2025屆吉林省延邊朝鮮族自治州高三一模數(shù)學試題（解析版）

延邊州2025年高三教學質量檢測

數(shù)學

本試卷共6頁.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形

碼粘貼區(qū).

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

稿紙、試卷上答題無效.

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.

5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺.不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.若，，兀之機，，的充分不必要條件是，，0Wx<l，，，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.m<0B.m<0C.m>0D.m>0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分不必要條件的判斷即可得到實數(shù)用的取值范圍.

【詳解】由“xNm”的充分不必要條件是“0Vx<l"，

得{%|0<x<l}o{x|x>m],但{x|0<x<1}{x\x>m},

所以根40.

故選：B.

2.在復平面內，復數(shù)Z],Z2對應的向量分別是。4=(2,-1),OB=(-1,2),則-4的復數(shù)所對應的點位

Z]+z2

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義和復數(shù)的除法運算即可得到答案.

【詳解】由題意得Z1=2—i/2=—l+2i,

_2-i_(2-i)(l-i)_l-3i_l3.

Z+Z21+i(l+i)(l-i)222'

其對應的點為1],位于第四象限.

故選：D

3.在VABC中，BC=10,〃為5。中點，AM=4,則AB.AC=()

A.-9B.-16C.9D.16

【答案】A

【解析】

【分析】由題意作圖，根據(jù)圖象，利用平面向量的線性運算，結合數(shù)量積的運算律，可得答案.

【詳解】由題意可作圖如下：

則=AC=AM+MC>由M為5c的中點，則MB=—MC，

ABAC=^AM+MBy^AM+MC^=(AM-MC^AM+MC^

=|AM|12-|MC|2=42-52=-9.

故選：A.

4.已知正實數(shù)X,y滿足x+y—g町=0,且不等式x+y—a>0恒成立，則。的取值范圍是()

A.a<2B.a<8C.a<6D.a<4

【答案】B

【解析】

【分析】對題目等式變形得，+工=彳，再利用乘“1”法即可得到答案.

xy2

1111

【詳解】因為正實數(shù)滿足x+y——盯=0,所以一+一=彳,

2xy2

11、

則:x+y=2(x+y)—+—=22+—+—>8,

/y)vyXJ

當且僅當x=y=4時取等號，因為不等式x+y—a>0恒成立，所以a<8.

故選：B.

5.已知sine+退cosa=—,則cos|----2al=(

4477

A.—B.——C.D.

5599

【答案】C

【解析】

【分析】由輔助角公式及余弦二倍角公式即可求解;

2

【詳解】由sina+J3cosa=—,

3

—pza1.A/31

同得一sinad-----cosa=—，

223

1

即cos

3

所以cos--2a

3

故選：C

6.在直三棱柱ABC-43cl中，BCM，A&=2g,且ZBAC=g,則該三棱柱的外接球的體積

為（）

8兀32兀

A.C.乖爪

TB.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)因為3c=6，N8AC=巴利用正弦定理得VABC外接圓半徑為r,利用勾股定理即可得

3

外接球半徑為R，代入球的體積公式即可求解.

【詳解】設VABC外接圓半徑為「，圓心為設外接球球心為。，半徑為R,

因為3c=6，ZBAC=y,在VA3C中由正弦定理有石苕正=7孑=2=2〃='=1,則

V

QA=r=l,則有。。=：相=石，

4432兀

33

所以R2=r+00；=l+3=4oR=2,所以球的體積為：V=-7IT?=-JIX2=——,

333

故選：D.

7.編號為A,B,C,D,E的5種蔬菜種在如圖所示的五塊實驗田里，每塊只能種一種蔬菜，要求A

品種不能種在1,2試驗田里，3品種必須與A品種在相鄰的兩塊田里，則不同的種植方法種數(shù)為（）

A.24B.30C.36D.54

【答案】B

【解析】

【分析】對A所種位置進行分類討論即可.

【詳解】當A種在4號田時，8只能種在3號，其余三種蔬菜在三個位置全排列，共有A；=6種結果,

當A種在5號田時，結果相同，也有6種；

當A種在3號田時，B有3種結果，余下的三種蔬菜在三個位置全排列，有3A；=18種結果；

根據(jù)分類計數(shù)原理，共有6+6+18=30種結果.

故選：B.

