2025年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型訓(xùn)練：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值和定直線問(wèn)題（學(xué)生版+解析）

專題11圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值和定直線問(wèn)題

一、橢圓定點(diǎn)問(wèn)題

1.已知圓E：0+1)2+y2=16,點(diǎn)F(l,0),G是圓E上任意一點(diǎn)，線段GF的垂直平分線和半徑GE相交于H

(1)求動(dòng)點(diǎn)H的軌跡「的方程；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F和7(7,0)的圓與直線I：%=4交于「，Q,已知點(diǎn)4(2,0),且4P、4Q分別與T交于M、N.試探究直

線MN是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.已知點(diǎn)4(2,0),2(-/一口在橢圓l(a>b>0)上.

⑴求橢圓”的方程；

(2)直線1與橢圓M交于C,D兩個(gè)不同的點(diǎn)(異于4B),過(guò)C作x軸的垂線分別交直線于點(diǎn)P,Q,當(dāng)P是CQ

中點(diǎn)時(shí)，證明.直線I過(guò)定點(diǎn).

3.如圖，橢圓C:/+箕=l(a>6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B.左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,離心率為日,

點(diǎn)M(VX1)在橢圓C上.

⑴求橢圓C的方程；

(2)已知P,。是橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，記直線AP的斜率為燈，直線8。的斜率為七，燈=2七.過(guò)點(diǎn)8作直線

P。的垂線，垂足為X.問(wèn)：在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)T,使得|7H|為定值，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不

存在，試說(shuō)明理由.

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4.已知橢圓C++琶=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6，尸2，&，8分別是C的右、上頂點(diǎn)，且=V7,

。是C上一點(diǎn)，ABF?。周長(zhǎng)的最大值為8.

⑴求C的方程；

(2)C的弦DE過(guò)&,直線ZE,4D分別交直線x=-4于M,N兩點(diǎn),尸是線段MN的中點(diǎn)，證明：以PD為直徑

的圓過(guò)定點(diǎn).

5.己知橢圓C:《+'=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為4,過(guò)右焦點(diǎn)F且平行于y軸的弦PQ=&F=3.

⑴求△APQ的內(nèi)心坐標(biāo)；

(2)是否存在定點(diǎn)D,使過(guò)點(diǎn)。的直線咬C于交PQ于點(diǎn)R,且滿足標(biāo)?而=麗?前？若存在，求出

該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

二、雙曲線定點(diǎn)問(wèn)題

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6.已知點(diǎn)P(4,3)為雙曲線石橐―a=l(a>0,b>0)上一點(diǎn)，E的左焦點(diǎn)6到一條漸近線的距離為倔

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵不過(guò)點(diǎn)P的直線y=kx+t與雙曲線E交于4B兩點(diǎn)，若直線必，P8的斜率和為1,證明：直線y=kx+t

過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

7.雙曲線C:《一《=l(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為4焦距為4,過(guò)右焦點(diǎn)尸作垂直于實(shí)軸的直線交C于B、D

兩點(diǎn)，且AABD是直角三角形.

⑴求雙曲線C的方程；

(2)已知是C上不同的兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且MN的中垂線為直線2，是否存在半徑為1的定圓E,

使得，被圓E截得的弦長(zhǎng)為定值，若存在，求出圓E的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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8.己知雙曲線C+一a=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為F,4B(0,b),\AF\=1,點(diǎn)M在線段48

上，且滿足|BM|=國(guó)陽(yáng)川，直線。M的斜率為1,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線，與雙曲線C的右支相交于P,Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在與F不同的定點(diǎn)E,使得|EP|?|FQ|=

|EQ|?|FP卜恒成立？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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9.已知雙曲線C與雙曲線套一7=1有相同的漸近線，且過(guò)點(diǎn)2(271-1).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)D(2,0),E,尸是雙曲線C上不同于。的兩點(diǎn)，且麗?加=0,DG1EF于點(diǎn)G,證明:存在定點(diǎn)

H,使|GH|為定值.

10.已知雙曲線C:一一《=i(b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,4是C的左頂點(diǎn)，C的離心率為2.設(shè)過(guò)尸2

的直線I交C的右支于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線AP、2Q分別交直線x于M、N兩點(diǎn)，證明：麗?麗為定值；

(3)是否存在常數(shù)人使得NPF2/I=4NP4F2恒成立？若存在，求出；I的值；否則，說(shuō)明理由.

三、拋物線定點(diǎn)問(wèn)題

11.已知?jiǎng)訄AM恒過(guò)定點(diǎn)尸(0,￡),圓心M到直線y=-1的距離為d,d=|MF|+也

⑴求M點(diǎn)的軌跡C的方程；

(2)過(guò)直線y=久-1上的動(dòng)點(diǎn)Q作C的兩條切線切心切點(diǎn)分別為4B,證明：直線4B恒過(guò)定點(diǎn).

