二次函數(shù)難題綜合附答案

...wd......wd......wd...龐圣潔〔二次函數(shù)難題〕一．選擇題〔共22小題〕1．〔2015?陜西模擬〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a＞0〕經(jīng)過點M〔﹣1，2〕和點N〔1，﹣2〕，交x軸于A，B兩點，交y軸于C．則：①b=﹣2；②該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸；③存在這樣一個a，使得M、A、C三點在同一條直線上；④假設(shè)a=1，則OA?OB=OC2．以上說法正確的有〔〕A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③2．〔2013?泰安模擬〕如圖，拋物線y=x2﹣x﹣與直線y=x﹣2交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè)〕，動點P從A點出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點E，再到達(dá)x軸上的某點F，最后運動到點B．假設(shè)使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為〔〕A． B． C． D．3．〔2015?濰坊模擬〕假設(shè)函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，則c的取值范圍是〔〕A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤14．〔2015?天橋區(qū)一?！橙鐖D，直線y=kx+b〔k≠0〕與拋物線y=ax2〔a≠0〕交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)是﹣2，點B的橫坐標(biāo)是3，則以下結(jié)論：①拋物線y=ax2〔a≠0〕的圖象的頂點一定是原點；②x＞0時，直線y=kx+b〔k≠0〕與拋物線y=ax2〔a≠0〕的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；③AB的長度可以等于5；④△OAB有可能成為等邊三角形；⑤當(dāng)﹣3＜x＜2時，ax2+kx＜b，其中正確的結(jié)論是〔〕A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤5．〔2013?遵義〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如以以下列圖，假設(shè)M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．則M，N，P中，值小于0的數(shù)有〔〕A．3個 B．2個 C．1個 D．0個6．〔2015?杭州模擬〕關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，則以下結(jié)論：①2a+b＜0；②ab＜0；③關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根；④拋物線y=2x2+ax+b﹣2的頂點在第四象限．其中正確的結(jié)論有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．〔2015?無錫校級三模〕拋物線y=﹣x2+1的頂點為P，點A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)PA、PD，PD交AB于點E，△PAD與△PEA相似嗎〔〕A．始終不相似 B．始終相似C．只有AB=AD時相似 D．無法確定8．〔2015?杭州模擬〕以下關(guān)于函數(shù)y=〔m2﹣1〕x2﹣〔3m﹣1〕x+2的圖象與坐標(biāo)軸的公共點情況：①當(dāng)m≠3時，有三個公共點；②m=3時，只有兩個公共點；③假設(shè)只有兩個公共點，則m=3；④假設(shè)有三個公共點，則m≠3．其中描述正確的有〔〕個．A．一個 B．兩個 C．三個 D．四個9．〔2011?黃石〕設(shè)一元二次方程〔x﹣1〕〔x﹣2〕=m〔m＞0〕的兩實根分別為α，β，且α＜β，則α，β滿足〔〕A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞210．〔2013?鹽城模擬〕如圖，分別過點Pi〔i，0〕〔i=1、2、…、n〕作x軸的垂線，交的圖象于點Ai，交直線于點Bi．則的值為〔〕A． B．2 C． D．11．〔2008?西湖區(qū)校級模擬〕二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+1〔a＜0〕圖象上三點A〔﹣1，y1〕，B〔2，y2〕C〔4，y3〕，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為〔〕A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y212．〔2008?樂山〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如以以下列圖，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，則〔〕A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符號不能確定13．〔2007?包頭〕二次函數(shù)y=ax2+2x+c〔a≠0〕有最大值，且ac=4，則二次函數(shù)的頂點在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．〔2012?蚌埠自主招生〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如以以下列圖，Q〔n，2〕是圖象上的一點，且AQ⊥BQ，則a的值為〔〕A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣215．〔2010?秀洲區(qū)一?！滁cA〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕均在拋物線y=ax2+2ax+4〔0＜a＜3〕上，假設(shè)x1＜x2，x1+x2=1﹣a，則〔〕A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1與y2大小不能確定16．〔2013?天河區(qū)一?！橙鐖D，二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+b的交點A，B的坐標(biāo)分別為〔1，﹣3〕，〔6，1〕，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是〔〕A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞117．關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函數(shù)值始終是正的，則a的取值范圍〔〕A．a(chǎn)＞ B．a(chǎn)＜0或a＞ C． D．18．〔2012?榮縣校級二模〕直線經(jīng)過點A〔0，2〕，B〔2，0〕，點C在拋物線y=x2的圖象上，則使得S△ABC=2的點有〔〕個．A．4 B．3 C．2 D．119．〔2012?下城區(qū)校級模擬〕關(guān)于二次函數(shù)y=2x2﹣mx+m﹣2，以下結(jié)論：①拋物線交x軸有交點；②不管m取何值，拋物線總經(jīng)過點〔1，0〕；③假設(shè)m＞6，拋物線交x軸于A、B兩點，則AB＞1；④拋物線的頂點在y=﹣2〔x﹣1〕2圖象上．其中正確的序號是〔〕A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④20．〔2002?湖州〕拋物線y=x2+bx+c〔c＜0〕經(jīng)過點〔c，0〕，以該拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為S，則S可表示為〔〕A．|2+b||b+1| B．c〔1﹣c〕 C．〔b+1〕2 D．21．〔2005?茂名〕以下四個函數(shù)：①y=kx〔k為常數(shù)，k＞0〕②y=kx+b〔k，b為常數(shù)，k＞0〕③y=〔k為常數(shù)，k＞0，x＞0〕④y=ax2〔a為常數(shù)，a＞0〕其中，函數(shù)y的值隨著x值得增大而減少的是〔〕A．① B．② C．③ D．④22．〔2013?碑林區(qū)校級一?！澈瘮?shù)y=﹣〔x﹣m〕〔x﹣n〕+3，并且a，b是方程〔x﹣m〕〔x﹣n〕=3的兩個根，則實數(shù)m，n，a，b的大小關(guān)系可能是〔〕A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a(chǎn)＜m＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b二．解答題〔共8小題〕23．〔2014?本溪〕如圖，直線y=x﹣4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，連接BC．