非標(biāo)準(zhǔn)分析-經(jīng)典數(shù)學(xué)的一種延伸

非標(biāo)準(zhǔn)分析——經(jīng)典數(shù)學(xué)一個(gè)延伸邏輯學(xué)12碩呂相洋第1頁(yè)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

在17世紀(jì)晚期，形成了無(wú)窮小演算——微積分這門學(xué)科。牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分奠基者，他們功勞主要在于：創(chuàng)建了樸素微分法和積分法；有明確計(jì)算步驟；微分法和積分法互為逆運(yùn)算……因?yàn)檫\(yùn)算完整性和應(yīng)用廣泛性，微積分成為當(dāng)初處理問(wèn)題主要工具。

18世紀(jì)數(shù)學(xué)思想確實(shí)是不嚴(yán)密、直觀，強(qiáng)調(diào)形式計(jì)算而不論基礎(chǔ)可靠。其中尤其是：沒有清楚無(wú)窮小概念，從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念不清楚；無(wú)窮大約念不清楚；發(fā)散級(jí)數(shù)求和任意性等等；符號(hào)不嚴(yán)格使用；不考慮連續(xù)性就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等。

在微積分大范圍應(yīng)用同時(shí)，關(guān)于微積分基礎(chǔ)問(wèn)題也越來(lái)越嚴(yán)重。關(guān)鍵問(wèn)題就是無(wú)窮小量終究是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引發(fā)了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)爭(zhēng)論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。第2頁(yè)消失量靈魂第3頁(yè)

