直線與平面垂直（第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理）課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

人民教育出版社A版必修二8.6.2直線與平面垂直的性質(zhì)定理（第二課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)

掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理（重點(diǎn)）01

了解直線到平面的距離和兩個(gè)平行平面的距離的定義（難點(diǎn)）02

能利用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理解決簡(jiǎn)單的情景問(wèn)題（重點(diǎn)）03直線與平面垂直的相關(guān)定義：

一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．注：畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖8.69所示.垂足垂面垂線回顧舊知一點(diǎn)到平面的距離：

過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．

如圖，PP′⊥平面α，P′為垂足，線段PP′的長(zhǎng)度即為點(diǎn)P到平面α的距離.回顧舊知二直線與平面垂直的判定定理：

如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直．符號(hào)語(yǔ)言：五個(gè)條件缺一不可圖形語(yǔ)言：lmαnP

定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”的互相轉(zhuǎn)化.回顧舊知三如圖8.614，一條直線l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足．過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．平面的斜線斜足斜線在平面上的射影斜線與平面所成的角回顧舊知四國(guó)際會(huì)議會(huì)場(chǎng)的國(guó)旗桿與地面都是垂直的，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象旗桿互相平行情景導(dǎo)入

（1）如圖8.6-16，在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直線都垂直于平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系?

（2）如圖8.6-17，已知直線a，b和平面α．如果a⊥α，b⊥α，那么直線a，b一定平行嗎?圖8.6-16bαa圖8.6-17垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．互相平行平行探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明：假設(shè)a與b不平行，記b∩α＝O．

過(guò)O作直線b′∥a，則b與b′是交于點(diǎn)O的兩條不同的直線．

記b與b′確定的平面為β．

設(shè)α∩β＝c，則有a⊥c，b⊥c．

∵b′∥a，∴b′⊥c．

這與“平面β內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)O有且僅有一條直線與c垂直”相矛盾．

β直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理反證法證明命題的一般步驟：否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理歸納：直線與平面垂直的性質(zhì)定理揭示了“垂直”與“平行”之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化．將該性質(zhì)定理中的平面換成直線，或者將垂直關(guān)系變?yōu)槠叫嘘P(guān)系，得出一些新的結(jié)論，你能對(duì)這些結(jié)論進(jìn)行證明嗎？直線a⊥平面α，平面β//α

，則a⊥β．探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線a⊥平面α，直線b⊥直線a，則b//α或bα．直線a⊥平面α，平面β⊥α，則a//β或aβ．【例5】如圖，直線

l//α．求證：直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．證明：過(guò)直線l上任意兩點(diǎn)A，B，分別作平面α的垂線AA1，BB1，由直線和平面垂直的性質(zhì)定理可知AA1∥BB1．設(shè)AA1和BB1確定的平面為β，易知α∩β＝A1B1．∵l∥α，

∴l(xiāng)∥A1B1．∴四邊形AA1B1B為矩形．∴AA1＝BB1．垂足分別為A1，B1．因?yàn)橹本€A，B為直線l任意的兩點(diǎn)，所以直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

當(dāng)一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，根據(jù)例1可知，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，我們稱這個(gè)距離為這條直線到這個(gè)平面的距離．

進(jìn)一步，當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把這個(gè)距離叫做兩個(gè)平行平面間的距離．棱柱、棱臺(tái)體積公式中的高，就是它們上、下底面間的距離，也就是上底面內(nèi)任意一點(diǎn)到下底面的距離．直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用例6

推導(dǎo)棱臺(tái)的體積公式．其中S′，S分別為棱臺(tái)上、下底面面積，h是高．如圖，延長(zhǎng)棱臺(tái)各側(cè)棱交于一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作棱臺(tái)下底面的垂線，分別交棱臺(tái)的上、下底面于點(diǎn)O′，O，則PO垂直于棱臺(tái)的上底面．h＝O′O．設(shè)截得棱臺(tái)的棱錐的體積為V，去掉的棱錐的體積為V′，高為h′．直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用由于棱臺(tái)的上、下底面平行，可以證明棱臺(tái)的上、下底面相似．二、直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用1、過(guò)△ABC所在平面α外一點(diǎn)P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，則下列結(jié)論正確的有（

）

A．線段PA，PB，PC，PO中，線段PO最短；B．若PA=PB=PC，則OA=OB=OC；C．若OA=OB=OC，則PA=PB=PC；D．若PA=PB=PC，則PA，PB，PC和平面α所成的角相等．【性質(zhì)】過(guò)平面外一點(diǎn)，作平面的垂線段和斜線段