2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一次月考考試試卷及答案

2024-2025學(xué)年度廣東省八年級(jí)下第一次月考試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.下列式子中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.廊B.VO2C.&+1D.邪

2.已知實(shí)數(shù)相，”滿足+=0,則的值為（）

A.6B.2近C.25/3D.3拒

3.下列各式計(jì)算正確的是（）

A.8A/3-2A/3=6B.5抬+50=10石

C.4舟2母=8任D.4忘+2&=2忘

4.在VA3C中，/4、/B、/C的對(duì)邊分別為a、b、c,下列所給數(shù)據(jù)中，不能判斷VABC是直角三角

形的是（）

A.Z4+/R-90°B.a:/?:c=5:12:13

C.a2+b2=c2D.ZA:ZB:ZC=3:4:5

5.如圖，在四邊形ABC。中，AB〃C￡>,要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列添加的條件正確的是（）

A.AD=BCB.ZB=ZCC.ZA=ZDD.ZA=ZC

6.如圖，將有一邊重合的兩張直角三角形紙片放在數(shù)軸上,紙片上的點(diǎn)A表示的數(shù)是-2,AC=BC=BD=1,

若以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)E（點(diǎn)E位于點(diǎn)A右側(cè)），則點(diǎn)E表示的數(shù)為（）

D

A.6B.-2+73C.-1+V3D.Y

7.對(duì)于有理數(shù)。、b,定義min{a,b}的含義為：當(dāng)時(shí)，vmn{a,b\=a,例如：min{1,-2}=-2.已知

—1—

min^V31,6z|=a,min{J乳涉}=同，且。和6為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則成-（同『的立方根為（）

A.-1B.1C.-2D.2

8.如果。滿足|2024-4+&-2025=a,那么0-20242的值為（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

9.如圖，以RdA3C的三條邊作三個(gè)正三角形，ZACB=90°,則工、邑、邑、S4的關(guān)系為（）

A.S1+S2+S3=S4B.S.+S^S.+S,C.S.+S^S.+S,D.不能確定

10.如圖，在平行四邊形ABC。中，AE平分NBA。，交于點(diǎn)E,KAB=AE,延長(zhǎng)A8與。E的延長(zhǎng)線

交于點(diǎn)?下列結(jié)論中：?^ABC^^EAD；②△ABE是等邊三角形；@AD=AF；④SA42E=SACEP其中正

確的是（）

A.③B.?<2）?C.②③④D.①②③④

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.二次根式QTa中字母x的取值范圍是.

12.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（T,6）到原點(diǎn)的距離是.

13.當(dāng)尤=后-1時(shí)，代數(shù)式d+2x+2001的值是.

14.如圖，在二A3CD中，AB=6,AT>=9,-54。的平分線交2C于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)八BG^AE,

垂足為G.若8G=4A歷，則的面積是.

—2—

n

15.如圖，在VABC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,。為43的中點(diǎn)，E為8C邊上的點(diǎn)，連接。E,

將.也走沿DE折疊得到VEDE,連接4尸，若以點(diǎn)。，E,F,A為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則CE的

長(zhǎng)為.

三、解答題（每小題7分，共21分）

16.計(jì)算：庫-卜+

17.圖1是某品牌嬰兒車，圖2為其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)示意圖.根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BCLCD,現(xiàn)測(cè)得AB=CD=6

dm,BC=3dm,AD=9dm,其中AB與BD之間由一個(gè)固定為90。的零件連接（即？ABD90?）,通過計(jì)

算說明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn).

18.如圖，在四邊形ABCD中，AC與3。交于點(diǎn)。，AE=CF,BE=DF,AE±BD,CFLBD,垂足

分別為E,F.

（1）求證：△ABE四△CDF；

⑵求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

四、解答題（每小題9分，共27分）

19.如圖，在VABC中，ZBAC=90°,AC=6,3c=10.

