2025年高考數(shù)學大題突破訓練：概率與統(tǒng)計（七大題型）學生版+解析

大題06概率與統(tǒng)計

》明考情-笈方向后.

根據(jù)近幾年的高考情況，概率與統(tǒng)計是高考解答題必考解答題，考查的內(nèi)容主要是以統(tǒng)計安吉及統(tǒng)計數(shù)據(jù)

分析，隨機變量與分布列，正態(tài)分布，對立性檢驗，回歸方程分析。難點在于容易與其他知識點相結合，

容易和數(shù)列，導數(shù)相結合，另外就是條件概率是學生的一個易錯點，是很多學生的只是盲區(qū)，所以接下來

的復習中，條件概率與全概率公式應該要重視。預計2025年高考中統(tǒng)計依然以以上集中模擬的一種出現(xiàn)。

大題-梃能力

題型一統(tǒng)計案例與統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析

典行I

(24-25高三下,重慶南岸,階段練習)重慶市舉辦馬拉松比賽，其中志愿者的服務工作是馬拉松成功舉辦的

重要保障.重慶旅游局承辦了志愿者選拔的面試工作.隨機抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：

第一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95),繪制成如圖所示的頻率

分布直方圖.

⑴求。的值，并估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)；

⑵若從以上各組中用分層隨機抽樣的方法選取20人，擔任了本市的宣傳者.若本市宣傳者中第二組面試者

的面試成績的平均數(shù)和方差分別為62和40,第四組面試者的面試成績的平均數(shù)和方差分別為80和50,請

據(jù)此估計這次第二組和第四組所有面試者的面試成績的平均數(shù)和方差.

（附：設兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：機，M,s；;?,焉，s；,記兩組數(shù)據(jù)總體

的樣本平均數(shù)為1.貝U總體樣本方差.

m+n\_'/」m+n\_'7_

2--2、,,.

瞎設兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為:m4,?；入2'?，記兩

組數(shù)據(jù)總體的樣本平均數(shù)為一則總體樣本方差$2="+（X-歷）[+JL[s2+r^_-

m+n\_'/」m+n\_\，

1.（24-25高三上?上海?階段練習）某學校為提高學生對《紅樓夢》的了解，舉辦了"我知紅樓"知識競賽，

現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整

數(shù)）分成六段：[40,50）,[50,60）,…,[90,100],并作出如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

⑴求頻率分布直方圖中a的值;

（2）求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù)所在區(qū)間的組中值;

⑶若落在［50,60）中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是52,方差是6；落在［60,70）中的樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)是64,方差是3,

求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)x和方差H.

題型二隨機變量及分布列

（24-25高三下?河北?開學考試）春節(jié)期間有一過關贏獎勵娛樂活動，參與者需先后進

行四個關卡挑戰(zhàn)，每個關卡都必須參與.前三個關卡至少挑戰(zhàn)成功兩個才能夠進入第四關，否則直接淘汰，

若四關都通過，則可以贏得獎勵.參與者甲前面三個關卡每個挑戰(zhàn)成功的概率均為：，第四關挑戰(zhàn)成功的概

率為3:，且各關挑戰(zhàn)成功與否相互獨立.

4

⑴求參與者甲未能參與第四關的概率；

⑵記參與者甲本次挑戰(zhàn)成功的關卡數(shù)為X,求X的分布列以及數(shù)學期望.

2（24-25高二下?北京?開學考試）同學們，你們知道排球比賽的規(guī)則和積分制嗎?其規(guī)則是：每局25分，達

到24分時，比賽雙方必須相差2分，才能分出勝負；每場比賽采用"5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局

即獲勝，比賽結束）；比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3：0或3：1取勝的球隊積3分，負

隊積0分；以3:2取勝的球隊積2分，負隊積1分.甲、乙兩隊近期將要進行比賽，為預測它們的積分情況，

收集了兩隊以往6局比賽成績：

123456

甲252127272325

乙182525252517

假設用頻率估計概率，且甲，乙每局的比賽相互獨立.

⑴估計甲隊每局獲勝的概率；

（2）如果甲、乙兩隊比賽1場，求甲隊的積分X的概率分布列和數(shù)學期望；

⑶如果甲、乙兩隊約定比賽2場，請比較兩隊積分相等的概率與;的大?。ńY論不要求證明）.

瞎特Q

二項分布的適用范圍及本質(zhì)

(1)適用范圍：

①各次試驗中的事件是相互獨立的；

②每次試驗只有兩種結果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；

③隨機變量是這"次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù).

(2)本質(zhì)：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)

(1)適用范圍：

①考察對象分兩類；

②已知各類對象的個數(shù)；

③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數(shù)y的概率分布.

(2)本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的.

