2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之雙曲線（2025年4月）

第37頁（共37頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之雙曲線（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?江西模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線l經(jīng)過第一、三象限，F(xiàn)為C的右焦點，O為坐標(biāo)原點，A．x﹣y＝0 B．2x-y=0 C．3x-y=0 2．（2025春?鹽都區(qū)校級月考）過雙曲線C：x2a2-y2=1(a＞0)右支上的點P作C的切線l，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左右焦點，N為切線l上的一點，且A．2 B．2 C．52 D．3．（2025?昌黎縣校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦點為F1，過F1的直線l交圓x2+yA．355 B．455 C．734．（2025?蚌埠模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2且斜率為7的直線與C的右支交于A，B兩點，且|BF2A．13 B．23 C．14 5．（2025?河西區(qū)一模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為雙曲線的漸近線上的點，滿足F1M→?F2M→=0，且|A．x2-9y2C．9x216-6．（2025?遼寧一模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2-y23=1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P（m，n）在A．[-72，7C．[﹣2，2] D．[﹣2，﹣1]∪[1，2]7．（2025?武漢模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，若△PF1F2的內(nèi)心為Q（xQ，a），且PQ→+3OQ→與A．y＝±x B．y=±2x C．y=±38．（2025?廣安模擬）若雙曲線x2a2-y2b2=1(A．2或233 B．3 C．2 D二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?湖北模擬）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，以AF為直徑的圓與y軸正半軸交于點D，過D且垂直于y軸的直線與CA．|AB|2|OAC．|OD|2|（多選）10．（2025?道里區(qū)校級二模）已知P（x0，y0）為雙曲線C：x24-y212=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左、右焦點，G和I分別為△PF1A．|x0|＝6 B．△PF1F2的面積為126C．|PF1|＝14 D．△PF1F2內(nèi)切圓的半徑r（多選）11．（2025?鶴壁二模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且|AF1|A．點F1到C的漸近線的距離為3 B．|AB|＝10 C．C的離心率為2 D．分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦長為15（多選）12．（2025?洮北區(qū)校級一模）已知直線l：y＝﹣3x+m（m≠0）與雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞A．2 B．3 C．22 D．三．填空題（共4小題）13．（2025?昌黎縣校級模擬）已知直線l交雙曲線Γ：x220-y216=1于點A，B，點C（0，4），若△ABC的重心恰好落在雙曲線Γ的左焦點14．（2025?黃梅縣校級模擬）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，左頂點為A，點P為E的右支上的一點，直線PF被圓O：x2+y2＝a215．（2025?吉林三模）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過右支上一點A作雙曲線C的切線與x軸交于點P，設(shè)I為△AF1F2的內(nèi)心，且3|PF1|＝5|PF216．（2025?石景山區(qū)一模）已知雙曲線x2﹣my2＝1，若m＝1，則雙曲線的漸近線方程為；若雙曲線上存在四個點A，B，C，D使得四邊形ABCD為正方形，則m的一個取值為．四．解答題（共4小題）17．（2025?香坊區(qū)校級二模）已知直線l：y＝x+1與雙曲線M：x2m-y24=1（m＞0）及其漸近線分別交于點A（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）證明：AC＝BD；（3）若m＝2，過雙曲線M上一點P向雙曲線N：x2m-y24=λ作切線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，問是否存在這樣的λ，使得k1?k2為定值？若存在，求出λ18．（2025?