—3—

A

（1）尺規(guī)作圖，作8c邊的垂直平分線，垂足為點(diǎn)E,交AB邊于點(diǎn)。（不寫作法，保留作圖痕跡）;

（2）求線段AD的長(zhǎng).

20.如圖，在口ABCD中，對(duì)角線AC,3D相交于點(diǎn)。，ABLAC,AB=3,BC=5,點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),

沿AD以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).連結(jié)尸。并延長(zhǎng)交8C于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

（1）求BQ的長(zhǎng)；（用含f的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，求/的值;

（3）當(dāng)點(diǎn)。在線段A尸的垂直平分線上時(shí)，直接寫出/的值.

21.閱讀材料，并完成下列任務(wù)：

材料一：裂項(xiàng)求和

小華在學(xué)習(xí)分式運(yùn)算時(shí)，通過具體運(yùn)算：二=1-（，……發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

—^――=（"為正整數(shù)），并證明了此規(guī)律成立.

材料二：根式化簡(jiǎn)

1=1=石TJ.1）

例1：UF包瓦廠包瓦耐z廠（

1_1_75-73_1p1]

例2：5擔(dān)+3后-尼心+6廣萬心+6)心-⑹=Ur后

⑴猜想并證明：(2〃+1)標(biāo)荷=----------------(，為正整數(shù)).

[][]

Q"：3+石+5后+36+76+5近+「+49屈+47屈；

(3)已知x.6一1_-—4?幣-小?+^^^/2025-A/2023^^_；

2-1+73+A/5+73^5]+下+占+^/^71+12023+j2025+j2023x2025'

較x和y的大小，并說明理由.

五、解答題（第22題14分，第23題13分，共27分）

—4—

22.【模型定義】

它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成.在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形.他

們得知這種模型稱為“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰長(zhǎng)看作是小手，大等腰三角形的腰長(zhǎng)看作大手,

兩個(gè)等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似大手拉著小手.

【模型探究】

(1)如圖1,若AACB和LDCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、。、E在同一條直線上,連接BE,易證△CZM名△CEB,

則NAE3的度數(shù)為二

【模型應(yīng)用】

(2)如圖2,尸為等邊VABC內(nèi)一點(diǎn)，且P4：PB：PC=3：4：5,以成為邊構(gòu)造等邊V2P。，這樣就有兩個(gè)

等邊三角形共頂點(diǎn)8,然后連接C。，ZAP5的度數(shù)是一；如果尸C=10,則S四邊物=

(3)如圖3,點(diǎn)尸是等腰直角八4。3中內(nèi)一點(diǎn)，ZACB=9Q°,且CP=1,BP=?,AP=2,以CP為

直角邊構(gòu)造等腰直角工?！?，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則NCPB的度數(shù)是是一；AC的長(zhǎng)為是一；

【深化模型】

(4)如圖4,C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、E重合)，在AE同側(cè)分別作等邊VA3C和等邊一CDE,AD

與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)。，連接尸。，以下五個(gè)結(jié)論:①=；②尸。〃AE；

@CP=CQ.@BO=OE；⑤NAOS=60。⑥CO平分/BCD,恒成立的結(jié)論有.

【拓展提高】

(5)如圖5,在VABC中，ZACB=90°,ABAC=30°,AB=6若點(diǎn)P是VA3c內(nèi)一點(diǎn)，則R4+Pfi+PC

的最小值為

(6)如圖6,AD=4,CD=3,ZABC=ZACB=ZADC=45°,則3。的長(zhǎng)為

23.如圖，正方形的邊。4,0C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-4,4).點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)

—5—

單位長(zhǎng)度的速度沿X軸向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿X軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)P到

達(dá)點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)。也停止運(yùn)動(dòng).連連接,過點(diǎn)尸作BP的垂線,與過點(diǎn)Q平行于y軸的直線I相交于點(diǎn)D.BD

與y軸交于點(diǎn)E,連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(s).

