2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)知識點(diǎn)歸納總結(jié)

高考數(shù)學(xué)必備核心知識點(diǎn)歸納

知識點(diǎn)概覽

目錄

必記知識點(diǎn)01：集合和常用邏輯用語.............................................................1

必記知識點(diǎn)02：不等式..........................................................................4

必記知識點(diǎn)03：基本初等函數(shù)....................................................................7

必記知識點(diǎn)04：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用........................................................17

必記知識點(diǎn)05：三角函數(shù)與解三角形............................................................21

必記知識點(diǎn)06：平面向量與復(fù)數(shù)................................................................26

必記知識點(diǎn)07:數(shù)列...........................................................................32

必記知識點(diǎn)08：立體幾何與空間向量............................................................44

必記知識點(diǎn)09：直線和圓、圓錐曲線............................................................54

必記知識點(diǎn)10：統(tǒng)計(jì)與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析......................................................67

必記知識點(diǎn)U：計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布..............................................70

必記核心知識點(diǎn)01集合和常用邏輯用語

必記核心知識點(diǎn)

知識點(diǎn)一：集合

1、集合與元素

1、集合元素的三個特性：確定性、互異性、無序性；

2、元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，用符號e或e表示

3、集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法

4、常見數(shù)集的記法與關(guān)系圖

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN*(或N+)ZQR

2、集合同的基本關(guān)系

表示

文字語言符號語言圖形語言

關(guān)

集合A的所有元素都是集合B的

子集AqB或3衛(wèi)A

元素（X￡A則X￡5）

或

基本

集合A是集合B的子集，且集合B

關(guān)系真子集AUB或BVA

中至少有一個元素不屬于AO

相等集合A,8的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合A的子集

3、集合的基本運(yùn)算

1、集合交并補(bǔ)運(yùn)算的表示

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

d0

圖形語言

符號語言4B=^x\xeA,GAB=|x|xGA,SJCGdA={%[%wU,MxeA}

2、集合運(yùn)算中的常用二級結(jié)論

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；

(2)交集的性質(zhì)：AA0=0；AAA=A；A(~}B=BC}A；AHB^A^AQB.

(3)補(bǔ)集的性質(zhì)：AU(Q/A)=U;An(C〃l)=0.Cu(CuA)=A;

Ct/AuB)=(CuA)n(CuB);CMAnB)=(CuA)U(Ci/B).

知識點(diǎn)二：充分條件與必要條件

1、充分條件與必要條件

“若p,則q"為真命題“若p，則q”為假命題

推出關(guān)系p0qp4q

p是q的充分條件p不是q的充分條件

條件關(guān)系

q是p的必要條件q不是p的必要條件

判定定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的充分條件

定理關(guān)系

性質(zhì)定理給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的必要條件

2、充要條件

如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均為真命題，即既有p=又有q=>°,就記作poq。

此時，?既是q的充分條件，也是“的必要條件，我們說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。

知識點(diǎn)三：存在量詞與全稱量詞

1、全稱量詞與全稱量詞命題

(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“V”表示.

(2)全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.

符號表示：全稱量詞命題“對M中任意一個x,P(“成立”可用符號簡記為

2、存在量詞與存在量詞命題

(1)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個“在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“三”表示.

(2)存在量詞命題：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。

符號表示：存在量詞命題“存在M中的元素x,使夕⑴成立"可用符號簡記為*e〃,p(x)

3、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“「p”，讀作"非"'或p的否定.

(1)全稱量詞命題的否定：

一般地，全稱量詞命題“\/%€"，4(X)”的否定是存在量詞命題：.

(2)存在量詞命題的否定：

一般地，存在量詞命題“HxeMq(尤)”的否定是全稱量詞命題：VxeAf,—.