〔1〕求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；〔2〕點M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標(biāo)；〔3〕點P從點C出發(fā)，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿線段BC由B向C運動，P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)Q點到達(dá)C點時，P、Q同時停頓運動，試問在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點D，使P、Q運動過程中的某一時刻，以C、D、P、Q為頂點的四邊形為菱形假設(shè)存在，直接寫出點D的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．24．〔2014?黔南州〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為〔4，﹣1〕的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點〔點B在點C的左側(cè)〕，A點坐標(biāo)為〔0，3〕．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有假設(shè)何的位置關(guān)系，并給出證明；〔3〕點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當(dāng)點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大并求出此時P點的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．25．〔2014?遵義〕如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，與y軸交于點C．假設(shè)點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停頓運動．〔1〕求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)點P運動到B點時，點Q停頓運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形假設(shè)存在，請求出E點坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕當(dāng)P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標(biāo)．26．〔2014?蘭州〕如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，A〔﹣1，0〕，C〔0，2〕．〔1〕求拋物線的表達(dá)式；〔2〕在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；〔3〕點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．27．〔2014?義烏市〕如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點．〔1〕求該拋物線的函數(shù)解析式；〔2〕直線l的解析式為y=x+m，它與x軸交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P．①當(dāng)m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH⊥直線l于點H，連結(jié)OP，試求△OPH的面積；②當(dāng)m=﹣3時，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點E，F(xiàn)．是否存在這樣的點P，使以P，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形假設(shè)存在，求出點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．28．〔2015?黃岡模擬〕：如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點是A〔3，0〕、B〔6，0〕，與y軸的交點是C．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕設(shè)P〔x，y〕〔0＜x＜6〕是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．①當(dāng)x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少②是否存在這樣的點P，使△OAQ為直角三角形假設(shè)存在，求出點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．29．〔2014?武漢〕如圖，直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=x2交于A，B兩點．〔1〕直線AB總經(jīng)過一個定點C，請直接出點C坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)k=﹣時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使△ABP的面積等于5；〔3〕假設(shè)在拋物線上存在定點D使∠ADB=90°，求點D到直線AB的最大距離．30．〔2014?六盤水〕如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點，并經(jīng)過B點，A點坐標(biāo)是〔2，0〕，B點的坐標(biāo)是〔8，6〕．〔1〕求二次函數(shù)的解析式．〔2〕求函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)及D點的坐標(biāo)．〔3〕該二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點．連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，求△BDE的面積．〔4〕拋物線上有一個動點P，與A，D兩點構(gòu)成△ADP，是否存在S△ADP=S△BCD假設(shè)存在，請求出P點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在．請說明理由．龐圣潔〔二次函數(shù)難題〕參考答案與試題解析一．選擇題〔共22小題〕1．〔2015?陜西模擬〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a＞0〕經(jīng)過點M〔﹣1，2〕和點N〔1，﹣2〕，交x軸于A，B兩點，交y軸于C．則：①b=﹣2；②該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸；③存在這樣一個a，使得M、A、C三點在同一條直線上；④假設(shè)a=1，則OA?OB=OC2．以上說法正確的有〔〕A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】①二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a＞0〕經(jīng)過點M〔﹣1，2〕和點N〔1，﹣2〕，因而將M、N兩點坐標(biāo)代入即可消去a、c解得b值．②根據(jù)圖象的特點及與直線MN比照，可知當(dāng)﹣1＜x＜1時，二次函數(shù)圖象在直線MN的下方．③同②理．④當(dāng)y=0時利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得到OA?OB的值，當(dāng)x=0時，可得到OC的值．通過c建設(shè)等量關(guān)系求證．【解答】解：①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a＞0〕經(jīng)過點M〔﹣1，2〕和點N〔1，﹣2〕，∴，解得b=﹣2．故該選項正確．②方法一：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c，a＞0∴該二次函數(shù)圖象開口向上∵點M〔﹣1，2〕和點N〔1，﹣2〕，∴直線MN的解析式為y﹣2=，即y=﹣2x，根據(jù)拋物線的圖象的特點必然是當(dāng)﹣1＜x＜1時，二次函數(shù)圖象在y=﹣2x的下方，∴該二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函數(shù)圖象與y軸交于負(fù)半軸．故該選項正確．③根據(jù)拋物線圖象的特點，M、A、C三點不可能在同一條直線上．故該選項錯誤．④當(dāng)a=1時，c=﹣1，∴該拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣1當(dāng)y=0時，0=x2﹣2x+c，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得x1?x2=c，即OA?OB=|c|，當(dāng)x=0時，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴假設(shè)a=1，則OA?OB=OC2，故該選項正確．總上所述①②④正確．應(yīng)選C．【點評】此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的圖象性質(zhì)及特點、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、直線解析式確實定．2．〔2013?泰安模擬〕如圖，拋物線y=x2﹣x﹣與直線y=x﹣2交于A、B兩點〔點A在點B的左側(cè)〕，動點P從A點出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點E，再到達(dá)x軸上的某點F，最后運動到點B．