⑴求證：ABP^.-.QPD；

(2)求一尸皿的度數(shù)，并寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)f為何值時(shí)，△PBE為等腰三角形？

(4)探索△POE的周長(zhǎng)是否隨時(shí)間f的變化而變化，若變化，說明理由；若不變，試求這個(gè)定值.

—6—

1.c

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可得出答案.

【詳解】解：A.屈=2岳,故本選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

B.半，故本選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

C,正工是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；

D.79=3,故本選項(xiàng)不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）

被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出優(yōu)，”的值是解題關(guān)鍵.非負(fù)數(shù)而與和

|?-4|的值均為0時(shí)，它們的和為0；直接利用絕對(duì)值以及偶次方的性質(zhì)得出〃，加的值，

進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：y/m-3+\n-4\=0,

.\m—3=0,n—4=0,

:.m=3fn=4,

dmn=-\/12=2^/5.

故選：C

3.C

【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算對(duì)A、5進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘除法法則對(duì)C、D

進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A、86-26=66,故選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

B、50+5&不能合并，故選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

C、4A/3X2>/2=8A/6,故選項(xiàng)的計(jì)算正確；

D、40+2垃=2,故選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式

—1—

的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活

運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

4.D

【分析】據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A、D是否是直角三角形；根據(jù)勾股定理逆定理可判斷出

B、C是否是直角三角形.

【詳解】A、在VABC中，ZA+ZB+ZC=180°,ZA+ZB=90°,

Z=180°-(z64+ZB)=90°

故VABC是直角三角形，不符合題意；

B、在VABC中，a:b:c=5:12A3,設(shè)。=5羽6=12尤,c=13x,

則cr+b2=(5x)2+(12x)2=(13x)2_,

故VA3C是直角三角形，不符合題意；

C、在VABC中，a2+b2=c2,故VABC是直角三角形，不符合題意；

D、在VA3C中，ZA+ZB+ZC=180°,ZA:N3:NC=3:4:5,

設(shè)ZA=3x,ZB=4x,ZC=5x,

3x+4x+5x=180°

解得：尤=15。，

5X=75°W90°,

故VABC不是直角三角形，符合題意；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟練掌握

三角形內(nèi)角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵.

5.D

【分析】本題考查的是平行四邊形的判定，根據(jù)題意可知兩組對(duì)邊分別平行的四邊形即是平

行四邊形，即可得出答案.

【詳解】解：由題意可知：AB〃CD,

4+NA=180°,

,?ZA=NC,

ZB+ZC=180°,

AD//BC,

—2—

:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形，

四邊形ABCD是平行四邊形，

故選：D.

6.B

【詳解】根據(jù)勾股定理得：AB=6,AD=y[3,

AE=#：，

/.OE=2-43,

，點(diǎn)E表示的數(shù)為-2+g.

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，以及數(shù)軸與實(shí)數(shù)，解題時(shí)求數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離應(yīng)讓較

大的數(shù)減去較小的數(shù)即可，本題的關(guān)鍵是求出AE的長(zhǎng).

7.A

【分析】根據(jù)min{a,b}的含義得到：a<耳<b,由a和b為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)求得它們的

值，然后代入求值.

【詳解】解：：min{庖，d=a,min{6T,6}=用，

.'.a<V31<b,

?/5<731<6,且a和b為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，

a=5,b=6,

ab-（括T）2=5x6-31=1,

Aab-（后）2的立方根為J.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的應(yīng)用，立方根，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題意理解新定義的計(jì)算

公式是解題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件和絕對(duì)值的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答本題的

關(guān)鍵.

根據(jù)二次根式有意義的條件求出。的范圍，把原式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可.

—3—

【詳解】解：由題意得：a-2025>0,

解得：a>2025,

12024-<?|+1a-2025=a,

a-2024+y/ci—2025=a,

y/a-2025=2024,

2025=20242,

.-.a-20242=2025,

故選：C.

