2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 模塊五 數(shù)列（測試）（學(xué)生版+解析）

模塊五數(shù)列（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，若4=8%=1,則$3=（）

、H7

A.7B.5C.—D.一

84

2.“數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列”是“a3+a9=2a6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

3.已知｛%｝,｛"｝均為等差數(shù)列，且％=4=1，4=4,則數(shù)歹（］｛%+〃｝的前9項(xiàng)和為（）

A.45B.50C.54D.60

4.若數(shù)列｛瑪｝相鄰兩項(xiàng)的和依次構(gòu)成等差數(shù)列，則稱｛%｝是“鄰和等差數(shù)列”.例如，數(shù)列1,2,4,5,7,

8,10為“鄰和等差數(shù)列”.已知數(shù)列｛g｝是“鄰和等差數(shù)列”，3是其前〃項(xiàng)和，且4=0,&=1，%=4,

貝I邑。。=（）

A.39700B.39800C.39900D.40000

5.已知等比數(shù)列｛?！埃那皐項(xiàng)積為北，若1=128,則%=（）

A.72B.2C.2A/2D.4

6.已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且0<%<1,&%4+1<@+44<2,記則使得北>1

的最小正整數(shù)〃的值為（）

A.25B.26C.27D.28

7.己知S"為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且S“=2”“-2,若融“221og2a“+3對任意正整數(shù)〃恒成立，則實(shí)數(shù)2

的最小值為（）

75

A.4B.-C.3D.-

22

8.已知數(shù)列｛%｝滿足對任意正整數(shù)，4恒有4+產(chǎn)1+￡]。陷，且%-陋+8=0,+命+2）,

貝式么｝的前30項(xiàng)的和為（）

A.225B.225-1C.226D.226-1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=3,an+l=-^—,則（）

21

A.%J=-3B.%J>°C.。2024=2D.S13'7-40

7

10.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s",『=1,53=1,則（）

A.a3a6~%

B.若。3<4，則。4=4

C.若〃3>。6，貝U。5=TT

16

D.若%>。6,則s,e[2,4）

11.對于數(shù)列｛%｝,若存在正數(shù)使得對一切正整數(shù)〃，都有人區(qū)/,則稱數(shù)列｛q｝是有界的，若這

樣的正數(shù)〃不存在，則稱數(shù)列｛%｝是無界的.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，則下列說法正確的是（）

A.若4=1+）,則數(shù)列｛4｝是無界的

B.若%=[￡|"cos",則數(shù)列｛、｝是有界的

C.若?“=（-1）”，則數(shù)列￡｝是有界的

D.若%=,，則數(shù)列￡｝是有界的

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.己知遞增的等比數(shù)列｛%｝滿足。2+。3=18,q%=72,則｛%｝的前3項(xiàng)和$3=.

13.歐拉函數(shù)。⑻表示不大于正整數(shù)"且與〃互素(互素：公約數(shù)只有1)的正整數(shù)的個數(shù).知

其中P1,0，…,A■是”的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)(質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)

數(shù)).例如9(100)=100*“-3]11-1)=40.若數(shù)歹支％｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，則

)+°(出)+)+…+^(?100)=.

14.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為工，若對任意的正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)機(jī)，使得S〃=冊.給出如下4個結(jié)

論：

①｛。“｝可能為等差數(shù)列；

②｛凡｝可能為等比數(shù)列；

③(z>2)均能寫成｛??)的兩項(xiàng)之差；

④對任意〃eN*,總存在MIwN*,使得%=￡.

其中正確命題的序號是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)

已知數(shù)列｛4｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且%=256,G3+?4=20a2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿足％=4+log2a?，求數(shù)列他J的前“項(xiàng)和4.

16.(15分)

已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為q=；,且滿足=0.

(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列;

⑵求數(shù)列］,卜勺前〃項(xiàng)和為九

⑶求數(shù)列［(T)"S,J的前〃項(xiàng)和.

17.(15分)

已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)J(weN*)為數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)和，數(shù)列也“｝是等比數(shù)列，bH>0,若

“1=3,4=1,Z?3+52=12,a5—2b2=a3.

(1)求數(shù)列｛%｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛a/"｝的前〃項(xiàng)和；

A〃為奇數(shù)

(3)若g=S「，求數(shù)列匕｝的前2〃項(xiàng)和.

一,〃為偶數(shù)

18.（17分）

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且的=3,2=號L?N*).

