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文檔簡介

上海高考必記核心知識點歸納總結(干貨必備)

知識點概覽

必備知識01集合與邏輯.........................................................................2

必備知識02不等式..............................................................................4

必備知識03函數的概念與性質...................................................................6

必備知識04塞指對函數.........................................................................7

必備知識05三角函數..........................................................................10

必備知識06函數的應用.........................................................................11

必備知識07平面向量及其應用..................................................................13

必備知識08復數...............................................................................16

必備知識09空間向量與立體幾何................................................................17

必備知識10直線和圓..........................................................................20

必備知識11圓錐曲線...........................................................................27

必備知識12數列...............................................................................29

必備知識13導數...............................................................................30

必備知識14計數原理、排列組合、二項式定理...................................................32

必備知識15統(tǒng)計與概率........................................................................34

必記核心知識點

必備知識01集合與邏輯

知識點01集合的有關概念

(1)集合元素的三大特性:確定性、無序性、互異性.

(2)元素與集合的兩種關系:屬于,記為e;不屬于,記為心

(3)集合的三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法.區(qū)間法

一般區(qū)間的表示

設a,bGR,且規(guī)定如下:

定義名稱符號數軸表示

閉區(qū)間11.

[j<\a<x<b}[a,b]ab

開區(qū)間(a,

{x\a<x<b]b)ab

[x\a<x<b]半開半閉區(qū)間[a,I工.

b)ab

{x\a<x<b}半開半閉區(qū)間(4,:1一

b]ab

特殊區(qū)間的表示

定義R{x\x>a}{x\x>a}[x\x<a]{x\x<a}

符號(-oo,+oo)[a,+oo)(a,+co)(-oo,a](—oo,a)

(4)五個特定的集合

集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集

符號NN*或N+ZQR

知識點02集合間的基本關系

文字語言符號語言

相等集合A與集合B中的所有元素都相同A=B

集合間的子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素A^B

基本關系集合A中任意一個元素均為集合2中的元素,且集合B中

真子集AczB

至少有一個元素不是集合A中的元素

空當空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集

知識點03集合的基本運算

集合的并集集合的交集集合的補集

若全集為U,則集合A的

符號表示AHB

補集為可

圖形表示

AUBADB

集合表示{x\x^A,或工£3}{x\x^A,且入£3}{x\x^U,且x&A}

知識點04集合的運算性質

(l)AnA=A,An0=0,AHB=BnA.

(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)AA(A)=0,AU(不=U,A=A;

知識點05常用結論

(1)空集性質:①空集只有一個子集,即它的本身,0C0;

②空集是任何集合的子集(即0GA);

空集是任何非空集合的真子集(若A#0,則0uA).

(2)子集個數:若有限集A中有w個元素,

則A的子集有2〃個,真子集有2〃一1個,非空真子集有2"-2個.

(3)ACB-Q8;AUB=AOA3B.

(4)AUB=AC|B(5)AC\B=A\JB

知識點06充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p今q,則夕是q的充分條件,q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=>q且q力p

p是q的必要不充分條件p力q且q=p

p是q的充要條件pgq

p是q的既不充分也不必要條件p力q且q力p

知識點07充分、必要條件與集合的關系

設0,q成立的對象構成的集合分別為A,B.

(1)p是q的充分條件QAU8,p是q的充分不必要條件QAu8;

(2)p是q的必要條件Q8UA,0是q的必要不充分條件=8UA;

(3)p是q的充要條件oA=&

〈知識記憶小口訣》

集合平時很常用,數學概念有不同,理解集合并不難,三個要素是關鍵,元素確定和互異,還有無序要牢

記,空集不論空不空,總有子集在其中,集合用圖很方便,子交并補很明顯.

〈解題方法與技巧》

充要條件的兩種判斷方法

⑴定義法:根據ks進行判斷.

(2)集合法:根據使0,g成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷.

必備知識02不等式

知識點01等式與不等式的性質

1.兩個實數比較大小的方法

(1)作差法<a—b=0oa=b,

a—b<G<=>a<b.

斤>1(a£R,/?>O)0a>b(〃£R,fc>0),

(2)作商法<*=loa=b(m/?W0),

*1(aGR,b>0)"bQGR'&>0).

