2025高考數(shù)學專項復習：解三角形（八大題型）含答案解析

解三角形

題型概覽

目錄

【解密高考】總結?？键c及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）

【題型一】余弦定理解三角形

【題型二】正弦定理解三角形

【題型三】三角形解的個數(shù)問題

【題型四】判定三角形狀問題

【題型五】面積公式的應用

【題型六】三角形中最值范圍問題

【題型七】距離、高度、測量問題

【題型八】與其它知識綜合問題

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

易錯點：最值范圍忽視角度取值范圍問題

CCC

解密高考

考情分析:作為高考固定題型，每次會出現(xiàn)在解答題的第一題或者第二題，新高考出現(xiàn)了結構不良題

的新題型，無外乎的就是和三角函數(shù)與解三角形結合出現(xiàn)在解答題第一題里，占15分，難度不大也適應了

新高考的新題型，所以是熱門，必須要把各題型都能熟練掌握

備考策略：常規(guī)題型的歸納總結，基礎知識的記憶與推導理解；最值范圍的問題以構造函數(shù)求范圍。

<?>題型特訓提分--------------------------------------

【題型一】余弦定理解三角形

【例1】在VABC中，角A,B,C所對邊分別是a,b,c,若a:b:c=3:2:2,貝iJcosA=

【答案】

【分析】利用余弦定理計算可得.

【詳解】令〃=3（方＞0）,b=2t,c=2t,

2

由余弦定理可得COSA=〉+02一＞=（約2+（2廳-（3/）2=_1

2bc2x2,x2/8

故答案為：4

O

【例2】在VABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，6,c,且滿足/一廿=c?-亞兒

則tan2A=

3

【答案】20

【詳解】利用余弦定理求出cosA,即可求出tanA,再由二倍角公式計算可得.

【分析】因為/一/一-也"，所以戶+。2”=亥兒，

33

由余弦定理得cosA=0+c~

2bc3

?.?AG(0,7i),sinA=A/1-cos2

3cosA2

2x交

_.2tanA

miltan2A=-----—;2夜

則1-tan2A

1-

2J

故答案為：2點.

jr

【變式1】在VABC中，N3=—,A3=8,AC=7,貝U8C=（）

3

A.5B.3或5C.4D.2或4

【答案】B

【分析】利用余弦定理求解即可.

【詳解】由余弦定理，#AB2+BC--2AB-BCcosB=AC2＞

即64+_88C=49，即BC2-SBC+15=0,

解得3c=3或5,

經(jīng)檢驗，均滿足題意.

故選：B.

【變式2】在VABC中，內(nèi)角A,3,C所對的邊分別為名瓦。，且cosA=g,6=2,a=石,

【答案】3

【分析】由余弦定理a?=tr+c2-2bccosA即可求解;

【詳解】由余弦定理知a?=〃+c?-2bccosA，

§P5=4+c2-2x2xcx—,

3

整理得34-8°-3=0,解得c=3.（負值舍去）

故答案為：3

【題型二】正弦定理解三角形

【例1】（多選）在VABC中，。=8/=尤,3=45°,則角4為（）

A.60°B.120°C.75°D.30°

【答案】AB

【分析】由正弦定理可得sinA=@.結合。>八0<4<兀即可求解.

2

【詳解】在VA3C中，由正弦定理」==—L，得sinA=MO=@.

sinAsinB62

因為a>力，0<A<n,所以A=60°或A=120°.

故選：AB.

【例2】在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A=￡,cosC=巫，c=4,則。=（）

47

A.述B.他cWD,處

377

【答案】A

【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.

【詳解】在VABC中，由cosC=^，得sinC=Jl-cos2c=Jl-（半）2=g，

4夜

ccsinA4X

由正弦定理得一j所以a=T_7T2

sinAsinCsinC-6_

7

故選：A

(2=5/3,A=60°，若cos2B=；,貝!]b=

【變式1】在VA3C中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c

()

A.1B.73C.2D.2V2

【答案】A

【分析】利用二倍角公式求出sinB的值，再利用正弦定理可求得b的值.

【詳解】因為8為VABC的內(nèi)角，貝hinB>0,

由二倍角的余弦公式可得cos23=1-2sin28=；,解得sinB,

?A/3x?—

basm8D=____2

由正弦定理可得所以，b==1

sin3sinA百

故選：A.

