2025年九年級中考數(shù)學(xué)一模試卷及答案

2024-2025學(xué)年度九年級（下）第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分,共30分.）

1.下列四個數(shù)中，無理數(shù)是（)

A.-3.14B.-2C.D.72

2

2.如圖，這個幾何體的俯視圖是()

3.下列計算正確的是（）

A.3x+3y=6xyB.a2?a3———a6C.b64-b3=b2D.(m2)3=m6

4.已知|3-4=3,則，的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）

A.-?-----LCD.

030303

5.已知a+b=4,a—b=3,則)

A.4B.3C.12D.1

6.如圖，直線射線小與直線》相交于點a過點〃作膽6于點幺已知Nl=25°,則

N2的度數(shù)為（）

A.115°C.155°

第6題圖第9題圖第10題圖第14題圖

7.某銷售公司有營銷人員15人，銷售部為了制定某種商品的月銷售量定額，統(tǒng)計了這15人某月的

銷售量，如下表所示：

每人銷售件數(shù)/件1800510250210150120

人數(shù)/人113532

那么這15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.320,210,230B.320,210,210C.206,210,210

D.206,210,230

8.《九章算術(shù)》第一章“方田”中講述了扇形面積的計算方法：“今有宛田，下周三十步，徑十六

步，問為田幾何？”大致意思為：現(xiàn)有一塊扇形的田，弧長30步，其所在圓的直徑是16步，則這

塊田面積為（）

A."萬平方步B.上萬平方步C.120平方步D.240平方步

33

9.拋物線y=ax2+bx+c（a^0,a,b,c為常數(shù)）如圖所示，則方程ax2+bx+c=m有實數(shù)根的條件是

（）

A.m2—2B.m》5C.m》0D.m>4

10.如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓周上的動點（與A,3不重合），連接

OC.設(shè)=BD=b,CD=h,給出下面三個結(jié)論：①//三巴吆；<人；③

22

h2=ab.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

11.已知點/與點I，■”關(guān)于原點對稱，則「一」.

12.分解因式：ax2+2a2x+a3=a（x+a）2

31

13.方程一^—―=0的解為______.

x+2x

14.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于四邊形ADC0是平行四邊形，則NABC的度數(shù)為

15.已知拋物線y=經(jīng)過點（口）,（辦0）,（3,。），其中c<0.給出下列四個結(jié)論：①

abc>0；②4〃0-62<3〃；③5Q+2Z?VO；?2am+2a-vb>Q.其中正確的結(jié)論是

（填序號）.

三、解答題（一）（本大題共3小題，每小題7分，共21分）

16.計算：4sin45°-逝++|3-乃|.

—2—

17.某校七年級計劃舉辦一場文藝晚會，為了解學(xué)生最喜歡節(jié)目形式，學(xué)生會從七年級隨機抽取若干名

學(xué)生進行調(diào)查，規(guī)定每人從“舞蹈、歌曲、相聲、演奏、小品”五項中選擇一項最喜歡的節(jié)目形式，根

據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

（1）本次一共抽查了名學(xué)生，并補全條形統(tǒng)計圖.

（2）扇形統(tǒng)計圖中，“演奏”所在扇形的圓心角為度.

(3)請估計該校七年級600名學(xué)生中最喜歡“舞蹈”項目的有多少名.

調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計圖

18.某商場準(zhǔn)備購進甲、乙兩種文具，若每個甲文具的進價比每個乙文具的進價少3元，且用200元

購進

甲文具的數(shù)量與用320元購進乙文具的數(shù)量相同.

（1）求每個甲文具和每個乙文具的進價分別是多少元？

（2）該商場購進甲、乙兩種文具共90個，且購進甲文具的數(shù)量不低于乙文具的數(shù)量的3倍.若每個

甲文具的售價為8元，每個乙文具的售價為12元，問該商場應(yīng)怎樣購進甲、乙兩種文具才能使銷售

完這批文具時利潤最大？最大利潤是多少元？

四、解答題（二）（本大題共3小題，19題9分，20題10分，21題10分）

19.祖沖之發(fā)明的水碓（力i）是一種舂米機具（如圖1）,在我國古代科學(xué)家宋應(yīng)星的著作《天工開

物》中有詳細(xì)記載，其原理是以水流推動輪軸旋轉(zhuǎn)進而撥動碓桿上下舂米.圖2是碓桿與支柱的示

意圖，支柱Q0高4尺且垂直于水平地面，碓桿A5長16尺，OB=3OA.當(dāng)點/最低時，

NAQW=60°,此時點8位于最高點；當(dāng)點/位于最高點4時，NA'OM=108.2。，此時點6位于

最低點B'.

