2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示（2025年4月）

第38頁（共38頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2024春?涼州區(qū)校級(jí)期中）已知向量{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，向量{a→+b→，a→A．(12，32C．(3，-12，2．（2024秋?吉林期中）若{a→，b→，cA．a(chǎn)→-c→，a→-b→，b→C．b→+a→，b→-a→+c3．（2024秋?恩施州期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為DB上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，N為CC1的中點(diǎn)．設(shè)A1B1A．23a→+1C．23a→+4．（2024秋?福清市期中）在四面體OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→A．a(chǎn)→-14b→-14c→ 5．（2024秋?北侖區(qū)期中）設(shè){a→，b→，c→}為空間的一個(gè)基底，若向量p→=xa→+yb→+zc→，則向量p→在基底{a→，b→，A．（2，﹣3，﹣1） B．（3，﹣1，2） C．（1，2，3） D．（1，2，1）6．（2024秋?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）在以下4個(gè)命題中，不正確的命題的個(gè)數(shù)為（）①若a→?b②若三個(gè)向量a→，b③若{a→，④|(aA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2024秋?福州期中）已知向量{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，向量{a→-b→，A．（1，3，﹣1） B．（3，1，﹣1） C．（1，3，1） D．（﹣1，﹣3，﹣1）8．（2024秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）若AB→=(-1，2，A．2 B．5 C．5 D．2二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?四川校級(jí)期中）給出下列命題，其中正確的是（）A．若{a→，bB．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣1，4，3）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣1，﹣4，﹣3） C．點(diǎn)P為平面ABC上一點(diǎn)，且OP→=7D．非零向量a→，b→，若a→（多選）10．（2024秋?潮陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD=π3，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若AB→=aA．BM→B．ACC．設(shè)BN→=14BD．以D為球心，7為半徑的球與四邊形BCC1B1的交線長為2（多選）11．（2024秋?市北區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(1，-1A．|a→-b→C．(a→+4b（多選）12．（2024秋?思明區(qū)校級(jí)月考）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別是μ→，v→，且μ→=(1，2，B．若a→?b→＜C．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP→=14OA→+14OBD．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線三．填空題（共4小題）13．（2024秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知A（0，2，3），B（1，4，6），C（2，2，5），D（0，m，n），AB→∥CD→，則m+n＝14．（2024秋?松江區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長為2，Pi（i＝1，2，?，12）分別為各棱的中點(diǎn)，則AC→?APi→(i15．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)單位正交基底，向量p→=a16．（2024秋?晉江市校級(jí)月考）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：i→，j→，k→分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸、y軸、z軸）正方向的單位向量，若向量n→=xi→+yj→+zk→，則n→與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱向量n→的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作n→=[x，y，z]．若a→=[1，2，3]，b→=[﹣1，1，2]，則a→+b→的斜60°坐標(biāo)為．在平行六面體ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N為線段D1C1四．解答題（共4小題）17．（2024秋?諸暨市期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中點(diǎn)，N是DD1的中點(diǎn)，設(shè)AB→=a→，（1）用a→，b→，（2）求AM→18．（2024秋?福州期中）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1=2，設(shè)AB（1）試用a→，b→，c→表示向量AC（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量AC→與B19．（2024春?靖遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→（1）試用a→，b→，c→（2）求證：MN∥平面ABB1A1．20．（2024秋?松江區(qū)校級(jí)月考）已知空間三點(diǎn)A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣2，4）．（1）求△ABC的面積；（2）若向量CD→∥AB→，且|CD

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BDCBCDAA二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ACACDBDCD一．選擇題（共8小題）1．（2024春?涼州區(qū)校級(jí)期中）已知向量{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，向量{a→+b→，a→A．(12，32C．(3，-12，【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】直接利用基底的定義求出結(jié)果．【解答】解：由于向量p→在基底{a→，b→，c→向量p→在基底{a→+b→，a→-b→，c→}下的坐標(biāo)為（x，y，z），故x+y=1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．（2024秋?吉林期中）若{a→，b→，cA．a(chǎn)→-c→，a→-b→，b→C．b→+a→，b→-a→+c【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】直接利用向量基底的定義和共面向量基本定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于A：由于{a→，b→，c故a→-c→=(a→-b對(duì)于B：由于a→+c→=對(duì)于C：由于b→+a→=(對(duì)于D：由于不存在x和y，使得a→+b→=x故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的基底，共面向量基本定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．（2024秋?恩施州期中）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為DB上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，N為CC1的中點(diǎn)．