昌黎縣校級模擬）已知雙曲線E的中心為坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且P（﹣1，0），Q(0，-23)，R（2（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線l1，l2均經(jīng)過E的右焦點，l1與E交于A，B兩點，l2與E交于D，E兩點，以AB為直徑的圓記作⊙O1，以DE為直徑的圓記作⊙O2．①求證：存在定圓與⊙O1相切；②設(shè)⊙O1與⊙O2的公共弦所在直線為l，求直線l經(jīng)過的定點．19．（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）雙曲線Ei：25x2-my2=ai2(ai＞0，i=1，2，?，n)的離心率為414，斜率為k1的直線l1和斜率為k2的直線l（1）求實數(shù)m的值；（2）作斜率為k的過原點的直線l（異于l1，l2）與E1，E2，?，En的右支分別交于點P1，P2，?，Pn，記△AiBiPi的面積為Si（i＝1，2，?，n）．（i）求證：AiBi∥Ai+1Bi+1：（ii）若k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且ai=1i(20．（2025?潮陽區(qū)校級模擬）已知等軸雙曲線C：x2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知點A是C上一定點，過點B（0，1）的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，若kAP+kAQ為定值λ，求點A的坐標(biāo)及實數(shù)λ的值．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之雙曲線（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案ACCBABBC二．多選題（共4小題）題號9101112答案BCDADACDBC一．選擇題（共8小題）1．（2025?江西模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線l經(jīng)過第一、三象限，F(xiàn)為C的右焦點，O為坐標(biāo)原點，A．x﹣y＝0 B．2x-y=0 C．3x-y=0 【考點】由雙曲線的焦點焦距求解雙曲線方程或參數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】A【分析】由雙曲線方程寫出漸近線方程，根據(jù)直線平行與垂直，表示出直線方程，聯(lián)立求交點，結(jié)合中點坐標(biāo)，代入雙曲線方程，可得答案．【解答】解：由題知雙曲線C：x2a2設(shè)F（c，0），延長FP與l交于點Q，則P為FQ的中點，由y=ba所以P(代入x2得(a結(jié)合c2＝a2+b2，得a＝b，所以l的方程是x﹣y＝0．故選：A．【點評】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2025春?鹽都區(qū)校級月考）過雙曲線C：x2a2-y2=1(a＞0)右支上的點P作C的切線l，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左右焦點，N為切線l上的一點，且A．2 B．2 C．52 D．【考點】直線與雙曲線的綜合；求雙曲線的離心率．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】先求出雙曲線在點P（x0，y0）的切線方程為x0xa2-y0y=1，從而得到切線方程與x軸交點坐標(biāo)，再由平行關(guān)系得到比例關(guān)系，得到方程，求出(a-2)(a【解答】解：因為點P在雙曲線C：設(shè)P（x0，y0），x0＞0，則雙曲線在點P（x0，y0）的切線方程為x0令x0xa2-得x=a2故|OB|=a故|B其中|F又x02=(因為ON∥F1P，所以|ON即2a整理得(a顯然a2故a﹣2＝0，故a＝2，所以c=所以雙曲線的離心率為52故選：C．【點評】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2025?昌黎縣校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦點為F1，過F1的直線l交圓x2+yA．355 B．455 C．73【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】過O作OQ⊥MN，設(shè)|MN|＝2m，利用幾何關(guān)系計算m與a的關(guān)系，再在△F1OQ中利用勾股定理即可得解．【解答】解：如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，過O作OQ⊥MN，垂足為Q，則|OM|＝|ON|＝a，∴|MQ|＝|NQ|．∵|F1M|＝|PN|，∴|F1Q|＝|PQ|，即Q為線段F1P的中點．∵O為F1F2的中點，∴OQ∥PF2，∴PF2⊥PF1，|PF2|＝2|OQ|．設(shè)|MN|＝2m，則|F1M|＝|PN|＝m，∴|PF1|＝4m，|MQ|＝|NQ|＝m，|PF2|＝|PF1|﹣2a＝4m﹣2a，∴|OQ|＝2m﹣a．