12.已知拋物線G：%2=2py(p>0)和圓C2：(x+1)2+y2=2,傾斜角為45。的直線。過(guò)的焦點(diǎn)，且k與Q相

切.

(1)求拋物線G的方程；

(2)動(dòng)點(diǎn)M在G的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)4在G上，若G在點(diǎn)4處的切線12交y軸于點(diǎn)8,設(shè)麗=拓5+而，證明點(diǎn)N在

定直線上，并求該定直線的方程.

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13.已知直線If.x-y+1-0過(guò)橢圓C:Y+-1(6>。)的左焦點(diǎn)，且與拋物線M\y2=2Px(p>0)相

切.

(1)求橢圓C及拋物線"的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線b過(guò)拋物線M的焦點(diǎn)且與拋物線M交于兩點(diǎn)，直線。4,08與橢圓的過(guò)右頂點(diǎn)的切線交于M,

N兩點(diǎn).判斷以為直徑的圓與橢圓C是否恒交于定點(diǎn)P,若存在，求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心為點(diǎn)Q的動(dòng)圓恒過(guò)點(diǎn)尸(0,1),且與直線y=-l相切，設(shè)動(dòng)圓的圓心Q的

軌跡為曲線匚

(1)求曲線r的方程；

(2)P為直線小y=%)(M)<0)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲線「的切線，切點(diǎn)分別為4，B,過(guò)點(diǎn)P作4B的垂線，

垂足為H,是否存在實(shí)數(shù)小,使點(diǎn)P在直線/上移動(dòng)時(shí)，垂足“恒為定點(diǎn)？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求

出出的值，并求定點(diǎn)H的坐標(biāo).

15.已知拋物線C：y2=2px(.p>0),直線x+y+1=0與拋物線C只有1個(gè)公共點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線y=k(久一與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，直線04,。8與直線x=1分別交于ALN兩點(diǎn)，試判斷

以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

四、橢圓定值問(wèn)題

16.已知橢圓C：a+￡=l(a>6>0)的離心率e=],短軸長(zhǎng)為2g.

⑴求橢圓C的方程；

⑵己知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(l,l)的直線/與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)，且與直線丫=-如相交于點(diǎn)。，如果而=4都,

QB=I1PB,那么2+〃是否為定值？若是,請(qǐng)求出具體數(shù)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

17.在橢圓C：今+3=1(a>b>0)中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓「：x2+y2=a2+b2±,

z

QZb

稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.橢圓C過(guò)P(l,?),Q

(1)求橢圓。的方程；

⑵過(guò)橢圓C的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)M,作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)N,若k°M，k°N存在,證明：-k°N

為定值.

18.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)&(—1,0),&(1,0),圓。:/+*=2,M是圓內(nèi)或圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓。與以線段

F2M為直徑的圓。1內(nèi)切.

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)設(shè)M的軌跡為曲線E,若直線Z與曲線E相切，過(guò)點(diǎn)心作直線I的垂線，垂足為N,證明：|0N|為定值.

22

19.設(shè)橢圓E：京+l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)M(魚(yú),1),且左焦點(diǎn)為&(—記0).

⑴求橢圓E的方程；

(2)A4BC內(nèi)接于橢圓E,過(guò)點(diǎn)P(4,l)和點(diǎn)4的直線1與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)Q,滿足

|而||而|=|而||而證明：APBC面積為定值，并求出該定值.

20.橢圓C：5+5=1的右焦點(diǎn)為尸(1,0),離心率為

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)尸且斜率為1的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn)，尸是直線x=4上任意一點(diǎn).求證：直線PM,PF,PN的斜率

成等差數(shù)列.

五、雙曲線定值問(wèn)題

22

21.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，圓&：(x+2)+y=4,F2(2,0),尸是圓&上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段PF2的垂

直平分線/與直線Pa交于點(diǎn)記點(diǎn)〃的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)尸2作與無(wú)軸不垂直的任意直線交曲線C于48兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交無(wú)軸于點(diǎn)X,求證:黑

為定值.

22.已知雙曲線/一y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為4,A2,動(dòng)直線/：y=for+m與圓/+V=1相切，且

與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P](Xi，yi),P2(乂2，無(wú))?

⑴求上的取值范圍；

(2)記直線P/4的斜率為ki，直線P2A2的斜率為k2,那么k.2是定值嗎？證明你的結(jié)論.

23.已知P是圓C:Q+2)2+/=12上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(2,0),線段PM的垂直平分線門與直線PC交于點(diǎn)T,

記點(diǎn)T的軌跡為a.

(1)求C'的方程；

⑵若直線Z與曲線L恰有一個(gè)共點(diǎn)，且2與直線%:y=去，%：>=-日久分別交于4B兩點(diǎn)，ZkOAB的面積

是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.已知雙曲線C：g-g=l(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±江，焦距為10,4，4為其左右頂

點(diǎn).

⑴求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P是直線1：比=2上的任意一點(diǎn)，直線P4、P4分別交雙曲線C于點(diǎn)M、N,A2Q1MN,垂足為Q,

求證：存在定點(diǎn)R,使得|QR|是定值.

