2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（2025年4月）

第24頁（共24頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（2025年4月）一．選擇題（共10小題）1．（2023春?重慶月考）如圖，4個(gè)圓相交共有8個(gè)交點(diǎn)，用5種不同的顏色給8個(gè)交點(diǎn)染色（5種顏色都用），要求在同一圓上的4個(gè)交點(diǎn)的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種．A．2016 B．2400 C．1920 D．962．（2023春?運(yùn)城期末）某藝術(shù)團(tuán)為期三天公益演出，其表演節(jié)目分別為歌唱，民族舞，戲曲，演奏，舞臺(tái)劇，爵士舞，要求戲曲與爵士舞不得安排在同一天進(jìn)行，每天至少進(jìn)行一類節(jié)目，則不同的演出安排方案共有（）A．720種 B．3168種 C．1296種 D．5040種3．（2023?茂南區(qū)校級(jí)三模）由數(shù)字0，1，2，3，4組成的各位上沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第88個(gè)數(shù)為（）A．42031 B．42103 C．42130 D．423014．（2024?東湖區(qū)校級(jí)三模）設(shè)（x1，x2，x3，x4，x5）是1，2，3，4，5的一個(gè)排列，若（xi﹣xi+1）（xi+1﹣xi+2）＜0對(duì)一切i∈{1，2，3}恒成立，就稱該排列是“交替”的．“交替”的排列的數(shù)目是（）A．8 B．16 C．24 D．325．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每日堅(jiān)果”袋．每個(gè)袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果．小林同學(xué)希望五個(gè)袋子中所裝堅(jiān)果種類各不相同，且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）A．20160 B．20220 C．20280 D．203406．（2022秋?陳倉區(qū)校級(jí)月考）某兒童游樂園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36 B．48 C．54 D．727．（2022春?太原期中）某校高二年級(jí)一班星期一上午有4節(jié)課，現(xiàn)從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、歷史和體育這6門學(xué)科中任選4門排在上午的課表中，若前2節(jié)只能排語文、數(shù)學(xué)和英語，數(shù)學(xué)課不能排在第4節(jié)，體育只能排在第4節(jié)，則不同的排法種數(shù)為（）A．18 B．48 C．50 D．548．（2021?未央?yún)^(qū)校級(jí)模擬）用5種不同顏色給圖中5個(gè)車站的候車牌（E，A，B，C，D）染色，要求相鄰的兩個(gè)車站間的候車牌不同色，有（）種染色方法．A．120 B．180 C．360 D．4209．（2021秋?道里區(qū)校級(jí)月考）現(xiàn)有2名學(xué)生代表，2名教師代表和3名家長代表合影，則同類代表互不相鄰的排法共有（）種．A．552 B．864 C．912 D．100810．（2020春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）由0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于8的個(gè)數(shù)為（）A．180 B．196 C．210 D．224二．填空題（共5小題）11．（2024?徐匯區(qū)模擬）將四棱錐S﹣ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有四種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為．12．（2024春?河?xùn)|區(qū)校級(jí)月考）某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地．推選1名優(yōu)秀團(tuán)員為總負(fù)責(zé)人，有種不同的選法．13．（2024春?信陽期中）對(duì)于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（i1，i2，…，in）（n是不小于3的正整數(shù)），若對(duì)于任意的p，q∈{1，2.3，…，n}，當(dāng)p＜q時(shí)有ip＞iq，則稱ip與iq是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”，一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為此數(shù)組的“逆序數(shù)”．例如，數(shù)組（2，4，3，1）中有逆序“2與1”，“4與3”，“4與1”，“3與1”，所以整數(shù)數(shù)組（2，4，3，1）的“逆序數(shù)”等于4．若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數(shù)”是2，則（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序數(shù)”是．14．（2024春?嘉興期中）用1﹣9這九個(gè)正整數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字且任意相鄰的三個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)的九位數(shù)，這樣的九位數(shù)有個(gè)（用數(shù)學(xué)作答）．15．（2023秋?九江期末）從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有條（用數(shù)值表示）三．解答題（共5小題）16．（2023春?