8.如圖是函數(shù)/（力=^（3:—1）的大致圖象，則不等式/（￡）/（司＜0的解集為（）

【答案】D

【解析】

【分析】由圖確定-g是/(%)的極小值點，求得a=2,即可求解.

【詳解】由圖可知awO,—；是/(%)的極小值點，由己知得/'(x)=e'(G：+a—1),

令/'(x)=O,得x=上￡=—g,得a=2,經驗證a=2符合題意，

所以/'(x)=e"(2x+l),由/(r)/'(x)<0,ec>0.

可得(2x—l)(2x+l)<0,解得xe

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多個選項是

符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的或不選的得。分.

9.下列命題中正確的是()

A.樣本甲中有機件樣品，其方差為S：,樣本乙中有〃件樣品，其方差為學,則由甲，乙組成總體樣本

的方差為------S]H-----------------§2

m+nm+n

B.已知隨機變量X~N1,￡|,則p(XW0)=p(X?2)

C.數(shù)據(jù)1,3,4，5,7,8,10的第80百分位數(shù)是8

D.已知隨機變量X,則E(2X+1)=4

【答案】BCD

【解析】

【分析】對A,根據(jù)方差公式即可判斷；對B,根據(jù)隨機變量X~N的特點即可判斷；對C,利用百

分位數(shù)計算公式即可判斷；對D,根據(jù)隨機變量的均值計算公式即可判斷.

【詳解】對于A,記樣本甲，乙的平均數(shù)分別為無，?，由甲乙組成的總體樣本的平均數(shù)為了，

則甲乙組成的總體樣本的方差為一匕?「$；+(元—5)2］+——5)2］,故A不正確；

對于B,因為隨機變量所以p(XW0)=p(X?2),故B正確；

對于C,因為7x80%=5.6,所以數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,8,10的第80百分位數(shù)是8,故C正確；

對于D,因為所以E(X)=3xg=|,

所以E(2X+1)=2E(X)+1=4,故D正確；

故選：BCD.

。設/(x)是R上的奇函數(shù)，且對VxeR都有/(2-%)=/(%),當xe［0,l］時，/(%)=必，則下列說

法正確的是()

A./(幻的最大值是1,最小值是。B.當3WxW4時，/(x)=—(x—4產

C.點(1,0)是函數(shù)/(%)的對稱中心D./(X)在區(qū)間(3,5)上是增函數(shù)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)/(%)是R上的奇函數(shù)得到/(-%)=—/(%),再由X/xeR都有/(2—x)=/(x),得到

/(%)的圖象關于x=l對稱，然后推出了(%)是周期為4的周期函數(shù)，結合xe［0,l］時，/(%)=必逐項判

斷.

【詳解】因為“X)是R上的奇函數(shù)，所以/(—?=—/(%),

又對VXGR都有/(2—x)=f(x),所以/(%)的圖象關于%=1對稱，

因為“2—%)=—/(—%),即/(2+x)=—/(x),所以/(4+x)=/(x),

所以是周期為4的周期函數(shù)，

又當xe［0,l］時，力?=爐單調遞增，所以/(幻在［-1,0］上單調遞增，

則/(x)在［-1,1］上單調遞增，由/(%)的圖象關于x=1對稱,

得/（X）在［1,3］上單調遞增，所以/（X）在［—1,3］上的最大值是/⑴=1,

最小值是/（—1）=-/⑴=一1,故A錯誤；

當3W光W4時，0W4—則〃尤）=—/（—尤）=—/（4—尤）=—（4—無）二故B正確；

由對VxeR都有/（2—x）=/（x）,得/（%）的圖象關于x=l對稱，故C錯誤；

由/（%）在［—1可上單調遞增，且周期為4,則/（幻在區(qū)間（3,5）上是增函數(shù)，故D正確；

故選：BD

11.過點尸（4,0）直線/交拋物線C:/=4x于A,3兩點，線段A3的中點為“（%，%），拋物線的焦

點為尸，下列說法正確的是（）

A.以為直徑的圓過坐標原點B.若為=2,貝||AE|+|5F|=12

2

C.若直線/的斜率存在，則斜率為一D.FAFB<0

y0

【答案】ACD

【解析】

【分析】設A（%,M）,%），/：%=%+4,聯(lián)立拋物線方程得到韋達定理式，計算。4.。3即可判斷

［2

A；直接代入并利用焦半徑公式即可判斷B；求出M（2祖2+4,2m），則左=一=一，即可判斷C；計算得

,7機為

=T祇2—8<。即可判斷D.