【變式2】。是Rt^ABC斜邊3C上一點,若42=AD,AC=邪DC,則sinZABC的值

B6C.亞D.顯

322

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，結合幾何圖形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.

【詳解】在RtaABC中，令NABC=6,由=則NADB=4出。=8,

^.ADC=7i-XADR=7i—0Z-CAD=—/BAD=—(?！?8)=28—,

9222

在△ACD中，AC=y/3DCf由正弦定理，sin(7t-0)=V3sin(2^——),

即sin0=-\/3cos20,整理得2^3sin2夕一sin夕一^3=0,

BP(2sind-73)(^sin0+1)=0,因sin6>0,則有sin8=乎，即sin/ABC的值是乎.

【題型三】三角形解的個數(shù)問題

【例11符合下列條件的三角形有且只有一個的是（）

兀71

A.a=2,c=3,A=—B.a=2v3,b=6,A=—

66

兀

C.a=2,b=v2，c=5D.a=2,b=3,B=—

6

【答案】D

【分析】選項A：利用正弦定理判斷；對于B：由正弦定理判斷；選項C：兩邊之和大于第三邊判斷；選項

D：由正弦定理判斷;

【詳解】對于A：因為^=意，所以sinC=|%H=si哈三角形有兩解，故A錯誤;

b所以由於舞

對于B：因為‘4

sinAsinB

S.b>a,所以3>A,所以8=60?；?20°，故有兩解，故B錯誤；

對于C：因為2+0<5,所以無解，故C錯誤；

對于D：因為工=工，所以sin/=2sin3°=」<J_=sinB,故A,三角形只有一解，故D正確.

sinAsmB332

故選：D

【例2】已知VABC的內(nèi)角A&C的對邊分別為。也c,且滿足。=2四,8=2的三角形有兩個，貝防的取值

4

范圍為（）

A.（0,2偽B.（2后4）C.（2,4）D.（2,272）

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理，結合三角形有兩解的條件列式求解.

b<a

【詳解】在VABC中，a=20B=?,由VABC有兩解，得<

.AasinB、，

4sinA=---------<1

、b

b<2>/2

解得行,

即2&x@-2Vb<2

----------2-<1

、b

所以人的取值范圍為（2,2應）.

故選：D

【變式1】（多選）在VABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中恰有一解的是（）

_兀

A.b=7,c=3a,「C=—兀B.b=5,c=6,C=

6~4

C.a=6,b=3A/3，B=—D.a=20,b=15B=-

3f6

【答案】BC

【分析】根據(jù)三角形解的個數(shù)的判定條件直接計算可得.

7

【詳解】A中，因為加inC==,有cvbsinC,所以該三角形無解，故A錯誤;

2

5/?

B中，因為〃sinC=士，C為銳角，有bsinC<b<c,

2

所以該三角形有一解，故B正確;

C中，因為asinB=3g,8為銳角，^b=asinB,

所以該三角形有一解，故C正確；

D中，因為asin3=10,3為銳角，有asinB<b<a,

所以該三角形有兩解，故D錯誤.

故選：BC.

【變式2】已知VABC中，。=3,4=60。，VABC有兩解，貝腦的取值范圍是（）

A.（2,2括）B.［3,2石］C.（3,2百］D.（3,20）

【答案】D

【分析】數(shù)形結合即可得到答案.

【詳解】如圖，

要使VABC有兩解，則匕sin60°<。<b,BPZ?sin600<3<b,

即3<6<273.

故選：D.

【題型四】判定三角形的形狀問題

【例1】在△4BC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若6cos4+acosB=csinC,貝!ABC為（）.

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解題思路】由正弦定理和正弦和角公式化簡得到sinC=1,求出C=］得到答案.

【解答過程】由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=sin2C,

其中sindcosB+cosXsinS=sin（4+B）=sinC,

所以sinC=sin2C,

因為C€（0,7i）,所以sinCQO,

故sinC=1,

因為ce（o,-rr）,所以c=5

故△ABC為直角三角形.

故選：c.

【例2】在AABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,若等=萼=苧（k為非零實數(shù)），則下列結論簿

誤的是()

A.當k=5時，△ABC是直角三角形B.當k=3時，△ABC是銳角三角形

C.當k=2時，AABC是鈍角三角形D.當k=l時，AaBC是鈍角三角形

【解題思路】由正弦定理化簡己知可得a:b:c=k:3:4,利用余弦定理，勾股定理，三角形兩邊之和大于第

三邊等知識逐一分析各個選項即可得解.