【方法技巧與總結】

超幾何分布和二項分布的區(qū)別

(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；

(2)超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；

而二項分布是“有放回”抽取(獨立重復)，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

僮隼開篷

1(2025?山東煙臺?一模)為加強中小學科學教育，某市科協(xié)，市教育局擬于2025年4月聯(lián)合舉辦第四屆全

市中小學機器人挑戰(zhàn)賽.比賽共設置穿越障礙、搬運物品兩個項目.每支參賽隊先挑戰(zhàn)穿越障礙項目，挑戰(zhàn)成

功后，方可挑戰(zhàn)且必須挑戰(zhàn)搬運物品項目.每支參賽隊每個項目至多挑戰(zhàn)兩次，若第一次挑戰(zhàn)成功，則獲得

獎金2000元，該項目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必須第二次挑戰(zhàn)該項目，若第二次挑戰(zhàn)成功，則獲

2

得獎金1000元，否則，不獲得獎金.假設甲參賽隊在每個項目中，第一次挑戰(zhàn)成功的概率為H，第一次挑戰(zhàn)

3

失敗但第二次挑戰(zhàn)該項目成功的概率為兩個項目是否挑戰(zhàn)成功相互獨立.

4

⑴設事件A="甲參賽隊兩個項目均挑戰(zhàn)成功"，求P(A)；

(2)設比賽結束時，甲參賽隊獲得獎金數(shù)為隨機變量X,求X的分布列;

⑶假設本屆比賽共有36支參賽隊，且根據(jù)往屆比賽成績，甲參賽隊獲得獎金數(shù)近似為各參賽隊獲得獎金數(shù)

的平均水平.某贊助商計劃提供全部獎金，試估計其需提供的獎金總額.

2（24-25高三上?江西,階段練習）隨著教育部的"雙減政策"落地，為了豐富高中基礎年級學生的課余生活，

2025年元旦期間，某校師生舉行一場驚心動魄的足球比賽；由教師代表隊、高一學生代表隊和高二學生代

表隊組成、得分規(guī)則為：球隊勝一場積3分，平一場積1分，負一場積。分.由教師代表隊與高一學生代

表隊和高二學生代表隊的兩場比賽.根據(jù)前期比賽成績，教師代表隊與高一學生代表隊比賽：教師代表隊

211

勝的概率為；，平的概率為二，負的概率為工；由教師代表隊與高二學生代表隊比賽：教師代表隊勝的概

366

率為:，平的概率為負的概率為且兩場比賽結果相互獨立.

⑴求教師代表隊與高二學生代表隊比賽獲得積分超過教師代表隊與高一學生代表隊比賽獲得積分的概率；

⑵用X表示教師代表隊兩場比賽獲得積分之和，求X的分布列與期望.

題型三隨機變量與正態(tài)分布

1（2025?吉林延邊,一模）某生物研究小組準備探究某地區(qū)棉花長絨分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)棉花有A,B個

品種，且這兩個品種的種植數(shù)量大致相等，記A種棉花和8種棉花的絨長（單位：mm）分別為隨機變量X,

Y,其中X服從正態(tài)分布N（37,9）,y服從正態(tài)分布N（43,9）.

⑴從該地區(qū)的棉花中隨機采摘一朵，求這朵棉花的絨長在區(qū)間［37,43］的概率；

⑵記該地區(qū)棉花的絨長為隨機變量Z,若用正態(tài)分布z（4,蘇）來近似描述Z的分布，請你根據(jù)（1）中的結

果，求參數(shù)用和4的值（精確到0.1）；

⑶在（2）的條件下，從該地區(qū)的棉花中隨機采摘3朵，記這3朵棉花中絨長在區(qū)間［35.3,44.7］的個數(shù)為W,

求W的分布列及數(shù)學期望（分布列寫出計算表達式即可）.參考數(shù)據(jù)：若則

P(〃-0.64cr<X<ju+0.64G-)?0.4773,尸(〃一bVXV〃+b)a0.6827,P(//-2cr<X<//+2cr)?0.9546.

琢

2(24-25高三上?江西南昌?階段練習)近年來，隨著電腦、智能手機的迅速普及，我國在線教育行業(yè)出現(xiàn)了

較大的發(fā)展.某在線教育平臺為了解利用該平臺學習的高一學生化學學習效果，舉行了一次化學測試，并從

中隨機抽查了200名學生的化學成績，將他們的成績分成以下6組：[40,50),[50,60),[60,70),L,[90,100],

(2)高一學生的這次化學成績Z(單位：分)近似地服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均數(shù)"a

近似為樣本的標準差s，并已求得s=14.31.且這次測試恰有2萬名學生參加.

(i)試估計這些學生這次化學成績在區(qū)間(56.19,99.12]內(nèi)的概率(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為

代表)；

(ii)為了提升學生的成績，該平臺決定免費贈送給在平臺學習的學生若干學習視頻，具體贈送方案如下：

方案1：每人均贈送25小時學習視頻；

方案2：這次測試中化學成績不高于56.19分的學生贈送40小時的學習視頻，化學成績在(56.19,84.81]內(nèi)的

學生贈送30小時的學習視頻，化學成績高于84.81分的學生贈送10小時的學習視頻.問：哪種方案該平臺

贈送的學習視頻總時長更多？請根據(jù)數(shù)據(jù)計算說明.

參考數(shù)據(jù)：貝+b卜0.6827,P(4-2cr<XWM+2b卜0.9545.

(24-25高三下?河南?階段練習)在某市舉行的一次市質(zhì)檢考試中，為了調(diào)查考試試題的

有效性以及試卷的區(qū)分度，該市教研室隨機抽取了參加本次質(zhì)檢考試的100名學生的數(shù)學考試成績，并將

其統(tǒng)計如下表所示.

