2023-2024學(xué)年河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教A版選擇性必修第三冊(cè)第七章占，選擇性必修第一、二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)第六章占.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.300的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.16 B.20 C.18 D.24【答案】C【解析】顯然，則300的正因數(shù)為，其中，所以300的不同正因數(shù)有個(gè).故選：C2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.15 B.35 C.75 D.105【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，則，所以.故選：B3.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則（）A.22 B.11 C.-22 D.-11【答案】A【解析】因?yàn)?又，所以.故選：A.4.泊松分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，當(dāng)很大且很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中，即.現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個(gè)該種元件，則次品率不超過的概率約為（參考數(shù)據(jù):）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，則，所以.因?yàn)?，所以次品率不超過的概率約為.故選：B5.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（）A. B.14 C. D.【答案】D【解析】由題意可知，因，準(zhǔn)線為，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義，，得到，于是，所以.故選：D6.高爾頓釘板是英國生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白色圓玻璃球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子，如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口處放進(jìn)一個(gè)白色圓玻璃球，記白色圓玻璃球落入格子的編號(hào)為，則隨機(jī)變量的期望與方差分別為（）A. B.2，1 C.3，1 D.【答案】C【解析】白色圓玻璃球從起點(diǎn)到進(jìn)入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均為，則向左的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.因?yàn)?，，所以?故選：C7.河北省滄州市渤海新區(qū)中捷產(chǎn)業(yè)園區(qū)是典型的鹽堿地區(qū)，面對(duì)鹽堿地改造成本高?維護(hù)難的現(xiàn)實(shí)，農(nóng)技人員從“以種適地”角度入手，近年來相繼培育出“捷麥19”和“捷麥20”等自主研發(fā)的旱堿麥品種，畝產(chǎn)量大幅提高，有力促進(jìn)農(nóng)民收入增長，帶動(dòng)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展.現(xiàn)有A，B，C，D四塊鹽堿地，計(jì)劃種植“捷麥19”和“捷麥20”這兩種旱堿麥，若要求這兩種旱堿麥都要種植，則不同的種植方案共有（）A.18種 B.16種 C.14種 D.12種【答案】C【解析】第一類，先選一塊地種植一種旱堿麥，剩下的三塊地種植另外一種旱堿麥，則不同的種植方案有種,第二類，先選兩塊地種植一種旱堿麥，剩下的兩塊地種植另外一種旱堿麥，則不同的種植方案有種,故不同的種植方案共有種.故選：C.8.已知，則（）A.722 B.729 C.-7 D.-729【答案】A【解析】設(shè)，則，所以.又因?yàn)?，所以，所?故選：A.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤，正確；因?yàn)?，所以，因，所以錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：BD10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.從這6個(gè)點(diǎn)中選2個(gè)點(diǎn)確定一條直線，則有13條不同的直線D.從這6個(gè)點(diǎn)中選3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，則有20個(gè)不同的平面【答案】AC【解析】根據(jù)題意可得圖形，如圖所示：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，則，即，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以從這6個(gè)點(diǎn)中選2個(gè)點(diǎn)確定一條直線，則有條不同的直線，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槲妩c(diǎn)共面四點(diǎn)共面，所以從這6個(gè)點(diǎn)中選3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，則有個(gè)不同的平面，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足,且則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.不等式的解集為C.若恒成立，則D.若，則【答案】BCD【解析】因?yàn)?，所?令，則，所以（c常數(shù)），所以.因?yàn)?，所以，?對(duì)于A，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，而，根據(jù)單調(diào)性知：，故B正確.對(duì)于C，若，則.當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故C正確.對(duì)于D，若，即.因?yàn)樵诤阈∮?，在上又單調(diào)遞增，且，所以，且，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.三位同學(xué)每人從六個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法種數(shù)是______.【答案】216【解析】每個(gè)同學(xué)均有六種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有種.故答案為：216.13.的展開式中的系數(shù)為______.【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)，又，令，所以的系數(shù)為，故答案為：.14.已知橢圓離心率為，過的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且，則的斜率為______.【答案】【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，所以橢圓右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線為時(shí)，，，，故不符合題意，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)，，由題意顯然有，聯(lián)立，得，則，所以.易得，則.由，得，即，所以，即，故的斜率為.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且.（1）證明:是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，所?因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，則，所以.記，則，兩式相減得所以，故.16.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設(shè)為在底面的射影，連接，則平面.因?yàn)槠矫鍭BC，所以又為BC的中點(diǎn)，，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，∴平?又為的中點(diǎn)，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，且，所?設(shè)平面的法向量為，則即設(shè)，得，所以，則，所以二面角正弦值為.17.已知雙曲線（，）的焦距為，且經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．記為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于不同的兩點(diǎn)，．（1）求的方程；（2）證明：“的面積為”是“軸”的必要不充分條件．解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，則，解得，又拋物線的焦點(diǎn)為，所以，則，所以的方程為.（2）當(dāng)軸時(shí)，不妨設(shè)在第一象限，由，解得或，則，，所以，必要性得證；依題意直線的斜率存在，設(shè)直線：，由，消去整理得，由且，可得且，設(shè)，，所以，，所以，則，即，即，整理得，解得或（滿足且），所以當(dāng)或均有的面積為，故充分性不成立，所以“的面積為”是“軸”的必要不充分條件.18.已知函數(shù).（1）求的極值.（2）已知，且.①求的取值范圍；②證明:.解：（1）由題意，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，當(dāng)時(shí)，取得極大值.（2）①因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，又，，所以的取值范圍為.②因?yàn)?，，由?）的單調(diào)性可知，令，則，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，要證，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故成立.19.