向量的數(shù)量積課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

6.2.4

向量的數(shù)量積第1課時(shí)：向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.3.會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直.4.掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律及常用的公式.思考

一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？思考：功是一個(gè)矢量還是標(biāo)量？它的大小由那些量確定？θsFF標(biāo)量，大小由力、位移及它們的夾角確定。探索新知

其中

是物體在位移方向上分量的數(shù)量，也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.

OABOABOAB1.夾角：已知兩個(gè)非零向量

和，作，，則叫做向量和的夾角．OAB知識(shí)點(diǎn)一兩向量的夾角與垂直知識(shí)概念如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果又該如何表述？?jī)上蛄康臄?shù)量積是兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；探索新知思考規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即2.向量數(shù)量積的定義：已知非零向量與，我們把數(shù)量叫作與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即規(guī)定夾角知識(shí)概念知識(shí)點(diǎn)二向量數(shù)量積的定義思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.答案在實(shí)數(shù)中，若a≠0，且a·b＝0，則b＝0；但是在數(shù)量積中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因?yàn)槠渲衋有可能垂直于b.（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量.

（3）在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°，180°]．說明：

（2）a·b中間的“·”在向量的運(yùn)算中不能省略，也不能寫成a×b

，a×b

表示向量的另一種運(yùn)算（外積）．知識(shí)概念思考：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)為零。數(shù)量積符號(hào)由cos

的符號(hào)所決定探索新知例1.已知解：=10典例分析一、求兩向量的數(shù)量積練習(xí)1

已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求：解：由得因?yàn)樗?。典例分析ABCDA1B1這種變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量

OMNM1叫做向量在向量上的投影向量

探索新知OMNM1探究：如圖，設(shè)與方向相同的單位向量為，與的夾角為，那么與之間有怎樣的關(guān)系？當(dāng)為銳角時(shí)，所以，當(dāng)為直角時(shí)，所以，探索新知當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，即當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以綜上，對(duì)任意的都有知識(shí)概念知識(shí)點(diǎn)三投影向量|a|cosθ

e探究：兩個(gè)非零向量相互平行或垂直時(shí)，投影向量具有特殊性，你能得出向量的數(shù)量積的特殊性質(zhì)嗎？

(3)當(dāng)向量與共線同向時(shí)，；當(dāng)向量與共線反向時(shí)，.特別地，或(4)θ=90oθ=0oθ=180o︱cosθ︱≤1設(shè)是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則探索新知知識(shí)概念知識(shí)點(diǎn)四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.則(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時(shí)，a·b＝特別地，a·a＝

或|a|＝

.(4)|a·b|

|a||b|.|a||b|－|a||b|

，a與b同向，

，a與b反向.|a|2≤探究：類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律，你能得到數(shù)量積運(yùn)算的哪些運(yùn)算律？你能證明嗎？

平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量和實(shí)數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足：（1）（交換律）（2）（數(shù)乘結(jié)合律）（3）（分配律）探索新知知識(shí)點(diǎn)五平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律OABDA1B1D1C設(shè)方向相同的單位向量為，則整理可得所以所以探索新知思考：向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？說明：∴

向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律

.例1.對(duì)任意，恒有，對(duì)任意向量，是否也有下面類似的結(jié)論？解：典例分析典例分析跟蹤訓(xùn)練二、向量的模和夾角的計(jì)算問題練習(xí)2

(1)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝_____.(2)已知非零向量a，b滿足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝

.①求|b|；②當(dāng)a·b＝－

時(shí)，求向量a與a＋2b的夾角θ的值.例3.已知且與不共線，當(dāng)k取何值時(shí)，向量與互相垂直？解：與互相垂直的充要條件是因?yàn)樗越獾盟?，?dāng)時(shí)，與互相垂直。典例分析跟蹤訓(xùn)練三、與垂直有關(guān)的問題√因?yàn)閚·(tm＋n)＝0，所以t＝－4.課堂小結(jié)1.知識(shí)清單：(1)向量數(shù)量積的定義.(2)向量數(shù)量積的性質(zhì).(3)投影向量.(4)向量數(shù)量積的運(yùn)算律.2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：忽視向量數(shù)量積不滿足結(jié)合律；向量夾角共起點(diǎn)；a·b>0?兩向量夾角為銳角，a·b<0?兩向量夾角為鈍角.1.對(duì)于任意向量a，b，c，下列命題中正確的是A.|a·b|＝|a||b| B.|a＋b|＝|a|＋|b|C.(a·b)c＝a(b·c) D.|a|＝√解析因?yàn)閍·b＝|a||b|cosθ(θ為a，b夾角)，所以|a·b|≤|a||b|，所以A錯(cuò)誤；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有當(dāng)a，b同向時(shí)取“＝”，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?a·b)c是向量，其方向與向量c相同，a(b·c)是向量，其方向與向量a的方向相同，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)閍·a＝|a||a|cos0＝|a|2，123452.(多選)已知兩個(gè)單位向量e1，e2的夾角為θ，則下列結(jié)論正確的是A.e1在e2方向上的投影向量為cosθe2B.C.(e1＋e2)⊥(e1－e2)D.e1·e2＝1√解析因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量e1，e2的夾角為θ，則|e1|＝|e2|＝1，則e1在e2方向上的投影向量為|e1|cosθe2＝cosθe2，故A正確；故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正確；e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝cosθ，故D錯(cuò)誤.12345√√123453.設(shè)e1和e2是互相垂直的單位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，則a·b等于A.－2 B.－1C.1 D.2√解析因?yàn)閨e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.123454.已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角