成績X[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]

人數(shù)Y62442208

(1)已知本次質(zhì)檢中的數(shù)學測試成績X~N(〃Q2),其中“近似為樣本的平均數(shù)，4近似為樣本方差52,若

該市有5萬考生，試估計數(shù)學成績介于90-120分的人數(shù)；(以各組的區(qū)間的中點值代表該組的取值)

(2)現(xiàn)按分層抽樣的方法從成績在［75,85)以及［115,125］之間的學生中隨機抽取7人，再從這7人中隨機

抽取3人進行試卷分析，記被抽取的3人中成績在［75,85)之間的人數(shù)為X,求X的分布列以及期望E(X).

參考數(shù)據(jù)：若貝(jP(〃-cr<X<〃+cr)=0.6826,P［JLI-2CT<X</J+2cr)=0.9544,

P(〃—3cr<X<//+3cr)=0.9974.

2（2022?重慶?模擬預測）在“十三五〃期間，我國的扶貧工作進入了"精準扶貧”階段，到2020年底，全國830

個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一大壯舉.重慶市奉節(jié)

縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓

手.奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，

各類特色農(nóng)產(chǎn)品已經(jīng)成為了當?shù)卮迕竦膿u錢樹.尤其是奉節(jié)臍橙，因"果皮中厚、脆而易剝，肉質(zhì)細嫩化渣、

無核少絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名.為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍

橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持.奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實按果徑X（單位：山加）

的大小分級，其中X470,90］為一級果，Xe（90,110］為特級果，一級果與特級果統(tǒng)稱為優(yōu)品.現(xiàn)采摘了一

大批此品種臍橙果實，從中隨機抽取1000個測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：

⑴由頻率分布直方圖可認為，該品種臍橙果實的果徑X服從正態(tài)分布NJ。?），其中〃近似為樣本平均數(shù)輸,

。近似為樣本標準差s,已知樣本的方差的近似值為100.若從這批臍橙果實中任取一個，求取到的果實為

優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）

（2）這批采摘的臍橙按2個特級果和”（“22,且〃eN*）個一級果為一箱的規(guī)格進行包裝，再經(jīng)過質(zhì)檢方

可進入市場.質(zhì)檢員質(zhì)檢時從每箱中隨機取出兩個果實進行檢驗，若取到的兩個果實等級相同，則該箱臍

橙記為"同"，否則該箱臍橙記為"異

①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為"異"的概率p-,

②設抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為"異”的概率為〃夕），求函數(shù)40的最大值,及取最大值時n的值.

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布貝（〃-b<XW〃+b）“0.6827,

P(//-2cr<X<//+2b卜0.9545,尸(〃-3b<X<4+3b)00.9973.

題型四獨立性檢驗

典停I】1

1（2025,山東聊城?一模）某學校為了調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性，在高二年級舉行了一次數(shù)學有獎競賽，

對考試成績優(yōu)秀（即考試成績不小于130分）的學生進行了獎勵.學校為了掌握考試情況，隨機抽取了部分考

試成績，并以此為樣本制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖.已知第一小組［90,100）的頻數(shù)為10.

（2）估計所有參賽學生的平均成績；

⑶假設在抽取的樣本中，男生比女生多20人，女生的獲獎率為12.5%,填寫下列2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概

率值a=0.01的獨立性檢驗，判斷男生與女生的獲獎情況是否存在差異？

獎勵

性別合計

獲獎未獲獎

男

女

合計

附：/=_______nW一bcf______,

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

唐

1（24-25高三下?上海?階段練習）某興趣小組對高三剛結束的物理測試成績進行隨機調(diào)查，將所有選考物理

的考生按是否同時選考化學分為A、B兩類，并從中隨機抽取100名考生的成績，整理數(shù)據(jù)如下表（單位:

人）

物理

[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

成績學生分類

A類男生28158

B類男生310204

A類女生3421

B類女生10640

⑴估計該校高三學習物理男生人數(shù)與女生人數(shù)之比；

（2）求A類考生物現(xiàn)平均成績的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代表，結果四舍五入到整數(shù)）；

⑶把成績在［60,90］稱為"合格〃，成績在設0,60）稱為“不合格”，是否有95%的把握認為該?？忌谋敬挝锢?/p>

成績合格與否和性別有關?

n{ad-be)2

附：z2其中“=a+b+c+",P(/223.841)^0.05.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

題型五線性回歸方程

典橋I

1（24-25高三下?廣東?開學考試）習近平總書記指出：做好工作要"完整，準確，全面貫徹新發(fā)展理念，加

快構建新發(fā)展格局，著力推動高質(zhì)量發(fā)展”.某部門在對新發(fā)展理念組織了全面學習后，對同一工作小組中的

5名員工采取如下考核制度：

①在本季度末，從部門中另抽120人，每人1票，對這5名員工進行投票；

②在本季度末，統(tǒng)計這5名員工本季度創(chuàng)造的營銷收入.

