2025年廣東省深圳市某中學(xué)3月模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試題（學(xué)生版+解析版）

2025年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校（集團(tuán)）3月模擬考試

數(shù)學(xué)試題

（試卷總分：100分考試時間：90分鐘）

第一部分選擇題

一.選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.中國人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)

工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù).如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖1可列式計(jì)算為

（+1）+（—1）=°,由此可推算圖2中計(jì)算所得的結(jié)果為（）

D.-7

2.把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的主要方法有切截、展開、從不同方向看.下列方法得到的平面圖形是長方

3.俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看.”其意思是知識

和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過的東西就會被遺忘.假設(shè)每天“遺忘”的百分比是一樣

的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，設(shè)每天“遺忘”的百分比為尤，則x滿足方程（）

A.(1+0.5%)2=0.5B.(l-0.5x)2=0.5

C.(1+尤)2=0.5D.(1-X)2=0.5

4.如圖，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一個可以探究小孔成像特點(diǎn)的物理實(shí)驗(yàn)裝置，他在薯

片筒的底部中央打上一個小圓孔0,再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像與蠟燭火

焰位似，其位似中心為0,其中薯片筒的長度為16cm.蠟燭火焰AB高為6cm,若像高CD為3cm,則

蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為（）

A.一cmB.25cmC.32cmD.64cm

4

5.如圖，已知NAO3,以點(diǎn)。為圓心，以任意長為半徑畫弧，與。4,03分別交于點(diǎn)C,D,再分別

以點(diǎn)C,。為圓心，以大于工8長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E過射線0尸上一點(diǎn)M作上W/Q4,

2

與05相交于點(diǎn)N,ZMNB=50°,則（）

A.15°B.25°C.30°D.50°

6.根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值，判斷一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范圍是（）

X00.511.522.533.54

2

X-

20.250.252

4x+211.7521.751

A.0<x<0.5,或3.5<x<4B.0.5Vxe1,或3Vx<3.5

C.0.5<x<L或2Vx<2.5D.0<x<0.5,或3vx<05

7.在邊長為3的正六邊形ABCDEE中，將四邊形ADEF繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到四邊形AD'E'戶'處，如

圖，此時邊A。'與對角線AC重疊，則圖中陰影部分的面積是（)

C.2TI+2D.2百+2兀

8.如圖，滑動調(diào)節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB,P為立柱上的滑動調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為

△PDE,尸為的中點(diǎn)，AC=2.8m,PD=2m,CF=\m,ZDPE=15°.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽光線與PE

垂直時，遮陽效果最佳，在上午10：00時，太陽光線與地面的夾角為65。，若要遮陽效果最佳AP的長約

為（）

(參考數(shù)據(jù):sin65°^0.91,cos65°^0.42,sin50°20.77,cos50°g0.64)

A1.2mB.1.3mC.1.5mD.2.0m

第二部分非選擇題

二.填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）

9.如果單項(xiàng)式一盯“與;是同類項(xiàng).則㈤:+〃=。的解為

10.七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”.數(shù)學(xué)活動課上小東制作了一套七巧板，拼成

正方形A5CD,其中包括五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形.如圖，其中一塊等腰直角

三角形（陰影圖形）的直角邊為5cm,則正方形A3CD的邊長為cm.

11.某校九年級學(xué)生對某市市民出行的交通工具進(jìn)行調(diào)查，圖1和圖2是收集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)

圖.根據(jù)圖中提供的信息，那么本次調(diào)查的對象中選擇公交出行的人數(shù)是.

12.如圖，一同學(xué)進(jìn)行單擺運(yùn)動實(shí)驗(yàn)，從A點(diǎn)出發(fā)，在右側(cè)達(dá)到最高點(diǎn)民實(shí)驗(yàn)過程中在。點(diǎn)正下方P處

有一個釘子.已知在。點(diǎn)測得起始位置A的俯角是45°,8點(diǎn)的俯角是60°,8點(diǎn)測得釘子尸的仰角是45°,

且OP長為4,則擺繩Q4長為.

EOF

13.如圖，拋物線、=-/+2尤+3經(jīng)過矩形。45。的兩頂點(diǎn)4B,與x軸交于點(diǎn)，E,拋物線對稱軸與

x軸交于點(diǎn)丘點(diǎn)P,。分別為A3、BC邊上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形OPQ尸周長最短時，P0與。尸的數(shù)量關(guān)系

三.解答題（本大題共7小題，共61分）

afa>0fa<0

14.根據(jù)有理數(shù)乘法（除法）法則可知：①若">。（或/。），則|或/<0；②若（或

a>0\a<0

<0),則…或根據(jù)上述知識，求不等式（x-2）（x+3）>0的解集

x-2>0x-2<0

解：原不等式可化為：（1）<_八或（2）〈c八.由（1）得，X>2,由（2）得，x<—3,???