假設(shè)使點P運動的總路徑最短，則點P運動的總路徑的長為〔〕A． B． C． D．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】首先根據(jù)題意求得點A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對稱軸，然后作點A關(guān)于拋物線的對稱軸x=的對稱點A′，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點是E，與x軸的交點是F，而且易得A′B′即是所求的長度．【解答】解：如圖∵拋物線y=x2﹣x﹣與直線y=x﹣2交于A、B兩點，∴x2﹣x﹣=x﹣2，解得：x=1或x=，當(dāng)x=1時，y=x﹣2=﹣1，當(dāng)x=時，y=x﹣2=﹣，∴點A的坐標(biāo)為〔，﹣〕，點B的坐標(biāo)為〔1，﹣1〕，∵拋物線對稱軸方程為：x=﹣=作點A關(guān)于拋物線的對稱軸x=的對稱點A′，作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接A′B′，則直線A′B′與對稱軸〔直線x=〕的交點是E，與x軸的交點是F，∴BF=B′F，AE=A′E，∴點P運動的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延長BB′，AA′相交于C，∴A′C=++〔1﹣〕=1，B′C=1+=，∴A′B′==．∴點P運動的總路徑的長為．應(yīng)選A．【點評】此題考察了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點P運動的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．3．〔2015?濰坊模擬〕假設(shè)函數(shù)y=的自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，則c的取值范圍是〔〕A．c＜1 B．c=1 C．c＞1 D．c≤1【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；分式有意義的條件；函數(shù)自變量的取值范圍．【專題】計算題；壓軸題．【分析】先根據(jù)分式的意義，分母不等于0，得出x2﹣2x+c≠0，再根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象性質(zhì)，可知當(dāng)二次項系數(shù)a＞0，△＜0時，有y＞0，此時自變量x的取值范圍是全體實數(shù)．【解答】解：由題意，得△=〔﹣2〕2﹣4c＜0，解得c＞1．應(yīng)選C．【點評】此題考察了函數(shù)自變量取值范圍的求法．要使得此題函數(shù)式子有意義，必須滿足分母不等于0．難點在于分母是關(guān)于自變量x的二次函數(shù)，要使自變量x的取值范圍是全體實數(shù)，必須滿足△＜0．4．〔2015?天橋區(qū)一模〕如圖，直線y=kx+b〔k≠0〕與拋物線y=ax2〔a≠0〕交于A，B兩點，且點A的橫坐標(biāo)是﹣2，點B的橫坐標(biāo)是3，則以下結(jié)論：①拋物線y=ax2〔a≠0〕的圖象的頂點一定是原點；②x＞0時，直線y=kx+b〔k≠0〕與拋物線y=ax2〔a≠0〕的函數(shù)值都隨著x的增大而增大；③AB的長度可以等于5；④△OAB有可能成為等邊三角形；⑤當(dāng)﹣3＜x＜2時，ax2+kx＜b，其中正確的結(jié)論是〔〕A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】①由頂點坐標(biāo)公式判斷即可；②根據(jù)圖象得到一次函數(shù)y=kx+b為增函數(shù)，拋物線當(dāng)x大于0時為增函數(shù)，本選項正確；③AB長不可能為5，由A、B的橫坐標(biāo)求出AB為5時，直線AB與x軸平行，即k=0，與矛盾；④三角形OAB不可能為等邊三角形，因為OA與OB不可能相等；⑤直線y=﹣kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對稱，作出對稱后的圖象，故y=﹣kx+b與拋物線交點橫坐標(biāo)分別為﹣3與2，找出一次函數(shù)圖象在拋物線上方時x的范圍判斷即可．【解答】解：①拋物線y=ax2，利用頂點坐標(biāo)公式得：頂點坐標(biāo)為〔0，0〕，本選項正確；②根據(jù)圖象得：直線y=kx+b〔k≠0〕為增函數(shù)；拋物線y=ax2〔a≠0〕當(dāng)x＞0時為增函數(shù)，則x＞0時，直線與拋物線函數(shù)值都隨著x的增大而增大，本選項正確；③由A、B橫坐標(biāo)分別為﹣2，3，假設(shè)AB=5，可得出直線AB與x軸平行，即k=0，與k≠0矛盾，故AB不可能為5，本選項錯誤；④假設(shè)OA=OB，得到直線AB與x軸平行，即k=0，與k≠0矛盾，∴OA≠OB，即△AOB不可能為等邊三角形，本選項錯誤；⑤直線y=﹣kx+b與y=kx+b關(guān)于y軸對稱，如以以下列圖：可得出直線y=﹣kx+b與拋物線交點C、D橫坐標(biāo)分別為﹣3，2，由圖象可得：當(dāng)﹣3＜x＜2時，ax2＜﹣kx+b，即ax2+kx＜b，則正確的結(jié)論有①②⑤．應(yīng)選B．【點評】此題考察了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：拋物線頂點坐標(biāo)公式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的增減性，關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練對稱性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想是判斷命題⑤的關(guān)鍵．5．〔2013?遵義〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c〔a≠0〕的圖象如以以下列圖，假設(shè)M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．則M，N，P中，值小于0的數(shù)有〔〕A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】計算題；壓軸題．【分析】根據(jù)圖象得到x=﹣2時對應(yīng)的函數(shù)值小于0，得到N=4a﹣2b+c的值小于0，根據(jù)對稱軸在直線x=﹣1右邊，利用對稱軸公式列出不等式，根據(jù)開口向下得到a小于0，變形即可對于P作出判斷，根據(jù)a，b，c的符號判斷得出a+b﹣c的符號．【解答】解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵對稱軸在y軸左側(cè)，∴a，b同號，∴a＜0，b＜0，∵圖象經(jīng)過y軸正半軸，∴c＞0，∴M=a+b﹣c＜0當(dāng)x=﹣2時，y=4a﹣2b+c＜0，∴N=4a﹣2b+c＜0，∵﹣＞﹣1，∴＜1，∵a＜0，∴b＞2a，∴2a﹣b＜0，∴P=2a﹣b＜0，則M，N，P中，值小于0的數(shù)有M，N，P．應(yīng)選：A．【點評】此題主要考察了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)圖象判斷出對稱軸以及a，b，c的符號是解題關(guān)鍵．6．〔2015?杭州模擬〕關(guān)于x的方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，則以下結(jié)論：①2a+b＜0；②ab＜0；③關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根；④拋物線y=2x2+ax+b﹣2的頂點在第四象限．其中正確的結(jié)論有〔〕A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】把方程的根x=2代入計算即可求出2a+b=﹣8，判定①正確；利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a＜﹣8，b＞8，從而判定②正確；根據(jù)二次函數(shù)y=2x2+ax+b與x軸有兩個交點，且頂點坐標(biāo)在第四象限，向上平移2個單位，與x軸不一定有交點，判定③錯誤，向下平移2個單位，頂點一定在第四象限，判定④正確．【解答】解：∵x=2是方程2x2+ax+b=0的根，∴2×4+2a+b=0，∴2a+b=﹣8＜0，故①正確；∵x=2是方程2x2+ax+b=0的兩個根中較小的根，∴﹣＞2+2，＞2×2，∴a＜﹣8，b＞8，∴ab＜0，故②正確；∵方程2x2+ax+b=0有兩個不相等的實數(shù)根，且較小的根為2，∴二次函數(shù)y=2x2+ax+b與x軸有兩個交點，且對稱軸在直線x=2的右邊，∴二次函數(shù)y=2x2+ax+b頂點坐標(biāo)在第四象限，向上平移2個單位得到二次函數(shù)y=2x2+ax+b+2，與x軸不一定有交點，∴關(guān)于x的方程2x2+ax+b+2=0有兩個不相等的實數(shù)根錯誤，故③錯誤；向下平移2個單位得到二次函數(shù)y=2x2+ax+b﹣2，頂點坐標(biāo)一定在第四象限，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④共3個．應(yīng)選C．【點評】此題考察了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，主要利用了一元二次方程的根的定義，根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象與幾何變換，③④兩題考慮用二次函數(shù)的平移求解是解題的關(guān)鍵．