記本季度創(chuàng)造的營銷收入為y（單位：千元），所得票數(shù)為X,現(xiàn)將5人的情況用數(shù)對（x,y）表示:

（19,75）,（20,76）,（34,90）,（25,86）,（22,78）.y關于x的相關系數(shù)為r,部門規(guī)定：若卜|之0.96,則認為本次統(tǒng)計

數(shù)據(jù)異常.

⑴證明：本次統(tǒng)計數(shù)據(jù)異常；

（2）經(jīng)查驗，本季度創(chuàng)造的營銷收入最少的員工的數(shù)據(jù)存在異常，將其剔除后，求該工作小組y關于x的線性

回歸方程.（系數(shù)精確到個位數(shù)）

附：對于一組數(shù)據(jù)…回歸直線方程9=標+&的斜率和截距的最小二乘法估計公式

^x^-rixy^x^-nxy

分別為：力T--------,a=y-bx.相關系數(shù)r=

￡x；-nx2

1=1

555_一,

參考數(shù)據(jù)：元=24,X尤；=3026,Z才一5丁=176,X尤J-5孫=151,占X=9871,阿?12,V176?13.

z=li=li=lZ=1

典行I、

2（24-25高三上?山西?期末）隨著國內(nèi)人均消費水平的提高，居民的運動健身意識不斷增強，加之健康與解

壓需求的增長，使得健身器材行業(yè)發(fā)展趨勢強勁，下表為2019~2023年中國健身器材市場規(guī)模（單位：百

億元），其中2019年?2023年對應的代碼依次為1~5.

年份代碼X12345

中國健身器材市場規(guī)模y4.14.44.85.56.3

⑴由上表數(shù)據(jù)可知，可用指數(shù)型函數(shù)模型＞="'擬合y與x的關系，請建立y關于x的歸方程（。，b的值

精確到Q01）；

2

⑵數(shù)據(jù)顯示2023年購買過體育用品類的中國消費者中購買過運動防護類的占比為：，用頻率估計概率，現(xiàn)

從2023年購買過體育用品類的中國消費者中隨機抽取4人，記購買過運動防護類的消費者人數(shù)為X,求X的

分布列及數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)：

t=i

1.2780.108

V27%匕e

5

1.60225.1073.5901.114

1T

其中I3,

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,/）,（%,%），…，（""，乙），其回歸直線6=4+的的斜率和截距的最小二乘估計公

￡uivi-riuv

式分別為--------，a=v-^u.

%2—flU—2

Zi=i

1（24-25高三上?重慶?階段練習）一年一度的“雙11”促銷活動落下帷幕，各大電商平臺發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示，在

消費品以舊換新、家電政府補貼等促消費政策和活動的帶動下，消費市場潛能加速釋放，帶動相關商品銷

售保持增長.經(jīng)過調(diào)研，得到2019年到2024年“雙11”活動當天某電商平臺線上日銷售額y（單位：百億元）

與年份（第尤年）的6組數(shù)據(jù)（時間變量x的取值依次為1,2,…,6）,對數(shù)據(jù)進行處理，得到如下散點圖（圖

,16

。及一些統(tǒng)計量的值.其中小…飛卒.

666?

yX名片t

i=li=li=li=l

48.73.59112041.19.4388.1

分別用兩種模型：?y=bx+a.②y=61nx+a進行擬合，得到相應的回歸方程，并進行殘差分析，得到

如圖所示的殘差圖（圖2）（殘差值=真實值-預測值）.

圖1

⑴根據(jù)題中信息，通過殘差圖比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪一個模型進行擬合？請說明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選模型，

（i）求出y關于尤的經(jīng)驗回歸方程（系數(shù)精確到o.i）；

（0）若該電商平臺每年活動當天線上日銷售額》與當日營銷成本〃及年份了存在線性關系：y=3〃+2.6x,

則在第幾年活動當日營銷成本的預測值最大？

參考公式：各=%......-,a=y-bx.參考數(shù)據(jù):ln7。1.95.

Xx；-nx

Z=1

2(2025?河北秦皇島?一模)近幾年我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，據(jù)行業(yè)數(shù)據(jù)顯示，新能源汽車的數(shù)量在

不斷增加.下表為某城市統(tǒng)計的近5年新能源汽車的新增數(shù)量，其中x為年份代號，，(單位：萬輛)代表

新增新能源汽車的數(shù)量.

年份20202021202220232024

年份代號X12345

新增新能源汽車y/萬輛1.21.82.53.23.8

⑴計算樣本相關系數(shù)「，判斷是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關系，當上|目0.75』時，可以認為兩個

變量有很強的線性相關性；否則，沒有很強的線性相關性.

(2)求>關于x的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此估計該城市2026年的新增新能源汽車的數(shù)量；

,￡(%-丁)5-9).J(x,-x)(x-y)

參考數(shù)據(jù)：J43.6a6.603.參考公式:b——~,4=丫-認，?=1—??