%+3>0[%+3<0

原不等式的解集為：x<-3或%>2.請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料解答下列問題：

⑴求不等式（X—3）（x+l）<0的解集；

x+4

（2）求不等式^一<0的解集.

1-X

15.某班四個數(shù)學(xué)小組，準(zhǔn)備研讀四部古代數(shù)學(xué)著作.現(xiàn)制作背面完全相同4張卡片，正面分別寫有《九

章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《數(shù)#f記遺》，將4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每個小組選一代

表從中依次抽取一張卡片.

（1）第一學(xué)習(xí)小組抽到《五經(jīng)算術(shù)》的概率是.

（2）若第一和第二小組依次從中抽取一張，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩組抽取的兩張卡片正

面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》的概率.

16.模具長計(jì)劃生產(chǎn)面積為9,周長為機(jī)的矩形模具，對于機(jī)的取值范圍，小陳已經(jīng)能用“代數(shù)”的方法

解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進(jìn)行探究，過程如下：

9

設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為羽y.由矩形的面積為9,得盯=9.即y=—；由周長為加，得

x

rri

2（x+y）=m,即丁=—%+—,滿足要求的（羽y）.應(yīng)是兩個函數(shù)圖像在第象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo).

2

（2）畫出函數(shù)圖像

9m

函數(shù)y=一的圖像如圖所示，而函數(shù)y=-x+—的圖像可由直線丁=一兀平移得到.請?jiān)谕恢苯亲鴺?biāo)系

x2

中直接畫出直線丁=一兀.

（3）平移直線丁=一兀，觀察函數(shù)圖像

9

①當(dāng)直線平移到與函數(shù)_y=一的圖像有唯一交點(diǎn)（3,3）,周長，"的值為

x

②在直線平移過程中，交點(diǎn)個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點(diǎn)個數(shù)及對應(yīng)的周長機(jī)的取值范圍；

（4）得出結(jié)論

若能生產(chǎn)出面積為9的矩形模具，則周長機(jī)的取值范圍為

17.近年來，新能源汽車特別是純電動汽車受到越來越多消費(fèi)者的關(guān)注，下面是價格相同的燃油車與純電動

汽車的部分相關(guān)信息對比：

燃油車純電動汽車

油箱容積：40升電池容量：80千瓦時

油價：7.5元/升電價：0.55元/千瓦時

續(xù)航里程：加千米續(xù)航里程：加千米

每千米行駛費(fèi)用：坐堂元每千米行駛費(fèi)用：--------元

m

(1)用含機(jī)的代數(shù)式表示純電動汽車的每千米行駛費(fèi)用；

(2)若純電動汽車每千米行駛費(fèi)用比燃油車少0.64元.

①分別求出這兩款車每千米行駛費(fèi)用；

②若燃油車和純電動汽車每年的其它費(fèi)用分別為3600元和6800元.小明家要購置新車，他們家每年行駛里

程大于6000千米，則他們購買哪一款汽車的年費(fèi)用更低？(年費(fèi)用=年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用)

18.如圖，BE是的直徑，點(diǎn)C為外一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD,雇于點(diǎn)。，交于點(diǎn)F,連接BC,

與。。相交于點(diǎn)4點(diǎn)尸為線段PC上一點(diǎn)，且AP=CP

(1)求證：AP為的切線;

(2)若點(diǎn)尸為孫￡的中點(diǎn)，。。的半徑為5,AB=6,求的長.

19.綜合與實(shí)踐

問題提出】

如圖(1)在VA3C中，ZA=90°,。為A3邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸沿折線?！狝—C運(yùn)動(運(yùn)動到點(diǎn)C停

止)，以。尸為邊在上方作正方形DPEF.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x,正方形DREF的面積為y.

(1)當(dāng)點(diǎn)2在A。上運(yùn)動時，

①若x=6，貝gy=:

②y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式為；

(2)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖(2)所示的函數(shù)圖

象，直線x=2是其圖象所在拋物線的對稱軸，求y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍).

【延伸探究】

(3)連接正方形DPEF的對角線QE,PF,兩對角線的交點(diǎn)為M，在(2)的情況下，求點(diǎn)A在

QFM內(nèi)部時x和y的取值范圍.

20.在平行四邊形A3CD中，ZABC=60°,AB=4,點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，且8E=1.