7．〔2015?無錫校級三?！硳佄锞€y=﹣x2+1的頂點為P，點A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連結(jié)PA、PD，PD交AB于點E，△PAD與△PEA相似嗎〔〕A．始終不相似 B．始終相似C．只有AB=AD時相似 D．無法確定【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】先求出點P的坐標(biāo)，從而得到OP的長，再設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根據(jù)△PEF和△PDO相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA2、PE、PD，從而得到=，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似解答．【解答】解：令x=0，則y=1，∴OP=1，設(shè)點A的橫坐標(biāo)為m，則AD=﹣m2+1，∵AB⊥y軸，AD⊥x軸，∴AF=OD=m，OF=﹣m2+1，PF=1﹣〔﹣m2+1〕=m2，在Rt△PAF中，PA2=PF2+AF2=〔m2〕2+m2=m4+m2，在Rt△POD中，PD===，由AB∥x軸得，△PEF∽△PDO，∴=，即=，解得，PE=m2，∴PA2=PD?PE=m4+m2，∴=，∵∠APE=∠DPA，∴△PAD∽△PEA，即，△PAD與△PEA始終相似．應(yīng)選B．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考察了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，表示出兩個三角形的公共角的夾邊成比例是解題的關(guān)鍵．8．〔2015?杭州模擬〕以下關(guān)于函數(shù)y=〔m2﹣1〕x2﹣〔3m﹣1〕x+2的圖象與坐標(biāo)軸的公共點情況：①當(dāng)m≠3時，有三個公共點；②m=3時，只有兩個公共點；③假設(shè)只有兩個公共點，則m=3；④假設(shè)有三個公共點，則m≠3．其中描述正確的有〔〕個．A．一個 B．兩個 C．三個 D．四個【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】令y=0，可得出〔m2﹣1〕x2﹣〔3m﹣1〕x+2=0，得出判別式的表達(dá)式，然后根據(jù)m的取值進(jìn)展判斷，另外要注意m的取值決定函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，不要忘了考慮一次函數(shù)的情況．【解答】解：令y=0，可得出〔m2﹣1〕x2﹣〔3m﹣1〕x+2=0，△=〔3m﹣1〕2﹣8〔m2﹣1〕=〔m﹣3〕2，①當(dāng)m≠3，m=±1時，函數(shù)是一次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個交點，故錯誤；②當(dāng)m=3時，△=0，與x軸有一個公共點，與y軸有一個公共點，總共兩個，故正確；③假設(shè)只有兩個公共點，m=3或m=±1，故錯誤；④假設(shè)有三個公共點，則m≠3且m≠±1，故正確；綜上可得只有②④正確，共2個．應(yīng)選B．【點評】此題考察了拋物線與x軸交點的知識，同學(xué)們?nèi)菀缀雎詍=±1時，函數(shù)是一次函數(shù)的情況，這是我們要注意的地方．9．〔2011?黃石〕設(shè)一元二次方程〔x﹣1〕〔x﹣2〕=m〔m＞0〕的兩實根分別為α，β，且α＜β，則α，β滿足〔〕A．1＜α＜β＜2 B．1＜α＜2＜β C．α＜1＜β＜2 D．α＜1且β＞2【考點】拋物線與x軸的交點；根與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】先令m=0求出函數(shù)y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕的圖象與x軸的交點，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可求出α，β的取值范圍．【解答】解：令m=0，則函數(shù)y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕的圖象與x軸的交點分別為〔1，0〕，〔2，0〕，故此函數(shù)的圖象為：∵m＞0，∴原頂點沿拋物線對稱軸向下移動，兩個根沿對稱軸向兩邊逐步增大，∴α＜1，β＞2．應(yīng)選D．【點評】此題考察的是拋物線與x軸的交點，能根據(jù)x軸上點的坐標(biāo)特點求出函數(shù)y=〔x﹣1〕〔x﹣2〕與x軸的交點，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合解答是解答此題的關(guān)鍵．10．〔2013?鹽城模擬〕如圖，分別過點Pi〔i，0〕〔i=1、2、…、n〕作x軸的垂線，交的圖象于點Ai，交直線于點Bi．則的值為〔〕A． B．2 C． D．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】根據(jù)Ai的縱坐標(biāo)與Bi縱坐標(biāo)的絕對值之和為AiBi的長，分別表示出所求式子的各項，拆項后抵消即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：AiBi=x2﹣〔﹣x〕=x〔x+1〕，∴==2〔﹣〕，∴++…+=2〔1﹣+﹣+…+﹣〕=．應(yīng)選A【點評】此題考察了二次函數(shù)綜合題，屬于規(guī)律型試題，找出題中的規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．11．〔2008?西湖區(qū)校級模擬〕二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+1〔a＜0〕圖象上三點A〔﹣1，y1〕，B〔2，y2〕C〔4，y3〕，則y1、y2、y3的大小關(guān)系為〔〕A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【專題】壓軸題；推理填空題．【分析】求出拋物線的對稱軸，求出A關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的開口方向和增減性，即可求出答案．【解答】解：y=ax2﹣2ax+1〔a＜0〕，對稱軸是直線x=﹣=1，即二次函數(shù)的開口向下，對稱軸是直線x=1，即在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，A點關(guān)于直線x=1的對稱點是D〔3，y1〕，∵2＜3＜4，∴y2＞y1＞y3，應(yīng)選D．【點評】此題考察了學(xué)生對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征的理解和運用，主要考察學(xué)生的觀察能力和分析能力，此題比照典型，但是一道比照容易出錯的題目．12．〔2008?樂山〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如以以下列圖，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，則〔〕A．M＞0 B．M＜0C．M=0 D．M的符號不能確定【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】壓軸題．【分析】根據(jù)圖象特征，首先判斷出M中的各代數(shù)式的符號，然后去絕對值．【解答】解：因為開口向下，故a＜0；當(dāng)x=﹣2時，y＞0，則4a﹣2b+c＞0；當(dāng)x=1時，y＜0，則a+b+c＜0；因為對稱軸為x=＜0，又a＜0，則b＜0，故2a+b＜0；又因為對稱軸x=﹣＞﹣1，則b＞2a∴2a﹣b＜0；∴M=4a﹣2b+c﹣a﹣b﹣c+2a+b+b﹣2a=3a﹣b，因為2a﹣b＜0，a＜0，∴3a﹣b＜0，即M＜0，應(yīng)選B．【點評】考察二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號確實定．13．〔2007?包頭〕二次函數(shù)y=ax2+2x+c〔a≠0〕有最大值，且ac=4，則二次函數(shù)的頂點在〔〕A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】二次函數(shù)y=ax2+2x+c〔a≠0〕有最大值，即拋物線的開口向下，因而a＜0．求拋物線的頂點坐標(biāo)利用公式法：y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為〔，〕，對稱軸是x=；代入就可以求出頂點坐標(biāo)，從而確定頂點所在象限．【解答】解：頂點橫坐標(biāo)x==，縱坐標(biāo)y==；∵二次函數(shù)有最大值，即拋物線的開口向下，a＜0，∴，，即：橫坐標(biāo)x＞0，縱坐標(biāo)y＜0，頂點在第四象限．應(yīng)選D．【點評】考察求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸及最值的方法：14．〔2012?蚌埠自主招生〕二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如以以下列圖，Q〔n，2〕是圖象上的一點，且AQ⊥BQ，則a的值為〔〕A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．﹣2【考點】拋物線與x軸的交點；勾股定理．