必記核心知識點(diǎn)02不等式

一、比較大小基本方法

方法

關(guān)系做差法做商法

與0比較與1比較

a>ba-b>0

—>l(a,b>0)或4vl(a,Z?<0)

bb

a=ba—b=O

2=1SN0)

b

a<ba—b=0

0v1(〃，A>0)或3>l(a,b<0)

bb

二、不等式的性質(zhì)

(1)基本性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容

對稱性a>bob<a:a<bob>a

傳遞性a>b,b>c^>a>c；a<b,b<c^>a<c

可加性a>b<=>a-\-ob>c

可乘性a>b,c>O^>ac>bc；a>b,c<0=>ac<bc

同向a>c,c>d^a+c>b-ird

可加性

同向同正a>b>O,c>d>O=>ac>bd

可乘性

可乘方性a>b>Q,nsN*=an>bn

三、一元二次不等式

一元二次不等式以之+6x+c>0(aw0),其中A=/-4ac,七,々是方程ox?+6x+c〉0(a片0)的

兩個根，且石<々

(1)當(dāng)。>0時，二次函數(shù)圖象開口向上.

(2)①若A>0,解集為｛x|x>%2或v<七｝.

②若A=0,解集為且

③若A<0,解集為R.

(2)當(dāng)。<0時，二次函數(shù)圖象開口向下.

①若△>(),解集為{x|%1cx<9}

②若AWO,解集為0

四、分式不等式

⑴，，〉o=y(x)?g(%)>o

g(x)

(2)，<0o/(x)?g(x)<0

g(x)

(3)以工20O,7"(x).g(x)20

g(x)g(X)H。

7"(x)?g(x)V0

(4)

g(x)g(x)H0

五、絕對值不等式

(I)|/(刈>|g(%)|o"(x)]2>[g(x)]2

(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>0)of(x)>g(x)或/"(x)<-g(x)；

|/U)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

(3)含有兩個或兩個以上絕對值的不等式，可用圖象法和零點(diǎn)分段法求解.

六、基本不等式

如果a>0,b>0,那么，石《生心，當(dāng)且僅當(dāng)。=b時，等號成立.其中，巴也叫作4,6的算術(shù)平均

22

數(shù)，J法叫作的幾何平均數(shù).即正數(shù)。浮的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

基本不等式1：若a,beR,則.2+/22而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；

基本不等式2：若a,beR*,則“+2N(或a+bN2^^),當(dāng)且僅當(dāng)a=6時取等號.

2

注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積

為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件.(2)連續(xù)使用不等式要注意取得一致.

七、經(jīng)典超越不等式

(1)對數(shù)形式：了21+111尤(%>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，等號成立.

(2)指數(shù)形式：el>x+l(xe7?),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時,等號成立.

進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex>x+l>x>l+lnx(x>0且xwl)

上述兩個經(jīng)典不等式的原型是來自于泰勒級數(shù)：

-/X"/?+1

2!n\(九+1)!

光2r3/+1

ln(l+x)=x——+—-+(-1)”—+。(鏟1)；

23n+1

截取片段：ex>x+Kx^R)

ln(l+x)<x(x>-1),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立；

進(jìn)而：lnx<x-l(x>0)當(dāng)且僅當(dāng)無=1時，等號成立

必記核心知識點(diǎn)03基本初等函數(shù)

一、函數(shù)的概念及其表示

1.函數(shù)

設(shè)A,3是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系/,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合3中

都有唯一確定的數(shù)/(%)和它對應(yīng)，稱/:A.3為從集合A到集合B的一個函數(shù)y=/(x),%eA

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y=/(x),xeA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定

義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函數(shù)的值域.顯然，值

域是集合8的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等

的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法.

3.常用結(jié)論

(1)若/(九)為整式，則函數(shù)的定義域?yàn)镽；

⑵若“X)為分式，則要求分母不為0；

(3)若/(X)為對數(shù)式，則要求真數(shù)大于0；

(4)若/(力為根指數(shù)是偶數(shù)的根式，則要求被開方式非負(fù)；

(5)若/(%)描述實(shí)際問題，則要求使實(shí)際問題有意義.

如果/(%)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，求定義域常常等價于解不等式(組).

