-1+1=7能被7整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,62k-1+1能被7整除.那么當(dāng)n=k+1時,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35.∵62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,∴當(dāng)n=k+1時,62(k+1)-1+1能被7整除.由(1)(2)知命題成立.全新視角拓展解:(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)p=2時,(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,原不等式成立.②假設(shè)當(dāng)p=k(k≥2,k∈N+)時,不等式(1+x)k>1+kx成立.則當(dāng)p=k+1時,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)·(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以當(dāng)p=k+1時,原不等式也成立.綜合①②可得,當(dāng)x>-1,x≠0時,對一切整數(shù)p>1,不等式(1+x)p>1+px均成立.(2)(法一)先用數(shù)學(xué)歸納法證明an>c1①當(dāng)n=1時,由題設(shè)知a1>c1p②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時,不等式ak>c1p由an+1=p-1pan+cpan1-p易知a則當(dāng)n=k+1時,ak+1ak=p-1p+cpak由ak>c1p>0得-1<-1p<1p(cak由(1)中的結(jié)論得(ak+1ak)p=[1+1p(cakp-1)]p>1+p·1因此ak+1p>c,即ak+1所以當(dāng)n=k+1時,不等式an>c1p綜合①②可得,對一切正整數(shù)n,不等式an>c1p再由an+1an=1+1p(canp-1)可得an+1綜上所述,an>an+1>c1p,n∈N(法二)設(shè)f(x)=p-1px+cpx1-p,x≥c1p,則xp≥c,并且f'(x)=p-1p+cp(1-p)x-p=p-由此可得,f(