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勿=——,記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為小若北之(-1)1對任意的〃￡N*恒成立，求之的取值范

anan+\

圍；

(3)設(shè)?！?畀，是否存在正整數(shù)0M(1<0<4)，使得G，c.,q成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合

條件的數(shù)組(p,4);若不存在，請說明理由.

19.(17分)

集合T為集合N*的子集，若數(shù)列｛4｝,｛〃｝滿足:二e集4一4恒為人的倍數(shù),則稱｛%｝與也卜TT

相關(guān)”.

⑴若4=2:L1,請寫出一個不同于數(shù)列｛%｝且首項(xiàng)為1的等差數(shù)列也｝,使得｛叫與｛〃J“N*-4相

關(guān)”.(無需證明)；

(2)若數(shù)列｛4｝滿足：％=3,%=21,%+2=7aa+]-10a“("eN*).

(i)證明：數(shù)列｛g+i-5?！埃秊榈缺葦?shù)列，并求出?！?；

(ii)若2=12〃+3,｛%｝與也｝“7-9相關(guān)”，求所有滿足條件的集合與

模塊五數(shù)列（測試）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為若％=8%=1,則S3=（）

117

A.7B.5C.—D.-

84

【答案】D

【解析】設(shè)｛%｝的公比為4，貝U4=8%=,從而q=g,

117

貝（JS3=%+Q2+Q3=1+萬+^=7，

故選：D.

2.“數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列”是“a3+a9=2a6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】如果數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的擴(kuò)展可得一定有4+%=2%，

反之/+%=26成立，不一定有數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

故選：A.

3.已知也｝,｛2｝均為等差數(shù)列，且％=&=1,q=4,則數(shù)列｛%+2｝的前9項(xiàng)和為（）

6/18

A.45B.50C.54D.60

【答案】C

【解析】因｛%｝,｛2｝均為等差數(shù)列，且%=1,4=4,可得｛%｝的公差為44=1,

則%=l+(n-l)=n,

而｛an+%｝的前9項(xiàng)和為%+&+---卜〃9+4+4+—二『

9(1+9)b,+/?

=---------+-------9x9=45+“x9=54.

225

故選：C.

4.若數(shù)列｛%｝相鄰兩項(xiàng)的和依次構(gòu)成等差數(shù)列，則稱｛4“｝是"鄰和等差數(shù)列”.例如，數(shù)列1,2,4,5,7,

8,10為“鄰和等差數(shù)列”.已知數(shù)列｛?！埃恰班徍偷炔顢?shù)列”，S,是其前〃項(xiàng)和，且％=0,a2=l,%=4,

貝I*^200=()

A.39700B.39800C.39900D.40000

【答案】A

【解析】設(shè)2=4,+a“+i,由q=0,%=1,%=4,得a=1也=5,貝I]a=4〃-3=。,+〃,+1,

故Soo=(4+%)+(%+a^-\-----+U20Q)=4+b3H------------1-&199=1+9H------F793

100x(1+793)

=----------------L=39700.

2

故選：A

5.已知等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)積為4,若1=128,則%=（）

A.gB.2C.2A/2D.4

【答案】B

【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)積為北，

則q=128=axa2a3…%=。：，所以％=2.

故選：B.

6.已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且0<%<1,%3%4+1<%3+64<2,記7；=4出1?！?，則使得（>1

的最小正整數(shù)〃的值為（）

A.25B.26C.27D.28

7/18

【答案】C

【解析】由％3%4+1<%3+%4，所以（qT/aTk。，

所以小;或m

[q4>1[。14<1

又4>0,0</<1,所以0<%3<1<。14，又卬3%4+1<2,所以。13%4<1，

2525/2727\

所以&=（。避25）2=（佐）2=遍<1,46=（4%5）=（。13。14）.（L弓=（。1。27）?=,iZ）?

則使得r>1的最小正整數(shù)〃的值為27.

故選:C.

7.已知5.為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且S“=2a“-2,若血,221og2a“+3對任意正整數(shù)〃恒成立，則實(shí)數(shù)力

的最小值為（）

75

A.4B.-C.3D.-

22

【答案】D

【解析】由S“=24-2,令”=1,解得％=2,

fSn=2a-2,a々八

當(dāng)心2時，由J0得a“=S—S,i=2a,-2%,即工=2（讓2）,

[S,i=2%-2,%

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以q=2“，

由Xa.221og26+3,即幾2家恒成立，令%=（1,則

而%-=-賢<0,所以％M<C",即數(shù)列匕,｝單調(diào)遞減，故（c“L=q=g，

所以所以幾的最小值為g.