【詳解】由題意可知直線/斜率不為0,設

x=my+4

聯(lián)立〈2得-4my-16=0,

lr=4%

則%+%=4”,必為=一16,七+x2="（％+%）+8=4%2+8,

對于A選項，石馬=nfyiy2+4機（乂+%）+16=16,

因為。4?。3=占々+乂為=0,所以。4,05,所以以A3為直徑的圓過坐標原點，A說法正確；

對于B選項，若為=2=他±&=2根，則根=%=1,由拋物線的定義可得

22

\AF\+\BF\=xl+x2+p^l4,B說法錯誤;

對于C選項，因為為線段AB中點，所以“（2/+4,2祖），

若直線/的斜率存在，則niwO,

14,12

直線/:y=—x的斜率上=1=一,C說法正確；

mmm%

對于D選項，E4-FB=（占一I,%）1%-1，%）=取2-（九1+*2）+1+%%=—4加2一8<0,D說法正

確；

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是采用設線法并聯(lián)立拋物線方程得到韋達定理式，再整體代入一一判斷

即可.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.己知耳，工分別是橢圓M：,+2=1（0<。<4）的左、右焦點，尸是"上一點，若,P4鳥的周長

為10,則M的離心率為.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】由已知可得。=4,再由尸與工的周長為10,可得2a+2c=10,求出c,從而可求出離心率.

22

【詳解】由橢圓方程2+齊=1（0<6<4）可得4=16,得。=4,

因為P是“上一點，所以|P耳|+|尸閭=2。=8,

因為「耳工的周長為10,

所以歸國+歸巴|+|耳心|=2a+2c=8+2c=10,得c=l,

c1

所以〃的離心率為6=一=一.

a4

1

—__________p

(/\*

—1/-------1-----------1.

\FtO1

,ry

13.在VA3C中，角A5c的對邊分別為a,b,C,且VA3C的周長為.......----------,則角C

sinA+sinB-sinC

為_______.

-、2兀

【答案】—

3

【解析】

【分析】由題意知------駕坨--------

=a+b+c,先根據(jù)正弦定理邊化角，再利用余弦定理求出角。

sinA+sinB-sinC

即可.

aQinR

【詳解】由題意知，--------------------=a+b+c,

sinA+sinB-sinC

ah

由正弦定理得，--------=a+b+c,即曲=儲+24/7+6—cZ,所以a?+人2—W——ab,

a+b-c

.z-j>Tmzn--\~b^—~cib1

由余弦定理得，cosC=----------=----=——，

2ab2ab2

又。￡（0,兀），所以。=衛(wèi)2兀.

3

故答案為：—.

3

x2+—-2,x<0

14.若函數(shù)/（力=]*的圖象上存在關于原點對稱的點，則實數(shù)。的取值范圍是__________

—x,x>0

12

-22\

【答案】一=，+8

【解析】

【分析】由題意可得Lx+必一@一2=0有正根，參變分離后構造函數(shù)g(x)=x3+L%2_2x,借助導數(shù)研

2x2

究其單調性即可得其值域，即可得解.

【詳解】當龍>0時，-x<0,/(%)+/(—%)=0有解，+-。-2=0有正根,

2x

即a=x，+—x~-2x,令g(x)=--+-x~-2x,

則g'(x)=3*+x-2=(3x-2)(x+l),

單調遞增，g'(x)>0,

22A

故答案為:——，+g.

27

【點睛】方法點睛:

函數(shù)/(%)的圖象上存在關于原點對稱的點，問題轉化為/(1)+/(—X)=0有解，得到a=x3+^x2-2x

在(0,+。)上有解，通過構造函數(shù)求值域解決.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝的首項4=1,且滿足a.=3a“+2〃—1.

(1)求，。3；

⑵證明：數(shù)列｛%+“｝為等比數(shù)列;

(3)求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案】(1)%=4,4=15；

(2)證明見解析;(3)an=2x3"T—n

【解析】

【分析】（1）直接代入計算即可；

（2）變形得a.+（〃+1）=3（。"+”）,即可證明；

（3）根據(jù)（2）的結論得?！?〃=2x3^,再移項即可.