在Rt△MOQ中，|OQ|2+|MQ|2＝|OM|2，即（2m﹣a）2+m2＝a2，解得m=45a，∴在Rt△F1OQ中，|OQ|2解得c=735a，∴雙曲線故選：C．【點評】本題主要考查離心率的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．4．（2025?蚌埠模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2且斜率為7的直線與C的右支交于A，B兩點，且|BF2A．13 B．23 C．14 【考點】直線與雙曲線的位置關(guān)系及公共點個數(shù)．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得cos∠AF2F1，cos∠BF2F1，再根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)|AF2|＝m，則|BF2|＝3m，結(jié)合余弦定理計算可得-4b2+12am=32【解答】解：如圖，雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b因為直線AB的斜率為7，所以tan∠所以cos∠AF設(shè)|AF2|＝m，則|BF2|＝3m，又|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AF1|﹣|AF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+3m，|AF1|＝2a+m，在△BF1F2中，由余弦定理得|B即（2a+3m）2＝（3m）2+（2c）2-2整理得-4在△AF1F2中，由余弦定理得|A即(2a整理得-4所以8am即c=所以b=所以|A故選：B．【點評】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（2025?河西區(qū)一模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M為雙曲線的漸近線上的點，滿足F1M→?F2M→=0，且|A．x2-9y2C．9x216-【考點】雙曲線的焦點三角形；雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件可得F1M⊥F2M，利用三角形面積求出半焦距，再利用直角三角形性質(zhì)，結(jié)合二倍角的正切求出ba【解答】解：因為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b由F1M→?F2M→=0因為|MF1|＝2|MF2|，△MF1F2的面積為209則S△所以|F令雙曲線C的半焦距為c，則4c2=即a2直線OM方程為y=tan∠MF1F2=|MF2則ba聯(lián)立解得a2所以雙曲線C的方程為x2故選：A．【點評】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，以及雙曲線基本量運算，屬于中檔題．6．（2025?遼寧一模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2-y23=1的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，點P（m，n）在A．[-72，7C．[﹣2，2] D．[﹣2，﹣1]∪[1，2]【考點】由直線與雙曲線位置關(guān)系及公共點個數(shù)求解方程或參數(shù)．【專題】計算題；整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解；新定義類．【答案】B【分析】利用坐標(biāo)計算PF1→?PF【解答】解：根據(jù)題目：設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2O為坐標(biāo)原點，點P（m，n）在C上且PF點P（m，n）在C上，則m2-n23=1，且m≤﹣因F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），則PF1→則PF解得-72≤m≤故選：B．【點評】本題考查由直線與雙曲線位置關(guān)系及公共點個數(shù)求解方程或參數(shù)，屬于中等題．7．（2025?武漢模擬）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，若△PF1F2的內(nèi)心為Q（xQ，a），且PQ→+3OQ→與A．y＝±x B．y=±2x C．y=±3【考點】求雙曲線的漸近線方程．【答案】B【分析】設(shè)P（xp，yp），依題意可設(shè)PQ→+3OQ→=λF1F2→【解答】解：設(shè)P（xp，yp），依題意可設(shè)PQ→+3OQ→=λF1F2→，所以a﹣yp故S△PF1F2=12×2c×4所以|PF1|＝3c+a，|PF2|＝3c﹣a．因為F1（﹣c，0），所以|P則3c+a＝exp+a，解得xP＝3a，所以點P的坐標(biāo)為（3a，4a），代入雙曲線方程中，得(3a)2故所求漸近線的方程為y=故選：B．【點評】本題考查雙曲線的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．8．（2025?廣安模擬）若雙曲線x2a2-y2b2=1(A．2或233 B．3 C．2 D【考點】雙曲線的離心率．