故選：D.

8.已知數(shù)列｛%｝滿足對任意正整數(shù)，q恒有“爪=12+￡|44，且%-84+8=0,+命+2）,

則｛2｝的前30項(xiàng)的和為（）

A.225B.225-1C.226D.226-1

【答案】D

8/18

令P=n,q=l,得出可得電=2片,

〃+1n

所以的-Sq+SuZSi-ZynO,得4=2,

所以［9）是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，

加2〃(“+l)2"i—("+2)2〃2n+1T

故冬=2",an=n-2",所以2=

n(n+l)(n+2)n+2n+1

,2r\,3r\1,31,30,31

所以也,｝的前30項(xiàng)的和為土一4+土一土+…+-——=-1=226—1.

3243323132

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S.，4=3,〃〃+i=7^二，則（）

1—0〃

21

A.=-B.。5〉°C.。2024=—2D.S37=40

【答案】AC

11112

【解析】由％=3,a=-----,可得出=■;----=--,a=-----=-,

n+i1一〃〃1一%231-%3

111

?4='.------=3,%=^----=--,故A正確；B錯誤；

1一名1-^42

對于C,由上可知，數(shù)列｛q｝是以3為周期的周期數(shù)列,

則％024=%?674+2=%=-[，故C正確;

12

對于D,S37=(a1+a2+fl3)xl2+fl1=(3--+-)xl2+3=41,故D錯誤.

故選：AC.

7

10.已知等比數(shù)列｛4｝的前,項(xiàng)和為s“,%=1,63=3,則（）

A.a3a6=

B.若/</，則。4=4

C.右色>。6，貝U。5=TT

D.若%＞。6，則s/e[2,4)

9/18

【答案】ABD

7

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛0｝的公比為4,因?yàn)?=1,邑=j

axq=l=2f_1

所以，7,解得1或1=5,

%+64+qg=-q=~2

所以《=2x[；「'="或%=；x2-=2-.

對于A選項(xiàng)，在等比數(shù)列｛%｝中，=%%，又。2=1，所以。3%=%，所以A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，若%<4，則數(shù)列遞增，4=2,即。"=2"-2,所以4=2"2=4,所以B選項(xiàng)正確;

111

對于C選項(xiàng)，若%>4，則數(shù)列遞減，q=-，即氏=不與，所以“5=g，所以C選項(xiàng)不正確；

228

2x(1-^]

對于D選項(xiàng)，若。3>&，則數(shù)列遞減，q=-,Sn=--—｝」=4乂卜-■—|,又"eN*,

2]」I2")

2

所以S.e[2,4),所以D選項(xiàng)正確，

故選：ABD.

11.對于數(shù)列｛%｝,若存在正數(shù)M,使得對一切正整數(shù)〃，都有|凡區(qū)"，則稱數(shù)列｛4｝是有界的，若這

樣的正數(shù)”不存在，則稱數(shù)列｛%｝是無界的.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，則下列說法正確的是()

A.若《=1+:，則數(shù)列｛?！埃菬o界的

B.若%=(g]cos〃，則數(shù)列｛，｝是有界的

C.若4=(-1)”,則數(shù)列￡｝是有界的

D.若%=提，則數(shù)列阻｝是有界的

【答案】BCD

【解析】對于選項(xiàng)A：因?yàn)閍,=l+L所以㈤=1+』=1+」V2,所以存在正數(shù)"=2,

nnn

使得同區(qū)股恒成立，所以數(shù)列｛%｝是有界的，故A錯誤；

10/18

對于選項(xiàng)B：因?yàn)樗砸籕J，

所以S〃=q+&+…+4〃<；+［；

<1,

=-1+

所以存在正數(shù)〃=1,使得|S1<M恒成立，所以數(shù)列｛Sj是有界的，故B正確;

對于選項(xiàng)C：因?yàn)椤！?（-1）",所以當(dāng)〃=2%,%￡N*時，S〃=0；

當(dāng)〃=24-1,壯N*時，S?=-l；所以同區(qū)1,

所以存在正數(shù)M=l,使得國工/恒成立，所以數(shù)列也｝是有界的，故C正確;

「144（11、

對于選項(xiàng)D：因?yàn)閠4=/=帚<（2〃-1）（2〃+1）-［罰一指），

所以S"OJ+…+*1一11111

-+----+???+<2,

3352〃一12〃+1=中-高

又見>0,所以S"?SI=1,

所以存在正數(shù)〃=2,使得圖4M恒成立，所以數(shù)列￡｝是有界的，故D正確.