“布朗運(yùn)動(dòng)”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在如圖所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉組成，某粒子做布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉，且粒子經(jīng)過次隨機(jī)選擇后到達(dá)2號(hào)倉的概率為，已知該粒子的初始位置在2號(hào)倉.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）粒子經(jīng)過4次隨機(jī)選擇后，記粒子在1號(hào)倉出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）記粒子經(jīng)過次隨機(jī)選擇后到達(dá)1號(hào)倉的概率為，粒子經(jīng)過次隨機(jī)選擇后到達(dá)3號(hào)倉的概率為，所以得，所以，即是公比為的等比數(shù)列又，所以（2）結(jié)合題意易得可取0，1，2，，，所以的分布列為012的數(shù)學(xué)期望河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教A版選擇性必修第三冊(cè)第七章占，選擇性必修第一、二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè)第六章占.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.300的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.16 B.20 C.18 D.24【答案】C【解析】顯然，則300的正因數(shù)為，其中，所以300的不同正因數(shù)有個(gè).故選：C2.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.15 B.35 C.75 D.105【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，，則，所以.故選：B3.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則（）A.22 B.11 C.-22 D.-11【答案】A【解析】因?yàn)?又，所以.故選：A.4.泊松分布的概率分布列為，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，當(dāng)很大且很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中，即.現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個(gè)該種元件，則次品率不超過的概率約為（參考數(shù)據(jù):）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，則，所以.因?yàn)?，所以次品率不超過的概率約為.故選：B5.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（）A. B.14 C. D.【答案】D【解析】由題意可知，因，準(zhǔn)線為，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義，，得到，于是，所以.故選：D6.高爾頓釘板是英國生物學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)的，如圖，每一個(gè)黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個(gè)釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進(jìn)一個(gè)直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白色圓玻璃球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子，如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個(gè)格子內(nèi)為止.現(xiàn)從入口處放進(jìn)一個(gè)白色圓玻璃球，記白色圓玻璃球落入格子的編號(hào)為，則隨機(jī)變量的期望與方差分別為（）A. B.2，1 C.3，1 D.【答案】C【解析】白色圓玻璃球從起點(diǎn)到進(jìn)入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均為，則向左的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.因?yàn)椋?，所以?故選：C7.河北省滄州市渤海新區(qū)中捷產(chǎn)業(yè)園區(qū)是典型的鹽堿地區(qū)，面對(duì)鹽堿地改造成本高?維護(hù)難的現(xiàn)實(shí)，農(nóng)技人員從“以種適地”角度入手，近年來相繼培育出“捷麥19”和“捷麥20”等自主研發(fā)的旱堿麥品種，畝產(chǎn)量大幅提高，有力促進(jìn)農(nóng)民收入增長，帶動(dòng)農(nóng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展.現(xiàn)有A，B，C，D四塊鹽堿地，計(jì)劃種植“捷麥19”和“捷麥20”這兩種旱堿麥，若要求這兩種旱堿麥都要種植，則不同的種植方案共有（）A.18種 B.16種 C.14種 D.12種【答案】C【解析】第一類，先選一塊地種植一種旱堿麥，剩下的三塊地種植另外一種旱堿麥，則不同的種植方案有種,第二類，先選兩塊地種植一種旱堿麥，剩下的兩塊地種植另外一種旱堿麥，則不同的種植方案有種,故不同的種植方案共有種.故選：C.8.已知，則（）A.722 B.729 C.-7 D.-729【答案】A【解析】設(shè)，則，所以.又因?yàn)椋?，所?故選：A.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤，正確；因?yàn)?，所以，因，所以錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：BD10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.從這6個(gè)點(diǎn)中選2個(gè)點(diǎn)確定一條直線，則有13條不同的直線D.從這6個(gè)點(diǎn)中選3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，則有20個(gè)不同的平面【答案】AC【解析】根據(jù)題意可得圖形，如圖所示：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋瑒t，則，即，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以從這6個(gè)點(diǎn)中選2個(gè)點(diǎn)確定一條直線，則有條不同的直線，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槲妩c(diǎn)共面四點(diǎn)共面，所以從這6個(gè)點(diǎn)中選3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面，則有個(gè)不同的平面，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿足,且則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.不等式的解集為C.若恒成立，則D.若，則【答案】BCD【解析】因?yàn)椋?令，則，所以（c常數(shù)），所以.因?yàn)椋?，?對(duì)于A，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，而，根據(jù)單調(diào)性知：，故B正確.對(duì)于C，若，則.當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，故C正確.對(duì)于D，若，即.因?yàn)樵诤阈∮?，在上又單調(diào)遞增，且，所以，且，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.三位同學(xué)每人從六個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的選法種數(shù)是______.【答案】216【解析】每個(gè)同學(xué)均有六種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法有種.故答案為：216.13.的展開式中的系數(shù)為______.【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)，又，令，所以的系數(shù)為，故答案為：.14.已知橢圓離心率為，過的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且，則的斜率為______.【答案】【解析】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，所以橢圓右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線為時(shí)，，，，故不符合題意，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)，，由題意顯然有，聯(lián)立，得，則，所以.易得，則.由，得，即，所以，即，故的斜率為.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且.（1）證明:是等比數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，則，所以.記，則，兩式相減得所以，故.16.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設(shè)為在底面的射影，連接，則平面.因?yàn)槠矫鍭BC，所以又為BC的中點(diǎn)，，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫嗥矫?又為的中點(diǎn)，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，且，所?設(shè)平面的法向量為，則即設(shè)，得，所以，則，所以二面角正弦值為.17.已