二、函數(shù)的單調(diào)性與最值

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)?,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值

定

義

當(dāng)占＜%2時，都有，那當(dāng)石＜々時，都有/(%)＞/(兀2)，那么就說函

么就說函數(shù)/(%)在區(qū)間。上是增函數(shù)數(shù)/(X)在區(qū)間。上是減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/(力的定義域?yàn)?,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值

定

義

圖月(盟

y

象描\/f^K/(“D

述-~~~*2X

-ofc?25

自左向右看圖象是下降的

自左向右看圖象是上升的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)

單調(diào)性，區(qū)間。叫做y=/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

設(shè)函數(shù)/(力的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

前提

條件對于任意xe/,都有對于任意xe/,都有存在使

/(%)<M；存在/e/,使得

得

/(%)=河

結(jié)論M為最大值M為最小值

三、函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

偶函數(shù)如果對于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(—x)=/(x),那么關(guān)于y軸對

稱

函數(shù)/(九)是偶函數(shù)

奇函數(shù)如果對于函數(shù)/(尤)的定義域內(nèi)任意一個X,都有/(—%)=—/(%),那關(guān)于原點(diǎn)對

稱

么函數(shù)/(九)是奇函數(shù)

2.函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都

有/(x+T)=/(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/(力的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做

/(九)的最小正周期.

3.函數(shù)的周期性

(1)如果一個奇函數(shù)/(九)在原點(diǎn)處有定義，即/(0)有意義，那么一定有/(o)=o.

⑵如果函數(shù)“X)是偶函數(shù)，那么/(%)=/(國).

(3)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

(4)函數(shù)周期性常用結(jié)論

對/(%)定義域內(nèi)任一自變量的值X:

①若/(x+a)=-/(x),則T=2a(a>0).

②若/(%+。)="X)，則T=2a(a>0).

③若f(x+a)=-，則T=2a(a>0).

(5)對稱性的三個常用結(jié)論

①若函數(shù)丁=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(X)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

②若對于R上的任意x都有了(2a—%)=/⑺或/(―x)=/(2a+%),則y=/(%)的圖象關(guān)于直線

X=Q對稱.

③若函數(shù)y=/(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)⑶0)中心對稱.

四、二次函數(shù)與薄函數(shù)

1.幕函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，形如y=%"(￡€R)的函數(shù)稱為基函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù).

(2)5個常見募函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=xy=x2y=1y=y二/

定義域RRR{Rx>0}{%xwO}

值域R{y\y?。}R{vv>0}{y\"。}

奇偶性奇函偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

數(shù)

單調(diào)性在R在(-8,0)上單調(diào)在R上單在(0,+8)上在(一8,0)和

2

函數(shù)y=xy=x2y=x2y=x-1

上單調(diào)遞減，在（0,+8）上調(diào)遞增單調(diào)遞增（0,+“）上單調(diào)遞減

遞增

單調(diào)遞增

圖象

儲

-3

-2~3~4~^

過定點(diǎn)(0,0),(1,1)(1,1)

2.二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式

/（%）=依2+法+。（4W0）,圖象的對稱軸是％=一直，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

'b4ac-b2y

一般式、2〃’4aJ

頂點(diǎn)式/（x）=d!（x-m）2+^（tz^0）,圖象的對稱軸是x二機(jī)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m,n）

零點(diǎn)式/（%）=4（%-%）（1一工2）（4W°），其中％，%2是方程加+Z?X+C=0的兩根，圖象的

對稱軸是工=土^迄

2

（2）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y二加+/ZX+C(Q>0)y=ax2+Zzr+c(6z<0)

圖象（拋物線）ji/

1\:/r/A\

定義域R

4ac-b24ac-b2

值域-------------------,+00

4a,I4a

函數(shù)y=ax1+Z?X+C(Q>0)y=ax2+Z?X+C(Q<0)

b

對稱軸x=----

2a

(b4〃c-b1

頂點(diǎn)坐標(biāo)

12a4〃/

奇偶性當(dāng)b=0時是偶函數(shù)，當(dāng)bwO時是非奇非偶函數(shù)

在上是減函在上是增函

數(shù)；數(shù)；

單調(diào)性

一b、「A；

在---,+co上是增函在上是減函

_2a,

數(shù)數(shù)

3.常用結(jié)論

①二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).

?>0/、a<0/、

②若/(X)=加+Zzx+c(awO),則當(dāng)<Av。時恒有當(dāng)<Av。時，恒有/(x)<0.

