遼寧省大連市濱城高中聯(lián)盟高二下學(xué)期4月考試數(shù)學(xué)

濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高二4月份考試數(shù)學(xué)試卷命題人：大連市第二十三中學(xué)劉金秋校對(duì)人：大連市第二十三中學(xué)孫艷姝一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，則（）A B. C. D.【答案】D【詳解】解：因?yàn)椋?，所?故選：D.2.在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布（），若在內(nèi)取值的概率為0.8，則在內(nèi)取值的概率為（）A.0.9 B.0.8 C.0.3 D.0.1【答案】A【詳解】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布（），所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對(duì)稱；又因?yàn)樵趦?nèi)取值的概率為0.8，所以在內(nèi)取值的概率為0.4，所以在內(nèi)取值的概率為．故選：A3.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下，若，則（）02A. B.1 C. D.【答案】C【詳解】由題意知，解得，因?yàn)?，所以，即，則，解得，所以，故選：C．4.在孟德爾豌豆試驗(yàn)中，子二代的基因型為其中為顯性基因，為隱性基因，生物學(xué)中將和統(tǒng)一記為)，且這三種基因型的比為.如果在子二代中任意選取2株豌豆進(jìn)行雜交試驗(yàn)，那么子三代中基因?yàn)榈母怕蕿椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【詳解】記事件子三代中基因型為，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，記事件選擇的是、，則，，.在子二代中任取顆豌豆作為父本母本雜交，分以下三種情況討論：①若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；②若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為；③若選擇的是、，則子三代中基因型為的概率為.綜上所述，.因此，子三代中基因型為是的概率是.故選：D.5.已知某條線路上有兩輛相鄰班次的（快速公交車），若準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，在B準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，在準(zhǔn)點(diǎn)到站的前提下B不準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為，則B準(zhǔn)點(diǎn)到站的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【詳解】設(shè)事件為“準(zhǔn)點(diǎn)到站”，事件為“準(zhǔn)點(diǎn)到站”，依題意，，而，解得，而，則，而，解得.故選：B6.為了預(yù)測(cè)某地的經(jīng)濟(jì)增長情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2023年1~6月的GDP的數(shù)據(jù)（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中自變量指的是月的編號(hào)，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：時(shí)間1月2月3月4月5月6月編號(hào)123456百億元11.1參考數(shù)據(jù)：.則下列說法不正確的是（）A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)B.C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為14.4百億元D.相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為0.1【答案】D【詳解】選項(xiàng)A：由題意得：，因?yàn)椋?，所以，得，因此該?jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故A正確；選項(xiàng)B：由A知，，得，故B正確；選項(xiàng)C：由B得，則當(dāng)時(shí)，，故該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為百億元，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，故D錯(cuò)誤，故選：D.7.公司選拔部門總監(jiān)，根據(jù)投票數(shù)與業(yè)績?cè)u(píng)分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在選拔中脫穎而出.現(xiàn)在人事部、財(cái)務(wù)部與科研部要分別選擇人擔(dān)任部門總監(jiān)，其余人隨機(jī)分別調(diào)到個(gè)部門中擔(dān)任項(xiàng)目經(jīng)理，設(shè)事件{甲、乙兩人不在同一部門}，事件{甲擔(dān)任財(cái)務(wù)部部門總監(jiān)}，則（）A. B. C. D.【答案】C【詳解】由題知，，所以，故選：C.8.托馬斯·貝葉斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的問題中得到了一個(gè)公式：，這個(gè)公式被稱為貝葉斯公式（貝葉斯定理），其中稱為B的全概率，假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，現(xiàn)從甲袋中任取2個(gè)球放入乙袋，再從乙袋中任取2個(gè)球，已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【詳解】設(shè)從甲袋中取出2個(gè)球，其中紅球的個(gè)數(shù)為i個(gè)的事件為，從乙袋中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為B，由題意：①，；②，；③，.