2023-2024學(xué)年吉林省四校高一下學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1吉林省四校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，得，所以，函數(shù)中，，即，所以，，所以.故選：B.2.設(shè)則的值為（）A.9 B.11 C.28 D.14【答案】B【解析】.故選：B.3.“關(guān)于x的不等式的解集為”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)即時，不等式的解集為，符合題意；當(dāng)即時，若不等式的解集為，可得，解得，所以不等式的解集為可得，充分性不成立，若，則不等式的解集為，必要性成立，所以不等式的解集為”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于函數(shù)，有，解得且，所以，函數(shù)的定義域為，因為，函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD選項，當(dāng)時，，則，排除B選項.故選：A.5.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，由，得，即，而，所以.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，現(xiàn)先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記函數(shù)的最小正周期為，由題意知，得，所以，故，因為的圖象過點，所以，得，又，所以，故，因為的圖象過點，所以，解得，所以，將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以.故選：C．7.已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C D.【答案】B【解析】因為，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，因為，①所以，所以，②①②得，，因為在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號），所以，所以的取值范圍為.故選：B．8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上有且僅有1個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)，，因為在上單調(diào)遞增，故，則；當(dāng)，，且，，又因為在上有且僅有1個零點，故討論兩種情況：①，②，綜上：的取值范圍為.故選：C.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題為真命題的有（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，因為，，所以，所以，所以，故B錯誤；對于C，若，則，所以，故C正確；對于D，若，則，所以，故D正確.故選：ACD.10.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象的對稱中心是C.函數(shù)的圖象的對稱軸是D.不等式的解集是【答案】BC【解析】函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；由，解得，則函數(shù)的圖象的對稱中心是，B正確；由于，則是圖象的一條對稱軸，又，則是圖象的一條對稱軸，而函數(shù)的最小正周期是，則及都是圖象的對稱軸，所以函數(shù)圖象的對稱軸是，C正確；不等式，則，解得，即不等式的解集是，D錯誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且，當(dāng)時，，若，則以下正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】因為，所以，即，又，所以，所以，A正確；因為，所以，B正確；在中，令，得，即，解得，C正確；，D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知冪函數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】由冪函數(shù)的定義可知，，即，解得或，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不滿足；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，滿足，綜上，.故答案為：.13.已知，，，且不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________________.【答案】【解析】令，則，，在恒成立，在單調(diào)遞增，，.故答案為：.14.已知函數(shù)恰有3個零點，則的取值范圍是______________________.【答案】【解析】由，得或，函數(shù)在上有3個零點，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)及在內(nèi)的圖象有3個交點，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，顯然直線與的圖象交于點和，在坐標(biāo)系內(nèi)作出直線和函數(shù)及在內(nèi)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)，且且時，直線與函數(shù)及在內(nèi)的圖象有3個交點，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知函數(shù).已知的最大值為1，且的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將函數(shù)圖象上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移單位，得到函?shù)的圖象，若在區(qū)間上的最小值為，求的最大值.解：（1），，解得，且，即，解得，所以.（2）令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）將函數(shù)圖象上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖象，再向右平移單位，得到函數(shù)的圖象，即；因為，所以，因為在區(qū)間上的最小值為，所以，解得，所以的最大值為.17.已知，，且，．（1）求；（2）求角的大小．解：（1）∵，，∴，∴，∴，，∴.（2），，，∵，∴，由倍角公式得，由（1）得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴.18.心理學(xué)家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對高中生的學(xué)習(xí)行為進行研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.上課開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時間學(xué)生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實驗表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：），滿足以下關(guān)系：（1）上課多少分鐘后，學(xué)生的接受能力最強？能維持多少分鐘？（2）有一道數(shù)學(xué)難題，需要54的接受能力及的講授時間，老師能否及時在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完成這道難題？解：（1）由題知在上單調(diào)遞增，所以，又時，，在上單調(diào)遞減，，所以上課10分鐘后，學(xué)生的接受能力最強，能維持10分鐘.（2）當(dāng)時，令，即，化簡得，解得，又，所以，此時有效時間為2分鐘，當(dāng)時，，有效時間為10分鐘，當(dāng)時，令，解得，有效時間為1分鐘，由于講授時間需15分鐘，但有效時間分鐘，，所以老師不能及時在學(xué)生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道題.19.已知函數(shù)．（1）求方程的解的個數(shù)（不要求詳細過程，有簡要理由即可）；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)，且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）如圖，由翻折變換分別作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，因為兩函數(shù)圖象有個不同的交點，所以方程的解的個數(shù)為.