2.等式的性質

(1)對稱性:若〃=4則6=4.

(2)傳遞性:若a=b,b=c,則a=c.

(3)可加性:若a=b,貝!J〃+c=/?+c.

(4)可乘性:若a=b,則〃c=/?c;若a=b,c=d,則〃c=Z?d.

3.不等式的性質

(1)對稱性:〃>/?=/?<〃;

(2)傳遞性:a>b,b>c=>a>c;

⑶可加性:Q>/?=〃+C>Z?+C;a>b,c>d=>〃+c>Z?+d;

(4)可乘性:a>b,c>O=>ac>bc;a>b,c<0^ac<bc;a>b>0,c>d>O=^ac>bd;

(5)可乘方:a>b>O=4〃>〃(〃£N,n^l);

(6)可開方:〃〉/?>0=>,〉或(幾£N,〃22).

知識點02均值不等式及其應用

1.均值不等式:四w號

(1)均值不等式成立的條件:心0,b20.

(2)等號成立的條件:當且僅當。=6時取等號.

(3)其中審稱為正數°,6的算術平均數,標稱為正數a,b的幾何平均數.

2.兩個重要的不等式

22

(l)a+b^2ab(afZ?£R),當且僅當a=Z?時取等號.

2

(2)次?4日^^)(〃,Z?£R),當且僅當。=Z?時取等號.

3.利用均值不等式求最值

已知>20,貝!!

⑴如果積孫是定值p,那么當且僅當%=y時,x+y有最小值是入「(簡記:積定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么當且僅當時,町有最大值是?簡記:和定積最大).

知識點03從函數的觀點看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一個未知數,并且未知數的最高次數為2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三個“二次”間的關系

判別式力=/一J>0J=0J<0

二次函數

lha

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

一元二次方程有兩相等實根處=%

有兩相異實根為,2

z

ax+bx-\-c=0b沒有實數根

X2(X1<X2)~~2a

3>0)的根

a^+bx+cX)

{小>」2

R

(〃>0)的解集或入〈陽)

af+bx+cVO

{j^Xl<X<X2}00

(〃>0)的解集

3.(x—?)(x—Z?)>0或(%—〃)(%—/?)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-a)-(x—Z?)>0{x\x<a或x>b}{x|x不。}{x\x<b或x>a]

(X—6Z)-(X—Z?)<0{x\a<x<b}0{x\b<x<a}

4.分式不等式與整式不等式

(1)磊>0(<0).)時)>0(<0).

(2)據'O(WO)對尤卜g(x)20(W0)且g(x)W0.

必備知識03函數的概念與性質

知識點01函數的概念

設46是兩個非空數集,如果按照確定的法則,,對/中的任意數X,都有唯一確定的數y與它對應,那

么就稱fz4f8為從集合A到集合8的一個函數,記作y=f(x),x^A.

知識點02函數的定義域、值域

⑴函數y=f(x)自變量取值的范圍(數集⑷叫做這個函數的定義域;所有函數值構成的集合{y|y=f(x),

x^A}叫做這個函數的值域.

(2)如果兩個函數的定義域相同,并且對應法則完全一致,則這兩個函數為相等函數.

知識點03函數的表示法

表示函數的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

知識點04分段函數

⑴在函數的定義域內,對于自變量X的不同取值區(qū)間,有著不同的對應法則,這種函數稱為分段函數.

(2)分段函數是一個函數,分段函數的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.

知識點05函數的單調性

⑴單調函數的定義

增函數減函數

設函數尸Hx)的定義域為4區(qū)間店如果取區(qū)間〃中任意兩個值

Xi,X2,改變量AX=X2—XI>0,則當

定義

Ay=f(x2)—f(不)>0時,就稱函△y=f(xj—F(xi)<0時,就稱函數y

數y=(x)在區(qū)間〃上是增函數=f(x)在區(qū)間〃上是減函數

y,尸⑺

圖象描/■)小)

~O\~~~^2X

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)如果一個函數在某個區(qū)間〃上是增函數或是減函數,就說這個函數在這個區(qū)間〃上具有單調性,區(qū)間〃

稱為單調區(qū)間.

