2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2025年4月）

第32頁(yè)（共32頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?昌黎縣校級(jí)模擬）已知△ABC的面積為63，A＝60°，AB＝3，B的內(nèi)角平分線交邊AC于點(diǎn)D，則ADA．125 B．72 C．285 2．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知四邊形ABCD滿(mǎn)足∠BAD+∠BCD＝π，且其外接圓半徑為52，四邊形ABCD的周長(zhǎng)記為L(zhǎng)，若△ABD的面積S=BD2A．10 B．15 C．105 D．3．（2025春?金華校級(jí)月考）已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=3，a→?b→=6A．2 B．32 C．3 D．4．（2025春?鹽城月考）已知點(diǎn)O為△ABC的外心，且向量AO→=λAB→+(1-λ)AC→，λ∈RA．32 B．55 C．2555．（2025春?鶴壁月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b（cosA﹣cosC）﹣（a+c）cosB＝0，且sinA=13，則cosA．23 B．223 C．296．（2025?昌黎縣校級(jí)模擬）已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=2，|b→|＝1，a→與b→的夾角為3π4A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．27．（2025春?順義區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(3，0)，B（1，2），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP→=λ1OA→+λ2OB→，其中λ1，λ2∈[1，A．3 B．23 C．33 D8．（2025春?重慶校級(jí)月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2024tanA+2024A．4049 B．4048 C．4047 D．4046二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?遼寧二模）在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝2，AB→?AD→=-1，E為CD的中點(diǎn)，AFA．cos∠DAB=-1C．|BF→|=2153（多選）10．（2025春?河南月考）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝2，且(3A．C=B．a(chǎn)的取值范圍為(1C．a(chǎn)+bcD．sin2A﹣cos2B的取值范圍為(（多選）11．（2025春?鶴壁月考）定義：m→⊙n→是與向量m→，n→在同一平面內(nèi)，且與m→+n→繞其起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°同向的向量，|m→?n→|＝|m→||n→|sin＜m→，n→＞（＜m→，n→A．|aB．(aC．|(aD．若(a→（多選）12．（2025春?天河區(qū)校級(jí)月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列命題為真命題的是（）A．若A＞B，則sinA＞sinB B．若sin2A+sin2B＞sin2C，則△ABC是銳角三角形 C．若acosA＝bcosB，則△ABC為等腰三角形 D．若a=8，c三．填空題（共4小題）13．（2025?浦東新區(qū)模擬）如圖，某建筑物OP垂直于地面，從地面點(diǎn)A處測(cè)得建筑物頂部P的仰角為30°，從地面點(diǎn)B處測(cè)得建筑物頂部P的仰角為45°，已知A、B相距100米，∠AOB＝60°，則該建筑物OP高度約為米．（保留一位小數(shù)）14．（2025春?沙坪壩區(qū)月考）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sin2B＝sin2A+sinAsinC，則tanAtanB的取值范圍為．15．（2025春?河南月考）已知在△ABC中，12CA→2+12CB→2+16．（2025?新疆模擬）在△ABC中，|BA→+BC→|=4，|AC→+四．解答題（共4小題）17．（2025?海南模擬）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且bcosC+（1）求B；（2）若b＝4，△ABC的面積為43，D為AC①求△ABC的周長(zhǎng)；②求BD的長(zhǎng)．18．（2025?寧波校級(jí)模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知c＝2，C=（1）若△ABC的面積等于3，求△ABC的周長(zhǎng)；（2）若sinB＝2sinA，求cos（B﹣A）．19．（2025春?云南月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，3b（1）求A；（2）若a=3，b=220．（2025春?秦皇島月考）記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asinB=（1）求A；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為20，a+b＝3c，求△ABC的面積．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案AAADDAAA二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案BCDACDABAD一．選擇題（共8小題）1．（2025?昌黎縣校級(jí)模擬）已知△ABC的面積為63，A＝60°，AB＝3，B的內(nèi)角平分線交邊AC于點(diǎn)D，則ADA．125 B．72 C．