【專題】壓軸題．【分析】由勾股定理，及根與系數(shù)的關(guān)系可得．【解答】解：設(shè)ax2+bx+c=0的兩根分別為x1與x2．依題意有AQ2+BQ2=AB2．〔x1﹣n〕2+4+〔x2﹣n〕2+4=〔x1﹣x2〕2，化簡得：n2﹣n〔x1+x2〕+4+x1x2=0．有n2+n+4+=0，∴an2+bn+c=﹣4a．∵〔n，2〕是圖象上的一點，∴an2+bn+c=2，∴﹣4a=2，∴a=﹣．應(yīng)選B．【點評】此題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想．15．〔2010?秀洲區(qū)一模〕點A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕均在拋物線y=ax2+2ax+4〔0＜a＜3〕上，假設(shè)x1＜x2，x1+x2=1﹣a，則〔〕A．y1＞y2 B．y1＜y2C．y1=y2 D．y1與y2大小不能確定【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【專題】壓軸題．【分析】將點A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕分別代入y=ax2+2ax+4〔0＜a＜3〕中得y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①；y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②；利用作差法求出y2﹣y1＞0，即可得到y(tǒng)1＞y2．【解答】解：將點A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕分別代入y=ax2+2ax+4〔0＜a＜3〕中，得：y1=ax12+2ax1+4﹣﹣﹣﹣①，y2=ax22+2ax2+4﹣﹣﹣﹣②，②﹣①得：y2﹣y1=〔x2﹣x1〕[a〔3﹣a〕]，因為x1＜x2，3﹣a＞0，則y2﹣y1＞0，即y1＜y2．應(yīng)選B．【點評】此題難度較大，要充分利用數(shù)據(jù)特點，進(jìn)展計算．16．〔2013?天河區(qū)一?！橙鐖D，二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與一次函數(shù)y2=kx+b的交點A，B的坐標(biāo)分別為〔1，﹣3〕，〔6，1〕，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是〔〕A．1＜x＜6 B．x＜1或x＞6 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1【考點】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．【專題】壓軸題；數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，找出拋物線在直線上方的局部的自變量x的取值范圍即可．【解答】解：由圖可知，當(dāng)x＜1或x＞6時，拋物線在直線的上方，所以，當(dāng)y1＞y2時，x的取值范圍是x＜1或x＞6．應(yīng)選B．【點評】此題考察了二次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答即可，比照簡單．17．關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+2ax+7a﹣3在﹣2≤x≤5上的函數(shù)值始終是正的，則a的取值范圍〔〕A．a(chǎn)＞ B．a(chǎn)＜0或a＞ C． D．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】按照a＞0和a＜0兩種情況討論：當(dāng)a＞0時，圖象開口向上，只要頂點縱坐標(biāo)為正即可；當(dāng)a＜0時，拋物線對稱軸為x=﹣1，根據(jù)對稱性，只要x=5時，y＞0即可．【解答】解：當(dāng)a＞0時，圖象開口向上，頂點縱坐標(biāo)為=6a﹣3，當(dāng)6a﹣3＞0，即a＞時，y＞0；當(dāng)a＜0時，拋物線對稱軸為x=﹣1，根據(jù)對稱性，只要x=5時，y＞0即可，此時y=25a+10a+7a﹣3＞0，解得a＞，不符合題意，舍去．應(yīng)選A．【點評】此題考察了二次函數(shù)開口方向，頂點坐標(biāo)，對稱軸在實際問題中的運用，還考察了分類討論的數(shù)學(xué)思想．18．〔2012?榮縣校級二?！持本€經(jīng)過點A〔0，2〕，B〔2，0〕，點C在拋物線y=x2的圖象上，則使得S△ABC=2的點有〔〕個．A．4 B．3 C．2 D．1【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】解：通過計算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)O與C重合時，S△ABC=2，據(jù)此推斷出以AB為底邊的三角形的高，從圖上找到點C1、C2，再作CC3∥AB，使得C3與C到AB的距離相等，假設(shè)求出C的坐標(biāo)，則存在C3點，使得以AB為底的三角形面積為2．【解答】解：∵S△ABC=×2×2=2，可見，當(dāng)O與C重合時，S△ABC=2，作CD⊥AB，∵AO=BO=2，可見，△ACB為等腰直角三角形，CD=2×cos45°=2×=．由圖易得，到AB距離為的點有C、C1、C2，作CC3∥AB，則CC3的解析式為y=﹣x，將y=﹣x和y=x2組成方程組得，，解得，，，則C3坐標(biāo)為〔﹣1，1〕，可見，有四個點，使得S△ABC=2．應(yīng)選A．【點評】此題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，知道平行線間的距離相等以及知道同底等高的三角形面積相等是解題的關(guān)鍵．19．〔2012?下城區(qū)校級模擬〕關(guān)于二次函數(shù)y=2x2﹣mx+m﹣2，以下結(jié)論：①拋物線交x軸有交點；②不管m取何值，拋物線總經(jīng)過點〔1，0〕；③假設(shè)m＞6，拋物線交x軸于A、B兩點，則AB＞1；④拋物線的頂點在y=﹣2〔x﹣1〕2圖象上．其中正確的序號是〔〕A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題；壓軸題．【分析】由二次函數(shù)的解析式，找出二次項系數(shù)a，一次項系數(shù)b及常數(shù)項c，將a，b及c的值代入b2﹣4ac，利用完全平方公式化簡后，根據(jù)完全平方式恒大于等于0，可得出b2﹣4ac大于等于0，進(jìn)而確定出該拋物線與x軸有交點，故①正確；將x=1代入拋物線解析式，求出y=0，可得出此拋物線恒過〔1，0〕，故②正確；令拋物線解析式中y=0，得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)方程的兩個解分別為x1，x2，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1x2，AB的長可以用|x1﹣x2|表示，利用二次根式的化簡根式=|a|變形后，再利用完全平方公式化簡，將表示出的x1+x2及x1x2代入，化簡后根據(jù)m大于6，可得出AB的長大于1，故③正確；利用頂點坐標(biāo)公式表示出拋物線的頂點坐標(biāo)，代入y=﹣2〔x﹣1〕2中經(jīng)歷，可得出拋物線的頂點在y=﹣2〔x﹣1〕2圖象上，故④正確，綜上，得到正確的序號．【解答】解：二次函數(shù)y=2x2﹣mx+m﹣2，∵a=2，b=﹣m，c=m﹣2，∴b2﹣4ac=〔﹣m〕2﹣8〔m﹣2〕=〔m﹣4〕2≥0，則拋物線與x軸有交點，故①正確；∵當(dāng)x=1時，y=2﹣m+m﹣2=0，∴不管m取何值，拋物線總經(jīng)過點〔1，0〕，故②正確；設(shè)A的坐標(biāo)為〔x1，0〕，B〔x2，0〕，令y=0，得到2x2﹣mx+m﹣2=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴AB=|x1﹣x2|===||，當(dāng)m＞6時，可得m﹣4＞2，即＞1，∴AB＞1，故③正確；∵拋物線的頂點坐標(biāo)為〔，〕，∴將x=代入得：y=﹣2〔﹣1〕2=﹣2〔﹣+1〕=，∴拋物線的頂點坐標(biāo)在y=﹣2〔x﹣1〕2圖象上，故④正確，綜上，正確的序號有①②③④．應(yīng)選A【點評】此題考察了拋物線與x軸的交點，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及的知識有：拋物線與x軸交點的判斷方法，根與系數(shù)的關(guān)系，頂點坐標(biāo)公式，以及判斷一個點是否在拋物線上，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．20．〔2002?湖州〕拋物線y=x2+bx+c〔c＜0〕經(jīng)過點〔c，0〕，以該拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為S，則S可表示為〔〕A．|2+b||b+1| B．c〔1﹣c〕 C．〔b+1〕2 D．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】壓軸題．【分析】把點〔c，0〕代入拋物線中，可得b、c的關(guān)系式，再設(shè)拋物線與x軸的交點分別為x1、x2，則x1、x2滿足x2+bx+c=0，根據(jù)根的判別式結(jié)合兩點間的距離公式可求|x1﹣x2|，那么就可得到以該拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積．