9.C

【分析】先推導(dǎo)出正三角形的面積公式，設(shè)昭△ABC的三邊為：AC=b,AB=C,8C=e根

據(jù)勾股定理有：/+廿=/,則根據(jù)上述所推出的正三角形的面積公式，可知△AGCAAFB、

△BCH的面積分別為：3/、昱/、￡,則根據(jù)上圖有：酬+是a2，

444"4"v4

2

S2+S4+S5+S6=^-c,結(jié)合"+62"即可解答

【詳解】正AXKZ的邊長(zhǎng)為小過頂點(diǎn)x作XVLKZ,丫為垂足，如圖，

X

A

1y

在正axyz中，有NF=60。，XZ=XY=YZ=u,

VXV±YZf

：.YV=VZ=-YZ=-uZXVY=90°

22ff

，在放AXH/中,有XV=JxL—yyz=J/'jV3

=-2”，

...正△XKZ的面積為：S=-xYZxXV=—u2,

24

如圖，可知AAGC、AAFB、△BCH是正三角形，

—4—

設(shè)及△ABC的三邊為：AC=b,AB=C,BC=a,根據(jù)勾股定理有：a2+b2=c2,

則根據(jù)上述所推出的正三角形的面積公式，可知△AGCS的面積分別為：且戶、

4

V362

--C2、---Q,

44

222

則根據(jù)上圖有：St+S5=^b,S3+S6=^-a,S2+S4+S5+S6=^-c,

++=^-a2+^-b2,

,**a2+b2=c2,

，S.+S.+S.+S^—a^—b2=—c2=S,+S.+S,+S,,

即6+53=52+84,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等邊三角形的面積等知識(shí)，正確識(shí)別圖形是解答本題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD〃BC,AD=BC,由AE平分NBAD,可得

ZBAE=ZDAE,可得NBAE=NBEA,得AB=BE,由AB=AE,得至！J△ABE是等邊三角形，

②正確；貝IJNABE=NEAD=6O。，由SAS證明△ABC絲4EAD,①正確；由△FCD與△ABC

等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），得出S〃CD=SAABC,由^AEC與4DEC

同底等高，所以SAAEC=SADEC,得出SAABE=SACEF.④正確；③無法證明得到.

【詳解】,??四邊形ABCD是平行四邊形，

???AD〃BC,AD=BC,

.\ZEAD=ZAEB,

又〈AE平分NBAD,

???ZBAE=ZDAE,

ZBAE=ZBEA,

???AB=BE,

—5—

VAB=AE,

/.△ABE是等邊三角形；

②符合題意；

在小ABC和4EAD中

AB=AE

<ZABE=ZEAD=60°

BC=AD

AAABC^AEAD(SAS)；

①符合題意；

:△FCD與AABC等底(AB=CD)等高(AB與CD間的距離相等)，

SAFCD=SAABC,

又「△AEC與ADEC同底等高，

??SAAEC=SADEC,

.'.SAABE=SACEF;④符合題意.

若AD與AF相等，即ZAFD=ZADF=ZDEC

即EC=CD=BE

即BC=2CD,

題中未限定這一條件

...③不符合題意；

，①②④符合題意，

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì).此題比較復(fù)雜，注意將每個(gè)問題仔細(xì)分析.

11.x4—

2

【分析】本題考查了二次根式的意義和性質(zhì).概念：式子夜(。？0)叫二次根式.性質(zhì)：二

次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，得-2X+1N0.解不等式可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，得一2X+120,

解得，

—6—

故答案是：尤4].

12.2713

【分析】本題考查兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式，根據(jù)兩點(diǎn)人（士,%）、鞏/，力）距離為

AB=J（9一馬『+（%-%）2求解即可.

【詳解】解：：尸（＜6）,原點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,

A點(diǎn)P（T6）到原點(diǎn)的距離是J（-4一0），+（6—Op=2萬,

故答案為：2屈

13.2023

【分析】本題主要考查了完全平方公式，二次根式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是先將V+2X+2001

變形為（x+1）2+2000,將x=后-1代入計(jì)算即可.