285 【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由三角形的面積公式求出AC，再由余弦定理求出BC，得到兩三角形的面積比S△ABDS【解答】解：因?yàn)椤鰽BC的面積為63，A＝60°，AB＝3S△ABC=12AB×ACsinA=12×3×AC×32由余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB×ACcos∠A＝9+64﹣2×3×8cos60°＝49，得BC＝7，因?yàn)锽D平分∠ABC，所以由角平分線的性質(zhì)可得ADCD即ADAC-AD=ABBC故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理及三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知四邊形ABCD滿(mǎn)足∠BAD+∠BCD＝π，且其外接圓半徑為52，四邊形ABCD的周長(zhǎng)記為L(zhǎng)，若△ABD的面積S=BD2A．10 B．15 C．105 D．【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用面積可求sinA，利用余弦定理結(jié)合不等式可求周長(zhǎng)最大時(shí)四邊形ABCD的面積．【解答】解：由題意，S=BD所以12由余弦定理得BD2＝AD2+AB2﹣2AD?ABcosA，代入上式可得12整理得sinA＝2（1﹣cosA），不妨設(shè)A∈(0，π2]，則由sin2A可得cosA=35或cosA＝1在△ABD中，由BDsinA=2×52，可得由BD2＝AD2+AB2﹣2AD?ABcosA，可得AD所以16=AD2+AB2當(dāng)且僅當(dāng)AD=又（AD+AB）2＝AD2+AB2+2AD?AB=16+16所以AD+同理可求CD+CB≤所以當(dāng)L取最大值時(shí)，四邊形ABCD的面積為S=故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，屬中檔題．3．（2025春?金華校級(jí)月考）已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=3，a→?b→=6A．2 B．32 C．3 D．【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】作OA→=a→，OB→=b→，由任意實(shí)數(shù)x都有|a→-【解答】解：已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=3，a由|a→|=3，a→?b→即OD＝2，DA＝1，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x都有|a→-xb由射影定理可得DB2＝OD?DA，所以DB=設(shè)OP→取OC→可得P在直線BC上，所以線段OP的最小值為O到直線BC的距離，當(dāng)OP⊥BC時(shí)，OP=故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．4．（2025春?鹽城月考）已知點(diǎn)O為△ABC的外心，且向量AO→=λAB→+(1-λ)AC→，λ∈RA．32 B．55 C．255【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；平面向量的投影向量．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)AO→=λAB→+(1-λ)AC→判斷出O【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)O為△ABC的外心，向量AO→=λAB變形可得：AO→-AC則CO→與CB→共線，所以O(shè)、B、因?yàn)辄c(diǎn)O為△ABC的外心，且O，B，C三點(diǎn)共線，所以BC為△ABC外接圓的直徑，那么∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．向量BA→在向量BC→上的投影向量為14變形可得：|BA→|又因?yàn)閏osB=|BA因?yàn)?＜B＜π2，則cosB＞0，故故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及投影向量的計(jì)算以及向量平行的判斷，屬于中檔題．5．（2025春?鶴壁月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b（cosA﹣cosC）﹣（a+c）cosB＝0，且sinA=13，則cosA．23 B．223 C．29【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用正弦定理與和、差角的正弦公式將題設(shè)等式化成sin（B﹣A）＝sinA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角范圍推得B＝2A，借助于倍角公式計(jì)算即得．【解答】解：b（cosA﹣cosC）﹣（a+c）cosB＝0，則由正弦定理可知，sinB（cosA﹣cosC）﹣（sinA+sinC）cosB＝0，整理得sin（B﹣A）﹣sin（B+C）＝0．因?yàn)閟in（B+C）＝sin（π﹣A）＝sinA，所以sin（B﹣A）＝sinA．又A，B∈（0，π），所以B﹣A＝A或B﹣A＝π﹣A，而由B﹣A＝π﹣A可得B＝π，顯然不成立，由B﹣A＝A可得B＝2A，此時(shí)cosB=故cosB=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角的幾何計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025?昌黎縣校級(jí)模擬）已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=2，|b→|＝1，a→與b→的夾角為3π4A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)a→?(【解答】解：已知向量a→，b→滿(mǎn)足|a→|=2，|b→|＝1，a又a→得a→所以a→所以(2即2+λ＝0，即λ＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．7．（2025春?順義區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(3，0)，B（1，2），動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP→=λ1OA→+λ2OB→，其中λ1，λ2∈[1，A．3 B．23 C．