【解答過程】對于選項A,當k=5時，=—■—,根據(jù)正弦定理不妨設a=5m,b=3m,c=4m,

534

顯然△是直角三角形，故命題正確；

對于選項B,當k=3時，苫i==二￡,根據(jù)正弦定理不妨設。=3zn,b=3m,c=4m,

222

顯然△ABC是等腰三角形，a4-fo—c=97n2+97n2__27n2>。，

說明NC為銳角，故△48C是銳角三角形，故命題正確；

對于選項C,當k=2時，—=,根據(jù)正弦定理不妨設Q=2zn,b=3m,c=4m,

234

可得M+b2—c2=4m2+97n2—16m2=—3m2<0,說明為鈍角，故4ZBC是鈍角三角形，故命題正

確；

對于選項D,當k=l時，'吧=吧￡=吧￡,根據(jù)正弦定理不妨設a=lm,b=3m,c=4m,

134

此時a+b=c,不等構成三角形，故命題錯誤.

故選：D.

【變式1】在AABC中，a,b,c分別為角4、B,C的對邊，下列敘述正確的是()

A.若acosB=bcos力，則△ABC為等腰三角形

B.若atanZ=btanB,則AABC為等腰三角形

C.若siMA+siMB+cos2c<1,則△ABC為銳角三角形

D.若cos24+cos2B+cos2c>—1,則△ABC為鈍角三角形

【解題思路】應用正弦定理判斷A選項，應用正弦定理結合同角三角函數(shù)關系判斷B選項，結合余弦定理

判斷C選項，根據(jù)二倍角公式的余弦公式及余弦定理判斷D選項.

【解答過程】因為acosB=bcosA,所以sinAcosB=sinBcos4,sin(A—B)=0,A,BE所以4=B,A選

項正確；

因為atanA=6tanB,所以處="與cos4cosB同號，cos4cosB只能同時為正，cos4,cosB￡(0,1),

C0Si4cosB

因為y=—t,tG(0,1)單倜遞減，----cos/=--------cosB可得cos/=cosB,A)BE.所以/=B,B

tC0Si4cosB

選項正確；

因為siMa+sin2B+cos2c<1,所以siMZ+sin2B<1—cos2c=siMc,又由正弦定理得小+62V

又由余弦定理得85。=老譬《<0笛6(0,2,所以。為鈍角，所以AABC為鈍角三角形，c選項錯誤；

2ab

因^Jcos2/+cos2B+cos2c>—1,所以cos2Z+cos[(J?+C)+(B—C)]+cos[(5+C)—(B—C)]>—1

所以2cos2/+2cos(B+C)cos(B—C)>0,

因為cos/=—cos(B+C),所以cos4[—cos(B+C)—cos(B—C)]>0,

貝!Jcos4(—cosBcosC+sinAsinB-cosBcosC-sinAsinB)>0,

所以cosAcosBcosC<0,故4C中必有一個是鈍角，

所以△4BC為鈍角三角形，故D正確；

故選：ABD.

【變式2】已知ATIBC中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,6,c,a=i則△ABC的形狀是.

cosB+cosC

【解題思路】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cos4(sinC+sinB)=0,進一步有cos4=0,即可

求解.

sinB+sinC

【解答過程】由正弦定理以及。=烹三可得sin/=

cosB+cosC

所以sirL4cosB+sin4cosc=sinB+sinC=sin(71+C)+sin(71+B)

=sinZcosf+cosZsinC+sinXcosB+cosXsinB,

化簡可得：coSi4(sinC+sinB)=0,

因為00<C<IT,所以sinB>0,sinC>0,貝!Jcos4=0,

因為OV/VTI,所以/=：,則△ZBC的形狀是直角三角形；

故答案為：直角三角形.

【題型五】面積公式的應用

【例1】在VABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,若。=5,b=7,c=4,則VABC的面積為

A.4&B.2后C.4D.8

【答案】A

【分析】由余弦定理求出cosB的值，利用同角三角函數(shù)的基本關系求出sinB的值，然后利用三角形的面積

公式可求得VABC的面積.

【詳解】在VABC中，因為。=5,b=7,c=4,

22_i225+16-49

由余弦定理可得cos5="+‘一"

lac2x5x45

所以，sinB=Vl-cos2B=,

因此，NABC的面積為523「=—ticsinB=—X5X4X^^-=4A/6.