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】C【分析】由題意不妨設(shè)直線l的方程為xa-yb=1，得bx﹣ay﹣ab＝0，由原點到直線l的距離為38m，得4ab=3【解答】解：由對稱性可知，不妨設(shè)直線l的方程為xa即bx﹣ay﹣ab＝0，已知原點到直線l的距離為38m，則又2c＝m，∴4ab兩邊平方得16a2b2＝3c4，∴16a2（c2﹣a2）＝3c4，即3c4﹣16a2c2+16a4＝0，得3e4﹣16e2+16＝0，解得e2＝4或e2∵b＞a＞0，∴b2a2∴e2＝4，故e＝2．故選：C．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線離心率的求法，是中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?湖北模擬）已知O為坐標(biāo)原點，雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左頂點為A，右焦點為F，以AF為直徑的圓與y軸正半軸交于點D，過D且垂直于y軸的直線與CA．|AB|2|OAC．|OD|2|【考點】雙曲線的離心率．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】BCD【分析】由條件分別寫出線段|OA|，|OF|，|OD|．由射影定理得到|OD|2＝|OA|?|OF|，即可判斷A選項；由勾股定理化簡|DF|2|OD|2-1及線段長化簡后即可判斷B選項；代入線段長化簡|OD|2|AO|2即可判斷C【解答】解：由題可知|OA|＝a，|OF|＝c，因為AB⊥x軸，且AB交曲線漸近線與點B，所以B（﹣a，b），因為以AF為直徑的圓與y軸正半軸交于點D，且BD⊥y軸，所以|AB|＝|OD|＝b，又AD⊥DF，由射影定理得|OD|2＝|OA|?|OF|，所以|AB|2又|DF|2又|OD|2由|OD|2＝|OA|?|OF|，得b2＝ac＝c2﹣a2，故c2﹣ac﹣a2＝0，即e2﹣e﹣1＝0，解得e=5+1故選：BCD．【點評】本題主要考查雙曲線的離心率，考查運算求解能力，屬于中檔題．（多選）10．（2025?道里區(qū)校級二模）已知P（x0，y0）為雙曲線C：x24-y212=1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線C的左、右焦點，G和I分別為△PF1A．|x0|＝6 B．△PF1F2的面積為126C．|PF1|＝14 D．△PF1F2內(nèi)切圓的半徑r【考點】雙曲線的其他性質(zhì)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】AD【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，重心的坐標(biāo)公式，等面積法，針對各個選項分別求解即可．【解答】解：因為雙曲線C：x2所以a＝2，b=23，c＝4因為G和I分別為△PF1F2的重心和內(nèi)心，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與x軸切于點Q，所以根據(jù)圓的切線長相等及雙曲線的定義可知：||PF1|﹣|PF2||＝||F1Q|﹣|F2Q||＝2a＝4，又|F1Q|+|F2Q|＝|F1F2|＝2c＝8，所以|F1Q所以|xI|＝a＝2，又GI⊥x軸，所以|xG|＝|xI|＝2，又F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），所以|xG|＝|x0+4+(-4)3|=|x0|3=2，所以將|x0|＝6代入雙曲線C：x24-y212=1所以△PF1F2的面積為12×|F因為P（±6，±46），F(xiàn)1（﹣4，0所以|PF1|＝14或10，所以C選項錯誤，因為|PF1|＝14，|PF2|＝10；或|PF1|＝10，|PF2|＝14，設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r，則根據(jù)等面積法可得：166=12×(14+10+8)×r故選：AD．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，雙曲線的焦點三角形問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．（多選）11．（2025?鶴壁二模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且|AF1|A．點F1到C的漸近線的距離為3 B．|AB|＝10 C．C的離心率為2 D．分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦長為15【考點】雙曲線的幾何特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】ACD【分析】利用雙曲線的定義以及余弦定理可求得|F1F2|＝4，從而可求得c＝2，即可判斷選項A，C；用余弦定理和雙曲線的定義可求得|AB|判斷選項B；點F1作F1E⊥BF2于點E，易知分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦為F1E，勾股定理可求公共弦長，即可求解選項D．