（2），令，化為則函數(shù)的圖象開口向上，且對稱軸為，當(dāng)即時，；當(dāng)即時，，.（3），令，，，令，即①，函數(shù)的圖象如圖，因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個不同的交點，所以①式有2個不等的實根，且一根在內(nèi)，另一根為0或在內(nèi)；當(dāng)一根為時，即是方程①的根，代入①式可得，驗證：此時方程①為，解得或，故不合題意，舍去；所以方程①的兩根一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)，設(shè)，當(dāng)一根在內(nèi)，另一根在內(nèi)時，由，即，解得；當(dāng)一根為時，由解得，驗證：此時方程①為，解得或，故不合題意，舍去；綜上所述，的取值范圍是.吉林省四校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，得，所以，函數(shù)中，，即，所以，，所以.故選：B.2.設(shè)則的值為（）A.9 B.11 C.28 D.14【答案】B【解析】.故選：B.3.“關(guān)于x的不等式的解集為”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)即時，不等式的解集為，符合題意；當(dāng)即時，若不等式的解集為，可得，解得，所以不等式的解集為可得，充分性不成立，若，則不等式的解集為，必要性成立，所以不等式的解集為”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于函數(shù)，有，解得且，所以，函數(shù)的定義域為，因為，函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD選項，當(dāng)時，，則，排除B選項.故選：A.5.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得，由，得，即，而，所以.故選：B.6.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，現(xiàn)先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，再向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記函數(shù)的最小正周期為，由題意知，得，所以，故，因為的圖象過點，所以，得，又，所以，故，因為的圖象過點，所以，解得，所以，將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到的圖象，再將所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，所以.故選：C．7.已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C D.【答案】B【解析】因為，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，因為，①所以，所以，②①②得，，因為在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號），所以，所以的取值范圍為.故選：B．8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且在上有且僅有1個零點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】當(dāng)，，因為在上單調(diào)遞增，故，則；當(dāng)，，且，，又因為在上有且僅有1個零點，故討論兩種情況：①，②，綜上：的取值范圍為.故選：C.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列命題為真命題的有（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，，因為，，所以，所以，所以，故B錯誤；對于C，若，則，所以，故C正確；對于D，若，則，所以，故D正確.故選：ACD.10.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象的對稱中心是C.函數(shù)的圖象的對稱軸是D.不等式的解集是【答案】BC【解析】函數(shù)的最小正周期為，A錯誤；由，解得，則函數(shù)的圖象的對稱中心是，B正確；由于，則是圖象的一條對稱軸，又，則是圖象的一條對稱軸，而函數(shù)的最小正周期是，則及都是圖象的對稱軸，所以函數(shù)圖象的對稱軸是，C正確；不等式，則，解得，即不等式的解集是，D錯誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且，當(dāng)時，，若，則以下正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】因為，所以，即，又，所以，所以，A正確；因為，所以，B正確；在中，令，得，即，解得，C正確；，D錯誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知冪函數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】由冪函數(shù)的定義可知，，即，解得或，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，不滿足；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，滿足，綜上，.故答案為：.13.已知，，，且不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________________.【答案】【解析】令，則，，在恒成立，在單調(diào)遞增，，.故答案為：.14.已知函數(shù)恰有3個零點，則的取值范圍是______________________.【答案】【解析】由，得或，函數(shù)在上有3個零點，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)及在內(nèi)的圖象有3個交點，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，顯然直線與的圖象交于點和，在坐標(biāo)系內(nèi)作出直線和函數(shù)及在內(nèi)的圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)，且且時，直線與函數(shù)及在內(nèi)的圖象有3個交點，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知函數(shù).已知的最大值為1，且的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）將函數(shù)圖象上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，再向右平移單位，得到函?shù)的圖象，若在區(qū)間上的最小值為，求的最大值.解：（1），，解得，且，即，解得，所以.（2）令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在的單調(diào)遞增區(qū)間為.（3）將函數(shù)圖象上的點縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到的圖象，再向右平移單位，得到函數(shù)的圖象，即；因為，所以，因為在區(qū)間上的最小值為，所以，解得，所以的最大值為.17.已知，，且，．（1）求；（2）求角的大?。猓海?）∵，，∴，∴，∴，，∴.（2），，，∵，∴，由倍角公式得，由（1）得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴.18.心理學(xué)家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對高中生的學(xué)習(xí)行為進行研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.上課開始時，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時間學(xué)生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實驗表明，用表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（