設(shè)A1B1A．23a→+1C．23a→+【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：根據(jù)向量的線性運(yùn)算：MN→故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．4．（2024秋?福清市期中）在四面體OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→A．a(chǎn)→-14b→-14c→ 【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：在四面體OABC中，如圖所示：OA→=a→，OB→=b→，所以O(shè)P→故AP→故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．5．（2024秋?北侖區(qū)期中）設(shè){a→，b→，c→}為空間的一個(gè)基底，若向量p→=xa→+yb→+zc→，則向量p→在基底{a→，b→，A．（2，﹣3，﹣1） B．（3，﹣1，2） C．（1，2，3） D．（1，2，1）【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：向量q→以{a→+b→，b→-c故q→以{a→，b→，c→故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．（2024秋?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）在以下4個(gè)命題中，不正確的命題的個(gè)數(shù)為（）①若a→?b②若三個(gè)向量a→，b③若{a→，④|(aA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算以及向量的基底的定義判斷①②③④的結(jié)論．【解答】解：①若a→?b→=b→?②若三個(gè)向量a→，b→，c→兩兩共面，假設(shè)這三個(gè)向量分別是空間直角坐標(biāo)系x軸，y軸和z③若{a→，b→，c④設(shè)a→=(x1，所以|(a→?故④錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的基底，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（2024秋?福州期中）已知向量{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，向量{a→-b→，A．（1，3，﹣1） B．（3，1，﹣1） C．（1，3，1） D．（﹣1，﹣3，﹣1）【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：向量p→在基底{a→，b→，c向量p→在基底{a→-b→，所以p→故x+y=4故向量p→在基底{a→-b→，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．8．（2024秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）若AB→=(-1，2，A．2 B．5 C．5 D．2【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出向量的模．【解答】解：若AB→=(-1，2，故|AC故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?四川校級(jí)期中）給出下列命題，其中正確的是（）A．若{a→，bB．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣1，4，3）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣1，﹣4，﹣3） C．點(diǎn)P為平面ABC上一點(diǎn)，且OP→=7D．非零向量a→，b→，若a→【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；平面向量的線性運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角；關(guān)于空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用空間向量的基本性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)AC，選項(xiàng)B利用空間坐標(biāo)系的點(diǎn)對(duì)稱做出判斷，選項(xiàng)D利用向量的數(shù)量積做出判斷即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，由題意知，則a→，b→，c→不則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使a→∴a→∵a→，b→，c→不共面，∴λ=μ=1λ+∴{a→+對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)P（﹣1，4，3）關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)是（1，4，3），選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C：點(diǎn)P為平面ABC上一點(diǎn)，且OP→=76OA→+對(duì)于選項(xiàng)D：a→?b∴?a→，故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）10．（2024秋?潮陽區(qū)校級(jí)期中）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD=π3，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若AB→=aA．BM→B．ACC．設(shè)BN→=14BD．以D為球心，7為半徑的球與四邊形BCC1B1的交線長為2【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量；平面的交線及其性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A：利用空間向量的加法和減法求解即可，選項(xiàng)B：利用向量的模求解線段的長度即可，選項(xiàng)C：利用向量的數(shù)量積求解向量垂直即可，選項(xiàng)D：分析可以知道球面與平面BCC1B1的交線是以H為圓心，7-【解答】解：由題得，BM=AA1因?yàn)锳Ca→?b所以|A所以|AC1因?yàn)锳N→所以AN=-所以AN→⊥BM→，以AN⊥取BC的中點(diǎn)為H，連接DH，易知DH⊥平面BCC1B1，且DH=由球的半徑為7，知球面與平面BCC1B1的交線是以H為圓心，7-如圖，在正方形BCC1B1內(nèi)，以H為圓心，2為半徑作圓，所得的圓弧PQ即為所求交線．由題意可知∠PHQ=π3，所以弧PQ的長為故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）11．（2024秋?市北區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(1，-1A．|a→-b→C．(a→+4b【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】利用空間向量的運(yùn)算公式逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：已知向量a→=(1，-1對(duì)于A，a→-b→=(2對(duì)于B，a→∴(a→+3對(duì)于C，a→+4b→=(-3對(duì)于D，b→-c→=(-3故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）12．（2024秋?思明區(qū)校級(jí)月考）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（）A．若兩個(gè)不同平面α，β的法向量分別是μ→，v→，且μ→=(1，2，B．若a→?b→＜C．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP→=14OA→+14OBD．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；平面的法向量；空間向量的共線與共面．