根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從甲袋中取出的是2個(gè)紅球的概率為：.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但選不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，甲每次命中概率為，乙每次命中概率為，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則（）A.兩人都命中的概率為 B.恰好有一人命中的概率為C.兩人都沒有命中的概率為 D.至少有一人命中的概率為【答案】ABD【詳解】設(shè)事件：甲投籃一次，命中；事件：乙投籃一次，命中.則事件，獨(dú)立.對(duì)A選項(xiàng)：由，故A正確；對(duì)B選項(xiàng)：由，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)：由，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)：由，故D正確.故選：ABD10.已知隨機(jī)事件、滿足：，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若，則與相互獨(dú)立 B.若與相互獨(dú)立，則C.若與互斥，則 D.若，則【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，，故與相互獨(dú)立，即A正確；對(duì)于B，若與相互獨(dú)立，則與也相互獨(dú)立，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若與互斥，則，，故C正確；對(duì)于D，由全概率公式可得，所以，故D正確；故選：ACD.11.泊松分布是一種離散型概率分布，常用于描述單位時(shí)間（或空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，其概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.當(dāng)二項(xiàng)分布的很大而很小時(shí)，泊松分布可作為二項(xiàng)分布的近似，且取二項(xiàng)分布的期望.假設(shè)每個(gè)大腸桿菌基因組含有10000個(gè)核苷酸對(duì)，采用紫外線照射大腸桿菌時(shí)，每個(gè)核苷酸對(duì)產(chǎn)生嘧啶二體的概率均為0.0005，設(shè)大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)為表示經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生個(gè)嘧啶二體的概率.已知近似服從泊松分布，當(dāng)產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)不小于1時(shí)，大腸桿菌就會(huì)死亡，則下列說法正確的有（）A.B.C.大腸桿菌經(jīng)該種紫外線照射后，存活的概率為D.經(jīng)該種紫外線照射后產(chǎn)生10個(gè)嘧啶二體的概率最大【答案】AC【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以此時(shí)泊松分布滿足二項(xiàng)分布的近似的條件，，A正確；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故當(dāng)或5時(shí)取最大值，D錯(cuò)誤.故選:AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，若，則______.【答案】##【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)分布的特點(diǎn)得，則，根據(jù)方差的性質(zhì)得，故答案為：.13.一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個(gè)定義域?yàn)镽的函數(shù)：，，，，，．現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為X，則的概率為___________．【答案】##0.8【詳解】易判斷，，為偶函數(shù)，所以寫有偶函數(shù)的卡片有3張，的取值范圍是．

，，所以．故答案為：14.如圖，電流通過元件的概率均為0.8，且各元件能否正常工作相互獨(dú)立，則電流能在E，F(xiàn)之間通過的概率是_____.【答案】0.7424【詳解】根據(jù)題意可知電流能通過的概率為，電流能通過的概率為，所以電流不能通過，且也不能通過的概率為，所以電流能通過的概率為，因?yàn)殡娏髂芡ㄟ^的概率為，所以電流能在E，F(xiàn)之間通過的概率為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.袋中有6個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，每次抽取后都不放回，設(shè)取到黑球的個(gè)數(shù)為．（1）求的分布列；（2）求；（3）若摸出一個(gè)黑球得10分，摸出一個(gè)白球得5分，總分為分，求的值．【答案】（1）答案見解析（2）（3）【小問1詳解】由題意得，的可能取值為0，1，2，且，，，，所以的分布列如下．012【小問2詳解】因?yàn)?，所以．【小?詳解】由已知得，因?yàn)?，所以，所以?6.某汽車公司研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)這輛汽車單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為，根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似的服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了輛該款新能源汽車，記表示這輛新能源汽車中單次最大續(xù)航里程的車輛數(shù)，求；參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得.【小問2詳解】（i）由題意可得，，則，所以，；（ii）由題意可知，，故.17.經(jīng)觀測(cè)，長江中某魚類的產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度（單位：）和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.36054.5136044384

