數(shù)學(xué)分析-第二型曲線積分

§2第二型曲線積分第二型曲線積分與第一型曲線積分不一樣是在有方向曲線上定義積分,這是因?yàn)榈诙颓€積分物理背景是求變力沿曲線作功,而這類問題顯然與曲線方向相關(guān).三、兩類曲線積分聯(lián)絡(luò)一、第二型曲線積分定義二、第二型曲線積分計(jì)算返回第1頁一．第二型曲線積分定義在物理中還碰到過另一種類型曲線積分問題.比如一質(zhì)點(diǎn)受力作用沿平面曲線

從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)

B,

求力

所作功,見圖20-2.第2頁為此在曲線內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)一起把有向曲線分成n個(gè)有向小曲線段若記小曲線設(shè)力在軸方向投影分別為那么弧長為則分割細(xì)度為段第3頁又設(shè)小曲線段在軸上投影分別為

分別為點(diǎn)坐標(biāo).記于是力在小曲線段上所作功其中為小曲線段上任一點(diǎn).因而力

沿曲線所作功近似地等于其中

第4頁當(dāng)細(xì)度時(shí),上式右邊和式極限就應(yīng)該是

所求功.這種類型和式極限就是下面所要討論第二型曲線積分.定義1設(shè)函數(shù)定義在平面有向可

求長度曲線上.對任一分割它把分

成n個(gè)小曲線段第5頁其中記個(gè)小曲線段弧長

為分割細(xì)度又設(shè)分點(diǎn)

在每個(gè)小曲線段上任取一點(diǎn)若極限存在且與分割T與點(diǎn)取法無關(guān),則稱此極限為函數(shù)沿有向曲線L上第二型坐標(biāo)為并記第6頁曲線積分,記為或上述積分(1)也可寫作或第7頁為書寫簡練起見,(1)式常簡寫成

或式可寫成向量形式若L為封閉有向曲線,則記為若記則(1)

或于是,力沿有向曲線

第8頁對質(zhì)點(diǎn)所作功為若L為空間有向可求長曲線,為定義在L上函數(shù),則可按上述方法類

似地定義沿空間有向曲線L上第二型曲線積分,并記為或簡寫成第9頁當(dāng)把看作三維向量時(shí),(4)式也可表示成(3)式向量形式.第二型曲線積分與曲線L方向相關(guān).對同一曲線,當(dāng)方向由A到B改為由B到A時(shí),每一小曲線段方向改變,從而所得也隨之改變符號,故

第10頁有

而第一型曲線積分被積表示式只是函數(shù)與

弧長乘積,它與曲線L方向無關(guān).這是兩種類型曲線積分一個(gè)主要區(qū)分.

類似與第一型曲線積分,第二型曲線積分也有以下一些主要性質(zhì):

1．

第11頁也存在,且2.若有向曲線由有向曲線首尾銜接而成,都存在,則也存在,且第12頁二．第二型曲線積分計(jì)算第二型曲線積分也可化為定積分來計(jì)算.

設(shè)平面曲線其中上含有一階連續(xù)導(dǎo)函數(shù),且

點(diǎn)坐標(biāo)分別為又設(shè)上連續(xù)函數(shù),則沿L

第13頁第二型曲線積分讀者可仿照§1中定理20.1方法分別證實(shí)由此便可得公式(6).對于沿封閉曲線L第二型曲線積分(2)計(jì)算,可

第14頁在L上任意選取一點(diǎn)作為起點(diǎn),沿L所指定方向前進(jìn),最終回到這一點(diǎn).

例1計(jì)算其中L分別沿圖20-3中路線:(i)直線段(ii)(iii)(三角形周界).第15頁解(i)直線參數(shù)方程為故由公式(6)可得(ii)曲線為拋物線

第16頁(iii)這里L(fēng)是一條封閉曲線,故可從A開始,應(yīng)用上段加即可得到所求之曲線積分.因?yàn)檠刂本€線積分為所以性質(zhì)2,分別求沿上線積分然后相第17頁沿直線線積分為所以沿直線線積分可由(i)及公式(5)得到:第18頁例2計(jì)算這里L(fēng)為:

(i)沿拋物線一段(圖20-4);

(ii)沿直線(iii)沿封閉曲線解(i)第19頁(ii)(iii)在OA一段上,一段上,一段上與(ii)一樣是一段.所以第20頁(見(ii))沿空間有向曲線第二型曲線積分計(jì)算公式也與

(6)式相仿.設(shè)空間有向光滑曲線L參量方程為所以第21頁起點(diǎn)為終點(diǎn)為則這里要注意曲線方向與積分上下限確實(shí)定應(yīng)該一致.L是螺旋線:例3計(jì)算第二型曲線積分第22頁上一段(參見圖20－5).解由公式(7),第23頁例4

求在力作用下,(i)質(zhì)點(diǎn)由沿螺旋線所作功(圖20-5),其中

(ii)質(zhì)點(diǎn)由A沿直線所作功.解如本節(jié)開頭所述,在空間曲線L上力F所作功為(i)因?yàn)榈?4頁(ii)參量方程因?yàn)樗岳?設(shè)L為球面和平面交線,若面對x軸正向看去,L是沿逆時(shí)針方向,求第25頁(i)

(ii)(i)由對稱性，解

L參數(shù)方程為第26頁所以，(ii)由對稱性，*例6

設(shè)G是R2中有界閉域，是上連續(xù)

可微函數(shù),是在G上連續(xù)函數(shù).第27頁則對任意,存在對于任意分割只要必有其中為端點(diǎn)折線.證由有界性,存在使得第28頁令由P,Q在G一致連續(xù)性,存在

使得就有由在上一致連續(xù)性,存在使得第29頁就有.任意分割,滿足令設(shè)為連接與線段,其斜率為設(shè)方程為則第30頁于是設(shè)在到那段曲線為

則

第31頁所以第32頁注例6告訴我們曲線上積分可用折線上積分來迫近.第33頁*三.兩類曲線積分聯(lián)絡(luò)在要求了曲線方向之后,能夠建立它們之間聯(lián)絡(luò).有向光滑曲線,它以弧長s為參數(shù),即使第一型曲線積分與第二型曲線積分來自不一樣物理原型,且有著不一樣特征,但在一定條件下,如于是其中l(wèi)為曲線L全長,且點(diǎn)坐標(biāo)分別為

第34頁曲線L上每一點(diǎn)切線方

向指向弧長增加一方.現(xiàn)以分別表示

切線方向軸正向夾角,則在曲線上

每一點(diǎn)切線方向余弦是上連續(xù)函數(shù),則由(6)

式得第35頁最終一個(gè)等式是依據(jù)第一型曲線積分化為定積分公式.注當(dāng)(9)式左邊第二型曲線積分中L改變方向時(shí),積

分值改變符號,對應(yīng)在(9)式右邊第一型曲線積分中,

曲線上各點(diǎn)切線方向指向相反方向(即指向弧

長降低方向).這時(shí)夾角分別與原來

第36頁夾角相差一個(gè)弧度從而都

要變號.所以,一旦方向確定了,公式(9)總是成立.

第37頁復(fù)習(xí)思索題

1.設(shè)在光滑曲線L上連續(xù),