知識點06函數的最值

前提設函數y=f(x)的定義域為I,如果存在實數〃滿足

(1)對于任意xe/,都有(3)對于任意都有/*5)2%

條件

(2)存在劉e/,使得/'(加二〃(4)存在xo£I,使得AAO)=M

結論〃為最大值〃為最小值

知識點07函數的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

設函數y=f(X)的定義域為〃如果對〃內的任意一個X,都

奇函數關于原點對稱

有一£金〃,且/1(—X)=—/1(*),則這個函數叫做奇函數

設函數y=g(x)的定義域為〃如果對2內的任意一個x,都

偶函數關于y軸對稱

有一且g(—x)=g(x),則這個函數叫做偶函數

知識點08函數的周期性

⑴周期函數:對于函數尸f(x),如果存在一個非零常數北使得當X取定義域內的任何值時,都有『(X

+7)=F(x),那么就稱函數尸/<x)為周期函數,稱?為這個函數的周期.

(2)最小正周期:如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數,那么這個最小正數就叫做f(x)

的最小正周期.

必備知識04寨指對函數

知識點01幕函數

(1)暴函數的定義

一般地,函數y=K叫做暴函數,其中x是自變量,a是常數.

(2)常見的五種事函數的圖象

(3)哥函數的性質

①哥函數在(0,+8)上都有定義;

②當a>0時,哥函數的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調遞增;

③當a<0時,募函數的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調遞減;

④當a為奇數時,>=產為奇函數;當a為偶數時,為偶函數.

知識點02指數函數

1.指數幕的運算性質

aras=ar+s;(。了=?!?;(aby=arbr(a>0,b>0,r,sGR).

2.指數函數及其性質

(1)概念:一般地,函數y=^(a>0,且叫做指數函數,其中指數x是自變量,定義域是R.

(2)指數函數的圖象與性質

a>l0<a<l

y=a'\

圖象(0,1)二

定義域R

值域(0,+°°)

過定點(0,1),即x=0時,y=l

當x>0時,y>l;當x<0時,y>l;

性質

當%<0時,0<y<l當x>0時,0<y<l

增函數減函數

知識點03對數函數

1.對數的概念

一般地,如果〃=N(a>0,且aWl),那么數x叫做以a為底N的對數,記作x=logJV,其中a叫做對數的

底數,N叫做真數.

以10為底的對數叫做常用對數,記作IgN.

以e為底的對數叫做自然對數,記作InN.

2.對數的性質與運算性質

⑴對數的性質:logj=0,logaa=l,a°SaN=N(a>0,且N>0).

(2)對數的運算性質

如果a>0,且aWl,M>0,N>Q,那么:

①log“(MV)=log〃M+log“N;

M

②log萌■=lOgaM—lOgaN;

③logJVT=n\ogaM(〃eR).

(3)對數換底公式:108/=警為>0,且a=l;b>Q;c>0,且CTM).

lOgc'U

3.對數函數的圖象與性質

4.反函數

指數函數y=〃(a>0,且a=l)與對數函數y=loga尤(a>0,且aWl)互為反函數,它們的圖象關于直線y=x對

必備知識05三角函數與解三角形

知識點01三角函數的運算

1.同角關系:sin2(x+cos2a=l,=tan兀,Z£Z).

LU5CA

2.誘導公式:在竽+a,左GZ的誘導公式中“奇變偶不變,符號看象限”.

知識點02三角恒等變換

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

⑴sin(a±份=sinotcos儺cosotsin£;

(2)cos(a±A)=cosacos夕干sinasin§;

tan?!纓an£

(3)tan(a±^)—

1+tanatanp

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa;

(2)cos2a=cos?。一sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a;

c-2tana

(3)tan2a=~;~~~.

1—tanza

知識點03正弦定理、余弦定理及綜合應用

1.正弦定理:在AABC中,急=磊=帚〒=2R(R為△ABC的外接圓半徑).

.cibc

變形:〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=丞,sinB=忝,sinC=或,a:b:c=sinA:sin

BIsinC等.

2.余弦定理:在△A5C中,=/?2+c2—2Z?ccosA.

82+,一次

變形:"十°2一"2=2"cosA,cos4=2bc

3.三角形的面積公式:S=^absinC=^acsinB=^bcsinA,

」(□國圓5

1.三角恒等變換的“4大策略”

(1)常值代換:特別是“1”的代換,I=sin20+cos20=tan45。等.