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表中，，.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，，與哪一個(gè)適宜作為與之間的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關(guān)于的回歸方程；（2）某興趣小組抽取兩批魚卵，已知第一批中共有5個(gè)魚卵，其中“死卵”有2個(gè)；第二批中共有6個(gè)魚卵，其中“死卵”有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一批，然后從該批次中隨機(jī)取出2個(gè)魚卵，求取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【答案】（1）適宜作為與之間的回歸方程模型，（2）答案見解析，.小問1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為與之間的回歸方程模型.令，則，，，所以，所以關(guān)于的回歸方程為.【小問2詳解】由題意設(shè)隨機(jī)挑選一批，取出兩個(gè)魚卵，其中“死卵”個(gè)數(shù)為，則的可能取值為，，，設(shè)“所取兩個(gè)魚卵來自第批”，所以，設(shè)“所取兩個(gè)魚卵有個(gè)‘死卵’”，由全概率公式得，，，所以取出“死卵”個(gè)數(shù)的分布列為012所以，所以取出“死卵”個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.18.中國男子籃球職業(yè)聯(lián)賽“簡稱CBA”半決賽采用“五局三勝制”，具體規(guī)則為比賽最多進(jìn)行五場(chǎng)，當(dāng)參賽的兩方有一方先贏得三場(chǎng)比賽，就由該方獲勝而比賽結(jié)束，每場(chǎng)比賽都需分出勝負(fù).同時(shí)比賽采用主客場(chǎng)制，比賽先在A隊(duì)的主場(chǎng)進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，再移師B隊(duì)主場(chǎng)進(jìn)行兩場(chǎng)比賽（有必要才進(jìn)行第二場(chǎng)），如果需要第五場(chǎng)比賽，則回到A隊(duì)的主場(chǎng)進(jìn)行，已知A隊(duì)在主場(chǎng)獲勝的概率為，在客場(chǎng)獲勝的概率為，假設(shè)每場(chǎng)比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）第一場(chǎng)比賽B隊(duì)在客場(chǎng)通過全隊(duì)的努力先贏了一場(chǎng)，賽后B隊(duì)的教練鼓勵(lì)自己的隊(duì)員說“勝利的天平已經(jīng)向我們傾斜”，試從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是否客觀正確；（2）每一場(chǎng)比賽，會(huì)給主辦方在門票，飲食，紀(jì)念品銷售等方面帶來綜合收益300萬元，設(shè)整個(gè)半決賽主辦方綜合收益為，求的分布列與期望，【答案】（1）從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是客觀正確的.（2）分布列見解析，萬元.小問1詳解】由題知，B隊(duì)獲勝的情況有三種，第一種情況，比賽三場(chǎng)獲勝，其概率為；第二種情況，比賽四場(chǎng)獲勝，則第二場(chǎng)或第三場(chǎng)B隊(duì)失敗，故其概率為；第三種情況，比賽五場(chǎng)獲勝，則B隊(duì)在第二場(chǎng)，第三場(chǎng)，第四場(chǎng)中贏得一場(chǎng)比賽，第五場(chǎng)比賽獲勝，其概率為，所以，B隊(duì)在第一場(chǎng)比賽獲勝的情況下，贏得比賽的概率為，所以，從概率大小的角度判斷B隊(duì)教練的話是客觀正確的.【小問2詳解】由題知，至少舉辦3場(chǎng)球賽，至多舉辦5場(chǎng)球賽，所以的可能取值為，所以，當(dāng)舉辦3場(chǎng)球賽時(shí)，A隊(duì)獲勝的概率為，B隊(duì)獲勝的概率為，所以，；當(dāng)舉辦4場(chǎng)球賽時(shí)，A隊(duì)獲勝的概率為，B隊(duì)獲勝的概率為，，所以，，所以，的分布列為：所以，萬元19.“分布式計(jì)算系統(tǒng)”是由多臺(tái)計(jì)算機(jī)組成的用以提高計(jì)算效率的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)．在一個(gè)分布式計(jì)算系統(tǒng)中，若一次計(jì)算中發(fā)生故障的計(jì)算機(jī)數(shù)不超過總計(jì)算機(jī)數(shù)的，則稱這次計(jì)算是“優(yōu)質(zhì)計(jì)算”，某科技公司采購了一批共計(jì)臺(tái)計(jì)算機(jī)用于搭建分布式計(jì)算系統(tǒng)，每臺(tái)計(jì)算機(jī)的故障率均為．（1）若，，記為一次計(jì)算中正常運(yùn)行的計(jì)算機(jī)數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）若，，請(qǐng)估計(jì)一次計(jì)算中正常運(yùn)行的計(jì)算機(jī)數(shù)量最有可能是多少？（3）該科技公司決定再購入臺(tái)與（2）中完全相同的計(jì)算機(jī)組成新的分布式計(jì)算系統(tǒng)，請(qǐng)與（2）的分布式計(jì)算系統(tǒng)比較，判斷新的分布式計(jì)算系統(tǒng)完成一次“優(yōu)質(zhì)計(jì)算”的概率是否有提升？【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（2）臺(tái)或臺(tái)（3）能得到提升【小問1詳解】由題意可知，，所以，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.【小問2詳解】設(shè)由臺(tái)計(jì)