圖1圖2

(1)若AB=BC,

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在5C上時，連接AE，作NE4F=60。交于點(diǎn)/，連接AC、EF，求證：△胡萬

為等邊三角形；

②如圖2,連接AE，作NE4歹=30°,作所，A尸于點(diǎn)/，連接CF,當(dāng)點(diǎn)歹在線段5c上時，求CF

的長度；

(2)如圖3,連接AC,若NH4C=90°,尸為A3邊上一點(diǎn)(不與A、8重合)，連接尸E，以PE為邊

作RtZkEPE,且NEP尸=90°,ZPEF=60°,作NPEF的角平分線EG,與PE交于點(diǎn)G,連接

OG,點(diǎn)E在運(yùn)動的過程中，OG的最大值與最小值的差為.

2025年廣東省深圳市南山外國語學(xué)校（集團(tuán)）3月模擬考試

數(shù)學(xué)試題

（試卷總分：100分考試時間：90分鐘）

請將答案寫在答題卷上

第一部分選擇題

一.選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.中國人最先使用負(fù)數(shù)，魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽在“正負(fù)術(shù)”的注文中指出，可將算籌（小棍形狀的記數(shù)

工具）正放表示正數(shù)，斜放表示負(fù)數(shù).如圖，根據(jù)劉徽的這種表示法，圖1可列式計(jì)算為

（+1）+（—1）=°,由此可推算圖2中計(jì)算所得的結(jié)果為（）

圖1圖2

A.+1B.+7C.-1D.-7

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查的是有理數(shù)的加法與閱讀理解型，根據(jù)圖示得出兩個數(shù)，然后再進(jìn)行求和得出答

案.

【詳解】解：由題意得：（+3）+（T）=—1,

故選：C.

2.把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形的主要方法有切截、展開、從不同方向看.下列方法得到的平面圖形是長方

形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了幾何體的展開圖以及認(rèn)識平面圖形，掌握圓柱和圓錐的特征是解答本題的關(guān)鍵.根據(jù)

圓柱、圓錐的特征解答即可.

【詳解】解：選項(xiàng)A的切截是一個圓，故選項(xiàng)A不符合題意；

選項(xiàng)B的切截是一個等腰三角形，故選項(xiàng)B不符合題意；

選項(xiàng)C是圓柱的側(cè)面展開圖，是一個長方形，故選項(xiàng)C符合題意；

選項(xiàng)D從左面看是一個等腰三角形，故選項(xiàng)D不符合題意.

故選：C.

3.俗語有云：“一天不練手腳慢，兩天不練丟一半，三天不練門外漢，四天不練瞪眼看.”其意思是知識

和技藝在學(xué)習(xí)后，如果不及時復(fù)習(xí)，那么學(xué)習(xí)過的東西就會被遺忘.假設(shè)每天“遺忘”的百分比是一樣

的，根據(jù)“兩天不練丟一半”，設(shè)每天“遺忘”的百分比為x,則x滿足方程()

A(l+0.5x)2=0.5B.(l-0.5x)2=0.5

C.(1+X)2=0.5D.(1-X)2=0.5

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系正確列出方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)

每天遺忘的百分比為x,根據(jù)“兩天不練丟一半”列出方程解答即可.

【詳解】解：設(shè)每天遺忘的百分比為了,

則根據(jù)題意可得：(1-X)2=0.5,

故選：D.

4.如圖，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一個可以探究小孔成像特點(diǎn)的物理實(shí)驗(yàn)裝置，他在薯

片筒的底部中央打上一個小圓孔。，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像與蠟燭火

焰位似，其位似中心為。，其中薯片筒的長度為16cm.蠟燭火焰A3高為6cm,若像高CD為3cm,則

蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為()

為屏小孔A

Cui_______/，

A.—cmB.25cmC.32cmD.64cm

4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查位似，相似的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.連接A3,CD,過點(diǎn)。

作OELAB于點(diǎn)E,OFLCD于點(diǎn)F,先判定,即可得對應(yīng)高比之比等于相似比，即可

OF1

得——=一,即可求解.

OE2

過點(diǎn)。作0ELA5于點(diǎn)E，。/，。。于點(diǎn)/，

由像與蠟燭火焰位似，其位似中心為。,

:.ACOD^ABOA，

CD31

??.相似比為：-=-=

AB62

_OF1

，對應(yīng)（W）的比為：—=一，

0E2

...OE=2OF=2xl6=32（cm）,

...蠟燭到薯片筒打小孔的底部的距離為32cm,

故選：C.

