2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)技巧：概率與統(tǒng)計（八大題型）含答案解析

概率與統(tǒng)計

CCC

【解密高考】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】條件概率與全概率公式

【題型二】離散型隨機(jī)變量及其分布

【題型三】二項分布

【題型四】超幾何分布

【題型五】正態(tài)分布

【題型六】一元線性、非線性回歸模型

【題型七】列聯(lián)表與獨立性檢驗

【題型八】概率、統(tǒng)計與其他知識的交匯問題

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

易錯點：均值、方差的大小比較、最值范圍問題

CCC

解密高考

考情分析I.

1、全國團(tuán)對古典概型每年都會考查，主要考查實際背景的可能事件，通常與互斥事件、對立事件一起考查.在

高考中單獨命題時，通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于中低檔題；與統(tǒng)計等知識結(jié)合在一起考查時，

以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題.

2、以理解幾何概型的概念、概率公式為主，會求一些簡單的幾何概型的概率，常與平面幾何、線性規(guī)劃、

不等式的解集、定積分等知識交匯考查.在高考中多以選擇、填空題的形式考查，難度為中檔.

3、以理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念為主，經(jīng)常以頻率分布直方圖為載體，結(jié)合頻率與概率，考查

離散型隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量分布列的求法.在高考中以解答題的形式進(jìn)行考查，難度多為中檔或較

難.

備考策略：小題中新教材新加的全概率公式和條件概率是重點，當(dāng)然古典概型和相互獨立事件的判斷

以及正態(tài)分布也是需要熟練掌握的。今年還需對冷門的知識點，比如用樣本方差估計總體方差、最小二乘

法、殘差等知識點的掌握和理解。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】條件概率與全概率公式

【例1】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為（）

1113

A.-B.-C.-D.-

8424

【答案】C

【詳解】甲、乙、丙、丁、成5人排成一排，甲和乙相鄰的情況有：所有排列為：A：A；=48,

甲和乙相鄰，丙和丁也相鄰的情況有：A；A；A；=24,

241

所以在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為一=一,

482

故選:C

【例2】（多選）有三個相同的箱子，分別編號1,2,3,其中1號箱內(nèi)裝有1個紅球、4個白球，2號箱內(nèi)裝有2

個紅球、3個白球，3號箱內(nèi)裝有3個紅球，這些球除顏色外完全相同.某人等可能從三個箱子中任取一箱

并從中摸出一個球，事件A,表示“取到，號箱?=1,2,3）",事件B表示“摸到紅球"，事件C表示"摸到白球”,

則（）

A.P（B|A）=|B.P（3|A）+P（C|4）=尸（A）

71

C.P（B）=-D.P（4|5）=-

IDo

【答案】AD

【分析】對于A,,由條件概率公式，即可求解；對于B,利用事件B,事件C相互對立和條件概率公式，

即可求解；對于C,根據(jù)條件，利用全概論公式，即可求解；對于D,利用選項C中結(jié)果，再利用貝葉斯公

式，即可求解.

11

PM3X1

【詳解】對于選項A,因為P（a4）=5=所以選項A正確;

P(A)15

3

對于選項B,因為事件3,事件C相互對立，所以P（同4）+尸（c|A）="4?：二所以選項B不

正確;

對于選項C,由全概率公式知

111212

P(B)=P(A)P(B|A)+^(4)^|4)+^(4)^(5|4)=-X-+-X-+-X1=-.

所以選項c不正確；

Q

對于選項D,由選項C知P(5)=西

11

貝"(A忸)=9^=縣喘產(chǎn)=玉5=?所以選項D正確，

15

故選：AD.

【例3】有甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件，加工的次品率分別為6%、5%、3%,加工出來的零

件混放在一起.已知甲、乙、丙3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的30%、40%、30%.任取一個零件，

如果取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為()

2120183

A.—B.—C.—D.—

47474710

【答案】C

【分析】記事件4：取到的零件為甲車床加工的，事件&：取到的零件為乙車床加工的，事件4：取到的零件

為丙車床加工的，事件比取到的零件是次品，利用貝葉斯公式可求得尸(4⑻的值.