故選：BCD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知遞增的等比數(shù)列｛q｝滿足/+4=18,%。4=72,則｛可｝的前3項(xiàng)和S3=

【答案】21

【解析】因?yàn)椋?｝是等比數(shù)列,

所以=72.又4+4=18,

所以（舍去）,

則㈤｝的公比4="=2,生吟=3,

從而S3=21.

11/18

故答案為：21

13.歐拉函數(shù)表示不大于正整數(shù)〃且與〃互素(互素：公約數(shù)只有1)的正整數(shù)的個數(shù).知

1W11)

(p(n)=n1-一1--?--1-一，其中P-0,…,0是"的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)(質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)

IP1APl)IPr)

數(shù)).例如9(100)=100x(l-；j(l-g]=40.若數(shù)歹支凡｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，貝IJ

0(4])+姒％)+)+…+姒囚3)=.

【答案】2100

【解析】由題意可得a“=3x2"T,

貝l]e(q)=°(3)=3x[l_gj=2,

當(dāng)心2時，夕(*=3X2"TX[1-j=2i,

,12100

則<￡(a1)+^(a2)+^(t73)+---+^(aioc))=2+2+2H----1-2"=2+—=2-

故答案為：

14.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若對任意的正整數(shù)〃，總存在正整數(shù)m,使得S“=%,.給出如下4個結(jié)

論：

①｛。,｝可能為等差數(shù)列;

②｛凡｝可能為等比數(shù)列;

③4.(后2)均能寫成｛4｝的兩項(xiàng)之差；

④對任意〃cN*,總存在MIwN*,使得%=S,“.

其中正確命題的序號是.

【答案】①③

【解析】對于①，取等差數(shù)列4,=〃，易驗(yàn)證其滿足要求，①正確.

對于②，若｛%｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為4,顯然4=1不滿足要求，

考慮的情況，依題意，應(yīng)有S"+l=%”2“+2=%,

即］+g+q2+…+g”=qg

12/18

\+q+q~+■■?+q~n+i=｛1+q+q"H---Fg"）（l+q"+x）=qm-,

兩式相除，得l+q"M=q”2f.

若際>1,則取〃為奇數(shù)，那么q"M>0,所以4呀呵習(xí)行+2,

所以1=qf-qe>F向=|司向（川一1）.

當(dāng)，足夠大時，顯然不成立；

-\

若|4<1,則小人?0,即。百+8，

因?yàn)锧<1〈百，所以當(dāng)足夠大時，

/\

可以使1+4向€|同,白,故也不成立.從而知②錯誤；

對于選項(xiàng)③，取〃=2,則al+a2=am,所以q=/-%，

當(dāng)〃22時，an=Sn-Sn_x=am1-a也,故③正確.

對于選項(xiàng)④，取數(shù)列4=",顯然不存在"，使得鼠=/=2,故④錯誤.

故答案為：①③

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.（13分）

已知數(shù)列｛%｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且%=256,a3+a4=20a2.

（1）求數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛2｝滿足=%+題2%，求數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和北.

【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹?（4>0）,由%+。4=2。出，

得%q2+%q3=20a”，...｛%｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，貝q〉0,

貝iJd+g-ZOnO,解得q=4或4=-5（舍），又見=256,所以a/=256,

解得％=1,所以％=%0T=4"T

1

（2）bn=an+log2a?=4'T+log.4"-=4M+2n-2,

所以北=（1+0）+（4+2）+（16+4）+…+（4"T+2〃-2）

13/18

=(l+4+16+???+4"T)+(O+2+4+???+2〃—2)

1x(1—4〃)〃(0+2〃-2)1

-n——

1^4233

16.(15分)

已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4=2,且滿足an+l+4an+ian-a?=0.

(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列的前?項(xiàng)和為S.；

(3)求數(shù)列［(-1)"S.｝的前〃項(xiàng)和.

【解析】(1)因?yàn)?+1+4?！?得”一。，=°,4=；，

若。"+”=°，則。"=%+1=°，與q=；矛盾，

所以%4產(chǎn)°，所以4-%=44%,

所以」---^=4,因?yàn)閝=：,所以'=2,

所以數(shù)列，?［是以首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列.

(2)由⑴知工=2+(〃-1)-4=4”一2,

數(shù)歹"，，的前"項(xiàng)和為s,=(2+4；-2)"=2rl2.