（1）求點/位于最低點時與地面的垂直距離;

—3—

(2)求最低點夕與地面的垂直距離.(參考數(shù)據(jù)：sinl8.2°?0.31,cosl8.2°?0.95,

tanl8.2°?0.33)

圖1圖2

20.【背景】在一次物理實驗中，小冉同學(xué)用一固定電壓為12V的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動變阻器來改

(1)a=，b=；

17

(2)【探究】根據(jù)以上實驗，構(gòu)建出函數(shù)y=—三(x>0),結(jié)合表格信息，探究函數(shù)

x+2

y=M(xN0)的圖象與性質(zhì).

12

①在平面直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)函數(shù)y=—^(x20)的圖象；

②隨著自變量X不斷增大，函數(shù)值y的變化趨勢是.

123

⑶【拓展】結(jié)合(2)中函數(shù)圖象分析，當(dāng)MO時，一三"黃+6的解集為

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=」必+少+。(b、c為常數(shù))與x軸正半軸交于點

2

A(4,0),與y軸交于點3(0,-2).P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為m,過點P作x軸的垂

線，交直線AB于點C,在該垂線的點P上方取一點D,使P￡)=|兩，以CD為邊作矩形CDEF,設(shè)點E

的橫坐標(biāo)為-2相+1.

—4—

（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式.

（2）當(dāng)m=T時，求矩形CDEF的周長.

（3）當(dāng)矩形CDEF被x軸分成面積相等的兩部分時，求m的值.

五、解答題（三）（本大題共2小題，22題12分，23題13分）

22.【了解概念】折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形；如圖1,線段尸河、

組成折線段PMA,點6在折線段PMA上，若PB=BM+MA,則稱點B是折線段PMA的中點.

【理解應(yīng)用】（1）如圖2,.）/的半徑為2,必是的切線，A為切點，點8是折線段PMA的中點,

若NP=30。，則PZ?的長為.

【認(rèn)識定理】阿基米德折弦定理：如圖3,和是。的兩條弦（即折線段A3C是圓的一條折

弦），點M是ABC的中點，從/向作垂線，垂足為Q,則CD=A5+5D.這個定

理有很多證明方法，下面方框是運用“截長法”證明CD=AB+5D的部分證明過程.

【定理證明】

—5—

證明：如圖3,在上截取CG=AB,連接MC、MG、MB、MA，

?.?點又是ABC的中點，

??MA=MC，

：.MA=MC.

（2）請按照上面方框中【定理證明】的證明思路，在圖3中連接輔助線并寫出該證明的剩余部分;

【變式探究】（3）如圖4,若點〃是AC的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、

84之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出結(jié)論.

【靈活應(yīng)用】（4）如圖5,3c是「0的直徑，點A為。上一定點，點。為。上一動點，且滿足

ZDAB=45°,若AB=8,BC=10,則AT>=

23.【問題提出】（1）如圖1,在矩形ABCD中，點E,尸分別是邊AD,A3上的點，連接CE與。廠

交于點0，若/FOC=90。，求證：2

Ur/\U

【遷移應(yīng)用】（2）如圖2,在」ABCD中，AB=4,AD=7,點、E,尸分別是邊AD，AB上的點,

CE

連接CE與。尸交于點。，且NCOD+44Z）=180°,求——的值;

DF

【拓展提高】（3）如圖3,在四邊形A3CD中，點E是邊AO上的一點，連接8。與CE交于點。,

AB1BC4、*士―?CE…

NBOC=ZBAD=ZBCD=120°,――=-=~，用直接與出"的值.

AD3CD3BD

圖2

—6—

2024-2025學(xué)年度九年級（下）第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題卷答案

序號12345678910

答案DDDACABCAC

10.如圖，AB是半圓0的直徑，C是半圓周上的動點（與A,B不重合），CDLAB于點D,連

接0C.設(shè)AD=a,BD=b,CD=h,給出下面三個結(jié)論：①hW手；②|?Wh；③h?=ab.上

述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【解答】解：?「AB是半圓0的直徑，

AZACB=90°,

：點0是AB中點，

.*.C0=-AB,

2

VCD±AB,AD=a,BD=b,CD=h,

.?.CDWCO,CO=AO=BO=-AB=-(AD+BD)=—,

222

即hW等，故①正確；

是半圓周上的動點(與A,B不重合)，

.*.OD<AO,CD<DO,

.\D0=|BD-BO|=|b^|=|^|=|^|,

.??I苧Vh,故②錯誤；

VDCXAB,ZACB=90°,

/.ZADC=ZBDC=90°,

—7—

VZDAC+ZACD=90°,ZDCA+ZDCB=90°,

.*.ZDAC=ZDCB

ARtAADC^RtACDB,

.AD_CD

>?—,

CDDB

?a_h

.?——,

hb

h2=ab,.,.h=Vab,

故③正確；

故選：C.