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】CD【分析】由μ→?v→=0可知α⊥β，由a→?b→【解答】解：對(duì)于A，μ→?v→=2+2+(-2)×2=0，所以μ→⊥對(duì)于B，若a→?b→＜0，則cos＜a對(duì)于C，對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP→=14OA→+14OB→+1對(duì)于D，兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線，D正確．故選：CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量垂直的充要條件，向量的夾角運(yùn)算，共面向量基本定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知A（0，2，3），B（1，4，6），C（2，2，5），D（0，m，n），AB→∥CD→，則m+n＝﹣【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】﹣3．【分析】直接利用向量共線的充要條件求出結(jié)果．【解答】解：由于A（0，2，3），B（1，4，6），C（2，2，5），D（0，m，n），所以：AB→=(1由于：AB→∥CD→，則1-2=2m故：m+n＝﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2024秋?松江區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長為2，Pi（i＝1，2，?，12）分別為各棱的中點(diǎn)，則AC→?APi→(i【考點(diǎn)】空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】5．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，然后得到各點(diǎn)坐標(biāo)，算出AC→和APi【解答】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，棱長為2，Pi（i＝1，2，?，12）分別為各棱的中點(diǎn)，∴A（2，0，0），C（0，2，0），P1（1，0，0），P2（2，1，0），P3（1，2，0），P4（0，1，0），P5（2，0，1）P6（2，2，1），P7（0，2，1），P8（0，0，1），P9（1，0，2），P10（2，1，2），P11（1，2，2），P12（0，1，2）；則AC→=(-2，2，0)，AP1→=(-1，0，AP→8=(-2，0，1)，A故AC→?AP1→=2；AC→?AP2→=2；故AC→?APi→(i=1，2，?故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)單位正交基底，向量p→=a【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】-1【分析】根據(jù)空間向量基底的意義表示向量p→【解答】解：已知{a→，b→設(shè)p→依題意，p→=(x則x+y=1所以p→故答案為：-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（2024秋?晉江市校級(jí)月考）空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：i→，j→，k→分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（x軸、y軸、z軸）正方向的單位向量，若向量n→=xi→+yj→+zk→，則n→與有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）相對(duì)應(yīng)，稱向量n→的斜60°坐標(biāo)為[x，y，z]，記作n→=[x，y，z]．若a→=[1，2，3]，b→=[﹣1，1，2]，則a→+b→的斜60°坐標(biāo)為BN→=[-1，2，3]．在平行六面體ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N【考點(diǎn)】空間向量單位正交基底及其表示空間向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）BN→=[-1，2，【分析】直接由空間向量基本定理和空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可；再由空間向量的數(shù)量積與夾角公式計(jì)算即可．【解答】（1）解：由a→=[1，2，3]，所以a→+b（2）解：設(shè)i→，j→，k→分別為與AB→，則AB→=2i→，①BN→所以BN→②因?yàn)锳M→=[2，則|AM→因?yàn)閨BN所以BN→所以cos＜所以AM→與BN→的夾角的余弦值為故答案為：（1）BN→=[-1，2，【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?諸暨市期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中點(diǎn)，N是DD1的中點(diǎn)，設(shè)AB→=a→，（1）用a→，b→，（2）求AM→【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量；空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）AM→=a→+c→【分析】（1）直接利用向量的線性運(yùn)算求出結(jié)果；（2）直接利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：（1）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AD＝AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，M是B1C1的中點(diǎn)，N是DD1的中點(diǎn)，設(shè)AB→=a→，所以AM→BN→（2）由（1）得：AM→【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．（2024秋?福州期中）如圖，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1=2，設(shè)AB（1）試用a→，b→，c→表示向量AC（2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量AC→與B【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量；空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）AC→=a→+b→【分析】（1）由空間向量的加法、減法運(yùn)算即可求解；（2）由（1），結(jié)合向量的夾角公式與數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解．【解答】解：（1）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1=2，設(shè)AC→BD（2）因?yàn)椤螦1AD＝∠A1AB＝120°，AAa所以|ACBDAC→所以cosAC即向量AC→與BD1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的模，向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．19．（2024春?靖遠(yuǎn)縣校級(jí)月考）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→（1）試用a→，b→，c→（2）求證：MN∥平面ABB1A1．【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量；直線與平面平行．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維．【答案】（1）MN→（2）見證明過程．【分析】（1）由題意利用空間向量的運(yùn)算即可求解；（2）由題意可得AB1→=AA1→+AB→=a→+【解答】解：（1）因?yàn)樵谡襟wABCD﹣A1B1C1D1中，AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→所以A1所以A1同理，A1所以MN→（2）證明：因?yàn)锳B所以MN→=12AB因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的運(yùn)算，線面平行的判定，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．