招遠(yuǎn)市校級(jí)期中）用0，1，2，3四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（1）把這些自然數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)列，則1203是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？（2）求其中的四位數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，并求所有這些奇數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字之和．17．（2023春?萊西市期中）試分別解答下列兩個(gè)小題：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，記能組成的不同的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為M，能組成的0和l相鄰的不同的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為N，求M+N；（Ⅱ）在(2x2-13x)n的二項(xiàng)展開式中，記各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為E18．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？（1）偶數(shù)；（2）左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)；（3）比21034大的偶數(shù)．19．（2022春?嘉定區(qū)期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)四位數(shù)？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？20．（2022秋?浙江月考）（1）從集合{1，2，3，…，10}中，選出由5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，則這樣的子集共有多少個(gè)？（2）設(shè)集合A＝{1，2，3，?，13}，集合B是A的子集，且集合B任意兩數(shù)之差都不等于6或7．問：集合B中最多有多少個(gè)元素？說明理由．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案CDCDADCDCC一．選擇題（共10小題）1．（2023春?重慶月考）如圖，4個(gè)圓相交共有8個(gè)交點(diǎn)，用5種不同的顏色給8個(gè)交點(diǎn)染色（5種顏色都用），要求在同一圓上的4個(gè)交點(diǎn)的顏色互不相同，則不同的染色方案共有（）種．A．2016 B．2400 C．1920 D．96【考點(diǎn)】染色問題．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】對(duì)8個(gè)交點(diǎn)編號(hào)，考慮兩種情況，利用排列知識(shí)及兩種計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解．【解答】解：如圖，將8個(gè)交點(diǎn)編號(hào)，先考慮A，B，C，D，共有A5再考慮A，F(xiàn)，E，D，若A，F(xiàn)，E，D所用顏色與A，B，C，D的4種顏色相同，則E，F(xiàn)有A22種選擇，且G，H必然有一處使用第不妨設(shè)G點(diǎn)使用第5種顏色，則H處有2種選擇，此時(shí)共有A2若A，F(xiàn)，E，D所用顏色與A，B，C，D的4種顏色不同，因?yàn)橐还灿?種顏色，則E，F(xiàn)有一處與B，C所使用的顏色相同，另一處使用第5種顏色，則有2×2種選擇，此時(shí)G，H不能使用與B，C，E，F(xiàn)相同的顏色，故有2種顏色可供選擇，此時(shí)共有2×2×2＝8種選擇，綜上：不同的染色方案共有A5故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．2．（2023春?運(yùn)城期末）某藝術(shù)團(tuán)為期三天公益演出，其表演節(jié)目分別為歌唱，民族舞，戲曲，演奏，舞臺(tái)劇，爵士舞，要求戲曲與爵士舞不得安排在同一天進(jìn)行，每天至少進(jìn)行一類節(jié)目，則不同的演出安排方案共有（）A．720種 B．3168種 C．1296種 D．5040種【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)每天演出節(jié)目的數(shù)目進(jìn)行分類討論，而后求出總的方案數(shù)．【解答】解：若三天演出節(jié)目為2，2，2，則安排方法有（C62C42-3C4若三天演出節(jié)目為3，2，1，則安排方法有（C63C3若三天演出節(jié)目為4，1，1，則安排方法有（C64-C所以總方案有576+3168+1296＝5040．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?茂南區(qū)校級(jí)三模）由數(shù)字0，1，2，3，4組成的各位上沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第88個(gè)數(shù)為（）A．42031 B．42103 C．42130 D．42301【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】先討論各個(gè)位置上的數(shù)字情況，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：①當(dāng)萬位是1或2時(shí)，共有A44=2×24②當(dāng)萬位是3，千位是0，1，2，4時(shí)，共有A33=4×6③當(dāng)萬位是4，千位是0，1時(shí)，共有2A33=2×6④當(dāng)萬位是4，千位是2，百位為0，1時(shí)，共有2A22=2×62∴共有48+24+12+4＝88個(gè)數(shù)，故第88個(gè)數(shù)為42130．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列、組合的運(yùn)用，考查了分類討論思想的運(yùn)用，是中檔題．4．（2024?東湖區(qū)校級(jí)三模）設(shè)（x1，x2，x3，x4，x5）是1，2，3，4，5的一個(gè)排列，若（xi﹣xi+1）（xi+1﹣xi+2）＜0對(duì)一切i∈{1，2，3}恒成立，就稱該排列是“交替”的．