2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之?dāng)?shù)列（2025年4月）

第37頁(yè)（共37頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之?dāng)?shù)列（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1＝1，已知函數(shù)f(x)=xA．120 B．125 C．57 D．2472．（2025?重慶校級(jí)模擬）已知函數(shù)f(x)=x2-x2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝f（an+1），aA．23 B．12 C．20 D．453．（2025?臨潼區(qū)二模）函數(shù)f(x)=x-1x(x≠0)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線．在數(shù)列{cn}中，c1＝1，1cn=f（n）（n∈N，n≥2），記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)積為Tn，數(shù)列{Tn}A．[53，2) B．(1，53]4．（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{bn}滿足b1＝2，bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），設(shè)數(shù)列{1bn}的前n項(xiàng)和為TnA．910 B．1011 C．1112 5．（2025?道里區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)f(x)=32sinxcosx-12sin2x+14，記方程f(x)=16在x∈[π6，19π8A．29π3 B．32π3 C．346．（2025?平谷區(qū)一模）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，記Tn＝a1a2…an（n＝1，A．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng) C．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)7．（2025春?上海校級(jí)月考）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S5＝S13，則當(dāng)Sn取到最大值時(shí)，n＝（）A．9 B．9或10 C．10 D．10或118．（2025?開福區(qū)校級(jí)模擬）在數(shù)列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈NA．a(chǎn)nB．TnC．a(chǎn)nD．8Tn＝10an﹣3二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?昌黎縣校級(jí)模擬）某同學(xué)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)定：若擲得數(shù)字不大于4，則加1分；若擲得數(shù)字大于4，則加2分．每次投擲互不影響，記某同學(xué)一共得n分的概率為pn，則（）A．p2B．p3C．3pD．p（多選）10．（2025?臨汾二模）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)3＝9 B．{an}是單調(diào)遞增數(shù)列 C．若Tn為數(shù)列{an(n+1)3n}D．若對(duì)任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，則﹣3≤λ≤1（多選）11．（2025春?廣東月考）已知數(shù)列{an}滿足an+2+an≥2an+1，數(shù)列{bn}滿足bn=ean，Tn為數(shù)列{bn}A．b8B．bn+k+1?bn﹣k﹣1＜bn+k?bn﹣k，1≤k＜n C．若T100＝1，則b50b51≤1 D．若a1＝1，a2025＝2025，則a8的最大值為12（多選）12．（2025?信陽(yáng)模擬）對(duì)于給定數(shù)列{cn}，如果存在常數(shù)p，q使得cn+1＝pcn+q對(duì)于任意n∈N*都成立，我們稱數(shù)列{cn}是“H數(shù)列”．下列說法正確的有（）A．若an＝2n+1，n∈N*，則數(shù)列{an}是“H數(shù)列” B．若bn=3?2n-1，n∈N*，則數(shù)列{bC．若數(shù)列{an}是“H數(shù)列”，則數(shù)列{an+an+1}不是“H數(shù)列” D．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+an+1=3t?2n(n∈N+)，t三．填空題（共4小題）13．（2025?浦東新區(qū)模擬）已知數(shù)列{an}，a1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），并且前n項(xiàng)的和Sn滿足：①存在小于1013的正整數(shù)t，使得S2t+1＝﹣1；②對(duì)任意的正整數(shù)k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1．則滿足以上條件的數(shù)列{Sn}（1≤n≤2025）共有個(gè)．14．（2025春?安徽月考）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}為遞增數(shù)列，a1＝a，則a的取值范圍是．15．（2025春?禪城區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1=an+1，n為奇數(shù)an+2，n為偶數(shù)，則a5＝；數(shù)列{（﹣1）n﹣1an16．（2025春?雙流區(qū)月考）在數(shù)列{an}中，a1＝1且anan+1＝n，當(dāng)n≥20時(shí)，1a2+1a3+?+1a四．解答題（共4小題）17．（2025?江西模擬）設(shè){xn}和{yn}是整數(shù)數(shù)列，若對(duì)于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我們就稱數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列．（1）若數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列，且?n∈N*，都有xn＝y(tǒng)n，且x1＝x2＝1，求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列，證明：(x（3）若數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列，探究是否存在實(shí)數(shù)c，使得對(duì)于某個(gè)m∈N*，從x1，x2，?