少一寸后f也"才

題型六條件概率與全概率公式

球典行I

1（2025?山西?一模）新高考數(shù)學試卷中共3道多選題，每題滿分為6分，在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分（如果有兩個選項符合題目要求，選對一個得3分；

如果有三個選項符合題目要求，選對一個得2分；有錯選或不選，得0分），某數(shù)學興趣小組研究多選題

時發(fā)現(xiàn)：隨機事件"多項選擇題中，有兩個選項符合題目要求"和"多項選擇題中，有三個選項符合題目要求"

的概率均為若學生解答某多選題時完全沒有思路，只能通過隨機選擇的方式來完成作答，且選擇四個

選項的可能性是相同的.

⑴已知某題有三個選項符合題目要求，小張通過隨機選擇選項的方式來完成作答，且只選一個選項作答的

概率為:，選兩個選項作答的概率為!，選三個選項作答的概率為），試求小張該題得。分的概率；

（2）小王在解答完全沒有思路的多選題時，有兩種策略，一是“隨機選擇一個選項作答"，二是"隨機選擇兩個

選項作答"，試寫出小王用兩種策略得分的分布列和數(shù)學期望.

2（2025?四川?一模）某保險公司隨機選取了200名不同駕齡的投保司機，調(diào)查他們投保后一年內(nèi)的索賠情

況，結果如下：

單位：人

駕齡

年內(nèi)是否索賠合計

不滿10年10年以上

是10515

否9095185

合計100100200

⑴依據(jù)小概率值a=0.1的獨立性檢驗，分析表中的數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷司機投保后一年內(nèi)是否索賠與司機

的駕齡有關？

（2）保險公司的大數(shù)據(jù)顯示，每年投保的新司機索賠的概率為P,投保的老司機索賠的概率均為4（pw4）.假

設投保司機中新司機的占比為￡（0</<1）.隨機選取一名投保司機，記事件"這名司機在第i年索賠”為A，，

事件"這名司機是新司機"為反已知尸（4忸）=尸⑷可可，尸（4同=尸⑷娘）（z打）.

⑴證明:尸（A&8）=尸（4|43）尸（A⑻尸（8）；

（ii）證明：P（4|A）>P（4）,并給出該不等式的直觀解釋.

附：/=_______'l(ad-be}____,

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

南.蓍4

1（2025?山東?模擬預測）已知A,B兩個不透明的袋子中均裝有若干個大小，質(zhì)地完全相同的紅球和白球，

從A袋中摸出一個紅球的概率是:，從8袋中摸出一個紅球的概率是P.在每輪中，甲同學先選擇一個袋子

摸一次球并放回，乙再選擇一個袋子摸一次球并放回，則該輪結束.已知在每輪中甲選A,3兩袋的概率均

為！如果甲選A袋，則乙選B袋的概率為不；如果甲選5袋，則乙選5的概率為g.

2

⑴若p=（,求在一輪中乙從B袋中摸出紅球的概率；

（2）求在一輪中乙摸出紅球的概率；

⑶若甲，乙兩位同學進行了3輪摸球.乙同學認為，0越大，3輪摸球后他摸出2個紅球的概率越大，你同

意他的觀點嗎？請說明理由.

2（2024?廣東汕頭?三模）11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每兩球交換發(fā)球權，每贏一球得1

分，先得11分且至少領先2分者勝，該局比賽結束：當某局比分打成10回10后，每球交換發(fā)球權，領先2

分者勝，該局比賽結束現(xiàn)有甲、乙兩人進行一場五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過拋

擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來確定誰先發(fā)球假設甲發(fā)球時甲得分的概率為3，乙發(fā)球時甲得分的概率為￡，各

球的比賽結果相互獨立，且各局的比賽結果也相互獨立.

2

（1）若每局比賽甲獲勝的概率P=耳，求該場比賽甲獲勝的概率.

（2）已知第一局目前比分為10國10,求

（回）再打兩個球甲新增的得分X的分布列和均值；

（回）第一局比賽甲獲勝的概率P。；

3（2024?上海奉賢?三模）在剛剛結束的杭州亞運會上，中國羽毛球隊延續(xù)了傳統(tǒng)優(yōu)勢項目，以4金3銀2

銅的成績傲視亞洲I.在舊制的羽毛球賽中，只有發(fā)球方贏得這一球才可以得分，即如果發(fā)球方在此回合的

爭奪中輸球，則雙方均不得分.但發(fā)球方輸?shù)舸嘶睾虾螅乱换睾细臑閷Ψ桨l(fā)球.

3

⑴在舊制羽毛球賽中，中國隊某運動員每一回合比賽贏球的概率均為了，且各回合相互獨立.若第一回合

該中國隊運動員發(fā)球，求第二回合比賽有運動員得分的概率；

⑵羽毛球比賽中，先獲得第一分的隊員往往會更加占據(jù)心理上的優(yōu)勢，給出以下假設：

假設1：各回合比賽相互獨立；

假設2：比賽雙方運動員甲和乙的實力相當，即每回合比賽中甲獲勝的概率均為《；

求第一回合發(fā)球者在整場比賽中先得第一分的概率，并說明舊制是否合理？

題型七概率統(tǒng)計與其他知識點結合

典修

1（2025,四川成都,二模）某答題挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：比賽按輪依次進行，只有答完一輪才能進入下一輪，若

連續(xù)兩輪均答錯，則挑戰(zhàn)終止；每一輪系統(tǒng)隨機地派出一道通識題或?qū)ＷR題，派出通識題的概率為:，派出

專識題的概率為2已知某選手答對通識題與專識3題的1概率分別為:二，且各輪答題正確與否相互獨立.