5.如圖，已知NAO3,以點(diǎn)。為圓心，以任意長為半徑畫弧，與04,05分別交于點(diǎn)C,D,再分別

以點(diǎn)C,。為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)R過射線0尸上一點(diǎn)M作上W〃Q4,

2

與05相交于點(diǎn)N,ZMNB=50°,則（）

A.15°B,25°C.30°D,50°

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了基本作圖，作已知角的角平分線及其定義和平行線的性質(zhì).通過兩直線平行，同位角

相等，再利用角平分線定義求解即可.

【詳解】解：?：MN〃0A,

.■.ZAOB=ZMNB=50°,

由題意可知：平分NAO3,

ZAOM=ZMOB=-ZAOB=25°.

2

故選：B.

6.根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值，判斷一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范圍是（）

X00.511.522.533.54

X2-

20.250.252

4x+211.7521.751

A.0<x<0.5,或3.5VxV4B.0.5<x<l,或3Vx<3.5

C.0.5<x<l,或2Vx<2.5D.0<x<0.5,或3Vx<3.5

【答案】B

【解析】

【分析】觀察表格中的數(shù)據(jù)，確定出方程解的范圍即可.

【詳解】解：根據(jù)下列表格中的對應(yīng)值，得x=0.5時，x2-4x+2=0.25,x=1.5時，x2-4x+2=-l；x=3時，x2-4x+2=-

1,x=3.5時,x2-4x+2=0.25,

判斷一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范圍是0.5<x<l,或3Vx<3.5,

故選B.

【點(diǎn)睛】此題考查了估算一元二次方程的近似解，利用二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.

7.在邊長為3的正六邊形A5CDEF中，將四邊形ADEF繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到四邊形AD'E'戶'處，如

圖，此時邊A。'與對角線AC重疊，則圖中陰影部分的面積是（）

C.271+2D.273+271

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了正多邊形與圓，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

以及扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???在邊長為3的正六邊形ABCDEF中，ZZMC=3O°,ZB=ZBCD=120°,

AB=BC=CD=3,

ZBAC=ZBCA=30°,

：.NACD=90。，

CD=3,

AD=2CD=6，

...圖中陰影部分的面積=S四邊形ADEF+S扇形DA"—S四邊形AF,ED，

???將四邊形ADEF繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到四邊形2EF處,

S四邊形4OEF=S四邊形AD'E'F，，

...圖中陰影部分的面積扇不相=萬

=S廄Tf^DA7Dy360=3

故選：B.

8.如圖，滑動調(diào)節(jié)式遮陽傘的立柱AC垂直于地面AB,P為立柱上的滑動調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為

△PDE,尸為的中點(diǎn)，AC=2.8m,PD=2m,CF=\m,ZDPE=15°.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽光線與PE

垂直時，遮陽效果最佳，在上午10：00時，太陽光線與地面的夾角為65°,若要遮陽效果最佳AP的長約

為()

(參考數(shù)據(jù)：sin65°"0.91,cos65°仁0.42,sin50°20.77,cos50°g0.64)

A.1.2/wB.13mC.1.5mD.2.0m

【答案】C

【解析】

【分析】過點(diǎn)F作FGLAC于點(diǎn)G,根據(jù)題意可得，當(dāng)太陽光線與PE垂直時，遮陽效果最佳，即

ZBEP=90°,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得/CPF的度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出CP的長，進(jìn)而

可得遮陽效果最佳時AP的長.

【詳解】如圖，過點(diǎn)尸作尸GUC于點(diǎn)G,

根據(jù)題意可知：

當(dāng)太陽光線與PE垂直時，遮陽效果最佳，

:./BEP=90°.

VZA=90°,ZB=65°,

AZEPA=360°-90°-90°-65°=115°.

?：NDPE=15°,

AZAPD=130°,

/.ZCPF=50°.

??,/為PO的中點(diǎn)，

：.DF=PF=-PD=l

2f

：.CF=PF=1,

：.CP=2PG=2XPF?cos50°^2X1X0.64^1.28,

：.AP=AC-PC=2.S-1.28仁1.5(m).

所以要遮陽效果最佳AP的長約為1.5米.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握坡度坡角定義.

第二部分非選擇題

二.填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

9.如果單項(xiàng)式一盯與;￡+2,3是同類項(xiàng).則依+〃=0的解為

【答案】x=2

【解析】

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，分別得到關(guān)于“和關(guān)于人的一元一次方程，解得a和6的后代入方程

ax+b^Q,再解關(guān)于x的一元一次方程，即可得到答案.

【詳解】解：\?單項(xiàng)式-盯與;產(chǎn)2y3是同類項(xiàng)，

<7+2=1,Z?+l=3,

解得：a=—1,b=2,

才巴a=—1,匕=2代入方程＜2x+Z?=0,

得：—x+2=0,

解得：x=2.