△Me225

故選：A.

【例2】在VABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,且滿足竺電二+弋=在包粵

csmBcosBasmB

⑴求B;

(2)若a=2,c=3,求AC邊上的高.

【答案】⑴9

(2)通

7

【分析】(1)利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡得出cosB的值，結合角5的取值范圍可得出角B的

值；

(2)利用余弦定理求出匕的值，求出VABC的面積，即可求出AC邊上的高.

sinAsinCcosA2sinCsinAsinAcosA2sinC

【詳解】(1)由正弦定理，有--------------------1----------------------1-----------=-------------

sinCsinBcosBsinAsinBsinBcosBsinB

sinAcosB+sinBcosA2sinC有%H=2sinC,

通分后，有

sinBcosBsin3cosB

因為0＜。＜兀，貝Ijsinc＞o,

又由A+6=7t—C,有sin(A+5)=sinC,可得cos3=—,

IT

又由0＜5＜兀，可得B=

(2)設AC邊上的高為力，

由3=§及余弦定理，有人=A/6Z2+c2—2accosB=Ja2+c2-ac=^22+32—6=不，

NABC的面積為S=—sinB=—x2x3sin—==—bh，

AABC22322

則人空=羋=酒.

b小1

【變式1】VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cosA(ccosB+Z7cosc)=a.

⑴求A;

(2)若a=2,VABC的面積為百，求6,c的值.

【答案】(1)A三

(2)b=c=2.

【分析】(1)由正弦定理結合和差角的正弦公式化簡求解即可；

(2)由面積公式可得稅=4,再根據(jù)余弦定理求解即可.

【詳解】(1)由正弦定理及2cosA(ccos5+Z2cosc)=4.

得2cosA(sinCeosB+sinBcosC)=sinA,

即2cosAsin(C+B)=sinA,

即2cosAsinA=sinA,

因為0<A<7i,所以sinAwO,

1IT

所以cosA=所以A=?.

23

（2）由題意得VABC的面積S=：6csinA=6,所以歷=4①.

又/=廿+（?-2bccosA，且a=2,所以〃+°?=8②.

由①②得b=c=2.

【變式2】已知在VABC中，a2+c2-y/3ac=b2,b2=2.

⑴求—3的大小

⑵若邊上的高等于1,求VABC的面積.

【答案】⑴8=?

0

（2）1±^

2

【分析】（1）由余弦定理得到cosB=@,得至UB=m；

（2）作出輔助線，結合（1）求出各邊長，利用三角形面積公式得到答案.

【詳解】（1）SSB/M"=回=昱,

lac2ac2

又3?0,兀）,故2哈

（2）從=2,故AC=V^，

過點C作C?；谹B于點￡>,A8邊上的高等于1,故CD=1,

故AD=JAC2_CD2=］，

由（1）知，B=g所以BDfCD=6,

O

所以AB=AZ）+BD=1+G

所以SABC=，A8,CD=Lx（l+6）xl=li^.

△ADC22、,,2

A

【題型六】三角形中最值范圍問題

【例1】已知a,b,c分別為VABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且加inA-扃cosB=0.

⑴求8;

(2)若6=2,求VABC的面積的最大值.

【答案】(1)8=；

(2)6

【分析】(1)由正弦定理邊化角，再結合輔助角公式即可求解；

(2)法一：由余弦定理^=/+c2-2a-ccosB,結合基本不等式求得這最大值，即可求解；法二：由正

弦定理，得到a=*"sinA,c=&msinC,再結合面積公式、輔助角公式即可求解；

33

【詳解】(1),/fosinA-y/3acosB=0,

由正弦定理可得sinBsinA-SsinAcosB=0

As(0,^"),sinAwO,sinB-6cosB=0.

Zsin,-Jo.

,.,BG(O,K),,8二;；

(2)(方法一)在VABC中，由余弦定理得k=/+，一2〃.c.cosB,

即4=a?+/之2ac—ac=ac,當且僅當a=c=2時取等號.