20．（2024秋?松江區(qū)校級(jí)月考）已知空間三點(diǎn)A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣2，4）．（1）求△ABC的面積；（2）若向量CD→∥AB→，且|CD【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）723；（2）（﹣4，﹣4，10）或（4，0，﹣【分析】（1）求出AB→，AC（2）根據(jù)平行關(guān)系和模長得到CD→=±2AB→，于是CD→=(-4，-2【解答】解：（1）設(shè)向量AB→，AC→的夾角為θ，由空間三點(diǎn)A（﹣1，1，2），B（﹣3，0，5），C（0，﹣可得AB→|AC可得cosθ=因?yàn)?≤θ≤π，所以θ=所以三角形的面積為S△（2）因?yàn)镃D→∥AB→，所以CD→=因?yàn)锳B→=(-2，-1，3)所以CD→于是CD→=(-4，-2，6)即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣4，﹣4，10）或（4，0，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的模，共線向量的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量的線性運(yùn)算平面向量的線性運(yùn)算2．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量a→與b→不平行時(shí)，那么它們就會(huì)有一個(gè)夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ【解題方法點(diǎn)撥】例：復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60°解：zz=3+i3∴復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為故答案為：60°．點(diǎn)評(píng)：這是個(gè)向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實(shí)可以換成是用向量（3，1）與向量（3，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個(gè)公式，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，出題方式一般喜歡與其他的考點(diǎn)結(jié)合起來，比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認(rèn)真掌握．3．平面的交線及其性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】兩個(gè)平面在空間中交于一條直線，稱為交線．交線的性質(zhì)涉及交點(diǎn)、方向等特征．【解題方法點(diǎn)撥】﹣交線計(jì)算：確定兩個(gè)平面交線的方程或位置．﹣性質(zhì)分析：分析交線的方向和性質(zhì)，如何利用交線解題．【命題方向】﹣交線性質(zhì)：考查如何計(jì)算和分析兩個(gè)平面的交線．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用交線性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．4．直線與平面平行【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．用符號(hào)表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對(duì)于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號(hào)表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．5．關(guān)于空間直角坐標(biāo)系原點(diǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)P（x，y，z）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P'（﹣x，﹣y，﹣z）．﹣關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱：點(diǎn)P（x，y，z）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為P（x，﹣y，﹣z），關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P（﹣x，y，﹣z），關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)為P（﹣x，﹣y，z）．﹣關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱：關(guān)于x﹣O﹣y平面對(duì)稱的點(diǎn)為P（x，y，﹣z），關(guān)于x﹣O﹣z平面對(duì)稱的點(diǎn)為P（x，﹣y，z），關(guān)于y﹣O﹣z平面對(duì)稱的點(diǎn)為P（﹣x，y，z）．【解題方法點(diǎn)撥】﹣?zhàn)鴺?biāo)變換：代入坐標(biāo)值，應(yīng)用對(duì)稱變換規(guī)則計(jì)算對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)．【命題方向】﹣對(duì)稱點(diǎn)計(jì)算：考查如何根據(jù)空間坐標(biāo)系計(jì)算關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸和坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)．6．空間向量的共線與共面【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共線向量定理對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量a→、b→不共線，則向量p→與向量a→、b→共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x【解題方法點(diǎn)撥】空間向量共線問題：（1）判定向量共線就是充分利用已知條件找到實(shí)數(shù)λ，使a→=λb→（2）a→∥b→表示空間向量共面問題：（1）利用向量法證明點(diǎn)共面、線共面問題，關(guān)鍵是熟練地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意直線與向量的相互轉(zhuǎn)化．（2）空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），使MP→=xMA→+yMB→證明三個(gè)向量共面的常用方法：（1）設(shè)法證明其中一個(gè)向量可表示成另兩個(gè)向量的線性組合；（2）尋找平面α，證明這些向量與平面α平行．【命題方向】1，考查空間向量共線問題例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共線向量的條件b→=λa→解答：∵a→=（2x，1，3）與b→=（1，﹣2故有2x∴x=16，y故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量的知識(shí)，考查學(xué)生計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．2．考查空間向量共面問題例：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外的任一點(diǎn)，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根據(jù)共面向量定理OM→=m?OA→+n?解答：由共面向量定理OM→說明M、A、B、C共面，可以判斷A、B、C都是錯(cuò)誤的，則D正確．故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查共線向量與共面向量，考查學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力．是基礎(chǔ)題．7．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a→、b→，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA→=a→，OB→=b→，則∠2．