【解答】解：∵拋物線y=x2+bx+c〔c＜0〕經(jīng)過點〔c，0〕，∴c2+bc+c=0；∴c〔c+b+1〕=0；∵c＜0，∴c=﹣b﹣1；設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的兩根，∴x1+x2=﹣b，x1?x2=c=﹣b﹣1，∴拋物線與x軸的交點間的距離為|x1﹣x2|=====|2+b|，∴S可表示為|2+b||b+1|．應(yīng)選A．【點評】此題考察了點與函數(shù)的關(guān)系，還考察了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，要注意根與系數(shù)的關(guān)系；此題考察了學(xué)生的分析能力，屬于難度較大的題目．21．〔2005?茂名〕以下四個函數(shù)：①y=kx〔k為常數(shù)，k＞0〕②y=kx+b〔k，b為常數(shù)，k＞0〕③y=〔k為常數(shù)，k＞0，x＞0〕④y=ax2〔a為常數(shù)，a＞0〕其中，函數(shù)y的值隨著x值得增大而減少的是〔〕A．① B．② C．③ D．④【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】充分運用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的增減性，結(jié)合自變量的取值范圍，逐一判斷．【解答】解：①y=kx〔k為常數(shù)，k＞0〕，正比例函數(shù)，故y隨著x增大而增大，錯誤；②y=kx+b〔k，b為常數(shù)，k＞0〕，一次函數(shù)，故y隨著x增大而增大，錯誤；③y=〔k為常數(shù)，k＞0〕，反比例函數(shù)，在每個象限里，y隨x的增大而減小，正確；④y=ax2〔a為常數(shù)，a＞0〕當(dāng)圖象在對稱軸右側(cè)，y隨著x的增大而增大；而在對稱軸左側(cè)，y隨著x的增大而減小，錯誤．應(yīng)選C．【點評】此題綜合考察二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)的增減性〔單調(diào)性〕，是一道難度中等的題目．22．〔2013?碑林區(qū)校級一模〕函數(shù)y=﹣〔x﹣m〕〔x﹣n〕+3，并且a，b是方程〔x﹣m〕〔x﹣n〕=3的兩個根，則實數(shù)m，n，a，b的大小關(guān)系可能是〔〕A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a(chǎn)＜m＜b＜n D．a(chǎn)＜m＜n＜b【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】計算題；壓軸題．【分析】令拋物線解析式中y=0，得到方程的解為a，b，即為拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)為a，b，再由拋物線開口向下得到a＜x＜b時y大于0，得到x=m與n時函數(shù)值大于0，即可確定出m，n，a，b的大小關(guān)系．【解答】解：函數(shù)y=﹣〔x﹣m〕〔x﹣n〕+3，令y=0，根據(jù)題意得到方程〔x﹣m〕〔x﹣n〕=3的兩個根為a，b，∵當(dāng)x=m或n時，y=3＞0，∴實數(shù)m，n，a，b的大小關(guān)系為a＜m＜n＜b．應(yīng)選D．【點評】此題考察了拋物線與x軸的交點，熟練掌握拋物線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．二．解答題〔共8小題〕23．〔2014?本溪〕如圖，直線y=x﹣4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C，連接BC．〔1〕求拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；〔2〕點M在拋物線上，連接MB，當(dāng)∠MBA+∠CBO=45°時，求點M的坐標(biāo)；〔3〕點P從點C出發(fā)，沿線段CA由C向A運動，同時點Q從點B出發(fā)，沿線段BC由B向C運動，P、Q的運動速度都是每秒1個單位長度，當(dāng)Q點到達(dá)C點時，P、Q同時停頓運動，試問在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點D，使P、Q運動過程中的某一時刻，以C、D、P、Q為頂點的四邊形為菱形假設(shè)存在，直接寫出點D的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題；菱形的性質(zhì)；解直角三角形．【專題】壓軸題．【分析】〔1〕首先求出點A、B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而求出點C的坐標(biāo)；〔2〕滿足條件的點M有兩種情形，需要分類討論：①當(dāng)BM⊥BC時，如答圖2﹣1所示；②當(dāng)BM與BC關(guān)于y軸對稱時，如答圖2﹣2所示．〔3〕△CPQ的三邊均可能成為菱形的對角線，以此為根基進(jìn)展分類討論：①假設(shè)以CQ為菱形對角線，如答圖3﹣1．此時BQ=t，菱形邊長=t；②假設(shè)以PQ為菱形對角線，如答圖3﹣2．此時BQ=t，菱形邊長=t；③假設(shè)以CP為菱形對角線，如答圖3﹣3．此時BQ=t，菱形邊長=5﹣t．【解答】解：〔1〕直線解析式y(tǒng)=x﹣4，令x=0，得y=﹣4；令y=0，得x=4．∴A〔4，0〕、B〔0，﹣4〕．∵點A、B在拋物線y=x2+bx+c上，∴，解得，∴拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣4．令y=x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣3或x=4，∴C〔﹣3，0〕．〔2〕∠MBA+∠CBO=45°，設(shè)M〔x，y〕，①當(dāng)BM⊥BC時，如答圖2﹣1所示．∵∠ABO=45°，∴∠MBA+∠CBO=45°，故點M滿足條件．過點M1作M1E⊥y軸于點E，則M1E=x，OE=﹣y，∴BE=4+y．∵tan∠M1BE=tan∠BCO=，∴，∴直線BM1的解析式為：y=x﹣4．聯(lián)立y=x﹣4與y=x2﹣x﹣4，得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=，∴y1=﹣4，y2=﹣，∴M1〔，﹣〕；②當(dāng)BM與BC關(guān)于y軸對稱時，如答圖2﹣2所示．∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，∴∠MBA+∠CBO=45°，故點M滿足條件．過點M2作M2E⊥y軸于點E，則M2E=x，OE=y，∴BE=4+y．∵tan∠M2BE=tan∠CBO=，∴，∴直線BM2的解析式為：y=x﹣4．聯(lián)立y=x﹣4與y=x2﹣x﹣4得：x﹣4=x2﹣x﹣4，解得：x1=0，x2=5，∴y1=﹣4，y2=，∴M2〔5，〕．綜上所述，滿足條件的點M的坐標(biāo)為：〔，﹣〕或〔5，〕．〔3〕設(shè)∠BCO=θ，則tanθ=，sinθ=，cosθ=．假設(shè)存在滿足條件的點D，設(shè)菱形的對角線交于點E，設(shè)運動時間為t．①假設(shè)以CQ為菱形對角線，如答圖3﹣1．此時BQ=t，菱形邊長=t．∴CE=CQ=〔5﹣t〕．在Rt△PCE中，cosθ===，解得t=．∴CQ=5﹣t=．過點Q作QF⊥x軸于點F，則QF=CQ?sinθ=，CF=CQ?cosθ=，∴OF=3﹣CF=．∴Q〔﹣，﹣〕．∵點D1與點Q橫坐標(biāo)相差t個單位，∴D1〔﹣，﹣〕；②假設(shè)以PQ為菱形對角線，如答圖3﹣2．此時BQ=t，菱形邊長=t．∵BQ=CQ=t，∴t=，點Q為BC中點，∴Q〔﹣，﹣2〕．∵點D2與點Q橫坐標(biāo)相差t個單位，∴D2〔1，﹣2〕；③假設(shè)以CP為菱形對角線，如答圖3﹣3．此時BQ=t，菱形邊長=5﹣t．在Rt△CEQ中，cosθ===，解得t=．∴OE=3﹣CE=3﹣t=，D3E=QE=CQ?sinθ=〔5﹣〕×=．∴D3〔﹣，〕．綜上所述，存在滿足條件的點D，點D坐標(biāo)為：〔﹣，﹣〕或〔1，﹣2〕或〔﹣，〕．【點評】此題是二次函數(shù)壓軸題，著重考察了分類討論的數(shù)學(xué)思想，考察了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解直角三角形〔或相似〕、菱形、一次函數(shù)、解方程等知識點，難度較大．第〔3〕問為存在型與運動型的綜合問題，涉及兩個動點，注意按照菱形對角線進(jìn)展分類討論，做到條理清晰、不重不漏．24．〔2014?黔南州〕如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點為〔4，﹣1〕的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點〔點B在點C的左側(cè)〕，A點坐標(biāo)為〔0，3〕．〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有假設(shè)何的位置關(guān)系，并給出證明；〔3〕點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：當(dāng)點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大并求出此時P點的坐標(biāo)和△PAC的最大面積．