【詳解】解：?/%2+2%+2001=x2+2x+1+2000=（x+1）2+2000,

.,.當(dāng)》=后-1時(shí)，

原式=（后-1+1『+2000=（后『+2000=23+2000=2023.

故答案為：2023.

14.2A/2

【分析】由AE平分NB4D,得至!J44E=NZME,由AD〃3C,得到內(nèi)錯(cuò)角NZM￡=NBEA,

等量代換后可證得AB=亞，即一ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)

得出AE=2AG,而在Rt^ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長(zhǎng)，然后

證明△ABEsan,再求出ABE的面積，然后根據(jù)面積比等于相似比的平方即可得到答

案.

【詳解】解：平分234）,

,ZDAE=NBAE；

又：四邊形ABCD是平行四邊形，

AD//BC,

：.ZBEA=ZDAE=ZBAE,

AB=BE=6,

—7—

'：BG.LAE,垂足為G,

???AE=2AG,

在RtABG中，VZAGB=90\AB=6,3G=40，

?*-AG=1AB2—BG=2,

：.AE=2AG=4,

S人際——AE?BG=—x4x4\/2=8^/5,

22

,:BE=6,BC=AD=9,

：.CE=BC—BE=9—6=3,

BE:CE=6:3=2:1,

?/AB//FC,

.ABE^FCE,

$AABE:S^CEF=(BE:CE)~=4:1,

則SxcEF=_5AAsE=2A/2.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練

掌握這些定理是解題的關(guān)鍵.

15.1或4-非

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，考慮兩種情況，即點(diǎn)尸在AD下方,

點(diǎn)尸在AD上方，利用折疊的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，即可解答，正確畫出圖形，進(jìn)行分

類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)即點(diǎn)尸在下方時(shí)，如圖所示：

ZC=90°,AC=2,BC=4,

AB=7AC2+BC2=2s/5，

。為AB的中點(diǎn),

AD=BD=y/5,

——8——

四邊形ADEF是平行四邊形，

EF=AD=逐,

將,BDE沿。E折疊得到VFDE,

.-.BE=EF=非,

:.CE=BC-BE=4-45;

當(dāng)即點(diǎn)尸在上方時(shí)，如圖所示:

同上理，可得AE=DF=AD=有,

:.CE=y/AE2-AC2

綜上，可得CE為1或4-75,

故答案為：1或4-75.

16.273+5

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，先化簡(jiǎn)算術(shù)平方根以及絕對(duì)

值，負(fù)整數(shù)指數(shù)暴，再運(yùn)算加減，即可作答.

【詳解】解：4-"國(guó)+

=373-(73-1)+4

=3A/3-A/3+1+4

=2A/3+5.

17.符合，理由見解析

【分析】先在RtAABD中利用勾股定理求出3加然后由BC2+CD2=BD2以及勾股定理的

逆定理得4c0=90。即可得答案.

【詳解】解：在RtAABD中，?ABD90?,AB=6dm,AL>=9dm,

—9—

由勾股定理，^BD2=AD2-AB2=92-62=45

因?yàn)?c=3dm,CD=6dm,

所以BC2+CD2=32+62=45,

所以3c2+C￡)2=B￡)2,

所以NBCD=90。，即3CLCD,

所以該嬰兒車符合安全標(biāo)準(zhǔn)

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理，解題關(guān)鍵是正確運(yùn)用逆定理.

18.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的判定，

(1)根據(jù)AELBD,CF，BD得ZAEB=NCFD=90。,再根據(jù)SAS即可得證；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得A8=CD,ZABE=ZCDF,繼而得到AB〃DC,即可得證；

正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：BD、CFLBD,

：.ZAEB=NCFD=90。,

在.A3E1和VC。尸中，

AE=CF

<NAEB=ZCFD,

BE=DF

.ABE^CDF(SAS)；

(2)由(1)知：AABE注ACDF,

：.AB=CD,ZABE=ZCDF,

：.AB//DC,

：.四邊形ABCD是平行四邊形.