【解答】解：已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2-y2b2=1（b＞0）的左、右焦點，斜率為15且過點F2的直線交C的右支于A，B兩點，A在第一象限，且|AF1|雙曲線C：x2-y對于A，C，連接BF1，由題意得tan∠BF2F1所以sin∠解得cos∠由于|AF1|＝|AB|，所以|BF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，又|BF1|﹣|BF2|＝2a＝2，故|BF1|＝4，設(shè)|F1F2|＝2c（c＞0），在△F1F2B中，由余弦定理可得|B即16=(2c)2+4-2×2c故離心率為ca點F1到C的漸近線的距離，即b=c2-a對于B，設(shè)|AF2|＝m（m＞0），則|AF1|＝|AB|＝2+m，在△F1F2A中，由余弦定理可得(2+m)2=16+m故|AB|＝2+m＝8，故B錯誤；對于D，因為|BF1|＝|F2F1|＝4，所以△BF1F2為等腰三角形，過點F1作F1E⊥BF2于點E，因為|F2F1|＝|BF1|＝4，所以E為BF2中點，易知分別以BF1，F(xiàn)1F2為直徑的圓的公共弦為F1E，且|F1E故選：ACD．【點評】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．（多選）12．（2025?洮北區(qū)校級一模）已知直線l：y＝﹣3x+m（m≠0）與雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞A．2 B．3 C．22 D．【考點】雙曲線的中點弦．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】BC【分析】由題意可得直線l不平行于漸近線，推得e≠10，聯(lián)立直線l和雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式求得P的坐標(biāo)，由斜率公式，解不等式可得c＞2a【解答】解：由題意知-ba≠-3，e≠10，設(shè)M（x1，y1），N由y=-3x+m，x2a2-y2b2=1，可得（b2﹣9a2）x2Δ＝（6ma2）2+4（b2﹣9a2）（a2m2+a2b2）＝4a2b2（m2+b2﹣9a2）＞0，所以x1+x2=-6ma2b2-9yP＝﹣3xP+m=9ma可得P(所以kOP即b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，即為c＞2a，可得e=ca＞2故選：BC．【點評】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及中點坐標(biāo)公式，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2025?昌黎縣校級模擬）已知直線l交雙曲線Γ：x220-y216=1于點A，B，點C（0，4），若△ABC的重心恰好落在雙曲線Γ的左焦點【考點】直線與雙曲線的綜合．【專題】計算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解；新定義類．【答案】185【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），先由重心坐標(biāo)公式求出弦AB的中點坐標(biāo)，再由A（x1，y1），B（x2，y2）在雙曲線上結(jié)合點差法和中點坐標(biāo)公式以及兩點斜率公式即可求解．【解答】解：根據(jù)題目已知：直線l交雙曲線Γ：x220-點C（0，4），若△ABC的重心恰好落在雙曲線Γ的左焦點F上，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因為C（0，4），F(xiàn)（﹣6，0），由重心坐標(biāo)公式得0+x1+所以弦AB的中點坐標(biāo)為x1+x22=-9，又A（x1，y1），B（x2，y2）在雙曲線上，由題意知直線l的斜率存在，則x1≠x2，故x1220-y1216=1x2220-y2216=1，作差得4（x1+x2）?（x將中點坐標(biāo)代入得k=故答案為：185【點評】本題考查直線與雙曲線的綜合，屬于中等題．14．（2025?黃梅縣校級模擬）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，左頂點為A，點P為E的右支上的一點，直線PF被圓O：x2+y2＝a2+b【考點】直線與雙曲線的綜合．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】85或8【分析】直線PF與圓O的交點為M，連接OM，過點P作PN⊥x軸，垂足為N，設(shè)∠OFN＝α，由題意得cosα=14，由條件PA→?PF→=PA→?FA→得到|PF|＝|AF|＝c+a，分M在線段PF【解答】解：直線PF與圓O的交點為M，連接OM、AP，令A(yù)P的中點為Q，連接FQ．過點P作PN⊥x軸，垂足為N，則F（c，0），|AF|＝c+a，圓O：x2+y2＝c2，|OM設(shè)∠OFM＝α，則cosα=因為Q為AP的中點，所以FA→因為PA→?PF所以PA⊥FQ，所以|PF|＝|AF|＝c+a，|FN|=|PF若M在線段PF上，則P(因為P在雙曲線E：所以(3c-a所以(3c-所以(3e-1)2-15(1+e)e-1=16，整理得9若M在PF延長線上，則P(因為P在雙曲線E：所以(a+5c所以(a+5c所以(1+5e)2-15(1+e)e-1=16，整理得25e2故答案為：85或8【點評】本題主要考查圓與雙曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．