【詳解】記事件4：取到的零件為甲車床加工的，事件4：取到的零件為乙車床加工的，

事件4：取到的零件為丙車床加工的，事件3：取到的零件是次品,

則呼聞=焉，尸…焉,尸”)$，

尸⑷/尸⑷W尸⑷小

36

/I\P(AB)尸(A)尸(MA)ZTioo」8

由貝葉斯公式可得尸(A忸)二尸(5)

3/36453347

［尸(A)P(BR)10X100+10><100+10><100

因此，如果取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為關(guān).

47

故選：C.

【變式1】電商平臺人工智能推薦系統(tǒng)是根據(jù)用戶的喜好為用戶推送商品的.某體育用品供應(yīng)商在甲電商平

臺推廣新品A和8,在乙電商平臺推廣新品C.已知甲平臺向一用戶推送A的概率為0.7,推送B的概率為

0.5,同時推送A和3的概率為0.3；乙平臺向該用戶推送C的概率為0.6,且甲平臺的推送結(jié)果與乙平臺的

推送結(jié)果互相不受影響.

⑴在甲平臺沒有向該用戶推送A的條件下，求它向該用戶推送B的概率；

（2）求這兩個平臺至少向該用戶推送A、B、C中的一種的概率.

【答案】⑴:2

（2）0.96

【分析】（1）設(shè)甲平臺向該用戶推送A為事件推送8為事件N,則甲平臺沒有向該用戶推送A為事件而，

應(yīng)用條件概率公式，計算可得結(jié)果；

（2）應(yīng)用對立事件的性質(zhì)，可以計算這兩個平臺向該用戶不推送A、8、C中任一種的概率，用1減去可得

結(jié)果.

【詳解】（1）解：設(shè)甲平臺向該用戶推送A為事件推送8為事件N,則甲平臺沒有向該用戶推送A為

事件而，由題設(shè)可知：

P（M）=0.7,P（N）=0.5,P（W）=0.3,P（M）=l-P（M）=0.3,

又尸（N）=P（MN）+P（而N）=0.5,所以P（而N）=0.2,

.（應(yīng)N）2

（2）設(shè)平臺向該用戶推送C為事件Q,

則這兩個平臺向該用戶至少推送A、B、C中的一種的概率為：P=\-P（MNQ）,

因為甲平臺的推送結(jié)果與乙平臺的推送結(jié)果互相不受影響，所以尸（而配）=尸（必利?尸⑼，

因為尸（而:）=尸（而N）+P（而討）=0.3,所以P（而H）=0.1,

即P（M7V）F（2）=0.lx0.4=0.04,

所以尸=1-P（而討@）=1-0.04=0.96.

【變式2】小李經(jīng)常參加健身運動，他周一去健身的概率為3:，周二去健身的概率為：5，且小李周一不去健

身的條件下周二去的概率是周一去健身的條件下周二去的概率的2倍，則小李周一、周二都去健身的概率

為.

【答案】1/0.5

【分析】設(shè)"小李周一去健身"為事件4設(shè)"小李周二去健身"為事件2,根據(jù)題意利用全概率公式可得，進(jìn)

而結(jié)合條件概率公式分析求解.

【詳解】設(shè)"小李周一去健身"為事件4設(shè)"小李周二去健身"為事件2,

則"小李周一、周二都去健身"為事件

35-

由題意可知：P（A）=：,P（B）=-,且P（5|A）=2P（5|A）,

46

由全概率公式可知：P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）,

51-3-

即丁丁⑻A)+V⑻代入尸⑻m=2尸⑻4)，

2

可解得P(8|A)=§,

3?1

所以P(A2)=尸(A)尸(2|A)=［X§=5.

故答案為：

21

【變式3】甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，要求各投籃2次.已知甲乙兩人每次投中的概率分別為］,且每人

每次投中與否互不影響.

⑴求"甲第一次未投中，乙兩次都投中"的概率；

⑵求“乙獲勝"的概率.

【答案】嗚

【分析】⑴結(jié)合隨機(jī)事件的概率求解即可(2)結(jié)合隨機(jī)事件"乙獲勝”分為甲投中0次，乙投中1次或者兩次,

和甲投中1次，乙投中兩次兩種情況結(jié)合全概率公式求解即可.