22__

25.己知尻,&分別為雙曲線。京一a=1(a>。3>0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)。(2,2n)在C上，且雙曲線C的漸

近線與圓久2+y2-6y+8=。相切.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)尸2且斜率為k的直線1交雙曲線C的右支于4B兩點(diǎn)，Q為式軸上一點(diǎn)，滿足|Q*=|QB|,試問(wèn)

幽野心是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

六、拋物線定值問(wèn)題

26.已知拋物線C:/=2py(p>0)的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,過(guò)點(diǎn)尸且傾斜角為二的直線交拋物線于點(diǎn)M在

6

第一象限)，MN1I,垂足為N,直線NF交工軸于點(diǎn)。，\MD\=4V3.

⑴求p的值.

(2)若斜率不為0的直線。與拋物線C相切，切點(diǎn)為G,平行于％的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，且NPGQ=]

點(diǎn)尸到直線PQ與到直線"的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.已知拋物線G：y2=2Px(p>0)上一點(diǎn)Q(l,a)到焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求a,p的值；

(2)設(shè)P為直線久=一1上除(-1,一百)，(-1,百)兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2：(x-2尸+/=3的兩條切線,

分別與曲線6相交于點(diǎn)力，B和C,D,試判斷4B,C,。四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；

若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

28.已知點(diǎn)尸是拋物線C：y2=2p%(p〉0)的焦點(diǎn)，縱坐標(biāo)為2的點(diǎn)N在C上，以尸為圓心、NF為半徑的圓

交y軸于D,E,\DE\=2V3.

(1)求拋物線C的方程；

⑵過(guò)(-1,0)作直線1與拋物線C交于4,B,求/QvA+kNB的值.

29.貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線.法國(guó)數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行

了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了。eCas%私〃算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫

出地物線.反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論.如圖所示，拋物線r：/=2py,其

中p>0為一給定的實(shí)數(shù).

y

(i)寫出拋物線r的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程;

(2)若直線Z:y=kx-2pk+2P與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值;

(3)如圖，A,8,C是H上不同的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E,凡證明：《卷=瞿=照

|0E|\FC\\BF\

30.已知點(diǎn)a為直線i：x+i=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)a作射線ap(點(diǎn)P位于直線1的右側(cè))使得力P1設(shè)

線段4F的中點(diǎn)為8,設(shè)直線P8與x軸的交點(diǎn)為7,PF=TF.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(0,2)的兩條射線分別與曲線C交于點(diǎn)M,N,設(shè)直線QM,QN的斜率分別為七也，若=+號(hào)=2,

請(qǐng)判斷直線MN的斜率是否為定值以及其是否過(guò)定點(diǎn)，若斜率為定值，請(qǐng)計(jì)算出定值；若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算出

定點(diǎn).

七、橢圓定直線問(wèn)題

22

31.橢圓E的方程為？+1,左、右頂點(diǎn)分別為4(一2,0),B(2,0),點(diǎn)P為橢圓E上的點(diǎn)，且在第一象

4o

限，直線/過(guò)點(diǎn)尸

(1)若直線/分別交x,y軸于C,。兩點(diǎn)，若PD=2,求PC的長(zhǎng)；

⑵若直線/過(guò)點(diǎn)(-1,0),直交橢圓E于另一點(diǎn)。(異于點(diǎn)A,B),記直線4P與直線BQ交于點(diǎn)試問(wèn)點(diǎn)M

是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，說(shuō)明理由.

32.已知曲線C:(5—m)x2+(m-2)y2=8(meR).

(1)若曲線C是橢圓，求機(jī)的取值范圍.

(2)設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方)，直線=kx+4與曲線C交于不同的

兩點(diǎn)M,N.設(shè)直線AN與直線相交于點(diǎn)G.試問(wèn)點(diǎn)G是否在定直線上？若是，求出該直線方程；若不

是，說(shuō)明理由.

33.已知橢圓C:液+5=16>0,匕>0)過(guò)點(diǎn)知律,乎),且離心率為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線=x+ni與橢圓C交y軸右側(cè)于不同的兩點(diǎn)A,B,試問(wèn)：△M4B的內(nèi)心是否在一條定直線上?

若是，請(qǐng)求出該直線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

34.已知橢圓C:a+力=l(a〉6>0)過(guò)點(diǎn)Q(1,習(xí)，且后心率為］.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)P(l,2)的直線I交C于4、B兩點(diǎn)時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)M,滿足|4P|?\MB\=\AM\■\PB\,證明：點(diǎn)M總

在某定直線上.

35.橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，左、右頂點(diǎn)分別為4(-2,0),B(2,0),點(diǎn)(1,%)在橢圓E

上.

⑴求橢圓E的方程.