故答案為：x=2.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程和同類項(xiàng).正確掌握同類項(xiàng)的定義和解一元一次方程的方法是解題的關(guān)

鍵.

10.七巧板是我們祖先的一項(xiàng)卓越創(chuàng)造，被譽(yù)為“東方魔板”.數(shù)學(xué)活動課上小東制作了一套七巧板，拼成

正方形A3CD,其中包括五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形.如圖，其中一塊等腰直角

三角形（陰影圖形）的直角邊為5cm,則正方形A3CD的邊長為cm.

【答案】1072

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確識圖，

靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.根據(jù)七巧板的特點(diǎn)和平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】???等腰直角二角形（陰影圖形）的直角邊為5cm,

等腰直角三角形（陰影圖形）的斜邊為5技m，

???平行四邊形的邊長為5J5cm，

正方形ABCD的邊長為2義5缶m=10缶m，

故答案為：100

11.某校九年級學(xué)生對某市市民出行的交通工具進(jìn)行調(diào)查，圖1和圖2是收集數(shù)據(jù)后繪制的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)

圖.根據(jù)圖中提供的信息，那么本次調(diào)查的對象中選擇公交出行的人數(shù)是.

【答案】6000

【解析】

【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)自駕車人數(shù)除以百分比，可得答案.

【詳解】解：由題意，得,4800—40%=12000,

公交：12000x50%=6000,

故答案為：6000.

12.如圖，一同學(xué)進(jìn)行單擺運(yùn)動實(shí)驗(yàn)，從A點(diǎn)出發(fā)，在右側(cè)達(dá)到最高點(diǎn)&實(shí)驗(yàn)過程中在。點(diǎn)正下方的尸處

有一個釘子.已知在。點(diǎn)測得起始位置A的俯角是45°,8點(diǎn)的俯角是60°,8點(diǎn)測得釘子尸的仰角是45°,

且OP長為4,則擺繩Q4長為.

【答案】2指+2行+4

【解析】

【分析】如圖，過A作ACLOP于C,過加乍班)，。75與。，由題意知NQ4C=45°,

ZDBO=6Q°,ZDBP=45°,OP+BP^OA,tanZDBP=—=l,tanZDBO=—=yf3,解

DBDB

得DP=DB，OZ>=?)3，根據(jù)=+即限>8=4+05，求解￡)3的值，根據(jù)

DB

BP=求解8尸的值，進(jìn)而可得04的值.

cosZDBP

【詳解】解：如圖，過A作ACLOP于C,過2作與。,

EO

由題意知NQ4C=45°,ZDBO=60°,ZDBP=45°,OP+BP=OA,

：.tanZDBP=—-1,tanZDBO=—=yf3,

DBDB

:.DP=DB，OD=?DB，

'：OD=OP+PD,

：,6DB=4+DB,

解得D3=2（6+1）,

/.BP=———=276+272,

cosZDBP

AOA=276+272+4,

故答案為：2太+20+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于明確線段之間的數(shù)量關(guān)系.

13.如圖，拋物線、=-9+2苫+3經(jīng)過矩形。43。的兩頂點(diǎn)4B,與x軸交于點(diǎn)。，E,拋物線對稱軸與

x軸交于點(diǎn)E點(diǎn)P,。分別為A3、5c邊上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形OPQb周長最短時，P0與。尸的數(shù)量關(guān)系

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短最短，軸對稱的性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)的

應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.作點(diǎn)。關(guān)于直線A3的對稱點(diǎn)河，先求出A（0,3）,E（3,0）,對稱軸為直線x=l,

連接ME，交A3于點(diǎn)P,交BC與Q,QF=QE,OP=MP,此時四邊形OPQ/周長為

OF+OP+PQ+QF=OF+MP+PQ+QE=OF+ME,周長最短，即點(diǎn)Af、P、Q、E共線時，周

，)

長最短，然后求出直線ME解析式為y=-2%+6,從而可求出產(chǎn):2(2,2,然后用兩點(diǎn)間的距

離即可求解.