【詳解】(1)設(shè)事件"甲第一次未投中，乙兩次都投中"為事件A,

1111

則尸(A)=—x—x—=

33327

(2)誰事件"乙獲勝"為事件及

11

則尸(2)=—X—X

3333233J2332339

【題型二】離散型隨機(jī)變量及其分布

【例1】(多選)設(shè)隨機(jī)變量&的分布列為「卜=：］=成，(笈=1,2,3,4),則()

A.10〃=1B.尸(0.3<0.82)=0.5

3

C.E^)=-D.?C=l)=0.3

【答案】ABC

【分析】由。+2々+3々+4々=1,求出〃，根據(jù)隨機(jī)變量均值的定義，結(jié)合選項依次判斷即可.

【詳解】A：由1+2々+3a+4。=1,得10〃=1,故A正確；

23

B：尸(0.3<&<0.82)=尸修=0.2+0.3=0.5,故B正確;

C：由選項A知，a=OA,

i23

貝I]PG=-)=0.1.PC=-)=0.2,PG=-)=0.3,PC=1)=0.4

~123434

所以=—x0.1+—x0.2+—x0.3+—x0.4=—,故C正確；

44444

D：由選項A知，＜2=0.1,則尸C=1)=04,故D錯誤.

故選：ABC

【例2】已知隨機(jī)變量J的分布列如表

-101

1

PaC

4

若￡>C+2)=；,貝|EC+1)=()

八5T33?1廠3Tl

A.一或一B.一或肅C.—或——

222222

【答案】B

【分析】根據(jù)概率之和為1，以及方差的計算公式求解即可.

1Q

【詳解】由題意得。+。+1=1,即a+c=彳①，

E(J)=(-l)xa+0x；+lxc=c-a,=(-1)2xa+0x^-+l2xc=c+a,

又因為r)C+2)=。⑷=g,所以〃⑷二切“卜同切匕”+G-年-4,②，

聯(lián)立①，②，解得(c-a)2=；,所以c-〃=土;，

”，1…15、”1.51

當(dāng)C—CL——口寸，Q.——,C——;當(dāng)C—CI-口寸，CL——,C——,

288288

1a

故E《+l)=E?+l=c_a+l,解得%+1)=；或j

故選：B.

【例3】已知編號為甲、乙、丙的三個袋子中裝有除標(biāo)號外完全相同的小球，其中甲袋內(nèi)裝有兩個1號球,

一個2號球和一個3號球；乙袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；丙袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球和

一個3號球.

⑴從甲袋中一次性摸出2個小球，記隨機(jī)變量X為1號球的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)現(xiàn)按照如下規(guī)則摸球：連續(xù)摸球兩次，第一次先從甲袋中隨機(jī)摸出1個球，若摸出的是1號球放入甲袋，

摸出的是2號球放入乙袋，摸出的是3號球放入丙袋；第二次從放入球的袋子中再隨機(jī)摸出1個球.求第二

次摸到的是3號球的概率.

【答案】⑴分布列見詳解；E(X)=1

,、29

（2）---

112

【分析】(1)分析可知隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,結(jié)合超幾何分布求分布列和期望;

(2)設(shè)相應(yīng)事件，根據(jù)題意可得相應(yīng)概率，利用全概率公式圓求解.

【詳解】(1)由題意可知：隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,則有:

4202001

P（x=。）年=/（x=i）W下尸—2)=方

6C466

可得隨機(jī)變量X的分布列為

X012

1_2]_

P

6§6

191

所以隨機(jī)變量X的期望E空)=0乂％+1、+2><%=1.

(2)記第一次從甲袋中隨機(jī)摸出1個球，摸出的是1、2、3號球分別為事件A，4,A3，

第二次摸到的是3號球為事件B,

2ill?

則尸(4)=了尸(4)=尸(4)=了尸⑻4)=了尸(陰4)=］尸(44)=方,

21111?29

所以尸(B)=p(4)P(例A)+P(4)P(例4)+P(4)P(例丁下.

T"1T"T"T"/AA乙

【變式1］設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，其分布列為如下，則4=.

X024

50

P--2q

~24

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的概率非負(fù)不大于1，且隨機(jī)變量取遍所有可能值時相應(yīng)的概率之和等于1,列出方

程和不等式，解方程組即可.