，xm中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是c的概率大于49%，并說明理由．18．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）記Sn是公差大于0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，且a3，a5+1，a13﹣1成等比數(shù)列．（1）求an和Sn．（2）若bnSn=12，證明：數(shù)列{bn}的前n19．（2025春?南海區(qū)校級(jí)月考）數(shù)列{an}、{bn}滿足：a2＝1，an+1=an+2(n∈N*)，3（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Tn．20．（2025?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+an+2．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{2an4+1

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之?dāng)?shù)列（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案ADABCCAD二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ACDABCACAB一．選擇題（共8小題）1．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a1＝1，已知函數(shù)f(x)=xA．120 B．125 C．57 D．247【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】利用給定條件分析得到x2+an+1x+(an+12)2=0有且僅有一個(gè)根，再利用判別式得到【解答】解：因?yàn)閒(所以f(x)=x[x2因?yàn)楹瘮?shù)f(則方程x2得到Δ=即an而{an}是正項(xiàng)數(shù)列，得到an則an+1+1＝2an+2＝2（an+1），又a1+1＝1+1＝2≠0，得到an令bn＝an+1，a1＝1，且b1＝a1+1＝2，得到{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則bn=2×2n-故Sn得到S6故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列與函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2025?重慶校級(jí)模擬）已知函數(shù)f(x)=x2-x2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝f（an+1），aA．23 B．12 C．20 D．45【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列的函數(shù)特性．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】D【分析】先得到a1=a22-a22及遞推公式(a【解答】解；根據(jù)題目已知：函數(shù)f(x)=x2-x2．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝f（an由題意可知：Sn當(dāng)n＝1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，Sn兩式相減可得：an=a所以an+1＝﹣an，或an當(dāng)a2，?，a20是公差為12的等差數(shù)列，且a21＝﹣a20時(shí)，a2最小，a1此時(shí)a2＝a21＝﹣a20＝﹣a2﹣9，解得a2=-9當(dāng)a3＝﹣a2且a3，?，a21是公差為12的等差數(shù)列時(shí)，a2最大，a1此時(shí)a21＝a3+9＝﹣a2+9＝a2，解得a2=92，此時(shí)a綜上所述：a1的最大值為452故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，屬于中等題．3．（2025?臨潼區(qū)二模）函數(shù)f(x)=x-1x(x≠0)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線．在數(shù)列{cn}中，c1＝1，1cn=f（n）（n∈N，n≥2），記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)積為Tn，數(shù)列{Tn}A．[53，2) B．(1，53]【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得cn=n(n+1)(n【解答】解：∵1cn=f(n)=Tn=n∴Sn∵Tn＞0，∴{Sn}為遞增數(shù)列，∵S2∴當(dāng)n≥2時(shí)，53故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2025春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{bn}滿足b1＝2，bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），設(shè)數(shù)列{1bn}的前n項(xiàng)和為TnA．910 B．1011 C．1112 【考點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法；數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)bn﹣bn﹣1＝2n（n≥2），且b1＝2，利用累加法求得bn=n2+【解答】解：因?yàn)閎n﹣bn﹣1＝2n（n≥2），且b1＝2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，bn因?yàn)閎1＝2，也滿足bn所以bn因?yàn)?b所以T10故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查累加法以及裂項(xiàng)相消法的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．5．（2025?道里區(qū)校級(jí)二模）已知函數(shù)f(x)=32sinxcosx-12sin2x+14，記方程f(x)=16在x∈[π6，19π8A．29π3 B．