【小問1詳解】

a,—3q+1=4,a3=3a,+3=15

【小問2詳解】

由an+i=3an+2"—1得an+1+（"+1）=3（?！?n）,

且Q+1=2W0,所以數(shù)列｛%+〃｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列.

【小問3詳解】

由（2）知數(shù)列｛4+/｝是首項為2,公比為3的等比數(shù)列，

所以4+〃=2X3"T,

即:4=2x3"T-”.

16.如圖，在四棱柱ABCD—中，底面ABCD是矩形，AB=6，AD=1，M=2,

\D1AD.

（1）證明：平面A。。，平面ABC。；

（2）若三棱錐A-AC。的體積為求二面角6-AA-C的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵更

5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可求解；

（2）根據(jù)體積求出sinNADC=1，利用空間直角坐標系即可求解.

【小問1詳解】

因為四邊形ABC。為矩形，所以AT>J_CE>,

又A。，AD,\DCD=D,\D,CDu平面A。。，

所以AD_L平面A。。，又因為ADu平面ABCD,

所以平面\CD1平面ABCD-,

【小問2詳解】

因為4DLA。，A4,=2,AD=1,所以

因為匕，-ACD=VA-A,CD=~>即

1

—X1A.DCDsinZ^DC\-AD=-x73x73sinZ^DCxl--sinZ4DC=-

3622

所以sinNAOC=l,即A1。LCD,

由（1）可知，DA,DC,兩兩互相垂直，

以。為原點，以直線ZM,DC,分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系

則4(1,0,0),B(l,73,0),C(0,A/3,0),4僅，。，6),

=(-1,0,73),AB=(0,73,0),AC=(-1,A/3,0),

設平面ABA1的一個法向量沆=(%,%,zj,

則廣，取4=1,則根=6,0,1,

v7

AB-m=y/3yl=Q

設平面A40的一個法向量”=(9,%，z?)，

AA,TI——+v3Z92=01—(r~\

則-r，取羽=6,則“二正,1,1,

AC-n--x2+6y2=0

十口m-n4245

于是COSm,ri=~rr-j-=---7==---,

\m\\n\2x^55

故二面角B—AA—C的正弦值為(25］=叵.

17.某生物研究小組準備探究某地區(qū)棉花長絨分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)棉花有A,8個品種，且這兩個品

種的種植數(shù)量大致相等，記A種棉花和8種棉花的絨長(單位：mm)分別為隨機變量X,Y,其中X

服從正態(tài)分布N(37,9),y服從正態(tài)分布N(43,9).

(1)從該地區(qū)的棉花中隨機采摘一朵，求這朵棉花的絨長在區(qū)間［37,43］的概率;

(2)記該地區(qū)棉花的絨長為隨機變量Z，若用正態(tài)分布N(4,犬)來近似描述Z的分布，請你根據(jù)(1)

中的結果，求參數(shù)〃°和5)的值(精確到?！?；

(3)在(2)的條件下，從該地區(qū)的棉花中隨機采摘3朵，記這3朵棉花中絨長在區(qū)間［35.3,44.7］的個數(shù)

為W,求W的分布列及數(shù)學期望(分布列寫出計算表達式即可).參考數(shù)據(jù)：若則

尸(〃-0.64。<X<p+0.64(T)~0.4773,P(JU-(T<X<0.6827,

P(〃-2a<X</j+2a)?0.9546.

【答案】(1)0.4773；

(2)〃(；=40,CT0=4.7.

(3)分布列見解析,期望為2.0481.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算即可；

(2)首先求得〃o=4O,再根據(jù)(1)得到方程組，解出即可；

(3)利用二項分布的模型即可得到其分布列，再計算其期望即可.

【小問1詳解】

記這朵棉花的線長為九

因為A種棉花和B種棉花的個體數(shù)量大致相等，所以這朵棉花是A種還是B種的可能性是相等的.

所以P(37K/<43)=^P(37V43)+』P(37V/<43)+=0.4773.

222222

【小問2詳解】

由于兩種棉花的個體數(shù)量相等，x,y的方差也相等，

37+43

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可知=40，

由(1)可知向一0.64。0=37,“o+0.64。0=43得cr。土4.7.