“交替”的排列的數(shù)目是（）A．8 B．16 C．24 D．32【考點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理．【專題】綜合題；規(guī)律型；分類討論；分類法；排列組合；數(shù)據(jù)分析．【答案】D【分析】由已知可得：xi﹣xi+1與xi+1﹣xi+2異號(hào)，有兩種情況：（1）xi﹣xi+1＞0且xi+1﹣xi+2＜0；（2）xi﹣xi+1＜0且xi+1﹣xi+2＞0，分別討論可以求得結(jié)果，也可以列舉得解．【解答】解：由已知可得：xi﹣xi+1與xi+1﹣xi+2異號(hào)，有兩種情況：（1）xi﹣xi+1＞0且xi+1﹣xi+2＜0，此時(shí)①當(dāng)?shù)诙偷谒奈皇?或2時(shí)，有A33②當(dāng)?shù)谝晃皇?，第二位是1，第四位是3時(shí)有A22②當(dāng)?shù)谝晃皇?，第二位是1，第四位是5時(shí)有A22共計(jì)12+2+2＝16種．（2）xi﹣xi+1＜0且xi+1﹣xi+2＞0，此時(shí)①當(dāng)?shù)诙缓偷谒奈皇?或5時(shí)，有A33②當(dāng)?shù)谝晃皇?，第二位和第四位是3或4時(shí)，有A22共計(jì)12+4＝16種．綜上可得，一共有16+16＝32種．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理，屬于難度較大題目．5．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）小林同學(xué)喜歡吃4種堅(jiān)果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5種顏色的“每日堅(jiān)果”袋．每個(gè)袋子中至少裝1種堅(jiān)果，至多裝4種堅(jiān)果．小林同學(xué)希望五個(gè)袋子中所裝堅(jiān)果種類各不相同，且每一種堅(jiān)果在袋子中出現(xiàn)的總次數(shù)均為偶數(shù)，那么不同的方案數(shù)為（）A．20160 B．20220 C．20280 D．20340【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】設(shè)出核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，分類討論求出分堆情況，再進(jìn)行排列，求出最后答案．【解答】解：依次記核桃、腰果、杏仁、榛子為H，Y，X，Z，則每個(gè)字母出現(xiàn)2次或4次，分類計(jì)算分堆可能：（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z，若是“8＝4+1+1+1+1”，則其中的“4”必須是HYXZ，故1種可能；若是“8＝3+2+1+1+1”，則考慮（HYX）（Z※）（※）（※），故有C4小計(jì)：1+12+12＝25；（2）諸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”類型，若是“10＝4+3+1+1+1”，則四個(gè)H無論怎么安排，都會(huì)出現(xiàn)某兩個(gè)袋僅放H，故0種可能；若是“10＝4+2+2+1+1”，則“1+1”中有一個(gè)是H，若是“10＝3+3+2+1+1”，則“1+1”中各有1個(gè)H，“3+3+2”中各一個(gè)H，可以考慮含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有C3若是“10＝3+2+2+2+1”，則可用下表進(jìn)一步分類，有1+C若是“10＝2+2+2+2+2”，則四個(gè)H至少有兩個(gè)出現(xiàn)搭配相同，故0種可能；小計(jì)：C4（3）諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”類型，若是“12＝4+4+2+1+1”，則“4+4”必然重復(fù)，故0種可能；若是“12＝4+3+3+1+1”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)僅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（HYX）（Z）（X）可能；若是“12＝4+3+2+2+1”，則考慮（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），有C2若是“12＝4+3+2+2+1”，則考慮（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），若是“12﹣3+3+3+2+1”，則有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2種可能；若是“12＝3+3+2+2+2”，則枚舉“3+3”的情況，發(fā)現(xiàn)（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2種可能．小計(jì)C4諸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”類型若是“14＝4+4+*+*+*”，則“4+4”必然重復(fù)，故0種可能；若是“14＝4+3+3+3+1”，則“4+3+3+3”中至少有3個(gè)Z，故0種可能；若是“14＝4+3+3+2+2”，則“4+3+3”至少有2個(gè)Z，考慮（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有C32=3若是“14＝3+3+3+3+2”，則“3+3+3+3”中至少有3個(gè)Z，故0種可能；小計(jì)3C（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z“只有“16＝4+3+3+3+3”的搭配，有1種可能；綜上：共有25+76+54+12+1＝168個(gè)分堆可能，故不同的方案數(shù)為168A故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，注意分情況討論，是難題．6．（2022秋?陳倉區(qū)校級(jí)月考）某兒童游樂園有5個(gè)區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36 B．48 C．54 D．72【考點(diǎn)】染色問題．