32π3 C．34【考點(diǎn)】數(shù)列與三角函數(shù)的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由題意得到sin(2x+π6)=13，設(shè)θ=2【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(所以f(又方程f(即sin(2因?yàn)閤∈[π設(shè)θ=2x+π6可得方程sinθ=13在θ∈[π2其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，即2x1+π6+2x解得x1+x2=4π所以x1+2x2+2x3+2x4+x5=4故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．6．（2025?平谷區(qū)一模）在等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，記Tn＝a1a2…an（n＝1，A．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng) C．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an=(-1)n?8?32-n，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得Tn=(-1)n(n+1)2×【解答】解：等比數(shù)列{an}中，a1+a2＝﹣16，a2+a3=163，Tn＝a1a2…an設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），由a1則a1+a1q=-16a1則an則T=(-1)設(shè)bn=8∴bn則n≤2時(shí)，bn+1bn＞1，即b當(dāng)n≥3時(shí)，bn+1bn＜1，即b則b1＜b2＜b3＞b4＞b5＞?，則b3為最大項(xiàng)，此時(shí)T3為正數(shù)項(xiàng)，且在正數(shù)項(xiàng)中最大；再比較b2和b4，其中一個(gè)為第二大的項(xiàng)，由于T4＞0，T2＜0，∴T2為最小項(xiàng)．綜上，數(shù)列{Tn}有最大項(xiàng)和最小值，T3為最大項(xiàng)，T2為最小項(xiàng)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7．（2025春?上海校級(jí)月考）已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和Sn滿足S5＝S13，則當(dāng)Sn取到最大值時(shí)，n＝（）A．9 B．9或10 C．10 D．10或11【考點(diǎn)】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求解數(shù)列．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】先推出a9+a10＝0，再利用Sn﹣Sn﹣1＝an的正負(fù)性得到答案．【解答】解：等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為正數(shù)，S5＝S13，由于a1＞0，S5＝S13，故0＝S13﹣S5＝a6+a7+...+a13＝4（a9+a10），即0＝a9+a10＝2a1+17d＞17d，得d＜0．這表明當(dāng)n≤9時(shí)，有an當(dāng)n≥10時(shí)，有an所以對(duì)2≤n≤9有Sn﹣Sn﹣1＝an＞0，對(duì)n≥10有Sn﹣Sn﹣1＝an＜0，這就意味著Sn在n＝9時(shí)最大．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（2025?開福區(qū)校級(jí)模擬）在數(shù)列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈A．a(chǎn)nB．TnC．a(chǎn)nD．8Tn＝10an﹣3【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】利用遞推關(guān)系式構(gòu)造出等差數(shù)列，可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和，根據(jù)所求可對(duì)各選項(xiàng)做出判斷．【解答】解：由在數(shù)列{an}中，a1＝4，an+1=5an+2×5n，n∈等式兩邊同時(shí)除以5n+1，可得an設(shè)bn=a所以，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為45，公差為2由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn=45+對(duì)于C，an+1a所以，Tn則5T兩式相減可得-4Tn所以Tn=(1對(duì)于D，8Tn=(4則8Tn≠10an﹣3．故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?昌黎縣校級(jí)模擬）某同學(xué)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，規(guī)定：若擲得數(shù)字不大于4，則加1分；若擲得數(shù)字大于4，則加2分．每次投擲互不影響，記某同學(xué)一共得n分的概率為pn，則（）A．p2B．p3C．3pD．p【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率．【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】ACD【分析】由獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件加法公式可判斷AB，由題意得到pn+2=【解答】解：根據(jù)題目：規(guī)定：若擲得數(shù)字不大于4，則加1分；若擲得數(shù)字大于4，則加2分．每次投擲互不影響，記某同學(xué)一共得n分的概率為pn，擲得數(shù)字不大于4的概率為23，大于4的概率為13，所以p2p3=(因?yàn)閜n+2=23pn+1+13pn，所以3p由3pn+2＝2pn+1+pn，得3（pn+2﹣pn+1）＝﹣（pn+1﹣pn），所以pn+1-所以pn所以p2m＞34所以D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）10．（2025?臨汾二模）已知數(shù)列{an}滿足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，則下列說法正確的是（）A．a(chǎn)3＝9 B．{an}是單調(diào)遞增數(shù)列 C．若Tn為數(shù)列{an(n+1)3n}D．