空間向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a→、b→，則|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→與b→的數(shù)量積，記作a→?b→（2）幾何意義：a→與b→的數(shù)量積等于a→的長度|a→|與b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘積，或b→的長度|b→|與3．空間向量的數(shù)量積運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律．（1）交換律：(λa→)?b→=λa（2）分配律：a→4．?dāng)?shù)量積的理解（1）書寫向量的數(shù)量積時(shí)，只能用符號(hào)a→?b→（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定．（3）當(dāng)a→≠0→時(shí)，由a→?b→=0不能推出【解題方法點(diǎn)撥】利用數(shù)量積求直線夾角或余弦值的方法：利用數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離：利用向量的數(shù)量積求兩點(diǎn)間的距離，可以轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題，其基本思路是先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)已知向量的和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a→|=利用數(shù)量積證明垂直關(guān)系：（1）向量垂直只對(duì)非零向量有意義，在證明或判斷a→⊥b→時(shí)，須指明（2）證明兩直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為證明這兩直線的方向向量垂直，將兩個(gè)方向向量表示為幾個(gè)已知向量a→，b→，c→【命題方向】求直線夾角或余弦值、兩點(diǎn)間的距離、證明垂直關(guān)系等問題最基本的是掌握數(shù)量積運(yùn)算法則的應(yīng)用，任何有關(guān)數(shù)量積計(jì)算問題都離不開運(yùn)算律的運(yùn)用．例：已知2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0，2，﹣1），則分析：通過2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=（0解答：∵2a→+b→=（2，﹣4，1），且b→=∴a→=（1，﹣3，∴a→?b→=1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1故答案為：﹣7．點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．8．空間向量的夾角與距離求解公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角公式設(shè)空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）當(dāng)cos＜a→，b→＞（2）當(dāng)cos＜a→，b→＞（3）當(dāng)cos＜a→，b→＞2．空間兩點(diǎn)的距離公式設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→dA，B＝|AB→|=【解題思路點(diǎn)撥】1．求空間兩條直線的夾角建系→寫出向量坐標(biāo)→利用公式求夾角2．求空間兩點(diǎn)的距離建系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→利用公式求距離．【命題方向】（1）利用公式求空間向量的夾角例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量AB→與ACA.30°B.45°C.60°D.90°分析：由題意可得：AB→=(0，3，3)，AC→=(-1，1，0)，進(jìn)而得到AB解答：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以AB→所以AB→?AC→═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB→|＝32，所以cos＜AB→，∴AB→與AC故選C．點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題．（2）利用公式求空間兩點(diǎn)的距離例：已知空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），則A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A.3B.29C.25D分析：求出AB對(duì)應(yīng)的向量，然后求出AB的距離即可．解答：因?yàn)榭臻g直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），所以AB→=（﹣3，0，﹣4），所以|故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查空間兩點(diǎn)的距離求法，考查計(jì)算能力．9．空間向量基本定理及空間向量的基底【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得a→【命題方向】﹣向量定理和基底：考查如何應(yīng)用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間的基底．10．空間向量基底表示空間向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得a→﹣基底表示：任何空間向量v→都可以表示為基底向量的線性組合：v→=c1b→1+c2b﹣線性組合：通過解線性方程組找到系數(shù)c1，c2，c3．【命題方向】﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空間中的任意向量．11．空間向量單位正交基底及其表示空間向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→2．空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量p→，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解題方法點(diǎn)撥】1．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．2．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．【命題方向】﹣單位正交基底表示：考查如何使用單位正交基底表示空間中的向量．12．空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律：設(shè)空間向量a→=(x（1）a（2）a（3）λ（4）a→2．空間向量的坐標(biāo)表示：設(shè)空間兩點(diǎn)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→=OB→-OA→=（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y3．空間向量平行的條件：（1）a→∥b→(（2）若x2y2z2≠0，則a→∥4．空間向量垂直的條件：a→⊥b→?x1x2+y1y2+z1【解題方法點(diǎn)撥】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算類似，兩個(gè)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算就是向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)分別進(jìn)行加、減、數(shù)乘運(yùn)算；空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．坐標(biāo)運(yùn)算解決向量的平行與垂直問題：用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量平行、垂直有關(guān)問題，要注意以下兩個(gè)等價(jià)關(guān)系的應(yīng)用：（1）若a→=（x1，y1，z1），b→=（x2，y2