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】依題意可以利用3或4種不同的顏色涂色，先選出顏色，再涂色，按照分步、分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得涂色方案的種數(shù)．【解答】解：依題意顯然不能用少于2種顏色涂色，若利用3種不同的顏色涂色，首先選出3種顏色有C43先涂區(qū)域①有3種涂法，再涂②有2種涂法，則⑤只有1種涂法，④也只有1種涂法，則③也只有1種涂法，故一共有C43×3×2×1×1×1若利用4種不同的顏色涂色，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行涂色：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有A43當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有2A43=2×4×3×2綜上可得一共有24+48＝72種涂法；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合計(jì)數(shù)問題，排列組合的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．7．（2022春?太原期中）某校高二年級(jí)一班星期一上午有4節(jié)課，現(xiàn)從語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、歷史和體育這6門學(xué)科中任選4門排在上午的課表中，若前2節(jié)只能排語文、數(shù)學(xué)和英語，數(shù)學(xué)課不能排在第4節(jié)，體育只能排在第4節(jié)，則不同的排法種數(shù)為（）A．18 B．48 C．50 D．54【考點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】分類討論結(jié)合計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果．【解答】解：第一類，前兩節(jié)安排語文、數(shù)學(xué)，第四節(jié)排體育，排法種數(shù)為A2第二類，前兩節(jié)安排語文、數(shù)學(xué)，第四節(jié)不排體育，排法種數(shù)為A2第三類，前兩節(jié)安排英語、數(shù)學(xué)，第四節(jié)排體育，排法種數(shù)為A2第四類，前兩節(jié)安排英語、數(shù)學(xué)，第四節(jié)不排體育，排法種數(shù)為A2第五類，前兩節(jié)安排語文、英語，第四節(jié)排體育，排法種數(shù)為A2第六類，前兩節(jié)安排語文、英語，第四節(jié)不排體育，排法種數(shù)為A2根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，前2節(jié)只能排語文、數(shù)學(xué)和英語，數(shù)學(xué)課不能排在第4節(jié)，體育只能排在第4節(jié)，則不同的排法種數(shù)為6+12+6+12+6+8＝50，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有限制條件的排列問題，屬于中檔題．8．（2021?未央?yún)^(qū)校級(jí)模擬）用5種不同顏色給圖中5個(gè)車站的候車牌（E，A，B，C，D）染色，要求相鄰的兩個(gè)車站間的候車牌不同色，有（）種染色方法．A．120 B．180 C．360 D．420【考點(diǎn)】染色問題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；排列組合．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分4步依次分析E、A、B和DC的染色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分4步進(jìn)行分析：①，對(duì)于E，有5種顏色可選，即有5種情況，②，對(duì)于A，與E相鄰，有4種顏色可選，即有4種情況，③，對(duì)于B，與A、E相鄰，有3種顏色可選，即有3種情況，④，對(duì)于D、C，若D與B顏色相同，則C有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，則D有2種顏色可選，C有2種顏色可選，則D、C共有（1×3+2×2）＝7種情況，則一共有5×4×3×7＝420種情況，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意沒有要求5種顏色都用到．9．（2021秋?道里區(qū)校級(jí)月考）現(xiàn)有2名學(xué)生代表，2名教師代表和3名家長代表合影，則同類代表互不相鄰的排法共有（）種．A．552 B．864 C．912 D．1008【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用；排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；分類討論；綜合法；排列組合；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】用AA表示兩名學(xué)生位置，BB表示兩名教師位置，CCC表示三名家長位置，然后先排兩名學(xué)生，然后再排教師，按教師的位置分類，最后將家長排入，主要是利用插空法解決問題．【解答】解：由題意，設(shè)AA表示兩名學(xué)生位置，BB表示兩名教師位置，CCC表示三名家長位置，第一步：先排學(xué)生有A22第二步：再排兩名教師，有①ABAB與BABA，②AABB與BBAA，③ABBA與BAAB三種情況，對(duì)于①，教師有2A22=4種排法，然后再將三名家長排入五個(gè)空中，共有對(duì)于②，教師有2A22=4種排法，然后家長先在A與A之間和B與對(duì)于③，教師有2A22=4綜上，共有A22故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合問題的基本思路以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（2020春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）由0，1，2，…，9這十個(gè)數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于8的個(gè)數(shù)為（）A．