(2)項的拆分與角的配湊:如sin2ot+2cos2a=(sin2a+cos2ot)+cos2a,。=(儀一夕)+£等.

(3)降暴與升暴:正用二倍角公式升累,逆用二倍角公式降累.

(4)弦、切互化:一般是切化弦.

2.解三角形中常見的求最值與范圍問題的解題策略

(1)利用余弦定理,找三角形三邊之間的關系,利用基本不等式將與他相互轉化求最值范圍.

(2)利用正弦定理,將邊化成角的正弦,利用三角恒等變換進行化簡;利用三角函數的性質求最值、范圍.

3.解三角形實際問題的步驟

[分析H理解題意,分析已知與未知,畫出示意圖)

必備知識06函數的應用

知識點01函數的零點與方程的解

(1)函數零點的概念

對于一般函數我們把使兀0=0的實數x叫做函數y=/a)的零點.

(2)函數零點與方程實數解的關系

方程於)=0有實數解㈡函數y=/U)有零點㈡函數>=於)的圖象與x軸有公共點.

(3)函數零點存在定理

如果函數y=/(x)在區(qū)間m,切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有八4求力<0,那么,函數>=兀0在區(qū)間(a,

6)內至少有一個零點,即存在cd(a,b),使得_/(c)=0,這個c也就是方程式x)=0的解.

知識點02二分法

對于在區(qū)間團,切上圖象連續(xù)不斷且五。求》)<0的函數>=/(無),通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二,

使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

【常用結論

1.若連續(xù)不斷的函數次x)是定義域上的單調函數,則五尤)至多有一個零點.

2.連續(xù)不斷的函數,其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.

知識點03三種函數模型的性質

y=ax(a>l)y=logR4>l)y=^(n>0)

在(0,+8)

單調遞增單調遞增單調遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現隨龍的增大逐漸表現為隨n值的變化而各有

圖象的變化

為與y軸平行與X軸平行不同

知識點04常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型fix)=ax+b(a,b為常數,〃W0)

二次函數模型f(x)=ax2-\-bx-\-c{a,b,c為常數,〃W0)

k

反比例函數模型fi,x)=~+b(k,b為常數,左/0)

指數函數模型危)=/?〃+C(Q,b,c為常數,〃>0且bWO)

對數函數模型fix)=Mogflx+c(a,b,c為常數,〃>0且Z?WO)

幕函數模型f(x)=axa+b(a,b,a為常數,aWO)

1.判斷函數零點個數的方法

(1)利用函數零點存在定理判斷.

(2)代數法:求方程犬x)=0的實數根.

(3)幾何法:對于不易求根的方程,將它與函數y=Kx)的圖象聯系起來,利用函數的性質找出零點或利用兩

個函數圖象的交點求解.在利用函數性質時,可用求導的方法判斷函數的單調性.

2.利用函數零點的情況求參數值(或取值范圍)的三種方法

利用零點存在定理構建不等式確定參

直接法

I—數的取值范圍

I分離奏教法T將參數分離,轉化成求函數的值域問題|

先對解析式變形,在同一平面直角坐標系

數形結合法1

I中作出函數的圖象,然后數形結合求解

必備知識07平面向量及其應用

知識點01向量的有關概念

(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量:長度為0的向量,其方向是任意的.

(3)單位向量:長度等于1個單位的向量.

(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量,規(guī)定:0與任一向量共線.

(5)相等向量:長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量:長度相等且方向相反的向量.

知識點02向量的線性運算

向量運算定義法則(或幾何意義)超'—舁A-A-律Z-H

a交換律:〃+5=8+〃;

加法求兩個向量和的運算三角形法則

結合律:(a+b)+c=a+(b+c)

平行四邊形法則

求。與萬的相反向量一

減法a—b=a+(—b)

萬的和的運算a

三角形法則

|Afl|=|2||a|,當2>0時,幾

。與。的方向相同;X(|lCl)=(AjLl)Cl;

求實數力與向量。的積

數乘當A<0時,幾〃與a的方(2+〃)a=4a+〃_a;

的運算

向相反;^(a+b)=Xa+Xb

當2=0時,44=0

知識點03兩個向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數人使得la.

知識點04平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量有且只有一對實數九,

幾2,使〃=%1幻+22。2.