:.S,Rr=-a-c-sin^ABC<ix4x—=73.

we222

即VABC的面積的最大值為G

a_c_2

(方法二)由正弦定理得sinAsinC也

，好速sinA,c=^sinC,

33

smC

則VA3C面積S=LcsinB△x且x還蛆.xl^

22233

4V§sin|--A|sinA

_4ArinCsinA_I3J

—3—3

=(yfisin2A-cos2A+1)=-sin2A--cos2A+—

3'，3I222J

jr2冗

因為3=彳，所以0<A<二,

33

LLtxI兀c47t77t

所以-7<2A-7〈丁，

666

所以當2A一冷取得最大值

3LI6；2j

所以手卜n/一野1

+—《括即當且僅當A=C=W時取等號.

2

即NABC的面積的最大值為上

【例2】記銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=2,bcos8=0sin2B.

⑴求A;

(2)求(省-1)。+0c的最大值.

【答案】⑴A=：

(2)45/2.

【分析】(1)由倍角公式結合正弦定理即可求；

(2)由正弦定理邊化角，由VABC為銳角三角形得出8的范圍，利用正弦型函數(shù)性質即可求.

【詳解】(1)因為6cosB=J^sin28，所以Acos3=2應sincos3.

又VA3C為銳角三角形，故cosB/O,則上=2四=三.

sinBsinA

因為a=2,所以sinA=.

2

又腦網(wǎng),故A=%

(2)由正弦定理得二二一汨二三二？血,

sinBsinCsinA

貝“6=2忘sinB，c=20sinC.

_47r

由（1）知4=—,則C=-----B.

44

所以（括-l）b+0c=20（ATsin3+4sinC

=^2\/6-2^2jsinB+4sin

=2^sinB+2V2cosB=4>/2sin,

因為VABC為銳角三角形,

0<B<-

2,所以

所以

o<?M42

42

r-r*[\I5兀門712兀

所以五＜8+不〈號,

所以當8+臺弓時，即8=]時，（6-2+缶取得最大值4&.

【變式1】已知|AB|=4,M為A8上一點，且洵=3麗.動點C滿足|AC|=2|CM，。為線段3C上一點，

滿足|C0=|DM|,則下列說法中不正確的是（）

A.若四，則。為線段BC的中點B.當|AC|=3時，VABC的面積為半

C.點。到A,B距離之和的最大值為5D.NMCB的正切值的最大值為理

3

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標系，將條件中的邊長關系轉化成坐標運算，得到動點C的軌跡是圓，動點。的

軌跡是橢圓，利用圓和橢圓的性質可求解判斷A,C,D；結合余弦定理和三角形面積公式可求出VABC的面

積，判斷出B錯誤.

以3為原點建立如圖所示平面直角坐標系，則A（T,O）,Af（-1,0）,

設C(x,y),由|AC|=21cMi知，屁盯+y2=2gif+y?，化簡得/+尸=4,即動點C在以點5為圓心,

半徑為2的圓上，

對于A,由|CD|=|DM|知。在線段CM中垂線上，所以當四時，。為線段BC的中點，故A正確；

7

對于B,當|4。=3時，在VABC中利用余弦定理得cos/C4B=—,

8

又因為/C4Be(O㈤，所以sin/C4B=半，所以VABC的面積為到sin/CA3=半，故B錯誤;

對于C,因為|。閭+口目=|￡＞。+0用=怛。=2＞|〃8|=1,

根據(jù)橢圓的定義，點。在以8為焦點的橢圓上，且長軸長2。=2,焦距2c=1,短軸長2b=g.

所以|以+|/四=|。胤+2-|。圖＜2+|40|=5,當點D在橢圓的右頂點時，即A,M,。三點共線時等號成

立，取得最大值5,故C正確；

對于D,易知/MDB=2/MCB,根據(jù)橢圓焦點三角形的性質可知，當NMD3最大時，D在橢圓的上或下頂

點，

1

—色

此時tan-ZMDB=tan/MCB=—=-j=-=工-為最大值,故D正確.

2b3

2

故選：B.

【變式2】已知M=(石sinx,-cosx),B=(cosx,cosx),f^x)=d'b.

⑴求函數(shù)/(%)圖象的對稱軸方程;

⑵求函數(shù)/(X)單調遞增區(qū)間;

⑶設VABC的內(nèi)角A瓦。所對的邊分別為4C,若/(B)=；且八百.求VABC面積的最大值.