33 D【考點(diǎn)】平面向量的綜合題；平面向量數(shù)乘和線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】設(shè)P（x，y），則OP→=λ1OA→+λ2OB→=(3λ1【解答】解：設(shè)P（x，y），則OP→=λ1OA→+λ2OB→=（3λ1+λ2，2λ所以3λ1+由λ1，λ2∈[1，2]，λ1+λ2∈[3，4]，得1≤y2y＝4與2x﹣y﹣43=0，2x﹣y﹣23=0交于D（2+3，4），C（2+23y＝4與2x﹣y+3y﹣63=0交于E（1+23，則所有點(diǎn)P構(gòu)成圖形如圖所示（陰影部分），所以面積為S△DCE=12×|CD|×2=故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的綜合應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題．8．（2025春?重慶校級(jí)月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2024tanA+2024A．4049 B．4048 C．4047 D．4046【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得2024×sin2CsinAsinB=cosC，利用正余弦定理角化邊可得4049c【解答】解：在△ABC中，由2024tanA可得2024(cosA即2024×sin(B+A)sinAsinB=則2024×所以2024×由正弦定理，可得2024×即4048c2＝a2+b2﹣c2，所以4049c2＝a2+b2，故a2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?遼寧二模）在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝2，AB→?AD→=-1，E為CD的中點(diǎn)，AFA．cos∠DAB=-1C．|BF→|=2153【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】利用給定條件，利用向量的基底表示及數(shù)量積的運(yùn)算律逐項(xiàng)求解判斷．【解答】解：對(duì)于A，cos∠DAB=對(duì)于B，AF→=23AE對(duì)于C，|BF→|=對(duì)于D，AF=2則AF⊥BF，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題．（多選）10．（2025春?河南月考）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝2，且(3A．C=B．a(chǎn)的取值范圍為(1C．a(chǎn)+bcD．sin2A﹣cos2B的取值范圍為(【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】對(duì)A：轉(zhuǎn)化已知條件求得tan(A+B)=-3，結(jié)合tanC＝﹣tan（A+B），從而求得C；對(duì)B：利用正弦定理和角度關(guān)系，求得a關(guān)于A的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合A的范圍，求其值域即可；對(duì)C：利用余弦定理，求得a，b，c的齊次式，結(jié)合基本不等式，即可求解；對(duì)D：將sin2A﹣cos【解答】解：對(duì)A：(3tanA-整理可得：tanA+可得tan（A+B）=-在△ABC中，tan（a+B）＝﹣tanC，故tanC=又△ABC為銳角三角形，故C=π3對(duì)B：由A可知，C=π3，可得sinB＝sin（A+C）＝sin（由正弦定理asinA=bsinB，b＝則a=又A∈(0，π2)，故sin由△ABC為銳角三角形可得：0＜可得π6＜A故tanA∈則3tanA∈(0，3)，則a∈（1，對(duì)C：由余弦定理cosC=a2+b2-c22ab=1等式兩邊同除c2可得：(a+bc)當(dāng)且僅當(dāng)ac=bc，即a＝對(duì)D：sinA=故sin故sin2A﹣cos2B=14sin2B-14cos2B+34sin2B=-14cos2B+由B可知A∈(πsin(2B-也即sin2A﹣cos2B的取值范圍為(14，故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．（2025春?鶴壁月考）定義：m→⊙n→是與向量m→，n→在同一平面內(nèi)，且與m→+n→繞其起點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°同向的向量，|m→?n→|＝|m→||n→|sin＜m→，n→＞（＜m→，n→A．|aB．(aC．|(aD．若(a→【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解；新定義類(lèi)．【答案】AB【分析】根據(jù)|m→?n→【解答】解：定義：m→⊙n→是與向量m→，n→在同一平面內(nèi)，且與|m→?n→|＝|m→||n→|sin＜m→，n→＞（＜m→，n→＞為設(shè)a→，b→，對(duì)于A選項(xiàng)，由題意可知，|a→?b→|=|a對(duì)于B選項(xiàng)，由題意可知，(a→?對(duì)于C選項(xiàng)，取a→=(1，0)，b→=(0，由題意可知|a→?c→對(duì)于D選項(xiàng)，若(a→?則|a→?b→|=0或則(a→?b→)⊥(a故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量新定義的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）12．（2025春?天河區(qū)校級(jí)月考）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列命題為真命題的是（）A．若A＞B，則sinA＞sinB B．若sin2A+sin2B＞sin2C，則△ABC是銳角三角形 C．若acosA＝bcosB，則△ABC為等腰三角形 D．若a=8，c【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】AD【分析】根據(jù)正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，通過(guò)邊角轉(zhuǎn)化等一一判斷即可．