直到19世紀(jì)代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分嚴(yán)格基礎(chǔ)。波爾查諾給出了連續(xù)性正確定義；阿貝爾指出要嚴(yán)格限制濫用級(jí)數(shù)展開及求和；柯西在18《代數(shù)分析教程》中從定義變量出發(fā)，認(rèn)識(shí)到函數(shù)不一定要有解析表示式；他抓住極限概念，指出無(wú)窮小量和無(wú)窮大量都不是固定量而是變量，無(wú)窮小量是以零為極限變量；而且定義了導(dǎo)數(shù)和積分；狄里赫利給出了函數(shù)當(dāng)代定義。在這些工作基礎(chǔ)上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切地方，給出現(xiàn)在通用極限定義，連續(xù)定義，并把導(dǎo)數(shù)、積分嚴(yán)格地建立在極限基礎(chǔ)上。19世紀(jì)70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康托等人獨(dú)立地建立了實(shí)數(shù)理論，而且在實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)上，建立起極限論基本定理，從而使數(shù)學(xué)分析建立在實(shí)數(shù)理論嚴(yán)格基礎(chǔ)之上。第4頁(yè)在嚴(yán)格化后微積分理論中，無(wú)窮小不再是一個(gè)固定量，而是以零為極限變量。第5頁(yè)但古典極限理論較為繁復(fù)，而在工程師、物理學(xué)家、化學(xué)家語(yǔ)言中使用“瞬時(shí)”、“微元”這么不夠準(zhǔn)確概念并沒有影響結(jié)果正確性。第6頁(yè)實(shí)無(wú)窮復(fù)活——邏輯學(xué)家意外發(fā)覺（一階邏輯廣義完全性定理）假如形式語(yǔ)言L一個(gè)語(yǔ)句集是一致，那么這個(gè)語(yǔ)句集有一個(gè)模型。（緊致性定理）假如L語(yǔ)句集K任意有窮子集一致，那么K一致。第7頁(yè)第8頁(yè)第9頁(yè)挪威邏輯學(xué)家Skolem最先發(fā)覺描述自然數(shù)集計(jì)數(shù)公理（如一階Peano公理）不但以自然數(shù)為其“標(biāo)準(zhǔn)”模型，他由此否定自然數(shù)集N，而R.robinson把skolem思想開拓到實(shí)數(shù)域，為無(wú)窮小演算奠定了嚴(yán)格邏輯基礎(chǔ)，它兼容算術(shù)非標(biāo)準(zhǔn)模型，所以他稱這一課題為非標(biāo)準(zhǔn)分析，其開拓性工作，含有不可磨滅歷史功勞。第10頁(yè)能夠認(rèn)為，NSA實(shí)際上是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)分析進(jìn)行“理想元素”添加，如前所述，無(wú)窮大與無(wú)窮小并非不可思議，NSA第一個(gè)功勞便是延續(xù)數(shù)學(xué)史上擴(kuò)張數(shù)系研究。令人奇怪是，在直線上塞進(jìn)無(wú)理數(shù)之后，擴(kuò)充實(shí)數(shù)系工作被忽略了長(zhǎng)達(dá)百余年。第11頁(yè)第12頁(yè)第13頁(yè)一些失敗嘗試第14頁(yè)第15頁(yè)第16頁(yè)第17頁(yè)第18頁(yè)第19頁(yè)第20頁(yè)第21頁(yè)第22頁(yè)第23頁(yè)第24頁(yè)非標(biāo)準(zhǔn)模型NSA應(yīng)用應(yīng)竟可能涵蓋經(jīng)典數(shù)學(xué)全部研究對(duì)象，而經(jīng)典數(shù)學(xué)定義都是用集合論語(yǔ)言。所以我們先引入足以包含經(jīng)典數(shù)學(xué)全部研究對(duì)象標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)——超結(jié)構(gòu)。從超結(jié)構(gòu)出發(fā)，用純粹集合論方法結(jié)構(gòu)其對(duì)應(yīng)超冪型非標(biāo)準(zhǔn)模型，則得到非標(biāo)準(zhǔn)模型涵蓋經(jīng)典數(shù)學(xué)。從而可將經(jīng)典數(shù)學(xué)置于NSA體系下研究。第25頁(yè)第26頁(yè)超結(jié)構(gòu)一些性質(zhì)?為實(shí)體每個(gè)Vn(X)為實(shí)體實(shí)體元素為實(shí)體實(shí)體子集為實(shí)體實(shí)體冪集為實(shí)體V(X)有限子集為實(shí)體實(shí)體有序n元組及Cartesian積為實(shí)體n元關(guān)系和n元函數(shù)，其定義域和值域?yàn)閷?shí)體者，它們本身亦為實(shí)體。第27頁(yè)實(shí)體例子第28頁(yè)第29頁(yè)常見實(shí)體非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張第30頁(yè)第31頁(yè)第32頁(yè)第33頁(yè)第34頁(yè)形式語(yǔ)言及其解釋第35頁(yè)超結(jié)構(gòu)超冪擴(kuò)張示意圖第36頁(yè)Los定理第37頁(yè)第38頁(yè)第39頁(yè)轉(zhuǎn)換原理基本利用第40頁(yè)上述僅僅是非標(biāo)準(zhǔn)分析NSA幾個(gè)最最基礎(chǔ)應(yīng)用。實(shí)際上，NSA能夠覆蓋經(jīng)典數(shù)學(xué)近乎全部分支，經(jīng)典數(shù)學(xué)很多結(jié)果利用NSA方法能夠異常簡(jiǎn)便得到。除了作為研究標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)工具，NSA本身對(duì)無(wú)窮引入，亦開辟了數(shù)學(xué)、哲學(xué)研究遼闊新天地。第41頁(yè)NSA還未被廣泛認(rèn)可和應(yīng)用原因一些人認(rèn)為，對(duì)于經(jīng)典數(shù)學(xué)而言，NSA能夠得到結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)方法應(yīng)該也都能得到，而大家已經(jīng)習(xí)慣了經(jīng)典方法。不一樣于有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)擴(kuò)充。非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)系擴(kuò)充本身是不一樣構(gòu)（盡管這不影響我們得到一些很好結(jié)果），而且還未找到很好幾何、物理模型。一些數(shù)學(xué)工作者對(duì)邏輯領(lǐng)域結(jié)果忽略。第42頁(yè)算數(shù)從整數(shù)開始，繼而經(jīng)過(guò)添加有理數(shù)和負(fù)數(shù)以及無(wú)理數(shù)等，逐次擴(kuò)大了數(shù)系，但在實(shí)數(shù)之后，下一個(gè)自然擴(kuò)張，即添加無(wú)窮小，竟被完全忽略了，在微積分創(chuàng)造長(zhǎng)達(dá)三百年之后，第一個(gè)嚴(yán)格無(wú)窮小理論始發(fā)起來(lái)，我認(rèn)為，在未來(lái)世紀(jì)里，后代將會(huì)把這一延誤看作一件咄咄怪事。未來(lái)分析學(xué)將是某種NSA!