【詳解】因為隨機(jī)變量取遍所有可能值時相應(yīng)的概率之和等于1,

所以；+7—2q+q2=1,

24

解得4=31或g=g3,

又因為隨機(jī)變量的概率非負(fù)不大于1,

所以0W：-2q41,0<^2<1,

解得上收，

OO

綜上4=g，

故答案為：g##0.5.

【變式2】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是:，乙每次擊中目標(biāo)的概率是:，假設(shè)兩

42

人是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.

⑴求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；

(2)設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴三3

3

(2)分布列見解析，E(X)=(

【分析】(1)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次，包括甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次，甲恰好擊中目標(biāo)

3次且乙恰擊中目標(biāo)1次，根據(jù)公式得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意確定變量X的所有可能取值，根據(jù)變量對應(yīng)的概率和獨立重復(fù)試驗的概率公式，寫出變量對

應(yīng)的概率，寫出分布列，做出期望值.

【詳解】⑴設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A,甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件耳，甲擊

中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件B2,

則P(A)=P(BJ+尸(o)=c；

3

所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為高.

128

(2)由題可知X的所有可能取值為0,1,2,3,

27

P(X=1)=C；

64

所以X的分布列為

X0123

272791

P

64646464

77?7Q13

所以￡1(X)=0x——+lx——+2x—+3x—=—

v7646464644

【題型三】二項分布

【例1】某公司升級了智能客服系統(tǒng)，在測試時，當(dāng)輸入的問題表達(dá)清晰時，智能客服的回答被采納的概率

為工，當(dāng)輸入的問題表達(dá)不清晰時，智能客服的回答被采納的概率為;.已知輸入的問題表達(dá)不清晰的概率

為】

⑴求智能客服的回答被采納的概率；

(2)在某次測試中輸入了3個問題(3個問題相互獨立)，設(shè)X表示智能客服的回答被采納的次數(shù).求X的分布

列、期望及方差.

4

【答案】⑴］；

4I?

⑵分布列見解析，期望為:，方差為2.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用全概率公式求解.

(2)求出X的可能值及對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望的方差.

【詳解】(1)設(shè)人="智能客服的回答被采納"，3="輸入的問題表達(dá)不清晰"，

1—41—7

依題意，==P(A|B)=-,P(A|/?)=-,

552X

——11474

因止匕尸(A)=P(B)P(A|B)+尸(2)尸(A|2)=—x—+—x—=—,

52585

4

所以智能客服的回答被采納的概率為二.

(2)依題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,X~B(3,2),

P(X=0)=唉)。鈔=點，尸(X=1)=C；0?2=高,

JJJ.乙JJJ.L乙J

尸(X=2)=下(令2(聶=焉尸(X=3)==黑,

所以X的分布列為：

X0123

1124864

p

125125125125

4124112

數(shù)學(xué)期望E(X)=3xw=(；￡>(X)=3x-x^=—.

【例2】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率是:，乙每次擊中目標(biāo)的概率是3，假設(shè)兩人

是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響.

⑴求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率；

（2）設(shè)甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

3

【答案】（1）京

IZo

3

（2）分布列見解析，-

【分析】（1）3次射擊中甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次，分別為甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次與甲擊中目

標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次，分別求出其概率，再相加即可；

（2）甲的設(shè)計過程可看作獨立重復(fù)試驗，所以X~B[3,；],根據(jù)二項分布即可求解.

【詳解】（1）設(shè)甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A,甲擊中目標(biāo)2次且乙擊中目標(biāo)0次為事件耳，甲擊

中目標(biāo)3次且乙擊中目標(biāo)1次為事件

則尸（小尸（4）+尸（即=%門箝。播+4*嗯）唱,

3

所以甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率為之.

128

（2）由題可知X的所有可能取值為0,1,2,3,且

=V/（X=3）=1

64

所以X的分布列為

X0123

272791

P

64646464

77?7Q13

^l^E（X）=0x-+lx-+2x-+3x-=-

【變式1】某工廠的生產(chǎn)線上的產(chǎn)品按質(zhì)量分為：一等品，二等品，三等品.質(zhì)檢員每次從生產(chǎn)線上任取2

件產(chǎn)品進(jìn)行抽檢，若抽檢出現(xiàn)三等品或2件都是二等品，則需要調(diào)整設(shè)備，否則不需要調(diào)整.已知該工廠某

一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品每件為一等品，二等品，三等品的概率分別為0.9,0Q5和0.05,且各件產(chǎn)品的質(zhì)

量情況互不影響.