19.(1)見解析

⑵：

【分析】(1)分別以點(diǎn)8、C為圓心，大于為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，過這兩交

點(diǎn)作直線，交AB于D,交BC于E,即可；

(2)連接C。，先由勾股定理求出A8=8,再由作圖知：DE垂直平分BC,所以

—10—

則C￡)=A8-AO=8-A。，在RdADC中，由勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：作BC的垂直平公線交于D,交BC于E,即可

如圖所示，就是所要求作的.

(2)解：連接CD,

在MAABC中，由勾股定理，得

AB=7BC2-AC2=V102-62=8，

E垂直平分BC,

,BD=CD,

，CD=AB-AD=8-AD,

:在中，CD2=AD2+AC2,

(8-/l￡>)2=A￡>2+62,

7

解得：AD^-.

4

【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)基本作圖，作線段垂直平分線平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握線

段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.(1)5-；(2)2.5；(3)當(dāng)r=q秒時(shí)，點(diǎn)。在線段AP的垂直平分線上

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)可證-APOMACQO,則AP=CQ,再利用%=

即可得出答案；

(2)由平行四邊形性質(zhì)可知AP//3Q,當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形A3。尸是平行四邊形，建立

一個(gè)關(guān)于f的方程，解方程即可求出f的值.

(3)在ABC中，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AO的長(zhǎng)度，然后利用VABC的

面積求出所的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出OE的長(zhǎng)度，而AE可以用含f的代數(shù)式表示出來，最后在

RtAOE中利用勾股定理即可求值.

【詳解】解：(1)：四邊形ABCD是平行四邊形，

—11—

：.OA=OC,ADUBC,

：.ZPAO=ZQCO,

又丁ZAOP=ZCOQ,

：.AAPO=ACQO（ASA）,

AP=CQ=t,

BC=5,

BQ=BC—CQ=5-t；

（2）當(dāng)AP=BQ時(shí)，四邊形A2QP是平行四邊形,

**?t=5——t,

解得

當(dāng)t=2.5秒時(shí)，四邊形A8QP是平行四邊形；

（3）如圖.

:在氏ABC中，AB=3,BC=5,

AC=7SC2-AB2=A/52-32=4，

/.AO=CO=-AC=2,

2

?：S慚=-ABAC=-BCEF,

.ABC22

ABAC=BCEF,

3x4=5xEF,

EF=g

??.

OE是AP的垂直平分線，

AE=—AP=—t,/AEO=90,

22

—12—

由勾股定理得：AE2+OE2=AO2,即1=2?,

?,"=-^或，=一*Y(舍去)，

當(dāng)/=，秒時(shí)，點(diǎn)。在線段AP的垂直平分線上.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分

線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對(duì)角線相等和勾股定理，是解題的關(guān)鍵.

(3)x>y,理由見解析

【分析】本題考查二次根式裂項(xiàng)求解，解題關(guān)鍵是熟練進(jìn)行二次根式分母有理化的化簡(jiǎn).

(1)根據(jù)例2,可以寫出相應(yīng)的猜想；

(2)根據(jù)分母有理化，可得二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)二次根式的加減，即可得到答案；

(3)結(jié)合例1,例2的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；

［詳解］(1)猜想：(2〃+g"(2"g+l=4看-嵩］

1

證明：-------/----------1=

(2n+l)V2n-l+(In-1)3+1

_________________1_______________

J(2〃+l)(2〃一1)(以+1+J(2I))'

_《2匕+1-,2〃-1

J(2〃+l)(2〃-1乂,2〃+1+以-'