15．（2025?吉林三模）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過右支上一點A作雙曲線C的切線與x軸交于點P，設(shè)I為△AF1F2的內(nèi)心，且3|PF1|＝5|PF2【考點】雙曲線的定點及定值問題．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】53；8【分析】由題意有AP是角∠F1AF2的角平分線，由角平分線定理有|PF1||PF2|=|【解答】解：由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)有：AP是角∠F1AF2的角平分線，由角平分線定理可知，|P∵|F1F2|＝2c，∴|P由雙曲線定義可知|AF1|﹣|AF2|＝2a，∴|AF1|＝5a，|AF2|＝3a，在△AF1F2中，由余弦定理可得，4c∴4c2＝49a2，∴e2=c2a2=連接F1I，∵I為△F1F2內(nèi)心，∴F1I是∠AF1F2的角平分線，在△AF1P中，由角平分線定理可知|AI故答案為：53；8【點評】本題考查雙曲線定義與性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（2025?石景山區(qū)一模）已知雙曲線x2﹣my2＝1，若m＝1，則雙曲線的漸近線方程為y＝±x；若雙曲線上存在四個點A，B，C，D使得四邊形ABCD為正方形，則m的一個取值為12（答案不唯一）【考點】求雙曲線的漸近線方程．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】y＝±x；12（答案不【分析】第一空，根據(jù)雙曲線的漸近線方程求解即可；第二空，分析可得1m【解答】解：因為雙曲線x2﹣my2＝1，當(dāng)m＝1時，雙曲線為x2﹣y2＝1，此時a2＝b2＝1，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x．又x2其漸近線方程為y=要使雙曲線上存在四個點A，B，C，D滿足四邊形ABCD是正方形，根據(jù)正方形的對稱性可得正方形的對稱中心在原點，且在第一象限內(nèi)的頂點橫縱坐標(biāo)相等，則1m＞1，解得0＜m＜1故答案為：y＝±x；12（答案不【點評】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2025?香坊區(qū)校級二模）已知直線l：y＝x+1與雙曲線M：x2m-y24=1（m＞0）及其漸近線分別交于點A（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）證明：AC＝BD；（3）若m＝2，過雙曲線M上一點P向雙曲線N：x2m-y24=λ作切線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，問是否存在這樣的λ，使得k1?k2為定值？若存在，求出λ【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的定點及定值問題．【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯思維；運算求解．【答案】（1）（0，4）∪（4，5）；（2）證明過程見解析；（3）不存在，理由見解析．【分析】（1）由題意，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合判別式即可求解；（2）根據(jù)韋達定理和中點坐標(biāo)公式得點E，進而聯(lián)立直線方程可得點C，D坐標(biāo)，即可得CD與AB的中點重合，進而即可得證；（3）根據(jù)相切可利用判別式為0得k1，k2為方程(2-【解答】解：（1）聯(lián)立y=x+1x2m-y24=1，消去y并整理得（4﹣m）此時m＞解得實數(shù)m的取值范圍為（0，4）∪（4，5）；（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知x1+x設(shè)AB的中點為E（x0，y0），此時x0所以y0即E(因為雙曲線的漸近線方程為y=聯(lián)立y=解得C(同理得D(所以CD的中點為(m此時CD與AB的中點重合，則AE＝EB，CE＝ED，故AC＝BD；設(shè)過P（x3，y3）且與雙曲線N：x22-y24=λ相切的直線方程為y﹣即y＝kx+y3﹣kx3，聯(lián)立y=kx+y3此時2-整理得(x此時x32-所以k1若k1?k2為定值，此時2=-解得λ=則k1?k2＝2，此時Δ1故不存在λ，使得k1?k2為定值．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬于中檔題．18．（2025?昌黎縣校級模擬）已知雙曲線E的中心為坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且P（﹣1，0），Q(0，-23)，R（2（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）直線l1，l2均經(jīng)過E的右焦點，l1與E交于A，B兩點，l2與E交于D，E兩點，以AB為直徑的圓記作⊙O1，以DE為直徑的圓記作⊙O2．