⑴求在一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整的概率；

⑵若質(zhì)檢員一天抽檢3次，以X表示一天中需要調(diào)整設(shè)備的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴0.9；

⑵分布列見解析，E（X）=0.3.

【分析】（［）應(yīng)用全概率公式計算求解即可；

（2）先根據(jù)對立事件求概率。=尸仁），再結(jié)合二項分布分別求出概率及分布列進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】（1）設(shè)A,表示事件"在一次抽檢中抽到的第z,件產(chǎn)品為一等品"，1=1,2,

與表示事件"在一次抽檢中抽到的第i件產(chǎn)品為二等品"，，=1，2,

C表示事件“一次抽檢后，設(shè)備不需要調(diào)整"，則c=A-4+A?魚+片

由已知尸（A）=0.9,P（Bj=0.05,z=l,2,

所求的概率為尸（C）=P（A?&）+P（A?用）+「（4?4）=0.92+2x0.9x0.05=0.9.

（2）依題意有：隨機(jī)變量X的可能取值為。,1,2,3,

由⑴知一次抽檢后，設(shè)備需要調(diào)整的概率為0=P?=l-O.9=O.l,

依題意知X~5（3,0.1）,則P（X="=Ux0.VxO.934化=0,1,2,3）,

故X的分布列為：

X0123

p0.7290.2430.0270.001

所以：E（X）="p=3x0.1=0.3.

【變式2］我們把魚在水中聚集的比較密的地方叫做魚窩.某人在一湖中用粘網(wǎng)（也叫掛網(wǎng)）捕魚，如果找

到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為90%；如果找不到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為60%.若這個人能夠找到魚

窩的概率為50%.

⑴求此人能捕到魚的概率；

（2）此人連續(xù)下網(wǎng)＞5）次，每次下網(wǎng)捕魚之間相互獨立，若能捕到魚的次數(shù)為。=左（左=。,1,2,…，小，則"

為何值時，6次捕到魚的概率=6）的值最大？

【答案】⑴75%

（2）〃=7或〃=8

【分析】（1）根據(jù)全概率公式直接求解即可；

（2）根據(jù)二項分布概率公式可表示出P信=左），采用不等式法可求得左的范圍，結(jié)合人=6最大可確定”的

取值.

【詳解】（1）記事件A為"此人能補(bǔ)到魚"，事件B為"此人能找到魚窩"，

貝1」/5（川8）=90%=0.9,P（A,）=60%=0.6,P（8）=P（^）=50%=0.5,

p（A）=P（B）P（A|JB）+P（B）P（A|B）=0,5x0.9+0.5x0.6=0.75=75%.

（2）由（1）知：4?B（n,0.75）,P（^=k）=C*xO.75"x（l-0.75）"-'=C^xO.75"x0.25n^,

假設(shè)當(dāng)5=左時，左次補(bǔ)到魚的概率最大，

nkMn+1A

rJC*xO.75^x0.25->C^'xO.75xO.25--3n-l<3n+3

川jc：x0.75/x0.25"Y>CWx0.75*Mx0.25"+"'牛后：4?4，

"3n-l,

5<------<6

若尸信=6）的值最大，貝ij4,解得：7<n<^,

6<^^<73

I4

又〃〉5且〃wN*,〃=7或〃=8,

即當(dāng)〃=7或〃=8時，6次補(bǔ)到魚的概率尸（J=6）的值最大.

【題型四】超幾何分布

【例1】袋中裝有12個大小相同的球，其中紅球2個，黃球3個，白球7個，從中隨機(jī)取出3個球.

⑴求取出的3個球中有2個白球的概率；

（2）設(shè)X表示取到的紅球個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

21

【答案】⑴石

⑵分布列見解析，E（X）=g

【分析】（1）應(yīng)用超幾何分布的概率公式求概率即可.

（2）先分別應(yīng)用超幾何分布的概率公式求出對應(yīng)概率，再寫出分布列，再求數(shù)學(xué)期望即可.

C2C121

【詳解】（1）所求概率為號=宣

G44

（2）X可能的取值為0,1,2.