.,—左兀7T,~

【答案】(1)X=~^~+],上￡Z；

7C7C

(2)kit,kjtH—，左wZ

63_

⑶地

4

【分析】(1)通過向量數(shù)量積得到函數(shù)表達式〃x)=sin[2x-t)-；,再利用正弦函數(shù)的對稱軸，整體代換

計算即可；

(2)運用正弦函數(shù)單調性，整體代換計算即可；

(3)結合三角形內(nèi)角條件和余弦定理、重要不等式求解三角形面積的最大值.

【詳解】(1)由少=(百sinx,-cosx),B=(cosx,cosx),

則/(x)=商?5=百sinxcosx—cos2x=sin2x--(cos2x+1)=sin(2x—工]--,

22'I6J2

i-.?-7C17C----口>-|A.JL7C1

則2x-kit-\—，左wZ,即x—1—,kGZ,

6223

故/(X)圖象的對稱軸方程為x號+?eZ.

(2)由(1)可矢口/(尤)=sin[2x-k]—5,

則/(x)在2也-工<2無一工W2E+工人eZ單調遞增，

262

兀兀

故kit—K%KkitH—，女￡Z,

63

冗TC

故/(力單調遞增區(qū)間為k%--,kn+-,kwZ.

(3)丫/(B)=!，;.sin(2B-=即sin[2B—9=l,

2I0722Io7

71711111

?/3為VABC的內(nèi)角，.\0<B<7i,故一一<25-一<——,

666

2B--=~,則8=4，又b=6,

623

由余弦定理)2=tz2+c2—2accosB,得3=a?+/—,

又由重要不等式〃2+c2=3+覺》2面，故改工3

S=—acsinB=ac<,當且僅當〃=c時等號成立

244

故VABC面積的最大值為更.

4

【變式3】若一個三角形中兩邊的平方和是第三邊平方的加倍(加>l,〃?eN*),則稱該三角形為機階準直角

三角形.在VA8C中，角A3,C的對邊分別為a/，c,且皿+專0=生2組.

abc

⑴證明：VABC是2階準直角三角形；

(2)若4sinA=3sin_B,求cosC的值；

⑶若c=4,求VABC的面積的最大值.

【答案】⑴證明見解析；

⑶4G.

【分析】（1）由已知及余弦邊角關系化簡條件為4+）2=202,即可證;

3

⑵由正弦邊角關系有a=結合（0結論和余弦定理求cos。；

Q

（3）由己知和余弦定理得cosC=＜，結合/+k=2H，應用三角形面積公式、基本不等式求面積的最大

ab

值，注意取值條件.

【詳解】（1）由2+至也及余弦定理，得/+H―/+/+c2/=2（“2+62—02）,

abca-2bcb-2acc-2ab

整理，得/+^=2C2,故VA5c是2階準直角三角形.

3

（2）由正弦定理，得4。=36,貝1］。=一6,

4

由⑴得所以cosC，+〃c225

2ab48

222222

/、,cosAcosB2cosC7日?！竎b+c-aca+c-b

(3)由——+——=-----得2cosC二------------+------------

abca2bcblac

28

整理得cosC=￡r-,又c=4,所以cosC=二，由(1)得。2+/=32,

2abab

所以VABC的面積為SA”=—absinC=-abjl-cos2c=—ab

222

=1VaV-64<1-64=4A/3,

當且僅當。=6=4時，取得等號，故VABC的面積的最大值為4G.

【題型七】距離、高度、測量問題

【例1】如圖，為了測量一條大河兩岸A8之間的距離，無人機升至九米的空中沿水平方向飛行至C點進行

測量，A,5c在同一鉛垂平面內(nèi).在C點測得A,B的俯角為見以尸＜a）,則AB=.

/zsin(a-4)

【答案】

sinasin/3

hA5AC

【分析】根據(jù)已知及正弦定理有AC=」乙、=而，即可求力及

sinasin(cr-/7)

【詳解】由條件知/ABC=4/AC8=?！??,過。作CD垂直于直線A6,垂足為

ACsin(a-Q)/zsin(a—,)

所以A5=

sin/3sinasin/3

/zsin(a—夕)

故答案為:

sinasin/}

【例2】某數(shù)學興趣小組成員為測量某建筑的高度。尸，選取了在同一水平面上的A,B,。三處，如圖.已知

在A,B,C處測得該建筑頂部尸的仰角分別為30。，45°,60°,~Ok=2QB-OCAB=10米，則該建筑的

A.10拒米B.5"米C.5百米D.5四米

【答案】B

【分析】設。P=x，由/O及1+/O3C=7T,結合余弦定理可得100+Y-3/?+：0,求解即

2xl0xx2xl0xx

可.