其中,不共線的向量ei,以叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.

知識點05平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數乘向量及向量的模

設。=(X1,yi),b=(X2,y2),則

a+b=(xi+x2f》+丁2),a—b=(xi—X29為一”),

4yi),\a\=yjxi+yi.

(2)向量坐標的求法

①若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即為向量的坐標;

②設A(X1,.),B(X2,>2),則A8=(%2—X1,力一yi),

22

|AB|=yl(x2—xi)+(y2—yi).

知識點06平面向量共線的坐標表示

設Q=(X1,%),8=。2,>2),其中力WO,a//—X2y1=0.

知識點07向量的夾角

(1)定義:已知兩個非零向量a和"作近=a,OB=b,則NAOB就是向量a與入的夾角.

(2)范圍:設。是向量。與方的夾角,則0°W^(180°.

(3)共線與垂直:若6=0°,則。與8同向;若0=180。,貝Ua與萬反向;若6=90°,則a與%垂直.

知識點08平面向量的數量積

定義設兩個非零向量〃,力的夾角為仇則⑷|四?cos夕叫做a與力的數量積,記作〃協(xié)

|a|cos?叫做向量“在分方向上的投影,

投影

|臼cos夕叫做向量%在a方向上的投影

幾何意義數量積ab等于a的長度⑷與b在a的方向上的投影版|cos夕的乘積

知識點09向量數量積的運算律

(X)a-b=b-a.

Q)3i)?b=Ma?b)=a&b).

(3X4+b)?c=〃?c+〃c

知識點10平面向量數量積的有關結論

已知非零向量〃=8,%),b=(X2,>2),@與b的夾角為。.

結論幾何表示坐標表示

模\a\=y/~a^a|a|=q屑+必

oA-1.V+YIV2

na-b2

夾角COS〃一I||.ICS

HI網°產南W

a±b的充

a,b=biy2=0

要條件

知識點11平面向量與解三角形的綜合應用

(1)解決平面向量與三角函數的交匯問題,關鍵是準確利用向量的坐標運算化簡已知條件,將其轉化為三角

函數中的有關問題解決.

(2)還應熟練掌握向量數量積的坐標運算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標運算公式以及三角恒等變換、

正、余弦定理等知識.

技I巧

1.五個特殊向量

(1)要注意0與0的區(qū)別,0是一個實數,0是一個向量,且|0|=0.

(2)單位向量有無數個,它們大小相等,但方向不一定相同.

(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上,因此平行向量也叫做共線向量.

(4)與向量。平行的單位向量有兩個,即向量言和一言.

2.五個常用結論

(1)一般地,首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量,

即啟2+啟3+A/4H-----H4晝4=特別地,一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.

(2)若P為線段A8的中點,。為平面內任意一點,則5>=々而+而).

(3)若A,B,C是平面內不共線的三點,則啟+港+走=0今?為AABC的重心.

A

(4)在△ABC中,AD,BE,b分別為三角形三邊上的中線,它們交于點G(如圖所示),易知G為△ABC

的重心,則有如下結論:

①原+宓+沆=0;

1—*■—?

②AG=w(AB+AC);

③麗斗由+亦,Gb=1(AB+AO.

(5)若應=力協(xié)+〃沆(九4為常數),則A,B,C三點共線的充要條件是%+〃=1.

3.基底需要的關注三點

(1)基底的,02必須是同一平面內的兩個不共線向量,零向量不能作為基底.

(2)基底給定,同一向量的分解形式唯一.

,、,,丸1=//1,

(3)如果對于一組基底C1,&,有。=九3+/12。2=〃1?1+〃2?2,則可以得到{_

LA2=償.

4.共線向量定理應關注的兩點

(1)若Q=(xi,yD,8=(%2,、2),則Q〃8的充要條件不能表示成3=乎,因為X2,丁2有可能等于①應表

“2yi

示為尤1y21%2丫1=0.

(2)判斷三點是否共線,先求每兩點對應的向量,然后按兩向量共線進行判定.

5.兩個結論

(1)已知P為線段的中點,若4(尤1,力),B(X2,竺),則尸點坐標為???,也要).

(2)已知△ABC的頂點A(xi,力),8(X2,”),C(X3,y3),則AABC的重心G的坐標為日士黃齒,”土半土耳.