若對(duì)任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，則﹣3≤λ≤1【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列求和的其他方法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)累乘法可得an=3nn，即可判斷A，根據(jù)an+1an＞1【解答】解：由數(shù)列{an}滿足：a1＝3，3nan＝（n+1）an+1，可得an+1an=3nn+1上面各式相乘可得ana1=3上式對(duì)n＝1也成立，故a3=3由于an+1an=3nn+1=1+2n-1nan故Tn=(1-1由（﹣1）nλan≤an+1可定(-當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則λ≤3(1-1n+1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則-λ≤3(1-1n故對(duì)任意n∈N*，都有（﹣1）nλan≤an+1，則-32≤故選：ABC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，以及不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．（多選）11．（2025春?廣東月考）已知數(shù)列{an}滿足an+2+an≥2an+1，數(shù)列{bn}滿足bn=ean，Tn為數(shù)列{bn}A．b8B．bn+k+1?bn﹣k﹣1＜bn+k?bn﹣k，1≤k＜n C．若T100＝1，則b50b51≤1 D．若a1＝1，a2025＝2025，則a8的最大值為12【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】先根據(jù)條件得到bn+2bn+1≥bn+1bn≥bnbn-1≥bn-1bn-2≥?≥b2b1，A選項(xiàng)，方法1：利用累乘法得到b8b4≥b5b1；方法2：先得到b8b1≥b4b5，故b8b4≥b5b1；B選項(xiàng)，得到bn-k【解答】解：數(shù)列{an}滿足an+2+an≥2an+1，數(shù)列{bn}滿足bn=ean，Tn為數(shù)列{bn}可得bn＞0，得bn因?yàn)閍n+2+an≥2an+1，所以an+2﹣an+1≥an+1﹣an，所以ean+2依次類推，得到bn對(duì)于選項(xiàng)A：b8b7≥b5b對(duì)于選項(xiàng)B：由于bn+1b整理得bn+k+1?bn﹣k﹣1≥bn+k?bn﹣k，1≤k＜n，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C：由于bn+k+1?bn﹣k﹣1≥bn+k?bn﹣k，1≤k＜n，則b50?b51≤b49?b52≤b48?b53≤?≤b1?b100，則(b50?b51)50≤b1對(duì)于選項(xiàng)D：由2an+1≤an+an+2，則an+2﹣an+1≥an+1﹣an，a2025﹣a2024≥a9﹣a8，a2024﹣a2023≥a9﹣a8，a2023﹣a2022≥a9﹣a8，…，a9﹣a8≥a9﹣a8，將以上式子累加得：a2025﹣a8≥2017（a9﹣a8），①另外，a9﹣a8≥a8﹣a7，a9﹣a8≥a7﹣a6，…，a9﹣a8≥a2﹣a1，將以上式子累加得：7（a9﹣a8）≥a8﹣a1，②結(jié)合①②式得：a2025-a82017≥顯然an＝n符合題意，此時(shí)a8＝8，綜上所述，a8的最大值為8，故D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和不等式的性質(zhì)、數(shù)列的累加法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．（多選）12．（2025?信陽(yáng)模擬）對(duì)于給定數(shù)列{cn}，如果存在常數(shù)p，q使得cn+1＝pcn+q對(duì)于任意n∈N*都成立，我們稱數(shù)列{cn}是“H數(shù)列”．下列說法正確的有（）A．若an＝2n+1，n∈N*，則數(shù)列{an}是“H數(shù)列” B．若bn=3?2n-1，n∈N*，則數(shù)列{bC．若數(shù)列{an}是“H數(shù)列”，則數(shù)列{an+an+1}不是“H數(shù)列” D．若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an+an+1=3t?2n(n∈N+)，t【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；新定義類．【答案】AB【分析】對(duì)于AB，根據(jù)給定的數(shù)列，利用“H數(shù)列”的定義直接計(jì)算判斷即可；對(duì)于C，利用“H數(shù)列”的定義推理論證可判斷；對(duì)于D，根據(jù)給定的遞推關(guān)系，利用并項(xiàng)求和法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解即可判斷．【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)閍n＝2n+1，所以an+1＝2（n+1）+1＝2n+3＝2n+1+2＝an+2，n∈N*，由“H數(shù)列”的定義知，數(shù)列{an}是“H數(shù)列”，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閎n=3?2所以bn+1＝2bn，n∈N*，由“H數(shù)列”的定義知，數(shù)列{bn}是“H數(shù)列”，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閿?shù)列{an}是“H數(shù)列”，所以存在實(shí)常數(shù)p，q使得an+1＝pan+q對(duì)于任意n∈N*都成立，顯然an+2＝pan+1+q對(duì)于任意n∈N*都成立，所以an+2+an+1＝p（an+1+an）+2q對(duì)于任意n∈N*都成立，由“H數(shù)列”的定義知，數(shù)列數(shù)列{an+an+1}也是“H數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為p，2q，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)閍n所以a1+a2=3所以數(shù)列{an}前2024項(xiàng)的和為S2024＝（a1+a2）+（a3+a4）+?+（a2023+a2024）=3t?2故選：AB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列新定義的應(yīng)用，涉及并項(xiàng)求和法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?