11.2;12a(x+a)2;13x=l;1460。

15.已知拋物線y=ax?+bx+c經(jīng)過點(1,1),(m,0),(3,0),其中c<0.給出下列四個結(jié)

論：①abc>0；②4ac-b?V3a；③5a+2b<0；④2am+2a+b>0.其中正確的結(jié)論是①②④

(填序號).

【解答】解：根據(jù)題意，畫出拋物線的簡圖如下:

如圖，由圖可知，a<0,

對稱軸一包>0,b>0,

2a

Vc<0,

abc>0,故①正確；

2

由題可知：竺衿>1,

4a

Va<0,

/.4ac-b2<4a<3a故②正確.

.??拋物線y=ax，bx+c經(jīng)過點(3,0),(1,1),

/.9a+3b+c=0,a+b+c=1>0,

—8—

.110a+4b+2c>0,

.\5a+2b>-c>0,故③錯誤.

?拋物線過點(m,0),(3,0),

.?.拋物線的對稱軸為直線x=-"=竽,

2a2

/.b=-a(m+3)

/.2am+2a+b=2am+2a-a(m+3)

=a(2m+2-m-3)

=a(m-1),

Va<0,m<l,

Aa(m-1)>0,

/.2am+2a+b>0,故④正確.

故答案為：①②④.

16.計算：4sin45°—返+[]+|3—解：原式=4xj-2V^+4+n-3=l+Tt

17.某校七年級計劃舉辦一場文藝晚會，為了解學(xué)生最喜歡的節(jié)目形式，學(xué)生會從七年級隨

機抽取若干名學(xué)生進行調(diào)查，規(guī)定每人從“舞蹈、歌曲、相聲、演奏、小品”五項中選擇

一項最喜歡的節(jié)目形式，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

調(diào)查結(jié)果條形統(tǒng)計圖調(diào)查結(jié)果扇形統(tǒng)計圖

（1）本次一共抽查了50名學(xué)生,并補全條形統(tǒng)計圖.

（2）扇形統(tǒng)計圖中，“演奏”所在扇形的圓心角為43扇度.

（3）請估計該校七年級的600名學(xué)生中最喜歡“舞蹈”項目的有多少名.

—9—

【解答】解：（1）由題意可得：124-24%=50（名），

.?.本次一共抽查了50名學(xué)生，

...喜歡歌曲的有50X20%=10（人），

補全圖形如下：

故答案為：50；

（2）扇形統(tǒng)計圖中，“演奏”所在扇形的圓心角為360。x《=43.2°,

故答案為：43.2；

（3）該校七年級的600名學(xué)生中最喜歡“舞蹈”項目的有：

600x^=168（名）.

18.某商場準(zhǔn)備購進甲、乙兩種文具，若每個甲文具的進價比每個乙文具的進價少3元，且

用200元購進甲文具的數(shù)量與用320元購進乙文具的數(shù)量相同.

（1）求每個甲文具和每個乙文具的進價分別是多少元？

（2）該商場購進甲、乙兩種文具共90個，且購進甲文具的數(shù)量不低于乙文具的數(shù)量的3

倍.若每個甲文具的售價為8元，每個乙文具的售價為12元，問該商場應(yīng)怎樣購進甲、乙

兩種文具才能使銷售完這批文具時利潤最大？最大利潤是多少元？

【解答】解：（1）設(shè)每個乙文具的進價為x元，則每個甲文具的進價為（x-3）元，

由題意可得，毀=當(dāng)，

X—3x

方程兩邊同乘以X（X-3）,得

200x=320（x-3）,

解得x=8,

經(jīng)檢驗，x=8是原分式方程的解，

/.x-3=5,

答：每個甲文具和每個乙文具的進價分別是5元、8元；

—10—

(2)設(shè)購進甲文具a個，則購進乙文具(90-a)個，利潤為w元，

w=(8-5)a+(12-8)X(90-a)=-a+360,

；.w隨a的增大而減小，

?.?購進甲文具的數(shù)量不低于乙文具的數(shù)量的3倍，

.?.a23(90-a),

解得a》67.5,

/.當(dāng)a=68時，w取得最大值，此時w=-68+360=292,90-a=22,

答：當(dāng)該商場應(yīng)購進甲種文具68個、乙種文具22個時，才能使銷售完這批文具時利潤最

大，最大利潤是292元.