⑵過(guò)點(diǎn)(一1,0)的直線/與橢圓E交于P,。兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A,B),記直線AP與直線8。交于點(diǎn)試問(wèn)點(diǎn)

M是否在一條定直線上？若是，求出該定直線方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

八、雙曲線定直線問(wèn)題

36.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的

反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線E:9—《=1(6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為后、尸2,從尸2發(fā)出的

光線經(jīng)過(guò)圖2中的4、B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和D,且tanNC4B=—[,AB1BD.

4

⑴求雙曲線E的方程；

⑵設(shè)4、42為雙曲線E實(shí)軸的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)P(4,0)的直線[與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，試探究直線4M與

直線4N的交點(diǎn)Q是否在某條定直線上？若存在，請(qǐng)求出該定直線方程；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

37.已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P滿足|P&|—|P&I=2,且:(一2,0),F2(2,0).

⑴求C的方程；

(2)若直線A8與C交于2、B兩點(diǎn)，過(guò)4B分別做C的切線，兩切線交于點(diǎn)P’.在以下兩個(gè)條件①②中選擇一個(gè)

條件，證明另外一個(gè)條件成立.

①直線4B經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(4,0)；

②點(diǎn)P'在定直線x=［上.

38.已知點(diǎn)(2,3)在雙曲線(7:9—?6=1上.

(1)雙曲線上動(dòng)點(diǎn)。處的切線交C的兩條漸近線于4B兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：AAOB的面積S是定

值；

(2)己知點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線/與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)

滿足黑=黑，證明：點(diǎn)H恒在一條定直線上?

22

39.已知雙曲線C曝-翥=1(a>0,6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(4,3),直線小"分別是雙曲線C的漸近線，過(guò)。分別作

k和，2的平行線匕和1'2,直線交工軸于點(diǎn)M,直線，2交y軸于點(diǎn)N,且I0MH0NI=2次(。是坐標(biāo)原點(diǎn))

⑴求雙曲線C的方程；

⑵設(shè)&、4分別是雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線交雙曲線C于P、Q兩個(gè)不同點(diǎn)，直線4P與4Q

相交于點(diǎn)G,證明：點(diǎn)G在定直線上.

40.已知雙曲線C：*W=l(a>0,6>0)的離心率為企，過(guò)點(diǎn)E(l,0)的直線/與C左右兩支分別交于跖

N兩個(gè)不同的點(diǎn)(異于頂點(diǎn)).

(1)若點(diǎn)尸為線段MV的中點(diǎn)，求直線。尸與直線斜率之積(。為坐標(biāo)原點(diǎn))；

(2)若A,8為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且|2B|=4,試判斷直線AN與直線的交點(diǎn)G是否在定直線上，若是,

求出該定直線，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由

九、拋物線定直線問(wèn)題

41.過(guò)拋物線/=2py(p>0)內(nèi)部一點(diǎn)「(科冗)作任意兩條直線力B,CD,如圖所示，連接延長(zhǎng)交于點(diǎn)

Q,當(dāng)P為焦點(diǎn)并且481CD時(shí)，四邊形4C80面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程;

(2)若點(diǎn)證明Q在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出定直線方程.

42.已知拋物線E：V=2px(p>0),過(guò)點(diǎn)(一1,0)的兩條直線小G分別交E于4、B兩點(diǎn)和C、D兩點(diǎn).當(dāng)。的

斜率為1時(shí)，\AB\=2V10.

(1)求后的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)G為直線4。與BC的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)G在定直線上.

43.已知拋物線Q：x2=2py(p>0)和圓C2：。++外=2,傾斜角為45。的直線4過(guò)G的焦點(diǎn)且與心相

切.

(1)求p的值：

⑵點(diǎn)M在G的準(zhǔn)線上，動(dòng)點(diǎn)A在Q上，Q在A點(diǎn)處的切線b交y軸于點(diǎn)2，設(shè)而=祈彳+而，求證：點(diǎn)

N在定直線上，并求該定直線的方程.

44.已知拋物線/=4y,P為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作拋物線的切線交拋物線于4B兩點(diǎn)，交x軸于M,N兩

點(diǎn).

(1)若P(—1,—2),設(shè)A04B的面積為Si，APMN的面積為S2，求金的值；

S2

(2)若POofo)，求證：△PMN的垂心H在定直線上.

45.已知/為拋物線C:/=2py(p>0)的焦點(diǎn)，直線2:y=2久+1與C交于A,B兩點(diǎn)且|4F|+田?|=20.

(1)求C的方程.

(2)若直線瓶:丫=2尤+1?K1)與(7交于〃，N兩點(diǎn)，且AM與BN相交于點(diǎn)T,證明：點(diǎn)T在定直線上.