【詳解】解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于直線的對稱點(diǎn)M，

由y=~x2+2x+3得：當(dāng)y=。時，一%?+2,x+3=0，解得：%=—1,%=3,

."（3,0）,

當(dāng)x=0時，y=3,

A（0,3）,

???四邊形A5C0是矩形，

.-.AB±OA,BC±OC,

???A、8關(guān)于拋物線對稱軸對稱；

???拋物線對稱軸為直線1=1,

.-.F（0,l）,5（2,3）,

.-.C（2,0）,

.■.E,歹關(guān)于直線5C對稱；

連接ME，交AB于點(diǎn)P,交BC與Q,

??.QF=QE,OP=MP,

...此時四邊形OPQ/周長為。尸+OP+PQ+Q/=。/+MP+PQ+QE=O廠+〃石，周長最短,

即點(diǎn)“、尸、Q、E共線時，周長最短,

:點(diǎn)0關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為M，

.?.”（0,6）,

設(shè)直線M石解析式為y=^+b,

'3k+b=0k=-2

解得

b=6b=6

???直線ME解析式為y=—2%+6,

3

當(dāng)y=3時，一2兄+6=3,解得：x=一,

2

當(dāng)x=2時，y=-2x2+6=2,

A2（2,2）,

22

：.OP=J^-0^+（3—0）2=亭,QF=^2-l）+（2-0）=75-

3

：.OP=-QF,

3

故答案為：OP=3QF.

三.解答題（本大題共7小題，共61分）

a>0〃<0

14.根據(jù)有理數(shù)乘法（除法）法則可知：①若而>0（或幺〉0）,則一7人或<；②若（或

bb>0b<0

a>0a<0

—<0）,則v7C或<.根據(jù)上述知識，求不等式（龍-2）（x+3）>0的解集

bb<0b>Q

x-2>0x-2<0

解：原不等式可化為：（1）《或（2）《.由（1）得，x>2,由（2）得，x<—3，.二

x+3>0x+3<0

原不等式的解集為：xv-3或X>2.請你運(yùn)用所學(xué)知識，結(jié)合上述材料解答下列問題:

（1）求不等式（x—3）（x+l）v0的解集;

x+4

（2）求不等式——<0的解集.

1-x

【答案】（1）-l<x<3；（2）%>1或x<—4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)乘法運(yùn)算法則可得不等式組，仿照有理數(shù)乘法運(yùn)算法則得出兩個不等式組，分別

求解可得.

（2）根據(jù)有理數(shù)除法運(yùn)算法則可得不等式組，仿照有理數(shù)除法運(yùn)算法則得出兩個不等式組，分別求解可

得.

【詳解】解：（1）原不等式可化為：①〈，c或②1,

%+1<0[%+1>0

由①得，空集，由②得，一l<x<3,

???原不等式的解集為：—l<x<3,

x+4x+4>0光+4<0

(2)由<0知①<或<

1-xl-x<01-%>0

解不等式組①，得：%>1；

解不等式組②，得：x<-4；

所以不等式—<0的解集為》>1或x<-4.

1-x

【點(diǎn)睛】本題主要考查解不等式、不等式組的能力，將原不等式轉(zhuǎn)化為兩個不等式組是解題的關(guān)鍵.

15.某班四個數(shù)學(xué)小組，準(zhǔn)備研讀四部古代數(shù)學(xué)著作.現(xiàn)制作背面完全相同的4張卡片，正面分別寫有《九

章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《五經(jīng)算術(shù)》《數(shù)#J記遺》，將4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每個小組選一代

表從中依次抽取一張卡片.

（1）第一學(xué)習(xí)小組抽到《五經(jīng)算術(shù)》的概率是.

（2）若第一和第二小組依次從中抽取一張，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩組抽取的兩張卡片正

面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》的概率.

【答案】（1）!；

4

（2）兩組抽取的兩張卡片正面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》的概率是

【解析】

【分析】（1）直接利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）畫出樹狀圖，利用概率公式計(jì)算即可；

本題考查了概率公式，樹狀圖或列表法求概率，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【小問1詳解】

解：：共有4張卡片混合后正面朝下放置在桌面上，

...第一學(xué)習(xí)小組抽到《五經(jīng)算術(shù)》的概率是工，

4

故答案為：—;

4

【小問2詳解】

解：設(shè)正面分別寫有《九章算術(shù)》，《周髀算經(jīng)》，《五經(jīng)算術(shù)》，《數(shù)街記遺》的卡片分別用A、B、C、D

表示,

畫樹狀圖,

一共有12種等可能情況，兩張卡片正面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》有2種，

兩組抽取的兩張卡片正面寫的是《九章算術(shù)》和《周髀算經(jīng)》的概率是2

126

16.模具長計(jì)劃生產(chǎn)面積為9,周長為加的矩形模具，對于機(jī)的取值范圍，小陳已經(jīng)能用“代數(shù)”的方法

解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進(jìn)行探究，過程如下:

0

9

設(shè)矩形相鄰兩邊的長分別為冗，兒由矩形的面積為9,得盯=9.即y=—；由周長為相，得

x

m

2(x+y)=m,即丁=—x+5，滿足要求的應(yīng)是兩個函數(shù)圖像在第象限內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)畫出函數(shù)圖像

9m

函數(shù)y=二的圖像如圖所示，而函數(shù)y=-x+—的圖像可由直線丁=一兀平移得到.請?jiān)谕恢苯亲鴺?biāo)系

x2

中直接畫出直線丁=一兀.