(3)因?yàn)?/p>

設(shè)數(shù)列｛(T)"S"｝的前w項(xiàng)和為北，

22222

當(dāng)〃為偶數(shù)時，7；,=2[-1+2-3+----(?-1)+?],

因?yàn)?——I)?=2〃一1,

所以＜=2^3+7H----F(2〃-1)]=2----------------=+=〃2+〃,

當(dāng)〃為奇數(shù)時，1為偶數(shù).

14/18

222

Tn=J+2.(-1)"n=(n-l)n-2n=-n-n,

MH為偶數(shù)

所以北為奇數(shù).

17.(15分)

已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)S”(〃eN*)為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，數(shù)列出｝是等比數(shù)列，b?>0,若

%=3,4=1,/?3+52=12,a5—2b?=a3.

⑴求數(shù)列｛《,｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛42｝的前〃項(xiàng)和；

工，〃為奇數(shù)，、

⑶若C,=S,,求數(shù)列｛6｝的前2九項(xiàng)和.

一,〃為偶數(shù)

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d，等比數(shù)列｛2｝的公比為4,

4+邑=12

因?yàn)?=3,4=1,則由

a5-2b2=a3

j麗2+%+%+d=12,曰j/+6+d=12

，13+4d_2bxq=3+2d，得13+4d-2q=3+2d

d=2d=-3d=-3

解得或，因?yàn)榍?gt;。，故舍去

q=2q=-3q=-3，

所以4=3+2（〃—l）=2〃+l,a=2"T.

1

（2）由（1）得%=2"+l,bn=2-,所以（￡=（2九+1卜21,

令數(shù)列｛。的〃｝的前”項(xiàng)和為2,,則Q?=她+a2b2+帖3+…+anbn,

即Q?=3x1+5x21+7x22+---+（2zz+l）-2,1-1（i）,

1231,,

2（2J=3x2+5x2+7x2+...（2n-l）-2^+（2n+l）-2@,

兩式相減得：-Q,=3+2x2'+2x22+...+2x2,i-1-（2n+l）x2"

2（2-2”）

（21）（）,1

=3+22+2+-.-2^-2n+l-2=3+-（2〃+1）x2"

1-2

15/18

=-(2H-1)-2"-1,

所以2=(2"-l)-2"+l(〃wN)

(3)設(shè)數(shù)列匕,｝的前”項(xiàng)和為北

由％=3,all=2n+l,得S“==n｛n+2),

2

2上，〃為奇數(shù)

，〃為奇數(shù)

則＜〃(〃+2)nn+2

2〃\〃為偶數(shù)2"T,〃為偶數(shù)

故&=(。1+。3+…++(Q+。4+…+。2〃)

11

-)+(2+23+…+221)

2n-l2n+l

2(1-4")l+22n+11

=i-/r1-432n+l

18.(17分)

已知數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和為S“，且的=3,2=?

HGN'

n2

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式;

71，、

(2)設(shè)2=——,記數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為小若(2(-D"對任意的〃￡N*恒成立，求之的取值范

anan+l

圍；

(3)設(shè)。“=祟，是否存在正整數(shù)0、4(1<0<4)，使得Ci，%，％成等差數(shù)列？若存在，請求出所有符合

條件的數(shù)組(p,q);若不存在，請說明理由.

【解析】(1)因?yàn)榘?畢，所以s,="1+4),

n2n2

當(dāng)〃=1時，S[=q=解得%=1；

由二也回，得3?皿，

"22

所以s向一s,=%,整理得僅―1)——必+1=0,

所以7q+2一("+1)%+i+1=°，所以S+2一("+1)%+i=("T——㈣,，

所以nan+2+nan=2nall+1,所以an+2+an=2a,I+1,所以｛4｝是等差數(shù)列,

又%-％=2,所以?！?]+2(”_1)=2〃-1.

16/18

71If111

⑵由⑴知優(yōu)=(21)(2〃+1)=>罰一五寸｝

所以北=lxfl--+l--+...+-------=——

〃2I3352n-l2n+l)2(2n+l)2n+l

又切〉。，所以7；是遞增數(shù)列.

2

當(dāng)〃=2左次￡N*時，若(2(—1)『對任意的〃￡N*恒成立，則4V4二,；

當(dāng)〃=2%-l#eN*時，若-1)"力對任意的〃wN*恒成立，則-4<7；=；,即

所以2的取值范圍是-g，|,

(3)由(1)知配=訶，假設(shè)存在正整數(shù)p、q(l<0<q),使得G，金,％成等差數(shù)列，

則<7]+q=2金,即1+*=苦’其中pN