專題11圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值和定直線問(wèn)題

一、橢圓定點(diǎn)問(wèn)題

1.已知圓E：0+1)2+y2=16,點(diǎn)F(1,O),G是圓E上任意一點(diǎn)，線段GF的垂直平分線和半徑GE相交于H

⑴求動(dòng)點(diǎn)H的軌跡「的方程；

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F和7(7,0)的圓與直線I：久=4交于P,Q,已知點(diǎn)力(2,0),且4P、4Q分別與「交于M、N.試探究直

線MN是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)?+?=1

(2)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)

【分析】(1)利用橢圓的定義即可求出動(dòng)點(diǎn)H的軌跡「的方程；

(2)設(shè)可(%2，為)，直線MN的方程為：％=my+幾，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理列出％八y1,

亞，火之間的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)式寫出直線M4的方程，求出點(diǎn)P,鴻)，Q(4,表)，再寫出以PQ為直徑

的圓的方程，根據(jù)圓的方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)7(7,0),得到關(guān)系式，進(jìn)而求得"為定值，從而得到直線MN過(guò)定點(diǎn).

【詳解】(1)如圖所示，

V\HE\+\HF\=\HE\+\HG\=4,且|EF|=2<4,

.,.點(diǎn)H的軌跡是以E,F為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)橢圓方程今+9=1，貝!12a=4,c=1,.,.a=2,b=Va2—c2=V3.

azbz

22

所以點(diǎn)H的軌跡方程為：?+方=1.

（2）設(shè)直線MN的方程為：x=my+n,

（蘭光=

由143,得（3優(yōu)2+4）y2+6mny+3n2-12=0

lx=my+n

17/86

設(shè)”(久1，為)，Nd，yZ，則%=一春瓦￡，7172=寶%.

n

所以，%i+%2=巾(乃+%)+2n=%1%2=(jny1+n)(my2+n)=t累:;

因?yàn)橹本€AM的方程為：y=六(x—2),令x=4,得yp=/，

所以，尸(4,含)，同理可得Q(2表)，

以PQ為直徑的圓的方程為：(X一47+(y-言)(y-言)=0,

即(久-4)2+y2-(匹+匹)y+匹x匹=0,

因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)(7,0),所以，9+汽*且三=0,

12n2-48

得9+——4產(chǎn)=0,代入得9+,,2+；啜\、=0,

X1X2-2(%I+X2)+4727n2+4*16n14

3M2+43m2+4

化簡(jiǎn)得，9+.；2冏48=。(4a2_16n+16不0,n豐2),解得幾=1或九=2(舍去)，

4nz-16n+16

所以直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0),

當(dāng)直線MN的斜率為。時(shí)，此時(shí)直線MN與x軸重合，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),

綜上所述，直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0).

2.已知點(diǎn)4(2,0),B(—")在橢圓"：■+'=l(a>6>0)上.

(1)求橢圓M的方程；

(2)直線1與橢圓M交于C,。兩個(gè)不同的點(diǎn)(異于A,B),過(guò)C作x軸的垂線分別交直線于點(diǎn)P,Q,當(dāng)P是CQ

中點(diǎn)時(shí)，證明.直線1過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1注+y2=l

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)橢圓所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)列方程求出其方程；(2)設(shè)出CD方程，結(jié)合韋達(dá)定理和P是CQ中點(diǎn)的條

件，找到直線CD中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系，從而求出定點(diǎn).

【詳解】⑴由題知a=2,又橢圓經(jīng)過(guò)J代入可得;(-§2+2(一丁=1，解得b2=l,

故橢圓的方程為：1+y2=i

4

18/86

(2)

由題意知，當(dāng)11X軸時(shí)，不符合題意，故1的斜率存在，設(shè)1的方程為丫=履+111,

y=kx+m

次2_]消去丫得(4k2+l)x2+8kmx+4m2-4=0,

{4+y-

則A=64k2m2-16(m2-l)(4k2+1)=16(4k2-mz+1)>0,

即4k2+1>m2

設(shè)C(xi，yj,D(x2,y2),xt+x2=xxx2=

AB的方程為y=；(x-2),令x=X1得P(x],也，]

AD的方程為y=2),令x=X]得Q(Xi，￡5|y2),

由P是CQ中點(diǎn)，得甘=y1+A|.y2,即懸+六=%

即(kx1+m)(x2-2)+(kx2+m)(x1-2)=|[xxx2-2(x1+x2)+4],

即(1—4k)x1x2+(4k—2m—2)(x1+x2)+4+8m=0,

即4m2+(16k+8)m+16k2+16k=0,所以(m+2k)(m+2k+2)=0,

得m=-2k-2或m=-2k,

當(dāng)m=-2k-2,此時(shí)由△>(),得kv-：符合題意;

8

當(dāng)m=-2k,此時(shí)直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,與題意不符，舍去.

所以1的方程為丫=kx-2k-2,即y=k(x-2)-2,

所以1過(guò)定點(diǎn)(2,-2).

19/86

3.如圖，橢圓(7:《+箕=1(￡1＞匕＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B.左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,離心率為日,

點(diǎn)M(VX1)在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知P,。是橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，記直線AP的斜率為B，直線8。的斜率為七，k、=2k2.過(guò)點(diǎn)8作直線

尸。的垂線，垂足為問(wèn)：在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)T,使得|TH|為定值，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不

存在，試說(shuō)明理由.