【解答】解：對(duì)于A，當(dāng)A＞B時(shí)，a＞b，根據(jù)正弦定理得2RsinA＞2RsinB，整理得sinA＞sinB，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閟in2A+sin2B＞sin2C，由正弦定理得a2+b2＞c2，所以cosC=可得C為銳角，但因?yàn)锳，B中可能有鈍角，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，acosA＝bcosB，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以A＝B或A+所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由正弦定理得sinC=c?因?yàn)閏＞a，所以C＞A，A為銳角，所以存在滿(mǎn)足條件的△ABC有兩個(gè)，故D正確．故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形的相關(guān)知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?浦東新區(qū)模擬）如圖，某建筑物OP垂直于地面，從地面點(diǎn)A處測(cè)得建筑物頂部P的仰角為30°，從地面點(diǎn)B處測(cè)得建筑物頂部P的仰角為45°，已知A、B相距100米，∠AOB＝60°，則該建筑物OP高度約為66.4米．（保留一位小數(shù)）【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解．【答案】66.4．【分析】先在Rt△AOP和Rt△BOP中，根據(jù)仰角分別用建筑物高度OP表示出OA和OB，然后在△AOB中利用余弦定理建立關(guān)于OP的方程，最后求解方程得到OP的值．【解答】解：由題意可得，在Rt△AOP中，∠PAO＝30°，因?yàn)閠an∠PAO=在Rt△BOP中，∠PBO＝45°，因?yàn)閠an∠PBO=OPOB，且tan45°＝1在△AOB中，AB＝100米，∠AOB＝60°，根據(jù)余弦定理AB2＝OA2+OB2﹣2?OA?OB?cos∠AOB，1002=(可得OP則OP=故答案為：66.4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)定義，余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．14．（2025春?沙坪壩區(qū)月考）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sin2B＝sin2A+sinAsinC，則tanAtanB的取值范圍為（1，+∞）．【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1，+∞）．【分析】由正弦邊角關(guān)系得b2＝a（a+c），再由余弦定理、銳角三角形內(nèi)角性質(zhì)及二倍角余弦公式可得cosB＝cos2A，進(jìn)而有B＝2A，C＝π﹣3A，即可得π6＜A＜π4【解答】解：因?yàn)閟in2B＝sin2A+sinAsinC，由正弦定理可得b2＝a（a+c）＝a2+ac，由cosB=所以2acosB＝c﹣a，由cosA=因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以A，B∈(0，π2)，所以cos2所以cosB＝cos2A，則B＝2A，C＝π﹣3A，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，則0＜A＜設(shè)tanA＝t，則t∈則tanAtanB=故答案為：（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2025春?河南月考）已知在△ABC中，12CA→2+12CB→2+【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】13【分析】先把條件轉(zhuǎn)化成三角形的兩條中線的長(zhǎng)，再結(jié)合三角形面積的求法求最大值．【解答】解：已知在△ABC中，12CA→設(shè)△ABC邊BC，BA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接AE，CF，EF．由12CA→即4CF→2由|AB→+AC→所以當(dāng)AE⊥CF時(shí)，四邊形ACEF的面積最大，為12此時(shí)△ABC的面積也最大．因?yàn)椤鰾EF～△BCA，且BEBC所以S△BEFS所以S△故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．16．（2025?新疆模擬）在△ABC中，|BA→+BC→|=4，|AC→+【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】43【分析】先把向量轉(zhuǎn)化成三角形的有關(guān)性質(zhì)，再求三角形面積的最大值．【解答】解：如圖：取BC、AC的中點(diǎn)E、D，連接BD、AE，交于點(diǎn)G．則BA→+BC因?yàn)閨BA→+BC→|=4，|AC→+又G為△ABC的重心，所以GAGE設(shè)四邊形ABED的面積為S，則S△ABC-設(shè)∠AGB＝θ，則S=12?AE?BD?sinθ此時(shí)△ABC的面積也取得最大值43故答案為：43【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算及三角形的面積計(jì)算，考查了轉(zhuǎn)化思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2025?海南模擬）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且bcosC+（1）求B；（2）若b＝4，△ABC的面積為43，D為AC①求△ABC的周長(zhǎng)；②求BD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）結(jié)合正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理以及兩角和與差的正弦公式，可求角B；（2）①先根據(jù)三角形的面積公式及余弦定理求得a＝c＝4，可得△ABC為等邊三角形，進(jìn)而求得周長(zhǎng)；②根據(jù)余弦定理求BD．