1，2及+1-，2L-1

2J(2:+

=1O_______

21,2〃-1yjln+XJ

故答案為：I1

，2/-1

⑵3+73+5A/3+375+7^+5A/7++49屈+47屈

—13—

[]]________1________

A/3（^+1）+A/15（75+V3）+V35（A/7+A/5）++J2303（回+歷）

6T非-6幣-卡歷-歷

2A/32岳2屈272303

⑶_亞-也+幣-非++_______0025-J2023

■V-1+V3+V5+A/3^51+A/5+V7+T5^71+V2023+A/2025+72023x2025

111111

二---------------------------------1-----------------------------p.-I----------------------------------------

6+1V5+1逐+1A/7+1,2023+1J2025+1'

1]

飛+1J2025+1

幣-11

46

「?x—y=—>0,

46

故龍,y.

22.(1)60°；(2)150。,16岳24；(3)135°,石；(4)①②③⑤⑥；(5)3手;(6)如

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理

等知識(shí)：

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到C4=C3=AB,CD=CE=OENACB=NOCE=60。，利用

SAS定理證明△CDAZACEB；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/C￡B=NADC=120。，結(jié)合圖

形計(jì)算即可；

(2)由VABC與V8PQ都是等邊三角形，得出AB=3C,BP=BQ=PQ,

ZABC=ZPBQ=ZBQP=60°,易證NABP=NC3Q,由SAS證得上鉆尸三》。8。，得出

AP^CQ,ZAPB=NCQB,則C。PQ.PC=345,推出PC?=C。?+P。，得出VCQP是

直角三角形，得出NPQC=90。，則/CQ2=/BQP+NPQC=150。，分別求出.3尸￡>,PC。

的面積即可得出結(jié)果.

—14—

(3)連接A。證明△ACD/ABCP,得到AD=P2=0,由勾股定理的逆定理可證

ZADP=90°,進(jìn)而證明ZCPB=ZADC=135°,

(4)①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△ACD2△BCE,即可得出A￡)=3E.③先證明

△ACP也△8CQ,即可判斷出CP=G2,③正確；②根據(jù)NPCQ=60。，可得△尸CQ為等

邊三角形，證出ZPQC=ZDCE=60。，得出PQ〃AE,②正確.④沒有條件證出30=OE,

得出④錯(cuò)誤；@ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,⑤正確；⑥根據(jù)

全等三角形的性質(zhì)、三角形面積公式求出C〃=CG,根據(jù)角平分線的判定定理可判斷⑥其

正誤；

(5)根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ZW?到旋轉(zhuǎn)角是60。，作

出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到上4+PB+PC的最小

值就是C&的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB'的值，從而可以解答本題.

(6)根據(jù)己知可得VA3C是等腰直角三角形，所以將工仞3繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到

AACE,則3￡>=CE,證明△￡>(%是直角三角形，再利用勾股定理可求CE值.

【詳解】解：(1)：AACB和△￡>(7￡1均為等邊三角形，

CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°.

：.ZACD=ZBCE.

在.AGO和MCE中，

AC=BC

<NACD=NBCE,

CD=CE

：.ACD空BCE(SAS).

:.NADC=NBEC

,/△DCE為等邊三角形，

ZCDE=ZCED=60°.

:點(diǎn)A,D,E在同一直線上，

ZADC=120。.

ZBEC=120°.

ZAEB=Z.BEC-ZCED=60°.

故答案為：60°.