180 B．196 C．210 D．224【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題．【答案】C【分析】由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于8的情況有2種，即：①當(dāng)個(gè)位與百位數(shù)字為0，8時(shí)，②當(dāng)個(gè)位與百位為1，9時(shí)，分別表示出所有的情況，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用0到9十個(gè)數(shù)字中之差的絕對(duì)值等于8的情況有2種：0與8，1與9；分2種情況討論：①當(dāng)個(gè)位與百位數(shù)字為0，8時(shí)，有A8②當(dāng)個(gè)位與百位為1，9時(shí)，有A7共A82故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，本題解題的關(guān)鍵是看出兩個(gè)數(shù)字相差8時(shí)的所有情況，本題是一個(gè)易錯(cuò)題．二．填空題（共5小題）11．（2024?徐匯區(qū)模擬）將四棱錐S﹣ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有四種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為72．【考點(diǎn)】染色問題．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】72．【分析】首先給頂點(diǎn)S選色，有4種結(jié)果，再給A選色有3種結(jié)果，再給B選色有2種結(jié)果，最后分兩種情況即C與A同色與C與A不同色來討論，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理和分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)四棱錐為S﹣ABCD．下面分兩種情況即C與A同色與C與A不同色來討論，（1）S的著色方法種數(shù)為C41，A的著色方法種數(shù)為C31，C與A同色時(shí)C的著色方法種數(shù)為1，D的著色方法種數(shù)為C2（2）S的著色方法種數(shù)為C41，A的著色方法種數(shù)為C31，C與A不同色時(shí)C的著色方法種數(shù)為C11，D的著色方法種數(shù)為綜上兩類共有C41?C31?C21?C21故答案為：72．【點(diǎn)評(píng)】本題主要排列與組合及兩個(gè)基本原理，總體需分類，每類再分步，綜合利用兩個(gè)原理解決，屬中檔題．12．（2024春?河?xùn)|區(qū)校級(jí)月考）某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地．推選1名優(yōu)秀團(tuán)員為總負(fù)責(zé)人，有24種不同的選法．【考點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】24．【分析】利用分類加法計(jì)算原理即可得解．【解答】解：第一類是從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，有6種不同的選法；由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有N＝8+10+6＝24種不同的選法．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，是中檔題．13．（2024春?信陽期中）對(duì)于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（i1，i2，…，in）（n是不小于3的正整數(shù)），若對(duì)于任意的p，q∈{1，2.3，…，n}，當(dāng)p＜q時(shí)有ip＞iq，則稱ip與iq是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”，一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為此數(shù)組的“逆序數(shù)”．例如，數(shù)組（2，4，3，1）中有逆序“2與1”，“4與3”，“4與1”，“3與1”，所以整數(shù)數(shù)組（2，4，3，1）的“逆序數(shù)”等于4．若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數(shù)”是2，則（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序數(shù)”是13．【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；新定義．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數(shù)”是2，可用6個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)的所有組合數(shù)減去2得到所有可能的結(jié)果數(shù)【解答】解：根據(jù)題意，各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數(shù)”是2，從6個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)共有15種組合，∵（a1，a2，a3，a4，a5，a6）的“逆序數(shù)”是2，∴（a6，a5，a4，a3，a2，a1）的“逆序數(shù)”是所有組合數(shù)減去2，共有15﹣2＝13種結(jié)果，故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查一個(gè)新定義問題，解題的關(guān)鍵是讀懂題目條件中所給的條件，并且能夠利用條件來解決問題，本題是一個(gè)考查學(xué)生理解能力的題目，難點(diǎn)是理解“逆序”14．（2024春?嘉興期中）用1﹣9這九個(gè)正整數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字且任意相鄰的三個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)的九位數(shù)，這樣的九位數(shù)有1296個(gè)（用數(shù)學(xué)作答）．