五、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1.根式

(1)概念：式子后叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

n

(2)性質(zhì):

當(dāng)“為奇數(shù)時，g=a,

當(dāng)九為偶數(shù)時，標(biāo)7=時=<a,a>0,

-a,a<0

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

7

(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是a7旦而(a>0,WeN*,殂"〉;正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

的意義是>0,m,neN",且八〉1);0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有意義.

(2)有理指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)：;(屋)'=廢’;(。3’=優(yōu)加，其中。>03>0,r,seQ.

3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：函數(shù)y=?！?。>0沮妨/)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)X是自變量，函數(shù)的定義域是R,a是

底數(shù).

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<a<l

圖象:

（（）,1二匕

~1"

定義R

域

值域(。,+8)

性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時，y=l

當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，

0<y<10<y<1

在(-。,+。)上是增函數(shù)在(-8,+8)上是減函數(shù)

4.常用結(jié)論

(1)畫指數(shù)函數(shù)y=，(a>Q?且aw)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn)：1,：］.

(2)在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)〉=優(yōu)(。>0組妨力)的圖象越高，底數(shù)越大.

六、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)的概念

如果/=N(a>Q?JLaw),那么x叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log〃N,其中。叫做對數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù).

2.對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)

(1)對數(shù)的性質(zhì)：①或嗚"=雙；②log//=Ma>0且awl).

(2)對數(shù)的運(yùn)算法則

如果a>0且awl,M>0,N>0,那么

①log。(MN)=logaM+log“N；

M

②log.—=log"-iogaN；

n

③logaM=nlogaM(zzeR)；

mn

（4）logaM=—logflM（m,neR,且加中0）.

m

logN

（3）換底公式：log"N=q^（a力均大于零且不等于1）.

log”6

3.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（1）概念：函數(shù)y=log/（a>04且bw）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+“）.

（2）對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a＞\0＜。＜1

1尸fgA

1A=1

41,0)

圖

oM(l,o)xO

象

性定義域：（0,+8）

質(zhì)

值域：R

當(dāng)％=1時，y=0,即過定點(diǎn)（1,0）

當(dāng)%>1時，y>0；當(dāng)Ovxvl時，當(dāng)1>1時，y<0；當(dāng)0<%<1時，

y<0y>0

在（0,+8）上是增函數(shù)在（0,+8）上是減函數(shù)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0,aw1）與對數(shù)函數(shù)y=log/（a>0,aw1）互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線

y=x對稱.

二級結(jié)論：若方程x+/（x）=左的根為再，方程x+/T（x）=k的根為/，那么X]+/=h

5.常用結(jié)論

①換底公式的兩個重要結(jié)論

,!

（1）log/；（2）loga7/z&=—logflZ?.

logbam

其中a>0,且QWI1>0,且加,“wR.

②在第一象限內(nèi)，不同底的對數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.

③對數(shù)函數(shù)丁=1。8”（。>0,。/1）的圖象過定點(diǎn)（1,0）,且過點(diǎn)（a,1）,函數(shù)圖象只在

第一、四象限.

七、函數(shù)的圖象

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線.

首先：(1)確定函數(shù)的定義域；

(2)化簡函數(shù)解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；其次，列表，描點(diǎn)，連線.

2.函數(shù)圖象的變換

(1)平移變換

①y=/(x)的圖象T號=。)的圖象；

②尸“力的圖象黑笥笨整〉產(chǎn)了(%)+匕的圖象.

“左加右減，上加下減”，左加右減只針對x本身，與x的系數(shù)，無關(guān)，上加下減指的是在/(九)整體上加

減.

(2)對稱變換

①y=/(可的圖象關(guān)于謝對稱>y=—/(X)的圖象；

②y=/(x)的圖象關(guān)于丫軸對稱>y=/(—%)的圖象;

③y=/(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱>y=—/(—X)的圖象;

x

?y=a(a>0且a豐1)的圖象關(guān)于直第/對稱>、=lOgox(a>OfiaH1)的圖象.

(3)伸縮變換

\~。>1,橫坐標(biāo)縮短為原來的工縱坐標(biāo)不變？/、，，y

①y=/(x)的圖象-------------------1--------------------->y=/(狽)的圖象.