浦東新區(qū)模擬）已知數(shù)列{an}，a1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），并且前n項(xiàng)的和Sn滿足：①存在小于1013的正整數(shù)t，使得S2t+1＝﹣1；②對(duì)任意的正整數(shù)k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1．則滿足以上條件的數(shù)列{Sn}（1≤n≤2025）共有21012﹣1個(gè)．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】21012﹣1．【分析】根據(jù)Sn的奇偶性結(jié)合S2t+1＝﹣1，S1＝1分析可知S2m＝0，進(jìn)而可得a2＝﹣1，a2k+1【解答】解：因?yàn)閍1＝1，an∈{1，﹣1}，（n≥2），可知Sn的奇偶性與n的奇偶性一致，對(duì)于①，存在小于1013的正整數(shù)t，使得S2t+1＝﹣1，對(duì)于②，對(duì)任意的正整數(shù)k和m，都有|S2m﹣S2k﹣1|≤1，可知|S2m﹣S2k﹣1|為奇數(shù)，即|S2m﹣S2k﹣1|＝1，令k＝t+1，則|S2m﹣S2t+1|＝|S2m+1|＝1，可得S2m＝0或S2m＝﹣2；令k＝1，則|S2m﹣S1|＝|S2m﹣1|＝1，可得S2m＝0或S2m＝2，綜上所述：對(duì)任意的正整數(shù)m，S2m＝0且a1＝1，可得a2＝﹣1，a2即a1，a2確定，a2k+1，a2k+2不相等，有2種可能，此時(shí)S2n＝0，S2n﹣1＝±1，條件②滿足，對(duì)于數(shù)列{Sn}（1≤n≤2025）可知：（a3，a4），（a5，a6），?，（a2023，a2024），a2025均有2種可能，則滿足條件的數(shù)列共有22024-22又因?yàn)榇嬖谛∮?013的正整數(shù)t，使得S2t+1＝﹣1，可知對(duì)任意k∈N*，k≤1012，a2k+1＝1不成立，即a3＝a5＝?＝a2025＝1這種情況不符合題意，綜上所述：符合題意的數(shù)列共有21012﹣1個(gè)．故答案為：21012﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，屬于難題．14．（2025春?安徽月考）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}為遞增數(shù)列，a1＝a，則a的取值范圍是（0，1）．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（0，1）．【分析】當(dāng)n＝1時(shí)，求得a2＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，由Sn＝anan+1可得Sn﹣1＝anan﹣1，作差推導(dǎo)出數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成以1為公差的等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得出a1＜a2＜a3，即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和是Sn，且Sn＝anan+1（n＝1，2，…）．若{an}為遞增數(shù)列，a1＝a，可知對(duì)任意的n∈N*，an≠0，且a≠0，當(dāng)n＝1時(shí)，則有S1＝a1＝a1a2，解得a2＝1，當(dāng)n≥2且n∈N*時(shí)，由Sn＝anan+1可得Sn﹣1＝anan﹣1，這兩個(gè)等式作差可得an＝an（an+1﹣an﹣1），可得an+1﹣an﹣1＝1，所以，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成以1為公差的等差數(shù)列，且a3＝a1+1＝a+1，因?yàn)閿?shù)列{an}為遞增數(shù)列，只需a1＜a2＜a3即可，即a＜1a+1＞1，解得因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）．故答案為：（0，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義，以及數(shù)列的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．（2025春?禪城區(qū)校級(jí)月考）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1=an+1，n為奇數(shù)an+2，n為偶數(shù)，則a5＝6；數(shù)列{（﹣1）n﹣1an}【考點(diǎn)】數(shù)列求和的其他方法；數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】6；2n．【分析】由數(shù)列的遞推式計(jì)算a2，a3，a4，a5；由數(shù)列的并項(xiàng)求和，計(jì)算可得所求和．【解答】解：由a1＝0，an+1=a可得a2＝a1+1＝1，a3＝a2+2＝3，a4＝a3+1＝4，a5＝a4+2＝6；數(shù)列{（﹣1）n﹣1an}的前2n+1項(xiàng)和為a1﹣a2+a3﹣a4+...+a2n﹣1﹣a2n+a2n+1＝0+2+2+...+2＝2n．故答案為：6；2n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025春?雙流區(qū)月考）在數(shù)列{an}中，a1＝1且anan+1＝n，當(dāng)n≥20時(shí)，1a2+1a3+?+1a【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（﹣∞，1]．【分析】由數(shù)列的遞推式可得1an=an+1-a【解答】解：因?yàn)閍nan+1＝n，a1＝1，所以a2＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣1an＝n﹣1，所以anan+1﹣an﹣1an＝1，所以1a所以1a2+1a3+1a4+...+1an=a3﹣a1+a4﹣a2+a5﹣a3+...+an+1﹣an﹣1＝an+an+1﹣因?yàn)?a2+1a3+1a4+...當(dāng)n≥20時(shí)，1a所以2λ≤2，解得λ≤1．所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（﹣∞，1]．故答案為：（﹣∞，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2025?江西模擬）設(shè){xn}和{yn}是整數(shù)數(shù)列，若對(duì)于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我們就稱數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列．