【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】1296．【分析】分析題意，列出每種情況，利用排列數(shù)知識(shí)求解即可．【解答】解：若任意相鄰的三個(gè)數(shù)字之和是3的倍數(shù)，因此第a個(gè)數(shù)與第3+a個(gè)數(shù)的余數(shù)也必然相同，故第一，四，七個(gè)數(shù)和第二，五，八個(gè)數(shù)，第三，六，九個(gè)數(shù)必為（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9），因此有A33故答案為：1296．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2023秋?九江期末）從集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3個(gè)元素分別作為直線方程Ax+By+C＝0中的A、B、C，所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有30條（用數(shù)值表示）【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】排列組合．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】先根據(jù)條件知道C＝0，再根據(jù)計(jì)算原理計(jì)算即可．【解答】解：若直線方程Ax+By+C＝0經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則C＝0，那么A，B任意取兩個(gè)即可，有A62故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線過原點(diǎn)的條件和計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．三．解答題（共5小題）16．（2023春?招遠(yuǎn)市校級(jí)期中）用0，1，2，3四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．（1）把這些自然數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)列，則1203是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？（2）求其中的四位數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)，并求所有這些奇數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字之和．【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）第34項(xiàng)；（2）8個(gè)，48．【分析】（1）利用分步乘法計(jì)數(shù)原理及分類加法計(jì)數(shù)原理討論1位自然數(shù)、2位自然數(shù)、3位自然數(shù)、4位自然數(shù)的情況即可．（2）利用分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．【解答】解：（1）一位的自然數(shù)有C41=4個(gè)，兩位的自然數(shù)有三位的自然數(shù)有C31C31C21=18個(gè)所以1203是這個(gè)數(shù)列的第4+9+18+2+1＝34項(xiàng)．（2）四位數(shù)為奇數(shù)的有兩種情況：1和3是個(gè)位數(shù)，當(dāng)1為個(gè)位數(shù)時(shí)，共有C21A22=4個(gè)，當(dāng)3為個(gè)位數(shù)時(shí)，共有C21這些奇數(shù)各位數(shù)位上的數(shù)字之和為8×（0+1+2+3）＝48．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．17．（2023春?萊西市期中）試分別解答下列兩個(gè)小題：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，記能組成的不同的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為M，能組成的0和l相鄰的不同的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為N，求M+N；（Ⅱ）在(2x2-13x)n的二項(xiàng)展開式中，記各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為E【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；分析法；排列組合；二項(xiàng)式定理；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）348；（Ⅱ）T1=C80【分析】（Ⅰ）直接利用分類法和排列組合知識(shí)求出M的值，再利用分類法和捆綁法及排列組合知識(shí)求出N的值，最后求出M+N的值；（Ⅱ）利用二項(xiàng)展開式和二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)求出n的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)和有理項(xiàng)的求法求出結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，記能組成的不同的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為M，分兩類：①0為尾數(shù)，故C53?A33=60，②2故M＝60+96＝156．能組成的0和l相鄰的不同的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為N，分兩類：①1和0為前兩位，故A4②1和0不為前兩位數(shù)，故C4故N＝24+192＝216，所以M+N＝348．（Ⅱ）在(2x2-13x)n各項(xiàng)的系數(shù)之和為G，當(dāng)x＝1時(shí)，G＝1，由于E＝G+255，整理得2n＝256＝28，解得n＝8．