?\7橫坐標(biāo)伸長為原來的人倍，縱坐標(biāo)不變v7

a

-7—的函復(fù)a>l,縱坐標(biāo)伸長為原來的。倍，橫坐標(biāo)不變、的鳳全

⑷丁一/(即時囹家〈二1額至標(biāo)縮.碉萊的0箱硝標(biāo)荏y-h(x)日g囹家?

(4)翻折變換

①y=/(X)的圖象x軸下方部分翻折到上方y(tǒng)=|〃x)|的圖象；

②y=/(*)的圖象一原丫軸左渭震翼?側(cè)不變？>y=f(忖)的圖象，

3.常用結(jié)論

(1)函數(shù)圖象自身的軸對稱

①〃—力=/(X)O函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于y軸對稱；

②函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對稱

③若函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,M</(a+x)=/(/?-%),則函數(shù)y=/(X)的圖象關(guān)于直線

(2)函數(shù)圖象自身的中心對稱

①/(—X)=_/(x)o函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

②函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(a,0)對稱

o/(a+%)=_/(a_%)o/(x)=_〃2a—%)o/(-%)=-/(2a+x)；

③函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)成中心對稱

o+x)=2〃-/(a-x)o/(x)=2)-(2a-x).

(3)兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系

①函數(shù)y=〃a+x)與y=/0—X)的圖象關(guān)于直線x=2整對稱(由a+x=b—X得對稱軸方程);

②函數(shù)y=/(x)與y=/(2a—X)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

③函數(shù)y=/(x)與y=2b—/(—x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,b)對稱；

④函數(shù)y=/(x)與丁=2/7-/(2。一》)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱.

八、函數(shù)與方程

1.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義

對于函數(shù)y="力，我們把使/(%)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn).

(2)幾個等價關(guān)系

方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn).

(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(。>/僅)<0,那么函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,/7),使得〃c)=0,這個c也就是方程/(%)=0的根.

2.二次函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

A=-2—4acA>0A=0A<0

△=Z?2-4.acA>0A=0A<0

卜

二次函數(shù)y=ax2+ZZX+C(Q>0)的Jyu

/一z

圖象尸

孫二%2X-o

與X軸的交點(diǎn)(&o),(w，o)(七，o)無

零點(diǎn)個數(shù)210

九、函數(shù)的模型及其應(yīng)用

1.幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模/(%)=or+5(〃,/?為常數(shù),aw0)

型

二次函數(shù)模/(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),aw0)

型

指數(shù)函數(shù)模/(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù)/w0,a>0且aw1)

型

對數(shù)函數(shù)模/(x)=blog/+c(a.b,c為常數(shù)力w0,a>0且aw1)

型

幕函數(shù)模型/(x)=雙"+b(a,b為常數(shù),Qw。)

“對勾”函數(shù)模

y=x+—(a>0)

型X

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)性質(zhì)y二優(yōu)(〃〉1)y=logRa〉l)y=(幾>0)

在(O,+8)上單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

的單調(diào)性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

圖象的變化隨X的增大，逐漸表現(xiàn)為與隨X的增大，逐漸表現(xiàn)為與隨九值變化而各有

y軸平行X軸平行不同

函數(shù)性質(zhì)y=優(yōu)Q>1)y=logRa>l)y=x””0)

值的比較存在一個%,當(dāng)％〉/時，有l(wèi)og/<%"〈優(yōu)

必記核心知識點(diǎn)04一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

1.導(dǎo)數(shù)的概念

/(與+以)-〃/)

一般地，函數(shù)產(chǎn)小)在片玉)處的瞬時變化率為函數(shù)y=/(x)在

Ax

“…卜小。),稱函數(shù)

x=七處的導(dǎo)數(shù)，記作/'(%)或yl尤=/即/'(%)==處0

Ax

“x0+Ax)T(Xo［為以x)的導(dǎo)函數(shù).

小)=期Ax

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)”同在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義是在曲線y=/(%)上點(diǎn)P(x0,/(x0))處的切線的斜

率.相應(yīng)地，切線方程為y—/(%)=/'(二)(x—『).