⑴求該選手在一輪答題中答對題目的概率；

(2)記該選手在第〃輪答題結束時挑戰(zhàn)依然未終止的概率為P?,

(I)求P3，P4；

(ii)證明：存在實數(shù)力，使得數(shù)列5用-A?”｝為等比數(shù)列.

典行I'

2(2025?湖南?模擬預測)高三某班為緩解學生高考壓力，班委會決定在周班會課上進行"聽音樂、猜歌名"

的趣味游戲比賽，現(xiàn)將全班學生分為9組，每組5人，剩余的學生做裁判.比賽規(guī)則如下:比賽共分為兩輪，

第一輪比賽中9個小組分三場進行比賽，每場比賽有3個小組參加，在規(guī)定的時間內(nèi)猜對歌名最多的小組獲

勝，獲勝的三個小組進入第二輪比賽，第二輪進行一場比賽，選出獲勝隊伍.已知甲、乙、丙3個小組的學

生能成功猜對歌名的概率分別為:、

⑴現(xiàn)從乙組中任選一名學生進行歌曲試猜，記5首歌曲中猜對的歌曲數(shù)為X,求隨機變量X的數(shù)學期望；

(2)若從甲、乙、丙3個小組中任選一名學生參加猜歌游戲，求該學生猜對歌曲的概率；

⑶若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一，則設置以下游戲決定最終獲勝的小組，游戲規(guī)則如下：從丁、戊

小組中任選一名代表，從裝有3個白球和2個紅球的不透明的盒子中有放回地隨機摸出一個球，摸出白球記

1分，摸出紅球記2分，以0分開始計分，恰好獲得10分或11分則結束摸球.若該代表獲得10分，則該代表所

在小組獲得勝利，否則另外一組獲得勝利.若該代表來自丁組，試估計丁組獲勝的概率.

1(2025?黑龍江哈爾濱?一模)"冰雪同夢，亞洲同心"，2025年第九屆亞冬會在哈爾濱舉辦，本次賽事共有6

個大項，11個分項，64個小項，有來自34個國家和地區(qū)，1200多名運動員參賽，是一場令人回味無窮的冬

季體育盛會，亞冬會圓滿結束后，我校團委組織學生參加與亞冬會有關的知識競賽.為鼓勵同學們積極參加

此項活動，比賽規(guī)定：答對一題得兩分，答錯一題得一分，選手不放棄任何一次答題機會.已知小明報名參

加比賽，每道題回答是否正確相互獨立，且每次答對的概率不一定相等.

(1)若前三道試題，小明每道試題答對的概率均為P,

①設p=t，記小明答完前三道題得分為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；

②若小明答完前四道題得8分的概率為上，求小明答完前四題時至少答對三題的概率的最小值；

⑵若小明答對每道題的概率均為;，因為小明答對第一題或前兩題都答錯，均可得到兩分，稱此時小明答

題累計得分為2,記小明答題累計得分為力的概率為月，求數(shù)列｛￡｝的通項公式.

2(24-25高三下?遼寧?階段練習)現(xiàn)有一個質(zhì)地均勻的骰子，按照下述規(guī)則從左到右依次記錄字符：拋擲骰

子，點數(shù)為1,2,3時，記錄字符A4；點數(shù)為4時記錄字符3點數(shù)為5時記錄字符C,點數(shù)為6時記錄

字符。.繼續(xù)投擲骰子，按照相同的規(guī)則向右記錄44,B,C,。的字符.例如拋擲5次骰子得到的點數(shù)依

次是5,6,2,3,4,則記錄的字符為。44AA8,共7個字符，其中從左向右第4個字符為A,第7個字

符為B.

(1)拋擲3次骰子，并記錄字符.記字符中A的個數(shù)為X,求E(X)；

(2)拋擲〃次骰子(〃eN*),并記錄字符.記第〃個字符為A的概率為

(i)求證：［。向+(必1是常數(shù)列；

(ii)求｛月,｝的前,項和.

、質(zhì)I大題-拿高分4

1.（24-25高三上,江西宜春,期末）2024年5月22日至5月28日是第二屆全國城市生活垃圾分類宣傳周，

本次宣傳周的主題為"踐行新時尚分類志愿行"某中學高一年級舉行了一次“垃圾分類知識競賽"，為了了解本

次競賽成績情況，從中抽取了部分學生的成績無（單位：分，得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進行

統(tǒng)計，將成績進行整理后，分為五組（50Wx<60,60Wx<70,70Vx<80,80Vx<90,90VxV100）,其中第二

組的頻數(shù)是第一組頻數(shù)的2倍，請根據(jù)下面尚未完成的頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：

⑴求a，b的值，并估計這次競賽成績的中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)某老師在此次競賽成績中抽取了10名學生的分數(shù)：占,馬，W，…，/，已知這10個分數(shù)的平均數(shù)元=80,

標準差s=岳，若剔除其中的75和85兩個分數(shù)，求剩余8個分數(shù)的平均數(shù)與方差.