故(2x2-由于0≤r≤8，且r∈N+，當(dāng)r＝0，3，6時(shí)，展開式為有理項(xiàng)，即T1=C80【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：排列組合關(guān)系式，二項(xiàng)式定理和展開式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．18．（2021秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）用0，1，2，3，4這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)滿足下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字五位數(shù)？（1）偶數(shù)；（2）左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)；（3）比21034大的偶數(shù)．【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）60個(gè)，（2）8個(gè)，（3）39個(gè)．【分析】（1）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算．（2）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算．（3）先考慮特殊位置、特殊元素，再利用分類加法原理、分步乘法原理進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）末位是0，有A44末位是2或4，有C21故滿足條件的五位數(shù)共有24+36＝60個(gè)．（2）左起第二、四位從奇數(shù)1，3中取，有A2首位從2，4中取，有A21個(gè)：余下的排在剩下的兩位，有A故共有A22（3）可分五類，當(dāng)末位數(shù)是0，而首位數(shù)是2時(shí)，有A21當(dāng)末位數(shù)字是0，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有A21當(dāng)末位數(shù)字是2，而首位數(shù)字是3或4時(shí)，有A21當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是2時(shí)，有A22當(dāng)末位數(shù)字是4，而首位數(shù)字是3時(shí)，有A33故有(A2【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用以及排列知識(shí)的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2022春?嘉定區(qū)期末）（1）用1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)四位數(shù)？（2）用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？【考點(diǎn)】數(shù)字問題．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）625；（2）156個(gè)．【分析】（1）根據(jù)排列組合計(jì)算即可．（2）偶數(shù)先確定個(gè)位數(shù)字為0或2或4，再分三類討論，最后根據(jù)加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果．【解答】解：（1）用1、2、3、4、5可以組成54＝625（個(gè)）四位數(shù)，（2）滿足偶數(shù)按個(gè)位數(shù)字分成三類：個(gè)位是0或2或4，①個(gè)位是0的，即需要從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中選出3個(gè)分別放在千、百、十位，有C51②個(gè)位是2的，千位需要從1，3，4，5這4個(gè)數(shù)中選出1個(gè)有4種選法，從剩下的4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)分別放在百位、十位，有C41?C31=4×3=12個(gè)，所以個(gè)位是2③個(gè)位是4的，也有48個(gè)；綜上所述，用0，1，2，3，4，5可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有60+48+48＝156個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．20．（2022秋?浙江月考）（1）從集合{1，2，3，…，10}中，選出由5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，則這樣的子集共有多少個(gè)？（2）設(shè)集合A＝{1，2，3，?，13}，集合B是A的子集，且集合B任意兩數(shù)之差都不等于6或7．問：集合B中最多有多少個(gè)元素？說明理由．【考點(diǎn)】代數(shù)與函數(shù)中的計(jì)數(shù)問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）32；（2）6個(gè)，理由見解析．【分析】（1）先找出和為11的5組數(shù)，然后從這五組每組中各取一個(gè)數(shù)就符合題意，即可得出答案；（2）構(gòu)造A的差為6或7的13個(gè)子集，假設(shè)從A中取7個(gè)元素，由抽屜原理知其中必有2個(gè)元素屬于同一個(gè)子集，它們的差為6或7，不成立，再舉例說明B中可以有6個(gè)元素即可．【解答】解：（1）將和為11的數(shù)分組：（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6）共5組，只要從這五組每組中各取一個(gè)數(shù)就符合題意，每組有2種取法，故有25＝32個(gè)子集；（2）構(gòu)造A的下列13個(gè)子集：{1，7}，{2，8}，{3，9}，{4，10}，{5，11}，{6，12}，{7，13}，{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5，12}，{6，13}，A中每一個(gè)數(shù)恰好屬于2個(gè)子集，假設(shè)從A中取7個(gè)元素，由抽屜原理知其中必有2個(gè)元素屬于同一個(gè)子集，它們的差為6或7，因此，A中任意7個(gè)元素都不能同時(shí)屬于集合B，即B中最多只有6個(gè)元素，又B＝{1，2，3，4，5，6}中任意兩數(shù)之差不等于6或7，此時(shí)符合要求，∴集合B中最多有6個(gè)元素．