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(x)=c(c為常數(shù))rw=o

f^x)=sinx

f^x)-cosx

/(x)=e*f'(x)=ex

/(x)=Inx尸(x)=：

〃x)=x"(aeQ*)

yr(x)=axa1

f(<x)=cosx

fr^x)=-sirvc

/(x)=優(yōu)(Q>0,"W1)

f，(M=axlna

f(x)=logx^a>0,Qw1)

a/(x)=/

xlnx

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

⑴[/(x)±g(x)]=/，(x)±g，(x)；

(2)=尸(x)g(x)+〃x)g〈x);

[g⑴」[g(x〃

5.常用結(jié)論

1./'(%)代表函數(shù)〃尤)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值；(/(%))'是函數(shù)值/(%)的導(dǎo)數(shù)，且(/(%))'=0?

[/(x)」[〃X)T

3.曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點(diǎn).

4.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/'(%)反映了函數(shù)“力的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小

|尸(左)|反映了變化的快慢，，'(左)越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.

二'利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

(1)若/'(x)〉0,則在區(qū)間Q,b)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)若/'(力<0,則/(九)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；

(3)若恒有/'(%)=0,則/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù).

討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時，要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.

2.常用結(jié)論

(1)在某區(qū)間內(nèi)/'(%)>0(/'(%)<0)是函數(shù)〃可在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.

(2)可導(dǎo)函數(shù)“X)在(a,b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是對Vxe(a,Z?),都有f'(x)>0(/f(x)<0)

且/'(x)在(a,b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

三'利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值最值

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值/(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，/'(a)=0；而且在

點(diǎn)x=a附近的左側(cè)/'(X)<0,右側(cè)/'(x)>0,則點(diǎn)a叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點(diǎn)，/(a)叫做函數(shù)

y=/(%)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，/f(z?)=o；而且在

點(diǎn)尤=6附近的左側(cè)/'(力>0,右側(cè)/■'(力<0,則點(diǎn)6叫做函數(shù)y=/(力的極大值點(diǎn)，/0)叫做函數(shù)

y=/(力的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.

①函數(shù)/(尤)在x0處有極值的必要不充分條件是/'(5)=0,極值點(diǎn)是/'(尤)=0的根，但/'⑺=0的

根不都是極值點(diǎn)(例如/(x)=d,./⑼=0,但x=0不是極值點(diǎn)).

②極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì).極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，

不會是端點(diǎn).

2.函數(shù)的最值

⑴在閉區(qū)間［a,可上連續(xù)的函數(shù)/(尤)在［a,b］上必有最大值與最小值.

⑵若函數(shù)”力在［a,可上單調(diào)遞增，則/(a)為函數(shù)的最小值，/⑻為函數(shù)的最大值；若函數(shù)“九)

在［a,可上單調(diào)遞減，則/(a)為函數(shù)的最大值，/僅)為函數(shù)的最小值.

3.常用結(jié)論

(1)對于可導(dǎo)函數(shù)八%),"/'(%)=0”是“函數(shù)/(可在x=x0處有極值”的必要不充分條件.

(2)求最值時，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值

就是最值.

(3)函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系.

四、二級結(jié)論

⑴對數(shù)形式:*■Wln(x+l)Wx(x>-l),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立.

(2)指數(shù)形式:e、Nx+l(xGR),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，等號成立.

對于這兩個不等式的得到都是源于高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開，他們的變形式還有：ln|-+1

\XJX

^KlnxVx—1等，這都高考命題的題點(diǎn)。

XXXX

a-b/7、

,--------(aw。)，

(3)對數(shù)均值不等式：兩個正數(shù)〃和A的對數(shù)平均定義：L(a,b)=hna-lnb

a(a=b).

對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系:

-Jab<L(a,b)<

2

(此式記為對數(shù)平均不等式)，取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=5時，等號成立.

必記核心知識點(diǎn)05三角函數(shù)與解三角形

一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.

按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角。終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合

S={冽/3=a+k-360，左ez}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作陽d.

(2)公式

角。的弧度數(shù)公

\a\=-(弧長用/表示)

式r

角度與弧度的換