【詳解】設。P=x,貝IJ可得。A=3,OB=X,OC=^X,

3

由礪=2礪一玄，可得2是AC的中點，所以AB=3C=10,

而ZOBA+ZOBC=7if則cos/OBA+cosZOBC=0,

△ABO,ACBO中，由余弦定理可得：100+爐一3心J00+廠一3廠二°,

2xl0xx2xl0xx

解得：x=5后，所以該建筑的高度。尸=5"米.

故選：B.

【變式1】如圖，A,B,C三點位于同一水平面，A位于8的北偏西30。方向，C位于8的北偏東60。方向,

A在C的正西方向，且A,C之間的距離為50米，B處正上方建有一棟樓房，C處正上方建有一座塔，從A

處觀察塔尖E,測得仰角為45。，從樓房頂。處觀察塔尖E,測得仰角為30。，則樓房的高度為米.

【答案】25

【分析】畫出圖形，通過作輔助線將空間幾何問題轉化為平面幾何問題通過三角函數(shù)即可解決.

【詳解】因為A位于3的北偏西30。方向，C位于8的北偏東60。方向，A在C的正西方向，且A,C之間

的距離為50米，

則ZABC=90°,ABAC=60°,NBCA=30°,

所以BC=25g"米.

又從A處觀察塔尖E,測得仰角為45。，所以CE=50米.

過。作CE的垂線，垂足為尸（如圖），

則DF=BC=25石米，NEDF=30°,

所以EF=25米，DB=CF=CE-EF=25

所以樓房的高度為25米.

【變式2］某高中高一學生成立了課外實踐數(shù)學小組，計劃通過數(shù)學建模的方法來測量某人工圓形湖泊的直

徑，如圖為該人工湖泊的大致俯視圖，該小組成員首先在湖泊邊緣處A點處固定一旗幟，然后從A點沿逆

時針方向繞著湖泊邊緣走到B點處固定一旗幟,并在紅外線角度測量儀的幫助下從2點逆時針走至C點處，

此時測得S42C=120。，且測得BC=20米，AB=10米.

（1）求該人工圓形湖泊的直徑；

（2）若。為人工圓形湖泊優(yōu)弧AC上一動點（異于A，C兩點），求四邊形ABC。面積的取值范圍.

【答案】⑴該人工圓形湖泊的直徑為迎旦米

3

（2）四邊形ABCD面積的取值范圍為卜225班］（平方米）

【分析】（1）在VABC中，由余弦定理求得AC,利用正弦定理求得直徑；

（2）利用三角形面積公式求得\ABC，利用四點共圓性質及余弦定理，結合基本不等式求得知的最大值

（AD=x,CD=y］,進而得到'sc的最大值，從而得到四邊形ABC。面積的取值范圍.

【詳解】（1）在VABC中，由余弦定理可得AC2=AB?+BC2-2A8-3CCOSZABC,

即AC2=102+202-2x10x20x^-1^=700,

故AC=10?米.

設該人工圓形湖泊的半徑為R,

2__AC10夕20收

故~sinZABC~73^，

所以該人工圓形湖泊的直徑為生旦米.

3

（2）=-ABBCsinZABC=-xl0x20x^-=50A/3,

△ABC222

因為A,B,C,。四點共圓，所以/ADC=180O—NABC=60。，

設AD=x,CD=y,由余弦定理可得AC?=700=%2+,2—孫力孫，

所以治4%=^xysinZADC=^-xy<^-x100=n5yf3，

當且僅當AD=CD時取等號，

故四邊形ABC。面積的取值范圍為（5。&,225括］（平方米）.

【變式3】為了測量一座底部不可到達的建筑物的高度，復興中學跨學科主題學習小組設計了如下測量方案:

如圖，設A,8分別為建筑物的最高點和底部.選擇一條水平基線密，使得H,G,B三點在同一直線上,

在G,H兩點用測角儀測得A的仰角分別是。和夕，測角儀器的高度是心CD=a,由此可計算出建筑物的

高度43.若。=75。，萬=45°,則此建筑物的高度是（答案用"，"表示）

2

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關系求邊長即可.

tan450+tan30°3+石

【詳解】首先:tan75°=tan（45°+30°）r

1-tan45°tan30°14

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