C3

尸（x=o）=胃6

11

C20C2_909

P（X=I）

Cf2~22022

42

尸（X=2）=*CC101

22022

故X的分布列為

X012

691

P

112222

?EX=Ox—+lx—+2x-=-

1122222

【變式1]（多選）從6名女生和8名男生中任選5人去陽光敬老院參加志愿服務(wù)，用X表示所選5人中女

生的人數(shù)，用￥表示所選5人中男生的人數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

備注：一般地，若一個隨機(jī)變量X的分布列為P（X=r）=CMCN-M其中r=0,l,2,3,…=,則

C?

稱X?H（w,M,N）.

A.B.y~H（5,8,14）C.E（X）＜E（Y）D.E（X）+E（F）=5

【答案】BCD

【分析】根據(jù)超幾何分布的概念和性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意，從6名女生和8名男生中任選5人，

則所選5人中女生的人數(shù)X和男生的人數(shù)Y服從超幾何分布，

即*~”（14,6,5）,丫~“（8,5,14）,所以選項A錯誤，選項B正確;

又由超幾何分布的均值公式，可得：

nM=5x6=15?M=5x8=20

'）N147'、）N147'

所以E（X）＜E（F）,

E（X）+E（y）=]+萬=5,所以選項C,D正確.

故選：BCD

【變式2】一個不透明的袋子中有10件外觀一樣的產(chǎn)品，其中有6件正品，4件次品.現(xiàn)進(jìn)行如下兩個試

驗，試驗一：逐個不放回地隨機(jī)摸出2件產(chǎn)品，記取得次品的件數(shù)為X1,期望方差分別為E（Xj,O（Xj；

試驗二：逐個有放回地隨機(jī)摸出2件產(chǎn)品，記取到次品的件數(shù)為X?,期望和方差分別為磯X2）,O（Xj,

則下列判斷正確的是（）

A.E（X1）=E（X2）,D（X1）＜D（X2）B.E（X1）=E（X2）,Z）（X1）＞Z）（X2）

￡（X）＞E（X）,Z）（X）＞D（X）D.

c.1212E（XI）＜E（X2）,D（XI）＜D（X2）

【答案】A

【分析】利用超幾何分布和二項分布知識分別計算從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出2件產(chǎn)品、從中隨機(jī)地有放回摸

出2件產(chǎn)品的期望、方差，再做比較可得答案.

【詳解】試驗一：從中隨機(jī)地?zé)o放回摸出2件產(chǎn)品，記次品的件數(shù)為X1,

則X1的可能取值是0,1,2,

C°C21__C^_24

則P(XI=O)=巖心P(Xn8

jo315

P(X=2)=-C2^cAo2

jo15

故隨機(jī)變量X1的概率分布列為:

012

182

P

31515

則數(shù)學(xué)期望為：E(X1)=0xl+lxA+2xA=l,

方差為：O(X[)=(0—g)2?；+"g)2,t+(2-g)2?[=!!；

42

試驗二：從中隨機(jī)地有放回摸出2件產(chǎn)品，則每次摸到次品的概率為元二y,

則X?~,

24

故E(X2)=2xg=m，

2312

方差為：D(X)=2X-X-=-^,

25525

b,、，??、323612?“、

所以￡>(^1)=—<—=—=D(X2),

故E(XJ=E(Xz),。(乂)<。的).

故選：A.

【題型五】正態(tài)分布

【例1】(多選)若隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，P(X>ni)=OA,則()

A.m>0

B.m<0

C.P(|x|</n)=0.2

D.尸(|X[>m)=0.2

【答案】AC

【分析】根據(jù)給定條件，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)逐項計算判斷.

【詳解】對于AB,由尸(X>m)=0.4〈尸(X>0)=0.5,得相>0,A正確，B錯誤;

對于CD,P（|X|>m）=P（X<-m）+P（X>ni）=2P（X>777）=0.8,貝|尸（|X|<7〃）=0.2,C正確，D錯誤.

故選：AC

【例2】（多選）小明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間,

經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；騎自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4,

假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時-都服從正態(tài)分布，則（）

A.P（X<30）<P（r<34）

B.P（X<36）=P（r<36）

C.若某天只有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇騎自行車

D.若某天只有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇騎自行車

【答案】BD

【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的對稱性和3b事件的原則，逐項判斷即可.