（3）平移直線丁=-兀，觀察函數(shù)圖像

9

①當(dāng)直線平移到與函數(shù)丁=—的圖像有唯一交點(diǎn)（3,3）,周長，”的值為

x

②在直線平移過程中，交點(diǎn)個數(shù)還有哪些情況？請寫出交點(diǎn)個數(shù)及對應(yīng)的周長機(jī)的取值范圍；

（4）得出結(jié)論

若能生產(chǎn)出面積為9的矩形模具，則周長機(jī)的取值范圍為

【答案】（1）一；（2）畫圖見解析；

（3）①12,②相＜12時，沒有交點(diǎn)；機(jī)＞12時，有2個交點(diǎn)；

（4）m＞12

【解析】

【分析】（1）根據(jù)反比例的圖象在第一象限即可得出；

（2）過原點(diǎn)及（1,-1）即可得直線y=—x,

（3）①把點(diǎn)（3,3）代入y=—x+—即可求解；

2

Qm

②在直線平移過程中，交點(diǎn)個數(shù)有：。個、1個、2個三種情況，聯(lián)立y=—和y=-尤+一,并整理得：

x2

,1

%2——mx+9=0即可求解；

2

（4）由（3）可得.

【小問1詳解】

9

=—的圖象位于第一象限，

兩個函數(shù)圖像的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，

故填：一；

【小問2詳解】

【小問3詳解】

myn

①把點(diǎn)（3,3）代入y=—兀+5得：3=-3+—,

解得：機(jī)=12,

故答案為：12.

②由①知：0個交點(diǎn)時，0<m<12；2個交點(diǎn)時，機(jī)>12；1個交點(diǎn)時，相=12；

【小問4詳解】

91

聯(lián)立y二一和y二一XH——,并整理得：%2——mx+9-Q,

JC22

△=工加2-4義9三0時，兩個函數(shù)有交點(diǎn)，

4

解得：m^l2.

故答案：mN12.

【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)、一元二次方程、函數(shù)平移等知識點(diǎn)，此類探究

題，通常按照題設(shè)條件逐次求解，一般難度不大.

17.近年來，新能源汽車特別是純電動汽車受到越來越多消費(fèi)者的關(guān)注，下面是價格相同的燃油車與純電動

汽車的部分相關(guān)信息對比：

燃油車純電動汽車

油箱容積：40升電池容量：80千瓦時

油價：7.5元/升電價：0.55元/千瓦時

續(xù)航里程：加千米續(xù)航里程：加千米

4f）x75

每千米行駛費(fèi)用：-----二元每千米行駛費(fèi)用：_______元

m

（1）用含機(jī)的代數(shù)式表示純電動汽車的每千米行駛費(fèi)用;

（2）若純電動汽車每千米行駛費(fèi)用比燃油車少0.64元.

①分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用;

②若燃油車和純電動汽車每年的其它費(fèi)用分別為3600元和6800元.小明家要購置新車，他們家每年行駛里

程大于6000千米，則他們購買哪一款汽車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用=年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用）

80x0.55

【答案】（1）一（或）；

mm

（2）①燃油車每千米行駛費(fèi)用為0.75元，純電動汽車每千米行駛費(fèi)用為0.11元；②他們購買純電動汽車的

年費(fèi)用更低.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)表中的信息，可以表示新能源車的每千米行駛費(fèi)用;

（2）①根據(jù)燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多0.64元和表中的信息，可以列出相應(yīng)的分式方程，然后

求解即可，注意分式方程要檢驗(yàn);

②先分別算出購買燃油車的年費(fèi)和購買純電動汽車的年費(fèi)，再進(jìn)行比較，即可作答.

本題考查列代數(shù)式的問題，分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式.

【小問1詳解】

80x05544

解：新能源車的每千米行駛費(fèi)用為：吐》=竺（元）；

mm

4480義0.55

故答案為：—（或--------）.

mm

【小問2詳解】

40x7.544

解:——=0.64

mm

解得m=400，

經(jīng)檢驗(yàn)，"z=400是原分式方程的解,

40x7-5=0.75（元），-^=0.11（元）,

400400

答：燃油車的每千米行駛費(fèi)用為0.75元，新能源車的每千米行駛費(fèi)用為0.11元;

②購買燃油車的年費(fèi)：0.75x6000+3600=8100（元）

購買純電動汽車的年費(fèi)：0.11x6000+6800=7460（元）

V8100>7460

...他們購買純電動汽車的年費(fèi)用更低.