【解答】解：（1）由bcosC+根據(jù)正弦定理得，sinBcosC+則sinBcosC+則sinBcosC+則3sinBsinC因?yàn)镃∈（0，π），所以sinC≠0，則3sinB-cosB即sin(B-π6)=12則B-π6（2）①因?yàn)镾△ABC=12由余弦定理：b2＝a2+c2﹣2accosB，則16＝a2+c2﹣ac，即a2+c2＝32，所以a＝c＝4，即△ABC為等邊三角形，則△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝12；②由AC→=3AD在△ABD中，由余弦定理得，BD所以BD=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2025?寧波校級(jí)模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知c＝2，C=（1）若△ABC的面積等于3，求△ABC的周長(zhǎng)；（2）若sinB＝2sinA，求cos（B﹣A）．【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）6；（2）12【分析】（1）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式求得a+b，結(jié)合已知條件即可求得三角形周長(zhǎng)；（2）根據(jù)已知條件求得b＝2a，結(jié)合余弦定理求得a，b，再根據(jù)正弦定理求得A，進(jìn)而解得B，再求cos（B﹣A）即可．【解答】解：（1）c＝2，C=由余弦定理得：cosC=a整理得：a2+b2﹣ab＝4，又因?yàn)椤鰽BC的面積等于3，所以12absinC=3，得則（a+b）2﹣3×4＝4，解得a+b＝﹣4（舍去）或a+b＝4，所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝4+2＝6；（2）因?yàn)閟inB＝2sinA，由正弦定理得：b＝2a，聯(lián)立方程組a2+b2-ab=4解得a=-2則b=由正弦定理可得asinA=c又因?yàn)閍＜c，所以A＜C，即A∈(0，π3cos（B﹣A）=cos【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2025春?云南月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，3b（1）求A；（2）若a=3，b=2【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）π3（2）33【分析】（1）運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化，結(jié)合和角公式化簡(jiǎn)，得到tanA=（2）運(yùn)用正弦定理得到b＝2sinB，結(jié)合條件求出B=【解答】解：（1）因?yàn)?b所以由正弦定理得：3sinB因?yàn)锳+B+C＝π，所以sinB＝sin（A+C），所以3sin所以3(即3sinAcosC所以3cosAsinC因?yàn)镃∈（0，π），所以sinC≠0，所以3cosA=sinA又因?yàn)锳∈（0，π），所以A=（2）因?yàn)閍=3，所以由正弦定理asinA=bsinB，可得3sinπ3=又因?yàn)閎=23cosB，所以2因?yàn)锽∈（0，π），所以B=π3所以△ABC是等邊三角形，則a=所以S△【點(diǎn)評(píng)】本題考查正、余弦定理和三角形的面積公式，三角恒等變換知識(shí)的應(yīng)用，屬于中檔題．20．（2025春?秦皇島月考）記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asinB=（1）求A；（2）若△ABC的周長(zhǎng)為20，a+b＝3c，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】解三角形．【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】（1）π3（2）103【分析】（1）利用正弦定理將邊化為角，再結(jié)合三角函數(shù)公式求出角A；（2）先根據(jù)已知條件求出三邊長(zhǎng)度，再利用余弦定理求出bc的值，最后根據(jù)三角形面積公式求出面積．【解答】解：（1）因?yàn)閍sinB=bcosA因?yàn)?＜B＜π，所以sinB≠0，所以sinA=所以2sin因?yàn)?＜A＜π，所以0＜A2所以2sinA2=1，即sinA（2）因?yàn)閍+b+c＝20，且a+b＝3c，所以c＝5，a+b＝3×5＝15．由余弦定理得：a2＝b2+25﹣5bc，又因?yàn)閍＝15﹣b，c＝5，所以（15﹣b）2＝b2+25﹣5b，即25b＝200，解得b＝8．則a＝15﹣8＝7，所以bc＝8×5＝40．所以S△【點(diǎn)評(píng)】本題參考正、余弦定理和三角形面積公式，三角恒等變換知識(shí)的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類(lèi)比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類(lèi)比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類(lèi)比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類(lèi)比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類(lèi)比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類(lèi)比得到a→?c解：∵向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律，∴“mn＝nm”類(lèi)比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿(mǎn)足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類(lèi)比得到“c→≠0，即③錯(cuò)誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類(lèi)比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類(lèi)比得到“（a→?b即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消元律，∴acbc=ab即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律，由“mn＝nm”類(lèi)比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿(mǎn)足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類(lèi)比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類(lèi)比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|?