6.兩個向量a,Z>的夾角為銳角協(xié)>0且a,萬不共線;

兩個向量a,》的夾角為鈍角今。3<0且a,方不共線.

7.平面向量數量積運算的常用公式

(l)(a+M)(a—萬)=層一12

(2)(。+b)2=a2+2ab+b2.

(3)(。-b¥=a2—2ab+b2.

必備知識08復數

知識點01復數的有關概念

⑴復數的定義

形如。+歷(a,6GR)的數叫做復數,其中實部是小虛部是從

(2)復數的分類

'實數(6=0),

復數z=a+bi(a,6GR)<虛數(“°)[]純非虛純數虛(數a=(0*,o6,Wk00),).

(3)復數相等

且Z?=d(〃,b,c,d£R).

(4)共輛復數

〃+歷與c+di共輾Oa=c且/?=—"(〃,b,c,d£R).

⑸復數的模

向量OZ的模叫做復數Z=Q+歷的模,記作|z|或|〃+列,即|z|=|〃+歷|=r=yl咳+廬(廠=0,a,/?£R).

知識點02復數的幾何意義

⑴復數z=〃+0i(對應)復平面內的點Z(a,b)(a,/?£R).

一,一*對應一

(2)復數z=a+0i(a,/?eR)------"平面向量OZ.

知識點03復數的運算

(1)復數的加、減、乘、除運算法則

設zi=a+Z?i,Z2=c+di(〃,b,c,d£R),貝U

①力口法:zi+z2=(〃+bi)+(c+di)=(〃+c)+3+d)i;

②減法:zi-Z2=(〃+"i)—(c+di)=(〃—c)+(/?-d)i;

③乘法:zi?Z2=(a+bi)-(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i;

z-N”、,zia-\-bi(”+bi)(c—di)ac-\-bd,bc-ad,,

④除法:五=』=(c+公)(Ldl)+百產十+d學0)-

⑵復數加法的運算定律

復數的加法滿足交換律、結合律,即對任何Zl,Z2,Z3^C,有Zi+z2=Z2+zi,(Z1+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3).

1.三個易誤點

(1)兩個虛數不能比較大小.

(2)利用復數相等a+%i=c+di列方程時,注意a,b,c,dGR的前提條件.

(3)注意不能把實數集中的所有運算法則和運算性質照搬到復數集中來.例如,若zi,z2ec,zHzHO,

就不能推出Zl=Z2=0;/〈O在復數范圍內有可能成立.

2.復數代數運算中常用的三個結論

在進行復數的代數運算時,記住以下結論,可提高計算速度.

,1+i1-i

(l)(l±i)2=±2i;—~=i;T—7=-i.

1—i1+i

(2)—b+ai=i(a+bi).

(3)i4"=l,j4"+l=i,j4.+2=_],j4.+3=_j,i4〃+i4〃+l+i4"+2+i4"+3=0,〃GN*

必備知識09空間向量與立體幾何

知識點01空間幾何體的側面展開圖

(D圓柱的側面展開圖是矩形.

(2)圓錐的側面展開圖是扇形.

(3)圓臺的側面展開圖是扇環(huán).

知識點02旋轉體的側面積和表面積

(1)5圓柱側=2?!?,S圓柱表=2兀4—+/)(r為底面半徑,I為母線長).

(2)5圓錐側=兀/7,S圓錐表=兀4廠+/)(廠為底面半徑,/為母線長).

(3)5球表=4兀MR為球的半徑).

知識點03空間幾何體的體積公式

(1)丫柱=s/?(s為底面面積,刀為高).

(2嗎=軻(5為底面面積,%為高).

(3)入4s上+小上£下+S下)〃(S上,S下分別為上、下底面面積,〃為高).

4

(4?球=于R3(R為球的半徑).

知識點04求空間多面體的外接球半徑的常用方法

(1)補形法:側面為直角三角形,或正四面體,或對棱均相等的模型,可以還原到正方體或長方體中去求

解;

(2)定義法:到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圓圓心,找其垂線,則

球心一定在垂線上,再根據到其他頂點的距離也是半徑,列關系式求解即可.