【小問3詳解】

設棉花的絨長為T，則P(35.3<T<44.7)=P(〃—b<T<〃+b)=0.6827,

由題有W~5(3,0.6827),所以P(W==C^xO.6827/:x0.31733^,

因此W的分布列為

w0123

pC°0.31733C'0.68271-0.31732C；0.68272.0.31731C；0.68273

E(W)=3x0.6827=2.0481.

18.已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為(-2百,0),離心率行.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)記雙曲線C的右頂點為A,過點A作直線M4,N4與C的左支分別交于兩點，且

MA±NA,AD±MN,。為垂足.

(i)證明：直線恒過定點P,并求出點P坐標；

(ii)判斷是否存在定點Q,使得為定值，若存在說明理由并求出。點坐標.

22

【答案】(1)土—匕=1

416

(2)(i)證明見解析，P1一，,()］；(ii)存在，0［一g,o］,理由見解析

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法結合雙曲線的幾何性質即可求得雙曲線C的方程：

(2)(i)設直線MN方程為、=丘+加，與雙曲線方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理，并結合他4LN4條

件進行運算，即可證明直線過定點「1一弓,0)；

（ii）由AOLMN,此時存在以AP為斜邊的直角三角形，從而可知存在定點。為"中點滿足

1Q

I^|=-|AP|=-,從而可求出Q點坐標

【小問1詳解】

由題意，雙曲線C的中心為坐標原點，

左焦點為卜2班,0）,離心率為行，

1=2百

可得|e=￡=J?,解得a=2/=4,

a

b2=c2-a2

【小問2詳解】

證明：（i）由（1）知4（2,0）,當直線"N斜率存在時，設直線"N方程為>=履+

y=kx+m

聯(lián)立方程組《22],整理得（4一左一25式一-16=0,

__匕=

彳一記一

A=4左之根2+4（4—左2）（根2+16）>0,即4左之一加2<16,

2km

Xt+-T

124-F

設M（%,%）,'（%,%）,由韋達定理可得《

m2+16

1-k2-4

因為他所以TtTkmT，可得％%+（用一2）（%—2）=。，

即M%+%42—2（%+%2）+4=0,

即（依+m）（Ax2+m）+xlx2-2（%+x2）+4=0,

整理得（左2+1）%%2+（相左一2）（為+%2）+/+4=。，

/，2m2+16/7.2km八

即nn（左+1）-----\-\jnk-2）----+m2+44=0,

K—44—K

即3m2-4km-20k2=0,

可得(m+2左)(3加一10人)=0,解得力=一2切?=不—,

將〃?=一2左代入直線y=去+7〃=>y=左(大一2),

此時直線肱V過定點4(2,0),不合題意；

將m=1^代入直線丁=履+m=>'=左［%+個)，

此時直線過定點P1-2,。］,

當直線MN的斜率不存在時，不妨設直線方程為％=/,

因為他4LN4,所以AAW為等腰直角三角形，

此時可點坐標為,,2—4),

所以2，/—4=2—rn3/+4f—20=0ni=2(舍)或/=一］，

此時MN過定點P［-，,。］,

綜上可知，直線恒過定點P1-

(ii)因為肱V,此時存在以"為斜邊的直角三角形，

所以存在定點Q為"中點滿足|DQ|=JAP|=|,此時Q,g,o)

【點睛】關鍵點點睛：第二小問中通過分析直線與雙曲線的交點，求解直線MN的特性及其與雙曲線的交

點、M、N的坐標關系，進而確定直線MN是否通過一個定點P,并探索是否存在一個定點。，使得從點。

到。的距離為一個固定值。本題主要考查雙曲線的性質和直線與雙曲線的綜合問題，屬于較難題.

Z7Y

19.已知函數(shù)/(%)=ln(%+l)-----.

x+1

(1)當a=l時，求/(九)的極值；

(2)若/(力對,求。的值；

1.1/

(3)求證：sin———l-sin-----++sin——<ln2nGN

n+1n+2In'

【答案】(1)/(%)在尤=0處取得極小值0,無極大值

(2)a=\

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導，根據(jù)函數(shù)的單調性可得最值；

(2)分情況討論函數(shù)單調性與最值情況，可得參數(shù)值;

(3)利用放縮法，由sin%<x(%>。)