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】〔1〕拋物線的頂點坐標(biāo)，可用頂點式設(shè)拋物線的解析式，然后將A點坐標(biāo)代入其中，即可求出此二次函數(shù)的解析式；〔2〕根據(jù)拋物線的解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標(biāo)，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比照即可；〔3〕過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AC的解析式，可設(shè)出P點的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，也就得出了PQ的長；然后根據(jù)三角形面積的計算方法，可得出關(guān)于△PAC的面積與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAC的最大面積及對應(yīng)的P點坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕設(shè)拋物線為y=a〔x﹣4〕2﹣1，∵拋物線經(jīng)過點A〔0，3〕，∴3=a〔0﹣4〕2﹣1，；∴拋物線為；〔2〕相交．證明：連接CE，則CE⊥BD，當(dāng)時，x1=2，x2=6．A〔0，3〕，B〔2，0〕，C〔6，0〕，對稱軸x=4，∴OB=2，AB==，BC=4，∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，∴△AOB∽△BEC，∴=，即=，解得CE=，∵＞2，故拋物線的對稱軸l與⊙C相交．〔3〕如圖，過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q；可求出AC的解析式為；設(shè)P點的坐標(biāo)為〔m，〕，則Q點的坐標(biāo)為〔m，〕；∴PQ=﹣m+3﹣〔m2﹣2m+3〕=﹣m2+m．∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×〔﹣m2+m〕×6=﹣〔m﹣3〕2+；∴當(dāng)m=3時，△PAC的面積最大為；此時，P點的坐標(biāo)為〔3，〕．【點評】此題考察了二次函數(shù)解析式確實定、相似三角形的判定和性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圖形面積的求法等知識．25．〔2014?遵義〕如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，與y軸交于點C．假設(shè)點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停頓運動．〔1〕求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)點P運動到B點時，點Q停頓運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形假設(shè)存在，請求出E點坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕當(dāng)P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】〔1〕將A，B點坐標(biāo)代入函數(shù)y=x2+bx+c中，求得b、c，進(jìn)而可求解析式及C坐標(biāo)．〔2〕等腰三角形有三種情況，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分線，畫圓易得E大致位置，設(shè)邊長為x，表示其他邊后利用勾股定理易得E坐標(biāo)．〔3〕注意到P，Q運動速度一樣，則△APQ運動時都為等腰三角形，又由A、D對稱，則AP=DP，AQ=DQ，易得四邊形四邊都相等，即菱形．利用菱形對邊平行且相等等性質(zhì)可用t表示D點坐標(biāo)，又D在E函數(shù)上，所以代入即可求t，進(jìn)而D可表示．【解答】解：〔1〕∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，∴，解得，∴y=x2﹣x﹣4．∴C〔0，﹣4〕．〔2〕存在．如圖1，過點Q作QD⊥OA于D，此時QD∥OC，∵A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，C〔0，﹣4〕，O〔0，0〕，∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC==5，∵當(dāng)點P運動到B點時，點Q停頓運動，AB=4，∴AQ=4．∵QD∥OC，∴，∴，∴QD=，AD=．①作AQ的垂直平分線，交AO于E，此時AE=EQ，即△AEQ為等腰三角形，設(shè)AE=x，則EQ=x，DE=AD﹣AE=|﹣x|，∴在Rt△EDQ中，〔﹣x〕2+〔〕2=x2，解得x=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E〔﹣，0〕，說明點E在x軸的負(fù)半軸上；②以Q為圓心，AQ長半徑畫圓，交x軸于E，此時QE=QA=4，∵ED=AD=，∴AE=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E〔﹣，0〕．③當(dāng)AE=AQ=4時，1．當(dāng)E在A點左邊時，∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E〔﹣1，0〕．2．當(dāng)E在A點右邊時，∵OA+AE=3+4=7，∴E〔7，0〕．綜上所述，存在滿足條件的點E，點E的坐標(biāo)為〔﹣，0〕或〔﹣，0〕或〔﹣1，0〕或〔7，0〕．〔3〕四邊形APDQ為菱形，D點坐標(biāo)為〔﹣，﹣〕．理由如下：如圖2，D點關(guān)于PQ與A點對稱，過點Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四邊形AQDP為菱形，∵FQ∥OC，∴，∴，∴AF=，F(xiàn)Q=，∴Q〔3﹣，﹣〕，∵DQ=AP=t，∴D〔3﹣﹣t，﹣〕，∵D在二次函數(shù)y=x2﹣x﹣4上，∴﹣=〔3﹣t〕2﹣〔3﹣t〕﹣4，∴t=，或t=0〔與A重合，舍去〕，∴D〔﹣，﹣〕．【點評】此題考察了二次函數(shù)性質(zhì)、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知識，總體來說題意復(fù)雜但解答內(nèi)容都很根基，是一道值得練習(xí)的題目．26．〔2014?蘭州〕如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，A〔﹣1，0〕，C〔0，2〕．〔1〕求拋物線的表達(dá)式；〔2〕在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；〔3〕點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．【分析】〔1〕由待定系數(shù)法建設(shè)二元一次方程組求出求出m、n的值即可；〔2〕由〔1〕的解析式求出頂點坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于P1，以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P2，P3，作CE垂直于對稱軸與點E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；〔3〕先求出BC的解析式，設(shè)出E點的坐標(biāo)為〔a，﹣a+2〕，就可以表示出F的坐標(biāo)，由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．【解答】解：〔1〕∵拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過A〔﹣1，0〕，C〔0，2〕．解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；〔2〕∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣〔x﹣〕2+，∴拋物線的對稱軸是x=．∴OD=．∵C〔0，2〕，∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD．作CM⊥x對稱軸于M，∴MP1=MD=2，∴DP1=4．∴P1〔，4〕，P2〔，〕，P3〔，﹣〕；〔3〕當(dāng)y=0時，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B〔4，0〕．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得，解得：，∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設(shè)E〔a，﹣a+2〕，F(xiàn)〔a，﹣a2+a+2〕，∴EF=﹣a2+a+2﹣〔﹣a+2〕=﹣a2+2a〔0≤a≤4〕．∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，=+a〔﹣a2+2a〕+〔4﹣a〕〔﹣a2+2a〕，=﹣a2+4a+〔0≤a≤4〕．=﹣〔a﹣2〕2+∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，∴E〔2，1〕．【點評】此題考察了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，二次函數(shù)的解析式的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，四邊形的面積的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．27．〔2014?