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．分類加法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：完成一件事有兩類不同方案：在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類辦法中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m+n種不同的方法．2．推廣：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：（1）完成一件事的n類方案相互獨(dú)立；（2）同一類方案中的各種方法相對(duì)獨(dú)立．（3）用任何一類方案中的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；4．注意：與分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】如果完成一件事情有n類方案，且每一類方案中的任何一種方法均能獨(dú)立完成這件事，則可使用分類加法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分類；（2）對(duì)每一類方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分類加法計(jì)數(shù)原理求和；【命題方向】與實(shí)際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識(shí)成為能力型題目，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．例：某校開設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）A.30種B.35種C.42種D.48種分析：兩類課程中各至少選一門，包含兩種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2門；A類選修課選2門，B類選修課選1門，寫出組合數(shù)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．解答：可分以下2種情況：①A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C3②A類選修課選2門，B類選修課選1門，有C3∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知不同的選法共有C31C4故選A．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．本題也可以從排列的對(duì)立面來考慮，寫出所有的減去不合題意的，可以這樣解：C732．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的比較分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理共同點(diǎn)都是計(jì)數(shù)原理，即統(tǒng)計(jì)完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨(dú)立，且每類方案中的每種方法都能獨(dú)立完成這件事n個(gè)步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類加法計(jì)數(shù)原理；（2）如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點(diǎn)確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù)；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)；（4）作答．【命題方向】分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法．常見考題類型：（1）映射問題（2）涂色問題（①區(qū)域涂色②點(diǎn)的涂色③線段涂色④面的涂色）（3）排數(shù)問題（①允許有重復(fù)數(shù)字②不允許有重復(fù)數(shù)字）3．代數(shù)與函數(shù)中的計(jì)數(shù)問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣代數(shù)與函數(shù)中的計(jì)數(shù)問題通常涉及函數(shù)的不同組合情況、代數(shù)表達(dá)式的多種排列方法．例如：構(gòu)造滿足特定條件的多項(xiàng)式、確定多項(xiàng)式的根與系數(shù)的關(guān)系等．﹣在某些情況下，需要計(jì)算多項(xiàng)式在不同取值下可能的表達(dá)式數(shù)量，或者函數(shù)圖像的不同形態(tài)．【解題方法點(diǎn)撥】﹣通過分析每個(gè)代數(shù)項(xiàng)或函數(shù)的取值范圍，合理應(yīng)用加法和乘法計(jì)數(shù)原理．﹣當(dāng)涉及到多個(gè)變量時(shí)，首先固定部分變量，然后對(duì)其余變量進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后進(jìn)行組合．﹣在復(fù)雜情況下，可能需要引入分類討論或遞推關(guān)系來進(jìn)行處理．【命題方向】﹣常見的命題方向包括計(jì)算多項(xiàng)式的不同表達(dá)形式數(shù)量，確定滿足特定條件的函數(shù)或方程數(shù)量，或者對(duì)某些代數(shù)式的排列組合進(jìn)行分析．﹣可能涉及多項(xiàng)式的系數(shù)選擇、不同根的排列組合，以及函數(shù)圖像的變換等問題．4．?dāng)?shù)字問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣數(shù)字問題涉及數(shù)字的排