知識點05判斷空間直線、平面位置關系的常用方法

(1)根據空間線面平行、垂直的判定定理和性質定理逐項判斷,解決問題.

(2)必要時可以借助空間幾何模型,如從長方體、四面體等模型觀察線、面的位置關系,并結合有關定理進

行判斷.

知識點06平行關系及垂直關系的轉化

面面平行的判定

面面平行的性質

面面垂直的判定

面面垂直的性質

知識點07異面直線所成的角

設異面直線/,根的方向向量分別為〃=(〃i,ci),b=(a2,bi,ci),異面直線/與根的夾角為夕

則⑴6?e(o,I;

(2)cos9=|cos〈〃,b〉|=|U|

\a\a2~\~b\b2~\~c\c^

,鬲+房+小/〃:+慶+琢

用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標系.

(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,手,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對

值.

知識點08直線與平面所成的角

TT

設直線/的方向向量為“,平面a的法向量為“,直線/與平面a所成的角為仇貝+;(2)sin0=

,,、.

|cos"〉一|\a而-n\「

7r

(1)線面角0與直線的方向向量。和平面的法向量”所成的角〈a,加的關系是〈a,加+6=5或〈a,加

—0=與所以應用向量法求的是線面角的正弦值,而不是余弦值.

(2)利用方程思想求法向量,計算易出錯,要認真細心.

知識點09平面與平面所成的角

設平面a,£的法向量分別為“,V,平面a與平面£的夾角為仇貝IJ(1)6G[0,5);(2)cos6?=|cos〈小v)\

\u-v\

一1”|研

7T

平面與平面夾角的取值范圍是[o,兩向量夾角的取值范圍是[0,兀],兩平面的夾角與其對應的兩法向

量的夾角不一定相等,而是相等或互補.

知識點10空間距離

⑴點到直線的距離

直線/的單位方向向量為",A是直線/上的任一點,尸為直線/外一點,設成=",則點尸到直線/的距離

d=7a2_(a-u)2.

(2)點到平面的距離

平面a的法向量為〃,A是平面a內任一點,尸為平面a外一點,則點尸到平面a的距離為d=岑占.

(3)求點到平面的距離有兩種方法,一是利用空間向量點到平面的距離公式,二是利用等體積法.

(4)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行.求直線到平面的距離可轉化成直線上任一點到平面的距

離.

1.求解空間幾何體的外接球問題的策略

(1)定球心:球心到接點的距離相等且為半徑.

(2)作截面:選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元

素的關系),達到空間問題平面化的目的.

(3)求半徑下結論:根據作出截面中的幾何元素,建立關于球的半徑的方程,并求解.

2.求解空間幾何體的內切球問題的策略

空間幾何題的內切球問題,一是找球心,球心到切點的距離相等且為球的半徑,作出截面,在截面中求半

徑;二是利用等體積法直接求內切球的半徑.

3.解決與幾何體有關的動點軌跡問題的方法

(1)幾何法:根據平面的性質進行判定.

(2)定義法:轉化為平面軌跡問題,用圓錐曲線的定義判定或用代數法進行計算.

(3)特殊值法:根據空間圖形線段長度關系取特殊值或位置進行排除.

4.在動態(tài)變化過程中產生的體積最大、距離最大(小卜角的范圍等問題,常用的解題思路

(1)直觀判斷:在變化過程中判斷點、線、面在何位置時,所求的量有相應最大、最小值.

(2)函數思想:通過建系或引入變量,把這類動態(tài)問題轉化為目標函數,從而利用代數方法求目標函數的最

值.

5.作幾何體截面的方法

(1)利用平行直線找截面.

(2)利用相交直線找截面.

6.找交線的方法

(1)線面交點法:各棱線與截平面的交點.

(2)面面交點法:各棱面與截平面的交線.

必備知識10直線和圓

知識點01直線的傾斜角

L傾斜角的定義

(1)當直線/與x軸相交時,我們以x軸為基準,x軸正向與直線/向上的方向之間所成的角。叫做直

線,的傾斜角.

(2)當直線/與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°.

2.直線的傾斜角。的取值范圍為0°Wa<180°.

知識點02直線的斜率

1.斜率的定義:把一條直線的傾斜角。的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母"表示,即

k—tma.

2.斜率的計算公式:

定義

斜率的定義式

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