19.祖沖之發(fā)明的水碓(dui)是一種舂米機具(如圖1),在我國古代科學(xué)家宋應(yīng)星的著作

《天工開物》中有詳細(xì)記載，其原理是以水流推動輪軸旋轉(zhuǎn)進而撥動碓桿上下舂米.圖2是

碓桿與支柱的示意圖，支柱0M高4尺且垂直于水平地面，碓桿AB長16尺，0B=30A.當(dāng)點

A最低時，NA0M=60°,此時點B位于最高點；當(dāng)點A位于最高點A'時，NA，0M=108.2°,

此時點B位于最低點夕.

(1)求點A位于最低點時與地面的垂直距離；

(2)求最低點B'與地面的垂直距離.(參考數(shù)據(jù):sinl8.2°-0.31,cosl8.2°-0.95,

tanl8.2°^0.33)

圖2

【解答】解：（1）如圖，過點A作ACL0M于點C,

VAB=16,0B=30A,

1

/.0A=16x—=4,0B=30A=12,

在Rt^AOC中，ZA0C=60°,0A=4,

—ii—

1

???0C=±0A=2,

2

/.CM=4-2=2,

即點A位于最低點時與地面的垂直距離為2尺；

(2)如圖，過點B'作B'DLOM于點D,

在RtAB'0D中，OB'=12,NOB'D=108.2°-90°=18.2°,

VsinZ0B,D=—,

OB'

.*.0D=12Xsinl8,2°

心12X0.31

=3.72,

ADM=4-3.72=0.28(尺)，

即最低點力與地面的垂直距離約為0.28尺.

20.【背景】在一次物理實驗中，小冉同學(xué)用一固定電壓U=12V的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動變

阻器來改變電流大小，完成控制燈泡L(燈絲的阻值R=2Q)亮度的實驗(如圖)，已知串聯(lián)

電路中，電流與電阻R、L之間關(guān)系為1=/通過實驗得出

R+RL

如下數(shù)據(jù):

R/Q1a

I/A43

(1)a=2,b=L5

(2)【探究】根據(jù)以上實驗，構(gòu)建出函數(shù)y=^(x20),結(jié)合表格信息，探究函數(shù)丫=總

(x20)的圖象與性質(zhì).

①在平面直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)函數(shù)y=總。20)的圖象；

②隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)值y的變化趨勢是不斷減小.

(3)【拓展】結(jié)合(2)中函數(shù)圖象分析，當(dāng)x》0時，=2—1x+6的解集為乂三2或*=

x+22-----------------------

—12—

【解答】解：(1)根據(jù)題意，3==，b=三

a+b6+2

/.a=2,b=l.5；

故答案為:2,1.5；

(2)①根據(jù)表格數(shù)據(jù)描點：(L4),(2,3),(3,2.4),(4,2),(6,1.5),在平面直角

坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)函數(shù)y=g(x》0)的圖象如下：

②由圖象可知，隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)值y的變化趨勢是不斷減小，

故答案為：不斷減小；

(3)如圖:

即當(dāng)xNO時，=20x+6的解集為x》2或x=0,°'2345678,01234

x+22

故答案為：x22或x=0.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=；x2+bx+c(b、c為常數(shù))與x軸正半軸交于

點A(4,0),與y軸交于點B(0,-2).P是該拋物線上的任意一點，其橫坐標(biāo)為m,過

點P作x軸的垂線，交直線AB于點C,在該垂線的點P上方取一點D,使PD=|m|,以CD

為邊作矩形CDEF,設(shè)點E的橫坐標(biāo)為-2m+L號

(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式.許弓歹

(2)當(dāng)m=-l時，求矩形CDEF的周長.

(3)當(dāng)矩形CDEF被x軸分成面積相等的兩部分時，求m的值.