①求證：存在定圓與⊙O1相切；②設(shè)⊙O1與⊙O2的公共弦所在直線為l，求直線l經(jīng)過的定點．【考點】直線與雙曲線的綜合；拋物線的定點及定值問題．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2-y23=1；（2）①證明見解析；【分析】（1）根據(jù)題意有雙曲線E經(jīng)過點P（﹣1，0），R（2，3）代入方程即可求解；（2）①先討論直線AB的斜率不存在和斜率為0的情況，猜想所求圓為⊙S：（x﹣3）2+y2＝4，再討論當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)AB：x＝my+2，與雙曲線方程聯(lián)立即可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)韋達定理有y1+y2，y1y2，得AB的中點O1(-23m2-1，-6m②當(dāng)直線DE的斜率不為0時，設(shè)DE：x＝ny+2，計算圓O2，圓O1的方程和圓O2的方程相減得公共弦所在直線l的方程，化簡即可得定點．【解答】解：（1）由題意可知，雙曲線E經(jīng)過點P（﹣1，0），R（2，3）．設(shè)雙曲線E的方程為x2-y2b2=1(b＞0)，把點R所以雙曲線E的方程為x2（2）①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，⊙O當(dāng)直線AB的斜率為0時，⊙O結(jié)合對稱性，猜想所求圓為⊙S：（x﹣3）2+y2＝4．當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)AB：x＝my+2，聯(lián)立x=得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則3m所以AB的中點O1|AB=1+所以⊙O又⊙S：（x﹣3）2+y2＝4，則S（3，0），半徑為2，所以|O所以|O當(dāng)3m2﹣1＞0時，⊙O1與⊙S的半徑之和r1所以r1+r2＝|O1S|，⊙O1與⊙S外切；當(dāng)3m2﹣1＜0時，⊙O1與⊙S的半徑之差的絕對值|r所以|r1﹣r2|＝|O1S|，⊙O1與⊙S內(nèi)切．綜上所述，存在定圓（x﹣3）2+y2＝4與⊙O1相切．②當(dāng)直線DE的斜率不為0時，設(shè)DE：x＝ny+2，則⊙O即x2+又⊙O即x2+兩圓方程①﹣②，得直線l的方程為4(14(14(14(14(1(1即(1令y＝0，得x＝﹣1，所以直線l經(jīng)過定點（﹣1，0）．【點評】本題考查雙曲線與圓的方程的綜合應(yīng)用，屬于難題．19．（2025春?沙坪壩區(qū)校級月考）雙曲線Ei：25x2-my2=ai2(ai＞0，i=1，2，?，n)的離心率為414，斜率為k1的直線l1和斜率為k2的直線l（1）求實數(shù)m的值；（2）作斜率為k的過原點的直線l（異于l1，l2）與E1，E2，?，En的右支分別交于點P1，P2，?，Pn，記△AiBiPi的面積為Si（i＝1，2，?，n）．（i）求證：AiBi∥Ai+1Bi+1：（ii）若k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且ai=1i(【考點】直線與雙曲線的綜合．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）16；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)離心率公式得到方程，解出即可；（2）（i）通過聯(lián)立方程求出Ai，Bi，Ai+1，Bi+1的坐標(biāo)，再利用兩點斜率公式即可證明平行；（ii）利用點到直線的距離公式和三角形面積公式求出Si的表達式，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，最后再利用放縮和裂項相消法即可證明不等式．【解答】解：（1）∵雙曲線Ei∴x2∵Ei的離心率e=∴e=∴m＝16，（2）（i）證明：聯(lián)立：y=則25x即x2∴x=ai即：Ai同理，Bi∴kA同理，Ai∴kA∴kA即AiBi∥Ai+1Bi+1．（ii）證明：由（i）知：當(dāng)若k1＝1，k2＝0時，Ai(1lAiB同理有：Pi∴Pi到AiBi的距離d=∵△AiBiPi的面積為Si（i＝1，2，?，n），∴Si令f(則f'令f′（k）＜0，解得0＜k＜58，令f′（k則當(dāng)0＜k＜58時，f（k）單調(diào)遞減；當(dāng)5∴f(x)≥f(58)=34，當(dāng)k因此f(∴Si∴Si又∵i≥2時，1i∴S=【點評】本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，屬于難題．20．（2025?潮陽區(qū)校級模擬）已知等軸雙曲線C：x2（1）求雙曲線C的方程；（2）已知點A是C上一定點，過點B（0，1）的動直線與雙曲線C交于P，Q兩點，若kAP+kAQ為定值λ，求點A的坐標(biāo)及實數(shù)λ的值．【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線的幾何特征．