（1）若數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列，且?n∈N*，都有xn＝y(tǒng)n，且x1＝x2＝1，求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列，證明：(x（3）若數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列，探究是否存在實(shí)數(shù)c，使得對(duì)于某個(gè)m∈N*，從x1，x2，?，xm中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是c的概率大于49%，并說明理由．【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；整體思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】（1）xn＝1；（2）證明見解析；（3）存在，理由見解析．【分析】（1）利用給定條件化簡(jiǎn)得到xn＝xn﹣1或xn＝xn﹣2，再結(jié)合x1＝x2＝1求解通項(xiàng)公式即可．（2）利用給定定義對(duì)(x（3）利用給定定義得到x1到x10001t中至少有10001t-t2+1=5000t【解答】解：（1）根據(jù)題目定義：設(shè){xn}和{yn}是整數(shù)數(shù)列，若對(duì)于任意n≥3，都有（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）．（yn﹣yn﹣2）＝0，我們就稱數(shù)列{xn}和{yn}為一組耦合數(shù)列．因?yàn)?n∈N*，xn＝y(tǒng)n，所以（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）（yn﹣yn﹣2）＝2（xn﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）＝0，即xn＝xn﹣1或xn＝xn﹣2.又x1＝x2＝1，且?n∈N*，故xn＝1，即{xn}的通項(xiàng)公式為xn＝1．（2）證明：因?yàn)椋▁n﹣xn﹣1）（xn﹣xn﹣2）+（yn﹣yn﹣1）（yn﹣yn﹣2）＝0，所以((x(y（3）由（2）知{(又{xn}和{yn}是整數(shù)數(shù)列，則?a∈N，使得對(duì)于某個(gè)t∈N*，?n＞t，有(x此時(shí)(x-[(xn+1-xn)2+(yn+1-yn)取此t∈N*，則xt＝xt+2＝xt+4＝?＝xt+10000t＝x10001t．令c＝xt，則x1到x10001t中至少有10001t-t2+1=5000t即從x1，x2，?，x10001t中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是c的概率為5000t+110001t＞500010001＞從x1，x2，?，xm中任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是c的概率大于49%．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2025春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）記Sn是公差大于0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，且a3，a5+1，a13﹣1成等比數(shù)列．（1）求an和Sn．（2）若bnSn=12，證明：數(shù)列{bn}的前n【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】（1）an＝n；Sn（2）證明見解析．【分析】（1）首先設(shè)出公差，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立方程，解出公差，進(jìn)而求出an，再利用公式法求和得到Sn即可．（2）利用給定條件得到bn，進(jìn)而結(jié)合裂項(xiàng)相消法得到Tn，最后利用n＞0證明Tn＜1即可．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＞0，因?yàn)閍3，a5+1，a13﹣1成等比數(shù)列，所以（1+4d+1）2＝（1+2d）×（1+12d﹣1），解得d＝1或d=所以an＝1+n﹣1＝n，Sn（2）證明：由上問得Sn=n所以bn×n得到Tn因?yàn)閚＞0，所以1n+1＞0，得到1-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，屬中檔題．19．（2025春?南海區(qū)校級(jí)月考）數(shù)列{an}、{bn}滿足：a2＝1，an+1=an+2(n∈N*)，3（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an?bn}的前n項(xiàng)和Tn．【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】（1）an＝2n﹣3，bn（2）-12【分析】（1）由題干條件可知{an}是等差數(shù)列，由公式法可寫出其通項(xiàng)公式，由bn＝Sn﹣Sn﹣1（n≥2）可寫出{bn}的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證b1是否滿足；（2）由（1）得數(shù)列{an?bn}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求出其前n項(xiàng)和．【解答】解：（1）數(shù)列{an}、{bn}滿足：a2＝1，an+1=其中Sn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，可得an+1﹣an＝2，則{an}是公差為2的等差數(shù)列，所以an＝a2+（n﹣2）d＝1+2（n﹣2）＝2n﹣3；對(duì)于3S當(dāng)n＝1時(shí)，3S1＝b1+2＝3b1，解得b1＝1；所以n≥2時(shí)，可得3Sn﹣1＝bn﹣1+2，作差得3（Sn﹣Sn﹣1）＝bn﹣bn﹣1，化簡(jiǎn)得bn所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為-1所以bn又b1也滿足上式，所以bn（2）因?yàn)閍n所以Tn＝﹣1+（-12）1+3×（-12）2+...+（2n﹣3）×（-12-12Tn＝﹣1?（-12）+（-12）2+3×（-12）3+...+（2n①﹣②得，32Tn＝﹣1+2[（-12）1+（-12）2+...+（-12）n﹣1]﹣（2=-整理得：Tn【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（2025?