【詳解】由題意：X?N（30,36）,y?N（34,4）.

對A：因為尸（XV30）=；,P（y<34）=1,所以P（XW30）=P（y（34）,故A錯誤；

對B：因為尸（XM36）=尸（XV30+6）=尸（XV4+0）,P（K<36）=P（K<34+2）=P（K<M2+cr2）,所以

P（X<36）=P（y<36）,故B正確；

對c：因為P（X434）>P（X430）=1,P（K<34）=1,所以尸（XW34）>尸（FW34）,所以只有34分鐘可

用，小明應(yīng)選擇坐公交，故C錯誤；

對D：因為尸（XV38）二尸（XV3O+8）<P（XVWj+20）,P（K<38）=P（K<34+4）=P（K<M2+2cr2）,所以

P（X<38）<P（r<38）,所以只有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇騎自行車，故D正確.

故選：BD

【例3】某校高三學(xué)生的?？紨?shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布Ne5,IO?）,按照16%,34%,34%,16%的比例將

考試成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格和基本合格四個等級.若小張的數(shù)學(xué)成績?yōu)?2分，則他的等級是（）

附：P（/Z-CT<X</z+cr）?0.6827,P（^/j-2a<X</z+2cr）?0.9545,P（//-3cr<X<//+3cr）?0,9973.

A.優(yōu)秀B.良好C.合格D.基本合格

【答案】B

【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題得4=85,cr=10,所以4+b=95,〃—b=75,

4+2b=105,〃-2cr=65,

因為P(〃一crWX<//+cr)?0.6827,P(//-2cr<X<//+2cr)?0.9545,

所以P(X>95)a1一°；827=015865^16%,

根據(jù)比例成績大于95分為優(yōu)秀，

因為P(85<X495卜°6；27=034135~34%,

根據(jù)比例成績在85到95之間的為良好，

P(75<x<85)?06；27=0.34135=34%,

根據(jù)比例成績在75到85之間的為合格，

P(X<75)?1-°詈7=0.15865216%,

根據(jù)比例成績小于75分為基本合格，

因為小張的數(shù)學(xué)成績?yōu)?2分，則他的等級是良好.

故選：B.

【變式1】已知某機(jī)械在生產(chǎn)正常的情況下，生產(chǎn)出的產(chǎn)品的指標(biāo)參數(shù)符合正態(tài)分布N(100,16).現(xiàn)從該機(jī)械

生產(chǎn)出的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，則這2件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)分別在(96,112)和(92,108)的概率為()

(運算結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)參考數(shù)據(jù)：若X服從正態(tài)分布(〃,/)，則

尸(〃~(y<X<jLi+o)=0.6827,PQi-2cr<X<//+2b)=0.9545,P(//—3b<X<//+3b)=0.9973.

A.0.57B.0.75C.0.80D.0.84

【答案】C

【分析】由正太分布概率計算及概率乘法公式即可求解.

【詳解】尸(96<x<112)=尸(〃一cr<X<〃+3cr)=0.84,

P(92<X<108)=P(〃-2(r<X<〃+2cr)=0.9545,

故所求概率P=0.84x0.9545=0.80178?0.80,

故選：C.

【變式2】已知隨機(jī)變量J?N(L4),MP(^>r)=Jp(^<o),則2+①(0<x<t)的最小值為.

【答案】9

9Q

【分析】由正態(tài)分布的對稱性求得參數(shù)/的值，再用基本不等式求出的最小值，即可得到答案.

x2-x

【詳解】由隨機(jī)變量。?N(l,b,則正態(tài)分布的曲線的對稱軸為4=1.

又因為尸所以0+/=2,解得r=2.

當(dāng)0<x<2時，由基本不等式得：芯+2\6存2=,|(22-x)+^->2^(2-x)?^=.

將兩個不等式相加，就有9+12+/—126+12=18,從而2+/_29.

2-x)x2-x

22+?+上一3+6-9

而當(dāng)x=；時，有％2-尤2236：

33

9Q

所以4+4的最小值為9.

故答案為：9.