【答案】⑴(：:1+4=1；

4Z

(2)存在定點(diǎn)T(|,0)使|TH|為定值，理由見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)離心率，橢圓上點(diǎn)及參數(shù)關(guān)系列方程組求a,b,c,即可得橢圓方程;

(2)根據(jù)題意設(shè)BQ:y=k(x-2),AP:y=2k(x+2),聯(lián)立橢圓方程求P,Q坐標(biāo)，判斷直線PQ過(guò)定點(diǎn)，結(jié)

合BH1PQ于H確定H軌跡，進(jìn)而可得定點(diǎn)使得|TH|為定值.

(￡=之

a2可得L2a214,則橢圓方程為C:f+券=1；

【詳解】(1)由題意《A.2_=1

a2Tb21b"=c=242

=b2+C2

(2)若直線BQ斜率為k,則直線AP斜率為2k,而A(—2,0),B(2,0),

所以BQ:y=k(x-2),AP:y=2k(x+2),

聯(lián)立BQ與橢圓C,則x2+2k2(x—2)2=4,整理得(1+2k?)x2-8k?x+8k?-4=0,

4k2-2

所以2xQ=f^，則XQ=故yQ=—

l+2k2

聯(lián)立AP與橢圓C則x2+8k2(x+2)2=4,整理得Q+8k2)x2+32k2x+32k2-4=0,

2-16k2

所以—2xp=32k2—4則Xp故yp=8k

l+8k2l+8k2l+8k2

4k2-22-16k2_64kj

綜上，Q-Xp

Xl+2k2l+8k2-(l+8k2)(l+2k2)'

20/86

_4k8k_12k+48k3

YQYP-i+2k2l+8k2-(l+8k2)(l+2k2)'

當(dāng)64k-47。，即k7士妙1^=器甯=急，

此時(shí)PQ：y+感=―(x+者)=&x+(U：藍(lán)，2)，

所以PQ：y=占x+等=占(3X+2),即直線PQ過(guò)定點(diǎn)(號(hào),0)；

當(dāng)64k4—4=0,即k=±決寸，

若k.貝辰Q=-|且yQ=_￡xP=-|j.yP=p故直線PQ過(guò)定點(diǎn)(一|,0)；

若k=_$則XQ=_|且yQ=￡xp=_|且yp=_(故直線PQ過(guò)定點(diǎn)(一|,0)；

綜上，直線PQ過(guò)定點(diǎn)M(號(hào),0),又BH1PQ于H,

易知H軌跡是以BM為直徑的圓上，故BM的中點(diǎn)(|,0)到H的距離為定值，

所以，所求定點(diǎn)T為(|,0).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二間，設(shè)直線BQ,AP聯(lián)立橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理求點(diǎn)P,Q坐標(biāo)，再寫出直線PQ方程

判斷其過(guò)定點(diǎn)是關(guān)鍵.

22

4.已知橢圓C拿+3=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&,尸2,48分別是C的右、上頂點(diǎn)，且|4B|=V7,

。是C上一點(diǎn)，ABF2。周長(zhǎng)的最大值為8.

⑴求C的方程；

(2)C的弦DE過(guò)&,直線力E,AD分別交直線x=-4于M,N兩點(diǎn)，P是線段MN的中點(diǎn)，證明：以PD為直徑

的圓過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1)?+?=1;

(2)證明見(jiàn)解析.

21/86

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義結(jié)合三角形不等式求解即可；

（2）設(shè)D（Xi，%）,E（X2，y2）,直線DE:x=my—1,聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)過(guò)兩點(diǎn)圓的方程，結(jié)合圖形

的對(duì)稱性可得定點(diǎn)在x軸上，代入韋達(dá)定理求解即可.

【詳解】（1）依題意，a2+b2=7,

△BF2D周長(zhǎng)|DB|+|DF2|+a=|DB|+2a—|DF1|+a<|BFt|+3a=4a,當(dāng)且僅當(dāng)B,F1,D三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)

(2)設(shè)D(xi，y1),E(x2，y2)，直線DE:x=my-L代入土+匕=1,整理得(3m2+4)y?-6my-9=0,

43

2

△=36m2+36(3m+4)>0,yt+y2=素=就;，

易知AD:y=（x—2）,令x=-4,得N（—4,三號(hào)），同得M（—4,三普）,

從而中點(diǎn)P卜4,-33+表）｝

以PD為直徑的圓為（x+4）（x—xj+（y+3（丫—Yi）=

由對(duì)稱性可知，定點(diǎn)必在x軸上，

令y=0得，(X+4)(x-X1)-3yl(含+言)=0,

Yi,y2Yiy22my1y2-3(yi+y2)

2

X]_2x2—2my1—3my2—3my1y2—3m仇+y2)+9

-18m18m

_3m2+43m2+4__36m__

2n2??—rri，

-9m18m|?36

3m2+43m2+4

2

所以(x+4)(x-xj+3myi=0,BPx+(4—xjx—4xt+3myx=0,因?yàn)閤】=my1—1,

所以X?+(5-myjx-my1+4=0,即(x+l)(x-my1+4)=0,

解得x=-1,所以圓過(guò)定點(diǎn)(一1,0).