2.(2025?陜西西安?一模)某商場進行抽獎活動，設置摸獎箱內(nèi)有紅球1個，白球2個，黑球3個，小球除

顏色外沒有任何區(qū)別.規(guī)定:摸到紅球記1分，摸到白球記0分，摸到黑球記-1分.抽獎人摸3個球為一次抽獎，

總分記為X,若X20,則獲獎.

方案一：從中一次摸1個球，記錄分數(shù)后不放回.

方案二：從中一次摸1個球，記錄分數(shù)后放回.

⑴若甲顧客按照方案一摸球記分，求甲顧客獲獎的概率；

(2)若乙顧客按照方案一摸球記分，求第二次摸到紅球條件下，乙顧客獲獎的概率；

⑶若丙顧客按照方案二摸球記分，求X的分布列和數(shù)學期望.

3.(24-25高三下?河北石家莊?開學考試)2024年6月5日《中國教育報》刊發(fā)了教育部的“呵護好孩子的

眼睛，共創(chuàng)光明的未來”的文章，其中特別強調(diào)“幼兒單次使用電子產(chǎn)品的時間不宜超過15分鐘，累計每天

不超過1小時”等內(nèi)容.為切實提升兒童青少年視力健康整體水平，某學校積極推進近視綜合防控，落實"明

眸”工程，開展了近視原因的調(diào)查以備有效進行預防.在已近視的學生中隨機調(diào)查了100人，同時在未近視的

學生中隨機調(diào)查了100人，得到如下數(shù)據(jù)：

電子產(chǎn)品近視未近視

非長時間使用電子產(chǎn)品4070

長時間使用電子產(chǎn)品6030

⑴依據(jù)小概率值a=0.001的/獨立性檢驗，能否認為患近視與長時間使用電子產(chǎn)品有關？

(2)用頻率估計概率，從已經(jīng)近視的學生中采用隨機抽樣的方式選出1名學生，利用"物理+藥物”治療方案對

該學生進行治療.已知"物理+藥物"治療方案的治愈數(shù)據(jù)如下：在已近視的學生中，對非長時間使用電子產(chǎn)品

的學生的治愈率為對長時間使用電子產(chǎn)品的學生的治愈率為求該近視學生被治愈的概率；

⑶若按樣本數(shù)據(jù)利用分層隨機抽樣的方法從近視學生中抽取5人，再從這5人中抽取3人進行近視矯正實

驗，記X表示這3人中長時間使用電子產(chǎn)品的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.

n(ad-be)1

參考公式與數(shù)據(jù)：z2=其中

(a+6)(c+d)(a+c)(Z>+d)，n=a+b+c+d.

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

4.（24-25高三下?北京?階段練習）無人駕駛技術是汽車研發(fā)領域的一個重要方向.某學校技術俱樂部研發(fā)

了一個感知路況障礙的小汽車模型，該模型通過三個傳感器共同判斷路段是否有路障.在對該模型進行測

試中，該俱樂部同學尋找了80個不同的路段作為測試樣本，數(shù)據(jù)如下表：

測試傳感器1傳感器2傳感器3

結果真實

有障礙無障礙無法識別有障礙無障礙無法識別有障礙無障礙無法識別

路況

無障礙415111548120

有障礙4010104551045105

假設用頻率估計概率，且三個傳感器對路況的判斷相互獨立.

⑴從這80個路段中隨機抽取一個路段，求傳感器1對該路況判斷正確的概率；

⑵從這80個路段中隨機抽取一個有障礙的路段進行測試,設X為傳感器1和傳感器2判斷正確的總路段數(shù),

求X的分布列和數(shù)學期望；

⑶現(xiàn)有一輛小汽車同時裝載了以上3種傳感器.在通過某路段時，只要3個傳感器中一個判斷有障礙或無

法識別，則小汽車減速.那么是否可以通過提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無障礙的道路上減

速的概率小于：？（結論不要求證明）

5.(24-25高三上?云南德宏?期末)為更好的發(fā)揮高考的育才作用，部分新高考數(shù)學試卷采用了多選題這一

題型.教育部考試中心通過科學測量分析，指出該題型擴大了試卷考點的覆蓋面，有利于提高試卷的區(qū)分

度，也有利于提高學生的得分率.多選題評分規(guī)則如下：對于多選題，每個小題給出的四個選項中，有兩

項或三項是正確的，滿分6分.全部選對得6分，有錯選或全不選得0分，正確答案為兩項時，選對1個

得3分；正確答案為三項時，選對1個得2分，選對2個得4分.多選題正確答案是兩個選項的概率為p,

正確答案是三個選項的概率為1-P(其中.

⑴在一次模擬考試中，學生甲對某個多選題完全不會，決定隨機選擇一個選項，若P=；，求學生甲該題得

2分的概率；

(2)針對某道多選題，學生甲完全不會，此時他有三種答題方案：

回：隨機選一個選項；0:隨機選兩個選項；團：隨機選三個選項.

(i)若〃=且學生甲選擇方案回，求本題得分的數(shù)學期望；

(ii)以本題得分的數(shù)學期望為決策依據(jù)，p的取值在什么范圍內(nèi)唯獨選擇方案團最好?