【變式3](多選)隨機(jī)變是X服從正態(tài)分布令函數(shù)“x)=P(X2x),則下列選項正確的是()

A./(1)=1B./(x)是增函數(shù)

C.〃尤)是偶函數(shù)D.“X)的圖象關(guān)于點中心對稱

【答案】AD

【分析】由正態(tài)分布可求得/。)=尸(X21)=J,判斷A；易得/(x)在(1,+8)上是減函數(shù)，可判斷B；計算

/⑴W/(T)，可判斷C；證明/(x)+〃2-x)=l可判斷D.

【詳解】對于A,因為X~N[1,￡|,所以/(1)=P(X21)=；,故A正確；

對于B,x>l,當(dāng)無增大時，/(x)=P(X2x)減少，

所以〃幻在(1,+s)上是減函數(shù)，故B錯誤；

對于C,7(1)=P(X>1)=/(-1)=P(X-i)>故C錯誤；

對于D,若〃x)的圖象關(guān)于點[1,￡|中心對稱，則/(x)+/(2—x)=l,

因為X服從正態(tài)分布所以關(guān)于x=l對稱，

所以「(X2x)=尸(XW2T),

則〃尤)+/(2-x)=P(X2龍)+P(X22-x)=P(XW2—x)+P(X22—x)=l,故D正確.

故選：AD.

【題型六】一元線性、非線性回歸模型

【例1】某公司收集了某商品銷售收入y(單位：萬元)與相應(yīng)的廣告支出x(單位：萬元)共io組數(shù)據(jù)

（4y）（i=l,2,3,…,10）,繪制出散點圖，如圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.若將圖中10個點中去掉A點

后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法錯誤的是.

八銷售收入W萬元

60-?

50-.?**

40-.?

30-

P1.01.‘52.02.’53：03：54：04：55：05‘.5廣智支出

x/萬元

①決定系數(shù)R2變?、跉埐钇椒胶妥冃?/p>

③相關(guān)系數(shù)「的值變小④自變量x與因變量y相關(guān)性變?nèi)?/p>

【答案】①③④

【分析】回歸效果越好，則決定系數(shù)代越大，相關(guān)系數(shù)『的絕對值越大，殘差平方和越小.

【詳解】從圖中可以看出A點較其他點，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉A點后，回歸效果更好，

故決定系數(shù)尺2會變大，更接近于1；殘差平方和變小;

相關(guān)系數(shù)廠的絕對值，即上|會更接近于1,由圖可得x與>正相關(guān)，故廠會更接近于1,即相關(guān)系數(shù)「的值變

大，自變量x與因變量>相關(guān)性變強(qiáng)，故①，③，④錯誤，②正確.

故答案為：①③④.

【例2】眾所周知，乒乓球被稱為中國的"國球"，是一種世界流行的球類體育項目，包括進(jìn)攻、對抗和防守.

某學(xué)校為了豐富學(xué)生的課后活動內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，決定組織乒乓球活動社.以下是接下來7個星期（用x=l

表示第1個星期，用x=2表示第二個星期，以此類推）參加活動的累計人數(shù)y（人）的統(tǒng)計數(shù)據(jù).

Xi234567

y614203774108203

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)可以判斷y與x大致滿足回歸模型y=試建立》與龍的回歸方程（精確到0Q1）;

（2）為了更好地開展體育類型活動，學(xué)校繼續(xù)調(diào)查全校同學(xué)的身高情況.采用按比例分層抽樣抽取了男生30

人，其身高的平均數(shù)和方差分別為171.5和13.0；抽取了女生20人，其身高的平均數(shù)和方差分別為161.5

和27.0,試求全體學(xué)生身高的平均數(shù)和方差.

7717

參考數(shù)據(jù)：9=66,2之1.57,=2681,￡x,4=50.95,其中z,=lg%,z=-^z;；

Z=11=1/Z=1

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（4用），（的，嶺卜…，（"〃，為），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計

，UM-nuv

公式分別為?"7''一，a=v-(3u.

￡一nu

i=\

【答案】⑴y=10"S7

（2）平均數(shù)為167.5,方差為42.6

【分析】（1）利用對數(shù)變換將非線性回歸模型y=cd工轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，再根據(jù)給定的參考公式求出線

性回歸方程的系數(shù)，進(jìn)而得到y(tǒng)與x的回歸方程；

（2）根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)，利用平均數(shù)和方差的計算公式來求解全