22/86

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(Xi，yJ,(X2，y2);

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算A；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為X1+X2，xjx2(或y1+y2，yiy2)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

5.己知橢圓C:5+\=l(a〉b>0)的左頂點(diǎn)為4過(guò)右焦點(diǎn)F且平行于y軸的弦PQ=4F=3.

⑴求△APQ的內(nèi)心坐標(biāo)；

⑵是否存在定點(diǎn)D,使過(guò)點(diǎn)。的直線/交C于M,N,交PQ于點(diǎn)R,且滿足標(biāo)?而=麗?前？若存在，求出

該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴(三,0)

⑵存在定點(diǎn)D(4,0)

【分析】(1)由題意，根據(jù)橢圓的定義以及a2=b2+c2,列出等式即可求出橢圓C的方程，判斷AAPQ的內(nèi)

心在x軸，設(shè)直線PT平分NAPQ,交x軸于點(diǎn)T,此時(shí)T為AAPQ的內(nèi)心，進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)直線1方程為y=k(x-t),M(x「%),N(X2,y2),將直線1的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到根的判別

式大于零，由點(diǎn)M、R、N、D均在直線I上，得到加-ND=MD-RN,此時(shí)2t-(1+t)(x1+x2)+2xtx2=0,

結(jié)合韋達(dá)定理求出t=4,可得存在定點(diǎn)D(4,0)滿足題意.

【詳解】(1)a2=b2+c2,—=a+c=3，.a=2,b=百,c=1

a

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+(=1,

43

不妨取P(1卷),Q(l,-|),A(-2,0),則AP=手,PF=j；

23/86

因?yàn)锳APQ中，AP=AQ,所以△APQ的內(nèi)心在x軸，設(shè)直線PT平分NAPQ,交x軸于T,則T為AAPQ的內(nèi)心,

且普泊'號(hào)，所以"=怒，則T(孚。)；

(2)?..橢圓和弦PQ均關(guān)于x軸上下對(duì)稱.若存在定點(diǎn)D,則點(diǎn)D必在x軸上.?.設(shè)D(t,O)

fy=k(x-t)

當(dāng)直線1斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k(x-t),M(x1,yi),N(X2，y2),直線方程與橢圓方程聯(lián)立￡，

I43-

消去y得(4k2+3)x2-8k2tx+4(k2t2-3)=0,

則A=48(k2+3-k2t2)>O,xi+X2=蕓①

?點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1,M、R、N、D均在直線1上，MR-ND=MD-RN

22

?1?(1+k)(l-Xi)(t-x2)=(1+k)(t-x1)(x2-1)

???2t-(l+t)(X1+x2)+2X]X2=02t-(l+t)黑+2x=0,整理得t=4,

因?yàn)辄c(diǎn)D在橢圓外，則直線1的斜率必存在.，存在定點(diǎn)D(4,0)滿足題意

【點(diǎn)睛】解決曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題一般有兩種方法：①探索曲線過(guò)定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出曲線方程，然后利用條件

建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于曲線系的思想找出定點(diǎn)，或者利用方程恒成立列方程組求出定點(diǎn)坐標(biāo).②從

特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無(wú)關(guān).

二、雙曲線定點(diǎn)問(wèn)題

6.已知點(diǎn)P(4,3)為雙曲線E:，—，=1缶>04>0)上一點(diǎn)，E的左焦點(diǎn)Fi到一條漸近線的距離為

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)不過(guò)點(diǎn)P的直線y=kx+t與雙曲線E交于A,B兩點(diǎn)，若直線PA,PB的斜率和為1,證明：直線y=kx+t過(guò)

定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】⑴?一?=1

⑵證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)為(-2,3).

24/86

【分析】(1)由點(diǎn)到直線的距離公式求出b=E，再將點(diǎn)P(4,3)代入雙曲線方程求出a?=4,可得雙曲線E的

標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理得X1+X2、x1X2,再根據(jù)斜率和為1列式，推出t=2k+3,從

而可得直線y=kx+t過(guò)定點(diǎn)(-2,3).

【詳解】(1)設(shè)Fi(—c,O)(c>O)到漸近線y=￡x,即bx-ay=0的距離為百，

則百=導(dǎo)當(dāng)，結(jié)合a?+b2=c2得b=V3,

vb2+a2

又P(4,3)在雙曲線捺―?=1上，所以￡一；1,得a2=4,

所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為。-(=1.