【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來(lái)說(shuō)也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．2．平面向量的投影向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】投影向量是指一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影．投影向量可以用來(lái)求兩個(gè)向量之間的夾角，也可以用來(lái)求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的分解．設(shè)a→，b→是兩個(gè)非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過(guò)AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱(chēng)上述變換為向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解題方法點(diǎn)撥】投影，是一個(gè)動(dòng)作．投影向量，是一個(gè)向量．我們把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量為|a→|e→cosθ（其中e→為與b→（2）注意：a→在b→方向上的投影向量與b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命題方向】（1）向量分解：將一個(gè)向量分解成與另一個(gè)向量垂直和平行的兩個(gè)部分．（2）向量夾角計(jì)算：通過(guò)求兩個(gè)向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問(wèn)題：求點(diǎn)到平面的距離．3．平面向量數(shù)乘和線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣數(shù)乘：對(duì)向量a→=(a1，﹣線性運(yùn)算：包括向量加法、減法和數(shù)乘等運(yùn)算，可以應(yīng)用于各種問(wèn)題的求解．【解題方法點(diǎn)撥】﹣數(shù)乘計(jì)算：將向量的每個(gè)分量乘以標(biāo)量k，得到數(shù)乘結(jié)果．﹣線性運(yùn)算應(yīng)用：在計(jì)算問(wèn)題中應(yīng)用線性運(yùn)算規(guī)則，如向量的縮放和組合問(wèn)題．【命題方向】﹣向量運(yùn)算的應(yīng)用：考查如何使用數(shù)乘和線性運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題，如圖形變換等．﹣線性運(yùn)算技巧：掌握數(shù)乘和線性運(yùn)算的技巧，提高計(jì)算效率．已知平面向量a→，b→，a→=（1，2），b→=（0，1），求解：a→∴|a4．平面向量的綜合題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．2、相關(guān)概念（1）向量的模：AB→的大小，也就是AB→的長(zhǎng)度（或稱(chēng)模），記作|AB（2）零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長(zhǎng)度為0（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．3、向量的加減運(yùn)算求幾個(gè)向量和的運(yùn)算叫向量的加法運(yùn)算，其運(yùn)算法則有二：（1）三角形法則：設(shè)a→與b→不共線，在平面上任取一點(diǎn)A（如圖1），依次作AB→=a，BC→=b，則向量叫做a特征：首尾相接的幾個(gè)有向線段相加，其和向量等于從首向量的起點(diǎn)指向末向量的終點(diǎn)．（2）平行四邊形法則：如圖2所示，ABCD為平行四邊形，由于AD→=BC→，根據(jù)三角形法則得AB→+AD特征：有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量相加，其和向量等于以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線．（首尾相接，結(jié)果為首尾）（3）向量的加法性質(zhì)①a→+0→=0→②a→③（a→+b→）向量的減法運(yùn)算．求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫向量的減法運(yùn)算．法則：以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為a→與b→的差，即a→設(shè)a→=OA→，b特征；有共同起點(diǎn)的兩個(gè)向量a→、b→，其差a→-b→仍然是一個(gè)向量，叫做a→與b5．三角形中的幾何計(jì)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、幾何中的長(zhǎng)度計(jì)算：（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判斷三角形的形狀；③實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個(gè)角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．2、與面積有關(guān)的問(wèn)題：（1）三角形常用面積公式①S=12a?ha（ha表示邊②S=12absinC=12acsinB=③S=12r（a+b+c）（（