—15—

(2)???VABC與VBPQ都是等邊三角形，

AB=BC,BP=BQ=PQ,ZABC=ZPBQ=ZBQP=60°,

/ABC-APBC=4PBQ-4PBe,即ZABP=ZCBQ,

在和△C3Q中，

AB=BC

<NABP=/CBQ,

BP=BQ

：.AB^CBQ(SAS),

AAP=CQ,ZAPB=NCQB,

'：PA：PB：PC=3：4：5,

CQ：PQ：PC=3：4：5,

PC2=CQ2+PQ2,

???VCQ尸是直角三角形，

???APQC=90°,

：.ZCQB=ZBQP+APQC=60°+90°=150°,

???ZAPB=150°f

CQ.PQ.PC=3：4：5,且PC=10,

???Q2=6,PQ=8,

JS「co=；xCQxPQ=Jx6x8=24,

作交5Q于點(diǎn)G,

???V3R2是等邊三角形，

%=PQ=8,GQ=；BQ=4

PG=yjP^-GQ2=A/82-42=4A/3,

—16—

SBPQ=gxBQxPG=gx8x4有=16后

四邊形。=

,,SBPCSBPQ+SPCQ=16V3+24；

故答案為：150。,16石+24；

(3)如圖，連接AD,

?/ZDCP=ZACB^90°,

：.ZACD=/BCP,

在.ACD與BCP中,

DC=PC

<ZACD=ZBCP,

AC=BC

：.ACD^,BCP(SAS),

.\AD=PB=y/2,NCPB=NADC,

,：ZDCP=90°,DC=PC=1,

DP2=2，

DP=AD=&,

,?*AP-=4=AD2+DP2,

：.ZADP=90°,

?/ZADC=ZADP+ZCDP=135°=ZCPB,

ZCPB+ZDPC=180°,

:.點(diǎn)、P,點(diǎn)8,點(diǎn)。共線，

VBD=BP+PD=2y/l,AD=42,

AB=ylAD2+BD2=710-

—17—

AC=—AB=y/5,

2

故答案為：135。，造；

(4)解：???VA5C和△OCE■是等邊三角形，

ABC=AC,DE=DC=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

：.NBCA+/BCD=NDCE+/BCD,

即ZACD=ZBCE.

在△DC4和石中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.；DCA^ECB(SAS)f

AAD=BE,故①正確；

AACDQABCE,

:./CAD=/CBE,

9：ZACB=ZECD=60°,

：./BCD=60。,

???ZACB=ZBCQ=60°,

在△AC尸與△5C。中，

ZCAP=ZCBQ

<AC=BC,

ZACP=ZBCQ

：.AC^BCQ(ASA),

：.CP=CQ,故③正確；

VCP=CQ,ZPCg=60°,

???△PCQ是等邊三角形，

.??NC尸。=60。，

JZACB=/CPQ,

APQ//AE,故②正確；

沒有條件證出50=④錯(cuò)誤；

—18—

?；AACD/Z\BCE,

：.ZADC=ZAEO,

：.ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE^ZADC=ZDCE=6Q°,

???結(jié)論⑤正確.

過點(diǎn)。作于H,CG_LDP于G,

/\DCA-AECB,

?q—v

??0,DCA~uECB9AD=BE,

：.-ADCG=-BECH,

22

:.CH=CG,

，OC平分/AOE,故⑥正確，符合題意；

綜上所述，正確的結(jié)論有①②③⑤⑥，

故答案為：①②③⑤⑥.

（5）解：以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)"PB到△AP8,旋轉(zhuǎn)角是60。，連接BB'、PP',

如圖所示，

則NPAP=60°,AP^AP',PB=PB',

；?.竹尸是等邊三角形，

:.AP=PP,

：.PA+PB+PC=PP+P'B'+PC,

—19—

PP'+PB'+PC^CB',

:.PP+PB'+PC的最小值就是CB'的值，

即PA+P3+PC的最小值就是CB'的值，

VZBAC=30°,ZBAB'=6O°,AB=6,

NC43'=90。，AB'=6,

又BC=LA3=3

2

AC=y/AB2-BC2=3A/3，

CB'=^lAC2+AB'2=J27+36=3不，

故答案為：3幣.

(6)過點(diǎn)A作E4_LAD,且=連接CE,DE,如圖所示:

則VADE是等腰直角三角形，Z￡4D=90°,

，DE=y/2AD=4&,NEDA=45°,

,/^ADC=45