43

=kx+t

(2)聯(lián)立，次—,消去y并整理得(3-4k2)x2-8ktx-4t2-12=0,

(43-

則3-4k2*0,A=64k2t2+4(3-4k2)(4t2+12)>0,即t2+3>4k2,

設(shè)A(xi，y])，B(x2,y2),

4t2+12

2=

則叼+*墨X1X2=-

3-4k2

則kpA+kpB+M=kX1+t-3+kxz+t-3

xx-4X2-4

_(kxi+t—3)(X2—4)+(kx24-1—3)(xt—4)

(Xi-4)(X2-4)

2kxx+(t-4k-3)(x4-x)-8t+24.

—1212—J.,

X1X2-4(X1+X2)+16

所以2kxiX2+(t-4k-3)(xi+x2)-8t+24=x1x2-4(xx+x2)+16,

所以(2k—1加或2+(t-4k+1)(X1+X2)—8t+8=0,

(2k-l)(4t2+12)(t-4k+l)-8kt

所以-—8t+8=0,

3-4k2+3-4k2

整理得t2-6k+2kt-6t-8k2+9=0,

所以(t-3)2+2k(t—3)—8k2=0,

所以(t-3-2k)(t-3+4k)=0,

因?yàn)橹本€y=kx+t不過(guò)P(4,3),即3K4k+t,t-3+4k^0,

所以t—3—2k=0,即t=2k+3,

所以直線y=kx+t=kx+2k+3,即y—3=k(x+2)過(guò)定點(diǎn)(-2,3).

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【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理和斜率公式推出t=2k+3是解題關(guān)鍵.

7.雙曲線C:^-冬=l（a>0,6>0）的左頂點(diǎn)為4,焦距為4,過(guò)右焦點(diǎn)尸作垂直于實(shí)軸的直線交C于B、D

兩點(diǎn)，且△ABD是直角三角形.

⑴求雙曲線C的方程；

（2）己知M,N是C上不同的兩點(diǎn),MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,且MN的中垂線為直線1,是否存在半徑為1的定圓E,

使得Z被圓E截得的弦長(zhǎng)為定值，若存在，求出圓E的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）x2—

（2）存在，E:（x-8）2+y2=1

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，結(jié)合AABD是等腰直角三角形的性質(zhì)，列出關(guān)系式即可求解雙曲線方程;

（2）首先利用點(diǎn)差法求出直線1所過(guò)的定點(diǎn)，即可求出定圓的方程.

【詳解】（1）依題意，ZBAD=90°,焦半徑c=2,

當(dāng)x=c時(shí),"=1,得y2=b2（\-1）=捺,BPy=±y,

所以|BF|=?,由|AF|=|BF|,得a+c=?,得a?+2a=2?—a?,

解得：a=1（其中a=-2<0舍去），

所以b?=c2-a2=4—1=3,

故雙曲線C的方程為x2—?=1；

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(2)設(shè)M(x1,yj,N(x2,y2),MN的中點(diǎn)為Q(x0,y0)

因?yàn)镸,N是C上不同的兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

xa-9=1,①

xf-y=1,@

所以《

x°=『2,③

v_%+yz

Yo——2~

①■②得(Xi+X2)(X1-x2)-仇+丫2學(xué)》)=0,

3(XI+X2)3X46

當(dāng)kMN存在時(shí),kMN==一,

Y1+Y2

2y0yo

因?yàn)镸N的中垂線為直線I,所以y-yo=-￡(x—2),即l:y=—既(x-8),

當(dāng)kMN不存在時(shí)，M,N關(guān)于x軸對(duì)稱，MN的中垂線1為x軸，此時(shí)1也過(guò)T(8,0)，

所以存在以(8,0)為圓心的定圓E:(x-8)2+y2=1,使得1被圓E截得的弦長(zhǎng)為定值2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線相交的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是求得直線所過(guò)的定點(diǎn)，因?yàn)?/p>

半徑為1,所以定圓圓心為定點(diǎn)，弦長(zhǎng)就是直徑.

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8.已知雙曲線一卷=l(a>0,6>0)的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為F,A,B(0,6),|4F|=1,點(diǎn)M在線段力B

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上，且滿足|BM|=“川，直線0M的斜率為1,。為坐標(biāo)原點(diǎn).

⑴求雙曲線C的方程.

(2)過(guò)點(diǎn)F的直線，與雙曲線C的右支相交于P,Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在與F不同的定點(diǎn)E,使得|EP|?|FQ|=

|EQ|?恒成立？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴x2—?=1

(2)存在，Eg,O)

【分析】(1)由|AF|=L|BM|=V3|MA|,直線OM的斜率為1,求得a,b,c之間的關(guān)系式，解得a,b的值，

進(jìn)而求出雙曲線的方程；

(2)設(shè)直線PQ的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由等式成立，可得EF為NPEQ的

角平分線，可得直線EP,EQ的斜率之和為0,整理可得參數(shù)的值，即求出E的坐標(biāo).

【詳解】(1)設(shè)c2=a2+b2(c＞0),所以F(c,O),A(a,O),B(O,b),

因?yàn)辄c(diǎn)M在線段A