義烏市〕如圖，直角梯形ABCO的兩邊OA，OC在坐標(biāo)軸的正半軸上，BC∥x軸，OA=OC=4，以直線x=1為對稱軸的拋物線過A，B，C三點．〔1〕求該拋物線的函數(shù)解析式；〔2〕直線l的解析式為y=x+m，它與x軸交于點G，在梯形ABCO的一邊上取點P．①當(dāng)m=0時，如圖1，點P是拋物線對稱軸與BC的交點，過點P作PH⊥直線l于點H，連結(jié)OP，試求△OPH的面積；②當(dāng)m=﹣3時，過點P分別作x軸、直線l的垂線，垂足為點E，F(xiàn)．是否存在這樣的點P，使以P，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形假設(shè)存在，求出點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】〔1〕利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；〔2〕①如答圖1，作輔助線，利用關(guān)系式S△OPH=S△OMH﹣S△OMP求解；②本問涉及復(fù)雜的分類討論，如答圖2所示．由于點P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三種情形，故討論與計算的過程比照復(fù)雜，需要耐心細(xì)致、考慮全面．【解答】解：〔1〕由題意得：A〔4，0〕，C〔0，4〕，對稱軸為x=1．設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，則有：，解得．∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=﹣x2+x+4．〔2〕①當(dāng)m=0時，直線l：y=x．∵拋物線對稱軸為x=1，∴CP=1．如答圖1，延長HP交y軸于點M，則△OMH、△CMP均為等腰直角三角形．∴CM=CP=1，∴OM=OC+CM=5．S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=〔OM〕2﹣OM?CP=×〔×5〕2﹣×5×1=﹣=，∴S△OPH=．②當(dāng)m=﹣3時，直線l：y=x﹣3．設(shè)直線l與x軸、y軸交于點G、點D，則G〔3，0〕，D〔0，﹣3〕．假設(shè)存在滿足條件的點P．a(chǎn)〕當(dāng)點P在OC邊上時，如答圖2﹣1所示，此時點E與點O重合．設(shè)PE=a〔0＜a≤4〕，則PD=3+a，PF=PD=〔3+a〕．過點F作FN⊥y軸于點N，則FN=PN=PF，∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|．在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF==．假設(shè)PE=PF，則：a=〔3+a〕，解得a=3〔+1〕＞4，故此種情形不存在；假設(shè)PF=EF，則：PF=，整理得PE=PF，即a=3+a，不成立，故此種情形不存在；假設(shè)PE=EF，則：PE=，整理得PF=PE，即〔3+a〕=a，解得a=3．∴P1〔0，3〕．b〕當(dāng)點P在BC邊上時，如答圖2﹣2所示，此時PE=4．假設(shè)PE=PF，則點P為∠OGD的角平分線與BC的交點，有GE=GF，過點F分別作FH⊥PE于點H，F(xiàn)K⊥x軸于點K，∵∠OGD=135°，∴∠EPF=45°，即△PHF為等腰直角三角形，設(shè)GE=GF=t，則GK=FK=EH=t，∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，∴PE=PH+EH=t+t+t=4，解得t=4﹣4，則OE=3﹣t=7﹣4，∴P2〔7﹣4，4〕c〕∵A〔4，0〕，B〔2，4〕，∴可求得直線AB解析式為：y=﹣2x+8；聯(lián)立y=﹣2x+8與y=x﹣3，解得x=，y=．設(shè)直線BA與直線l交于點K，則K〔，〕．當(dāng)點P在線段BK上時，如答圖2﹣3所示．設(shè)P〔a，8﹣2a〕〔2≤a≤〕，則Q〔a，a﹣3〕，∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，∴PF=〔11﹣3a〕．與a〕同理，可求得：EF=．假設(shè)PE=PF，則8﹣2a=〔11﹣3a〕，解得a=1﹣2＜0，故此種情形不存在；假設(shè)PF=EF，則PF=，整理得PE=PF，即8﹣2a=?〔11﹣3a〕，解得a=3，符合條件，此時P3〔3，2〕；假設(shè)PE=EF，則PE=，整理得PF=PE，即〔11﹣3a〕=〔8﹣2a〕，解得a=5＞，故此種情形不存在．d〕當(dāng)點P在線段KA上時，如答圖2﹣4所示．∵PE、PF夾角為135°，∴只可能是PE=PF成立．∴點P在∠KGA的平分線上．設(shè)此角平分線與y軸交于點M，過點M作MN⊥直線l于點N，則OM=MN，MD=MN，由OD=OM+MD=3，可求得M〔0，3﹣3〕．又因為G〔3，0〕，可求得直線MG的解析式為：y=〔﹣1〕x+3﹣3．聯(lián)立直線MG：y=〔﹣1〕x+3﹣3與直線AB：y=﹣2x+8，可求得：P4〔1+2，6﹣4〕．e〕當(dāng)點P在OA邊上時，此時PE=0，等腰三角形不存在．綜上所述，存在滿足條件的點P，點P坐標(biāo)為：〔0，3〕、〔3，2〕、〔7﹣4，4〕、〔1+2，6﹣4〕．【點評】此題是二次函數(shù)壓軸題，涉及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、圖形面積、勾股定理、角平分線性質(zhì)等知識點，重點考察了分類討論的數(shù)學(xué)思想．第〔2〕②問中涉及復(fù)雜的分類討論，使得試題的難度較大．28．〔2015?黃岡模擬〕：如圖，拋物線y=ax2+bx+2與x軸的交點是A〔3，0〕、B〔6，0〕，與y軸的交點是C．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕設(shè)P〔x，y〕〔0＜x＜6〕是拋物線上的動點，過點P作PQ∥y軸交直線BC于點Q．①當(dāng)x取何值時，線段PQ的長度取得最大值，其最大值是多少②是否存在這樣的點P，使△OAQ為直角三角形假設(shè)存在，求出點P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【考點】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題；動點型；開放型．【分析】〔1〕了A，B的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式．〔2〕①Q(mào)P其實就是一次函數(shù)與二次函數(shù)的差，二次函數(shù)的解析式在〔1〕中已經(jīng)求出，而一次函數(shù)可根據(jù)B，C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出．那么讓一次函數(shù)的解析式減去二次函數(shù)的解析式，得出的新的函數(shù)就是關(guān)于PQ，x的函數(shù)關(guān)系式，那么可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出PQ的最大值以及相對應(yīng)的x的取值．〔3〕分三種情況進(jìn)展討論：當(dāng)∠QOA=90°時，Q與C重合，顯然不合題意．因此這種情況不成立；當(dāng)∠OAQ=90°時，P與A重合，因此P的坐標(biāo)就是A的坐標(biāo)；當(dāng)∠OQA=90°時，如果設(shè)QP與x軸的交點為D，那么根據(jù)射影定理可得出DQ2=OD?DA．由此可得出關(guān)于x的方程即可求出x的值，然后將x代入二次函數(shù)式中即可得出P的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕∵拋物線過A〔3，0〕，B〔6，0〕，∴，解得：，∴所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=x2﹣x+2．〔2〕①∵當(dāng)x=0時，y=2，∴點C的坐標(biāo)為〔0，2〕．設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y=kx+h．則有，解得：．∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式是y=﹣x+2．∵0＜x＜6，點P、Q的橫坐標(biāo)一樣，∴PQ=yQ﹣yP=〔﹣x+2〕﹣〔x2﹣x+2〕=﹣x2+x=﹣〔x﹣3〕2+1∴當(dāng)x=3時，線段PQ的長度取得最大值．最大值是1．②解：當(dāng)∠OAQ′=90°時，點P與點A重合，∴P〔3，0〕當(dāng)∠Q′OA=90°時，點P與點C重合，∴x=0〔不合題意〕當(dāng)∠OQ′A=90°時，設(shè)PQ′與x軸交于點D．∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°，∠Q′AD+∠AQ′D=90°，∴∠OQ′D=∠Q′AD．又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°，∴△ODQ′∽△Q′DA．∴，即DQ′2=OD?DA．∴〔﹣x+2〕2=x〔3﹣x〕，10x2﹣39x+36=0，∴x1=，x2=，∴y1=×〔〕2﹣+2=；y2=×〔〕2﹣+2=；∴P〔，〕或P〔，〕．∴所求的點P的坐標(biāo)是P〔3，0〕或P〔，〕或P〔，〕．【點評】此題主要考察了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，用數(shù)形結(jié)合的思想來求解是解題的根本思路．29．〔2014?武漢〕如圖，直線AB：y=kx+2k+4與拋物線