【解答】解：(1)..?拋物線y=；*2+6*+(:經(jīng)過點人(4,0),B(0,-2),

?f8+4b+c=0

—13—

(3

解得b=-2,

、c=-2

3

???y=-1x2^——x—n2；

)22

(2)當(dāng)m=T時，P(-1,0),PD=|m|=1,-2m+l=3,

，D(-1,1),E(3,1),

設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b(kWO),把A(4,0)、B(0,-2)代入得:

C4k+b=0

tb=—2

k=-

解得:2,

b=-2

...直線AB的解析式為y=；x—2

(2)著>=-l時，(-1,0).PD=-i=1.-2JTI

：J)(-I.1)?￡(3.I).

'1.0.//ii..-1.

2

花尸&-2中,令r=-I存尸-鼻

22

Ar(-1.-.

2

7

/*=4.

2

7

V2X-*2X4=15.

2

矩形的周長為15t

—14—

(3)?.?當(dāng)矩形CDEF被x軸分成面積相等的兩部分時，點D和點C關(guān)于x軸對稱，

1

/.C(m,-m—2),

VP(m,|m2—|m—2),PD=|m|,

①當(dāng)mVO時，D(m,|m2—|m—2—m),

/.|m2—|m—2—m=—(|m—2),

解得：mi=2-2V3,m2=2+2V3(舍去)；

②當(dāng)m〉O時，D(m,|m2—|m—2+m),

131

m—(——m2o+-m+2)———m+2,

,2272

解得mi=242,m2--2V2(舍去)；

22.【了解概念】

我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形.如圖1,線

段MQ、QN組成折線段MQN.若點P在折線段MQN上，MP=PQ+QN,則稱點P是折線段MQN

的中點.

【理解應(yīng)用】

(1)如圖2,。。的半徑為2,PA是。。的切線，A為切點，點B是折線段POA的中點.若

ZAPO=3O°,則PB=3；

【定理證明】

(2)阿基米德折弦定理：如圖3,AB和BC是。。的兩條弦(即折線段ABC是圓的一條折

弦)，BC>AB,點M是做的中點，從M向BC作垂線，垂足為D,求證：D是折弦ABC的中

八占'、?，

【變式探究】

—15—

(3)如圖4,若點M是前的中點，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA之間存

在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論.

【靈活應(yīng)用】

(4)如圖5,BC是。0的直徑，點A為。0上一定點，點D為。0上一動點，且滿足NDAB

=45°,若AB=8,BC=10,則AD=7魚或魚.

【解答】(1)解：：PA是。。的切線，A為切點，

/.PAXAO,

/.ZPA0=90°,

VZAP0=30°,A0=2,

.?.P0=4,

.?.P0+A0=6,

,；B是折線段POA的中點，.?.PB=3,

(2)證明：在BC上截取CG=AB,連接MC、MG、MB、MA,

?.?點M是說的中點，

.\MA=MC,

ZA=ZC,

AAMAB^AMCG(SAS),

AMB=MG,

VMDXBC,

—16—

.*.BD=DG,

.*.AB+BD=CG+DG=CD,

???D是折弦ABC的中點；

(3)解：BD=AB+CD,理由如下：

在BD上截取BG=AB,連接MC、MA、MB、MG,

?點M是前的中點，

AAM=CM,

ZABM=ZMBG,

AAMAB^AMGB(SAS),

AMA=MG,

.".MC=MG,

VDMXBC,

.*.CD=DG,

.*.AB+CD=BG+DG=BD；

(4)解：:BC是。。的直徑,

AZBAC=90°,

VAB=8,BC=10,

.?.AC=6,

圖3圖.]

當(dāng)D點在就上時，如圖5,

VZDAB=45°,

.,.ZDAB=ZDAC=45°,

過D點作DGLAB交于點G,

，BG+AC=AG,

/.AG=-x(6+8)=7,

2

.*.AD=7V2；

當(dāng)D點在靛上時，則D為曲的中點，如圖6,ZBAD=45°,

過點D作DGLAB交于G點，

VAG+AC=BG,

.?.AG—x(8-6)=1,

2

AD=V2；

綜上所述：AD的長為7/或魚，

故答案為：7魚或魚.

23.【問題提出】

(1)如圖1,在矩形ABCD中，點E,F分別是邊AD,AB上的點，連接CE與DF交于點0,

若NF0C=90°,求證：—.

DFAD

【遷移應(yīng)用】

(2)如圖2,在皿BCD中，AB=4,AD=7,點E,F分別是邊AD,AB上的點，連接CE與DF

交于點0,且NC0D+NBAD=180°,求胎的值.

DF

【拓展提高】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，點E是