潮陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝3，Sn+1＝Sn+an+2．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{2an4+1【考點(diǎn)】數(shù)列求和的其他方法；數(shù)列遞推式．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；運(yùn)算求解．【答案】（Ⅰ）an＝2n+1；（Ⅱ）23【分析】（Ⅰ）利用退一相減法可證數(shù)列{an}為等差數(shù)列，進(jìn)而可通項(xiàng)公式；（Ⅱ）利用分組求和及裂項(xiàng)相消法可得Tn．【解答】解：（Ⅰ）由Sn+1＝Sn+an+2，可得an+1＝Sn+1﹣Sn＝an+2，即an+1﹣an＝2，又a1＝3，所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；（Ⅱ）由等差數(shù)列的求和公式可得Sn則2a所以Tn=12=1=2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．?dāng)?shù)列的函數(shù)特性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn﹣1；前n項(xiàng)和公式Sn=a1(1-qn3、用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列（1）對(duì)于等差數(shù)列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），當(dāng)d≠0時(shí)，an是n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（n，an）是位于直線上的若干個(gè)點(diǎn)．當(dāng)d＞0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列；同理，d＝0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列；d＜0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞減函數(shù)．若等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．當(dāng)p＝0時(shí)，{an}為常數(shù)列；當(dāng)p≠0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題．（2）對(duì)于等比數(shù)列：an＝a1qn﹣1．可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解．當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1時(shí)，等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列．當(dāng)q＝1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列．當(dāng)q＜0時(shí)，無(wú)法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：數(shù)列{an}滿足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2=(n∵不等式an≥a4恒成立，∴3.5≤-解得﹣9≤k≤﹣7，故選：B．典例2：設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{Sn}也為等差數(shù)列，則SA．310B．212C．180D．121解：∵等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），設(shè)公差為d，則an＝1+（n﹣1）d，其前n項(xiàng)和為Sn=n∴SnS1=1，S2∵數(shù)列{Sn}∴2S∴22+d=解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，an2=（2n﹣1∴Sn由于{(1∴Sn+10an2故選：D．2．?dāng)?shù)列的單調(diào)性【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)列的單調(diào)性是指數(shù)列是遞增還是遞減的性質(zhì)．由于數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)an與它的序號(hào)n是一一對(duì)應(yīng)的，所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f（n）．也就是說，當(dāng)自變量從1開始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值f（1），f（2），…，f（n），…就是數(shù)列{an}．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義判斷：根據(jù)數(shù)列的定義或通項(xiàng)公式判斷其單調(diào)性．﹣遞推關(guān)系：利用數(shù)列的遞推關(guān)系分析其單調(diào)性．﹣數(shù)列差：分析數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差an+1﹣an的符號(hào)判斷單調(diào)性．【命題方向】常見題型包括利用定義、遞推關(guān)系、數(shù)列差判斷數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（）A．a(chǎn)n＝1﹣nB.aC．a(chǎn)n＝2n2﹣5n+1D.a解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，an＝1﹣n，有an+1﹣an＝1﹣（n+1）﹣1+n＝﹣1，是遞減數(shù)列，不符合題意，對(duì)于B，an=14n，有an+1﹣an對(duì)于C，an＝2n2﹣5n+1，有an+1﹣an＝2（n+1）2﹣5（n+1）+1﹣2n2+5n﹣1＝4n﹣3，由于n≥1，則an+1﹣an＝4n﹣3＞0，是遞增數(shù)列，符合題意，對(duì)于D，an=n+3，n≤2，2n-1，故選：C．3．由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求解數(shù)列【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】﹣設(shè)未知數(shù)：假設(shè)通項(xiàng)公式，利用前n項(xiàng)和公式求解參數(shù)．