6.（2025高三下?全國?專題練習）小李準備在某商場租一間商鋪開服裝店，為了解市場行情，在該商場調(diào)

查了20家服裝店，統(tǒng)計得到了它們的面積X（單位：m2）和日均客流量Y（單位：百人）的數(shù)據(jù)

20202020

（4％）?=1,2,…,20）,并計算得2耳=2400,￡y,=210,2（占一可2=42000,2（占-?。?-刃=6300.

i=\z=li=\i=l

⑴求y關于x的回歸直線方程；

⑵已知服裝店每天的經(jīng)濟效益1￥=左4+左＞°，機＞°），該商場現(xiàn)有60~ISOn?的商鋪出租，根據(jù)（1）

的結果進行預測，要使單他囤積的經(jīng)濟效益Z最高，小李應該租多大面積的商鋪？

附：回歸直線￥=族+&的斜率和截距的最小二乘估計分別為：屋―-----------,a=y-bx.

Z=1

7.（2025?河北保定?一模）某工廠為了解員工績效分數(shù)達標情況與員工性別的關系，隨機對該廠男、女各

30名員工的績效分數(shù)達標情況進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：

單位：人

績效分數(shù)達標情況

合計

性別未達標達標

男201030

女52530

合計253560

⑴經(jīng)計算，所調(diào)查的男員工績效分數(shù)的平均數(shù)用為26；女員工績效分數(shù)的平均數(shù)可為34,求這60人績效

分數(shù)的平均數(shù)元.

（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值。=0.001的/獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷績效分數(shù)達標情況與性別有關

聯(lián)？

⑶該廠為激勵員工，規(guī)定每月績效分數(shù)的第一名獎勵1千元，其他名次無獎勵.甲為該廠員工，他在工廠開

工的第一個月贏得獎勵的概率為從第二個月開始，若上個月沒有贏得獎勵，則這個月贏得獎勵的概率為

12

若上個月贏得獎勵，則這個月仍贏得獎勵的概率為二，求甲在前兩個月所得獎金總額X（單位：千元）

的分布列和數(shù)學期望.

附:

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

2_n(ad-bc)2

參考公式:”(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中〃=a+6+c+d.

8.（2025?江西上饒,一模）2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行了夏季奧運會.為了普及奧運知

識，M大學舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽.

⑴初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進入決賽.已知這6道題中小王能答對其中4道題，求小王

在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率；

（2）M大學為鼓勵大學生踴躍參賽并取得佳績，決定對進入決賽的參賽大學生給予一定的獎勵.獎勵規(guī)則如

下：對于進入決賽的每名大學生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中獎2次獎勵180元，中獎3

次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元，假定每次中獎的概率均為夕［。＜。＜||,且每次是否中

獎相互獨立.

（回）記一名進入決賽的大學生恰好中獎1次的概率為“P）,求的極大值；

但）M大學數(shù)學系共有9名大學生進入了決賽，若這9名大學生獲得的總獎金的期望值不小于1120元，

試求此時P的取值范圍.

9.（2025?湖北?二模）已知某商店出售商品4據(jù)統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)顧客對商品A的需求量相對穩(wěn)定，每周

內(nèi)對商品A的不同需求量（單位：個）與概率的數(shù)據(jù)如下:

對A的需求量0123

J.1J.

概率尸

8548

若以商品A的庫存作為供給量，為了改善經(jīng)營，該商店決定每周末對商品A進行盤點存貨：如果商品A都

售出了，則在周末及時采購2個新的商品，只要商品A還有1個存貨，就不采購新的商品.記X“為該商店第

“周開始時商品A的供給量，假設XI=2.

⑴求X3的分布列;

(2)記冠=(P(X“=1),P(X“=2))為第，2周開始時供給量X“的概率向量，隨著〃的增大，若二=涯，則談趨

向一個定常態(tài)分布，記這個定常態(tài)分布為0.

(0求商品A的定常態(tài)分布。；

(〃)從長遠來看，求該商店改善經(jīng)營后商品A需求大于供給的概率.

10.(24-25高三下?云南昆明?階段練習)云南花卉產(chǎn)業(yè)作為云南全力打造世界一流“綠色食品牌”的重點產(chǎn)

業(yè)之一、從起步發(fā)展至今僅四十多年的時間，取得了令人矚目的成績.目前云南已成為全球公認的三大最適宜

鮮切花種植的區(qū)域之一，鮮切花種植面積和產(chǎn)量位居全球第一，全省花卉種植面積穩(wěn)定在190萬畝左右.近

8年云南省花卉種植面積統(tǒng)計數(shù)據(jù)及散點圖如圖

250

200

150

100

50

0246810

年份代碼x

⑴經(jīng)計算得下表中數(shù)據(jù)，根據(jù)散點圖，在模型①：y=6無+。與模型②：y=c]nx+d,均為常數(shù))

中，選擇一個更適合作為云南省花卉種植面積，關于年份代碼x的回歸方程類型，求出，關于x的回歸方程;

888,8.88

Uy儲；S?,2fa一元)~￡("i)-

i=li=li=lZ=1i=li=l

1.3165.020417.5423.56448.31901.5

其中u-Inx,ui=ln