人教A版高一數(shù)學必修二第二學期862直線與平面垂直

人教A版高一數(shù)學必修二第二學期8.6.2直線與平面垂直第八章立體幾何初步

8.6.2直線與平面垂直核心素養(yǎng)目標1.數(shù)學抽象：從實際情境和具體圖形中，抽象概括出直線與平面垂直的概念和相關定理。2.直觀想象：通過生活實例與模型，直觀感受直線與平面垂直的具體形象，增強對空間幾何的想象能力。3.邏輯推理：深入探究并嚴格證明直線與平面垂直的判定及性質定理，鍛煉邏輯推導能力。4.數(shù)學運算：在涉及直線與平面垂直的幾何問題中，精準運用定理進行線段長度、角度等的計算。教學目標教學重點：直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理的理解與應用。教學難點：1.直線與平面垂直判定定理的探究與證明。2.靈活運用判定定理和性質定理解決綜合問題

。知識講解直線與平面有幾種位置關系？直線在平面內(nèi)直線與平面平行直線與平面相交5知識講解空間中直線與平面的位置關系知識講解觀察生活中的實例思考：隨著時間變化，日晷和旗桿分別與其影子所在直線間具有怎樣的位置關系？始終垂直知識講解旗桿與地面如圖示，在陽光下觀察直立于底面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？地面上不過點B的任意直線B’C’，AB與B’C’垂直嗎？旗桿AB所在直線于地面上任意一條過點B的直線垂直.垂直8知識講解直線與平面垂直：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直，記作l⊥α。9知識講解直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，l與α的公共點P叫做垂足。作用：線線垂直線面垂直知識講解平面幾何中，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。思考：空間幾何中，過一點與已知直線垂直的直線有幾條？你能用筆搭建模型進行解釋嗎？無數(shù)條知識講解文字語言圖形語言符號語言作用判定直線與平面垂直，直線與直線垂直.直線與平面垂直（定義）知識講解文字語言圖形語言符號語言作用判定直線與平面垂直直線與平面垂直的判定定理知識講解直線與平面垂直的判定定理：符號表示如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.定理中的兩條相交直線能否改成平行直線，如果改成“無數(shù)條直線”呢？不能14知識講解如圖，一條直線與一個平面a相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足．過斜線上斜足外一點P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影；平面的一條斜線和它在平面的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

知識講解如果AB是平面α內(nèi)的任意一條不與直線AO重合的直線，那么直線PA與直線AB所成的角和直線PA與這個平面所成的角的大小關系是什么？PA與直線AB所成的角大于直線PA與這個平面所成的角．平面的斜線與平面內(nèi)所有直線所成的角中，斜線與平面所成的角最?。?6知識講解一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角.一條直線在平面內(nèi)，或與平面平行，它們所成的角是0°的角．直線與平面所成的角的取值范圍是:[0°,90°]知識講解求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.已知：如圖，a//b，a⊥α，求證：b⊥α.證明：如圖，在平面α內(nèi)取兩條相交直線m，n.∵a⊥α，∴a⊥m，a⊥n.又∵a//b，∴b⊥m，b⊥n.又m?α，n?α，且m,n是兩條相交直線.∴b⊥α.

結論：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.(證明線面垂直的另一方法)知識講解如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.解：連接BC1交B1C于點O，連接A1O.設正方體的棱長為a.正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，∴BC1⊥平A1DCB1.∴A1O是A1B在平面A1DCB1內(nèi)的射影.∴∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.在Rt△A1BO中，A1B=

a，BO=

a.∴BO=

A1B，∠BA1O=30°.∴A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.知識講解CAMB知識講解求直線與平面所成的角的步驟：(1)作圖：作(或找)出斜線在平面上的射影，將空間角轉化為平面角，過斜線上斜足以外的一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算；(2)定角：證明某平面角就是斜線與平面所成的角；(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.知識講解如圖，直線l平行于平面α求，求證：直線l上各點到平面α的距離相等.αAA1βBB1l證明：過直線l上任意兩點A,B分別作平面α的垂線AA1,BB1,垂足分別為A1,B1.∵AA1⊥α

，BB1⊥α，∴AA1//BB1.設直線AA1，BB1確定的平面為β，β∩α=A1B1.∵l//α，∴l(xiāng)//A1B1，∴四邊形AA1B1B是矩形，∴AA1=BB1.∵A，B是直線l上任意兩點，∴直線l上各點到平面α的距離相等.通過上題可知，若一條直線與一個平面平行，那這條直線上任意一點到平面的距離相等，我們把這個距離叫做直線到這個平面的距離.如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平面間的距離.知識講解已知A,B兩點在平面α的同側，且它們與α的距離相等，求證：直線AB//α.αAA1BB1解：過A,B兩點分別作平面α的垂線AA1,BB1,垂足分別為A1,B1.則AA1=BB1，又AA1//BB1∴四邊形AA1B1B是矩形.∴AB//A1B1.又A1B1?α，∴AB//α.知識講解求證：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.(提示：過這條直線作平面與這兩個平面相交，則它們的交線平行.)已知：如圖，m⊥α，m⊥β，求證：α//β.

設平面α,β都與直線l垂直，過直線l作平面γ，與α,β分別相交于直線a,b.∵a⊥l，b⊥l，又a,b,l都在平面γ上，∴a//b，∴a,b分別是平面α,β上任意兩條交線，∴α//β.知識講解棱臺體積公式推導(棱臺的高就是兩底面間的距離)推導棱臺的體積公式(S′,S,h分別是棱臺的上下底面積和高)知識講解如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中．(1）求證：A1C⊥B1D1;證明：(1）如圖，連接A1C.∵CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1

?

平A1BIC1D1,∴CC1⊥

BDI

。∵四邊形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.又∵CC1∩

A1C1=C1,∴B1D1⊥平面A1C1C.又∵A1C?

平面A1C1C,∴B1D1

⊥A1C.知識講解如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中．(2)M,N分別為B1D1與C1D上的點且MN⊥B1D1,MN⊥C1D，求證：MN//AC.證明：(2）如圖，連接B1A,AD1∵B1C1AD,∴四邊形ADC1B1為平行四邊形，∴C1D//AB1,∵MN⊥C1D,∴MN⊥AB1又∵MN⊥B1D1,AB1

∩BD=B1,∴MN⊥平面AB1D1.由（1）知A1C⊥B1D1，同理可得A1C⊥AB1.又∵AB1∩B1D1=B1∴A1C⊥平面AB1D1,∴A1C/MN.知識講解求點到平面的距離的方法：從平面外一點作一個平面的垂線，這個點與垂足間的距離就是這