18.如圖，BE是的直徑，點(diǎn)C為。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)F,連接BC,

與。。相交于點(diǎn)A,點(diǎn)尸為線段PC上一點(diǎn)，且AP=CP

（1）求證：AP為的切線；

（2）若點(diǎn)P為勢后的中點(diǎn)，。。的半徑為5,AB=6,求￡>E的長.

【答案】（1）見解析（2）2

【解析】

【分析】（1）連接Q4,AE，根據(jù)垂直可以得到NACP=NAEB,由AP=CP可得NACP=NB4C,

最后根據(jù)ZABE+ZAEB=90°得到ZOAB+ZPAC=90°,即可得到/田為。。的切線；

（2）由CDL5E可得，點(diǎn)、E為GF的中點(diǎn)，再由點(diǎn)尸為外后的中點(diǎn)，可得AE=Gb，可得AE=GF=8,

進(jìn)而得到DF=-GF=4,最后根據(jù)勾股定理求出OD的長即可.

2

【小問1詳解】

BE是QO的直徑，

ZABE+ZAEB=9Q)°,

???CDLBE,

■■.ZABE+ZACP=90°,

：.ZACP=ZAEB,

"：AP=CP,

：.ZACP=ZPAC,

：.ZACP=ZAEB=APAC

OA=OB，

.■.ZOAB=ZABE

：.ZOAB+ZPAC=90°,

.-.ZOAP=90°

??.AP為0。的切線；

【小問2詳解】

連接。尸，

???。。的半徑為5,AB=6,

AE=8，OF=OE=5，

-.-CD±BE,

:?EF=GE，DF=^GF,

???點(diǎn)F為我E的中點(diǎn)，

,,EF=AF,

AE=GF，

.-.AE=GF=S,

.-.DF=-GF=4,

2

OD=y]OF2-DF2=3，

：.DE=OE—OD=2

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識點(diǎn)，正確作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

19.綜合與實(shí)踐

【問題提出】

如圖(1)在VA3C中，ZA=90°,。為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸沿折線?！狝—C運(yùn)動(運(yùn)動到點(diǎn)C停

止），以￡）尸為邊在￡>P上方作正方形DPEF.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為x,正方形DPEF的面積為y.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動時,

①若x=5貝1丁=;

②y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為；

（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖（2）所示的函數(shù)圖

象，直線x=2是其圖象所在拋物線的對稱軸，求y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）.

【延伸探究】

（3）連接正方形。PEF的對角線DE,PF,兩對角線的交點(diǎn)為在（2）的情況下，求點(diǎn)A在

△DFM內(nèi)部時尤和y的取值范圍.

【答案】（1）①3；@y=x2-,（2）y=f—4x+8（2WxW6）；（3）點(diǎn)A在△￡>而內(nèi)部時x的取值范圍為

4<x<6,y的取值范圍為8<y〈20.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正方形面積公式求解即可；

（2）當(dāng)x=2時，點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合，求得AD=2，由題圖（2）可知點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時，y=20,即32=2。,

在Rt^ACD中，利用勾股定理即可求解；

（3）取AC的中點(diǎn)N,連接。N,分析點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律可求得，點(diǎn)A在△￡>版內(nèi)部時x的取值范圍為

4cx<6,y的取值范圍為8<y<20.

【詳解】解：（1）①若x=JL則>=（出『=3；

②y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式為y=d；

故答案為：3；y=x2；

（2）由題意可知，當(dāng)光=2時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,

AAD=2,止匕時>=22=4,

連接CD,

由題圖（2）可知點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時，y=20,即CC>2=20,

在Rtz\ACD中，AD2+AC2=CD2-即22+4。2=20，

.?.AC=4(負(fù)值已舍)，

當(dāng)點(diǎn)尸在AC上運(yùn)動時，x=AD+AP=2+AP,

AP=%—2,

??.在Rt^ADP中，￡>P2=AD2+AP2=22+(X-2)2=X2-4X+8,

y=x~—4x+8，

即當(dāng)點(diǎn)「在4。上運(yùn)動時，y關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式為y=V—4x+8（2WxW6）；

（3）由（2）知，AD=2,AC=4,

又：。為AB的中點(diǎn)，

AB=4=AC，

取AC的中點(diǎn)N,連接ON,

■.AN=-AC=2=AD,DN是VABC的中位線，

2

DN//BC,

又,:ZA=90°,

/XADN是等腰直角三角形，

?/四邊形DPEF是正方形，

???尸是等腰直角三角形，

分析點(diǎn)尸的運(yùn)動規(guī)律可知，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到。P