﹣遞推關(guān)系：利用等差數(shù)列的遞推關(guān)系和前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)出通項(xiàng)公式．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式結(jié)合，解決復(fù)雜問題．【命題方向】常見題型包括利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式反向推導(dǎo)通項(xiàng)公式，求解數(shù)列的具體項(xiàng)．在等差數(shù)列{an}中，記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知：a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2+a5＝﹣10，S5＝﹣30，∴2a1+5故an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣12，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝2n﹣12．4．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?a等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．5．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問題的結(jié)合．6．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n點(diǎn)評(píng)：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．7．裂項(xiàng)相消法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：（1）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0【解題方法點(diǎn)撥】裂項(xiàng)相消法是一種用于求解數(shù)列和的技巧，通過將數(shù)列項(xiàng)裂解成兩個(gè)或多個(gè)部分進(jìn)行相消來簡(jiǎn)化計(jì)算．【命題方向】常見題型包括利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．求和：12解：因?yàn)閗(所以原式=(1故答案為：1-18．?dāng)?shù)列求和的其他方法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】除了常用的方法外，還有其他數(shù)列求和的技巧，如變換法、分組法等．﹣?zhàn)儞Q法：通過對(duì)數(shù)列進(jìn)行變換，使其成為已知形式的數(shù)列．﹣分組法：將數(shù)列項(xiàng)分組，利用分組結(jié)果求和．﹣應(yīng)用：適用于處理復(fù)雜的數(shù)列和問題，特別是涉及多個(gè)數(shù)列項(xiàng)的求和．【命題方向】常見題型包括利用其他方法計(jì)算數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．已知數(shù)列{an}，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，其中a1＝﹣1010，an+1=an+3，n為奇數(shù)解：因?yàn)閍n+1=a∴a1＝﹣1010，a2＝a1+3＝﹣1007，a3＝a2﹣1＝﹣1008，a4＝a3+3＝﹣1005，a5＝a4﹣1＝﹣1006，a6＝a5+3＝﹣1003，a7＝a6﹣1＝﹣1004，……，∴a2+a3＝﹣2015，a4+a5＝﹣2011，a6+a7＝﹣2007，……，令bn＝a2n+a2n+1，則數(shù)列{bn}是以﹣2015為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T1010＝1010×（﹣2015）+1010×10092又∵T1010＝a2+a3+a4+a5+……+a2020+a2021，∴S2021＝T1010+a1＝3030﹣1010＝2020．9．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an=a（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．10．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)列的函數(shù)特性：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來分析、解決問題．【解題方法點(diǎn)撥】1．在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問題時(shí)：（1）要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無(wú)關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型的知識(shí)系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果；（4）最后再回到實(shí)際問題中去，從而得到答案．2．在求數(shù)列的相關(guān)和時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面的問題：（1）直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過程．（2）注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．（3）求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，無(wú)一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（尤其是在處理客觀題目時(shí)）時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會(huì)因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過少，而歸納出錯(cuò)誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．【命題方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首項(xiàng)為4