【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運算求解．【答案】（1）x2﹣y2＝1；（2）A(2，1)，λ=【分析】（1）由等軸雙曲線知a＝b，再由焦點可得雙曲線C的方程；（2）設(shè)lPQ與點A、P、Q的坐標(biāo)，由斜率之和為定值建立方程，根據(jù)韋達定理化簡討論方程根的情況即可．【解答】解：（1）由題意a＝b，a2+b2＝c2＝2，解得a＝b＝1，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣y2＝1．（2）設(shè)A（m，n），過點B的動直線為：y＝kx+1．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立x2-y2=1y=kx+1得（1﹣k2）x所以1-k2≠0Δ=4k2+8(1-k2)＞0x1+x2=因為kAP+kAQ＝λ，即y1-n化簡得(2k所以(2k化簡得m（λm﹣2n）k2+2（λm﹣n﹣1）k+2λ﹣2m+2mn﹣λm2＝0，由于上式對無窮多個不同的實數(shù)k都成立，所以m(如果m＝0，那么n＝﹣1，此時A（0，﹣1）不在雙曲線C上，舍去．因此m≠0，從而λm＝2n＝n+1，所以n＝1，代入2λ﹣2m+2mn﹣λm2＝0，得2λ＝λm2，解得m=±2，此時A綜上，A(2，1)，λ=【點評】本題考查雙曲線的方程和直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．

考點卡片1．拋物線的定點及定值問題【知識點的認識】定點問題涉及到拋物線上點到固定點或直線的距離問題．定值問題通常涉及求解某點到焦點或準(zhǔn)線的最值．【解題方法點撥】1．計算定點距離：利用拋物線方程計算點到定點的距離．2．應(yīng)用定值：解決與定值相關(guān)的幾何問題．【命題方向】﹣給定拋物線的定點和定值，求解相關(guān)問題．﹣分析定點問題的幾何特征及應(yīng)用．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識點的認識】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|（2）y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0），焦點在y軸上，焦點坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|兩種形式相同點：形狀、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2兩種形式不同點：位置不同；焦點坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1中心在原點，焦點在x軸上y2a2-x2b2=1中心在原點，焦點在y軸上圖形頂點（a，0）和（﹣a，0）（0，a）和（0，﹣a）對稱軸x軸、y軸，實軸長2a，虛軸長2b焦點在實軸上x軸、y軸，實軸長2a，虛軸長2b焦點在實軸上焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2+b2離心率e=ca（e＞e=ca（e＞漸近線x2即y＝±bay2即y＝±ab準(zhǔn)線x＝±ay＝±a3．由雙曲線的焦點焦距求解雙曲線方程或參數(shù)【知識點的認識】已知雙曲線的焦點位置和焦距2c，可以求解a和b，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程．【解題方法點撥】1．計算a和b：由焦距和焦點位置計算a和b．2．代入標(biāo)準(zhǔn)方程：求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】﹣給定焦點和焦距，求解雙曲線的方程或參數(shù)．﹣利用焦點和焦距計算標(biāo)準(zhǔn)方程．4．求雙曲線的漸近線方程【知識點的認識】雙曲線的漸近線是雙曲線無限遠處的切線．對于雙曲線x2a2-y2b【解題方法點撥】1．計算斜率：利用ba2．代入方程：寫出漸近線方程．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數(shù)，求漸近線方程．﹣利用標(biāo)準(zhǔn)方程計算漸近線方程．5．雙曲線的幾何特征【知識點的認識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準(zhǔn)線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y6．雙曲線的離心率【知識點的認識】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e=ca（e＞準(zhǔn)線x＝±ay＝±a漸近線xa±yxb±y7．求雙曲線的離心率【知識點的認識】雙曲線的離心率e是e=ca【解題方法點撥】1．計算離心率：利用公式e=2．求解參數(shù)：從雙曲線方程中提取參數(shù)．【命題方向】﹣給定雙曲線的參數(shù)，求離心率．﹣根據(jù)離心率計算雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．8．雙曲線的其他性質(zhì)【知識點的認識】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）x2a2-y2