2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺：圓中相似三角形和銳角三角函數(shù)綜合問(wèn)題練習(xí)（含解析）

2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)三輪沖刺圓中相似三角形和銳角三角函數(shù)綜合問(wèn)題練習(xí)

1.如圖，是O。的直徑，點(diǎn)C是O。上的一點(diǎn)，點(diǎn)。為弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作的

平行線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：AADCsADEC；

(2)若O。的半徑為3,求CA?CE的最大值；

(3)如圖2,連接AE,設(shè)tan/ABC=x,tan/AEC=y,①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

rRo

②若荔=二，求y的值.

BE5

2.如圖，上有A,B,C三點(diǎn)，AC是直徑，點(diǎn)。是砂的中點(diǎn)，連接CD交A8于點(diǎn)E,

點(diǎn)廠在A8延長(zhǎng)線上且FC=FE.

(1)證明：NBCE=NACE；

(2)求證：CP是O。的切線；

4

(3)若5出尸=耳，BE=2,求。的值.

3.如圖，。為。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑2A的延長(zhǎng)線上，且NCZM=/CBZ).

Cl)求證：C￡)是。。的切線；

(2)求證：CD1=CA'CB；

(3)若C￡>=4,CB=8,求tan/CZM的值.

4.如圖，AB是半圓。的直徑，AB=10.C是弧AB上一點(diǎn)，連接AC,BC,NACB的平分

線交A3于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P分別作PELAC,PFVBC,垂足分別為E、F.

(1)求證：四邊形CE//是正方形；

(2)當(dāng)sinA=2時(shí)，求CP的長(zhǎng)；

(3)設(shè)AP的長(zhǎng)為x,圖中陰影部分的面積為y,求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出y

的最大值.

5.如圖，AC是。。的弦，OOLAC,連接。4,0C,點(diǎn)2在O。外，AB^AC,連接BC

交。。于E,交。4于凡OE=OF.

ci)求證：AB是o。的切線；

(2)若。尸=3,sin^AOD=J,求。。的半徑.

6.如圖，。。是△ABC的外接圓，點(diǎn)。在BC邊上，N8AC的平分線交O。于點(diǎn)。，連接

BD、CD,過(guò)點(diǎn)。作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

(1)求證：PD是。。的切線；

(2)求證：AB*CP=BD*CD；

(3)若tan/ABC=2,AB=2乘,求線段0P的長(zhǎng).

7.如圖1,在。。中，直徑AB=10,。是A3上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作跖，交O。于點(diǎn)E,

廠連接BE,取BE的中點(diǎn)X,連接切交于點(diǎn)并延長(zhǎng)加交。。于點(diǎn)C,連接CB.

(1)當(dāng)點(diǎn)。與圓心。重合時(shí)，如圖2所示，求的值.

(2)在點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，弁的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明

FH

理由.

(3)連接。/，DH,當(dāng)△0。"是等腰三角形時(shí)，求tanC的值.

8.已知在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=6,AC=8,以邊AC為直徑作O。，與AB邊

交于點(diǎn)。，點(diǎn)M為邊2C的中點(diǎn)，連接。

(1)求證：0M是。。的切線；

(2)點(diǎn)尸為直線BC上任意一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交。。于點(diǎn)。，連接C0.

1

①當(dāng)tanNA4P=§時(shí)，求8尸的長(zhǎng)；

②求毛的最大值.

9.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，于點(diǎn)。，4。交。。于點(diǎn)R連

接AC,若AC平分過(guò)點(diǎn)尸作尸GLAB于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)延長(zhǎng)A8,DC交于

點(diǎn)E.

(1)求證：cr＞是O。的切線；

⑵求證：AF*AC^AE-AH；

4AH

(3)若sin/￡)EA=V，求一的值.

。FFHH

OGBi

10.如圖，在△ACB中，ZACB=90°,。是邊BC上一點(diǎn)，以。為圓心，08為半徑在BC

邊的右側(cè)作半圓O,交于。點(diǎn)，交BC于尸點(diǎn).

(1)若BC=2,當(dāng)CQ取最小值時(shí)，求。C的長(zhǎng)；

(2)已知CQ=CA,

①判斷CQ與半圓。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若。8=號(hào)，BQ=6事),求tan/CQA的值以及A。的長(zhǎng).

11.如圖，已知AB是。。的切線，BC為O。的直徑，AC與。。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為AB的

中點(diǎn)，PFLBC交BC于點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)廠

(1)求證：即是。。的切線；

(2)求證：ACPPsACPD；

4-

(3)如果CP=1,CP=2,sinA=^,求。到DC的距禺.

A

12.如圖，已知△ABP中，C是3尸邊上的一點(diǎn)，ZB4C=ZPBA,。。是△ABC的外接圓,

是O。的直徑，且交BP于點(diǎn)E.

(1)求證：外是O。的切線；

(2)過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)「延長(zhǎng)CE交A8于點(diǎn)G,若AG?AB=12,求AC的長(zhǎng);

(3)在滿足(2)的條件下，若AF：FD=1：2,GF=1,求sin/ACE的值.

13.如圖，四邊形A8ZJC內(nèi)接于OO,是。。的直徑，延長(zhǎng)CO,A8交于點(diǎn)E,連接8c

交A。于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)2作瓦tLCE,垂足為點(diǎn)已知/8。尸=/4。艮

(1)求證：BF為。0的切線；

■2

(2)若OA=4,sin/ACB=1,求BC的值;

q

DM

(3)若CD=DF,則;二的值是多少？

AM

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。與邊BC交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作DE

LAC于點(diǎn)￡

(1)求證：是。。的切線；

(2)若AC與O。相交于點(diǎn)連接功W,求證：DM=DC；

、用

(3)若sinNBAD=w，求證：AM=CE.

15.如圖，已知AB是。。的直徑，點(diǎn)E是。。上異于A,8的點(diǎn)，點(diǎn)產(chǎn)是旗的中點(diǎn)，連接

AE,AF,BF,過(guò)點(diǎn)尸作尸CLAE交4E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,交A8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，ZADC

的平分線。G交AF于點(diǎn)G,交FB于點(diǎn)、H.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)求sin/FHG的值；

(3)若GH=4五,HB=2,求。。的直徑.

16.如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，CDLA。于點(diǎn)。，A。交。。于點(diǎn)尸，連

接AC,若AC平分NZM8,過(guò)點(diǎn)P作PGLAB于點(diǎn)G交AC于點(diǎn)"

(1)求證：CA是。。的切線；

(2)延長(zhǎng)AB和DC交于點(diǎn)E,若AE=4BE,求cosZDAB的值;

FH

(3)在⑵的條件下，求赤的值.

17.如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，。是衣的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC延長(zhǎng)線的垂

線，垂足為E,A2為O。的直徑.

(1)求證：。石是。。的切線；

(2)求證：AD1=AB'CE-,

(3)若BC=6,tan/A=2,求O。的半徑.

18.如圖，A2是。。的直徑，弦CDLAB于H,G為。。上一點(diǎn)，連接AG交CD于K,

在C。的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)￡,使EG=EK,EG的延長(zhǎng)線交A8的延長(zhǎng)線于足

(1)求證：匹是O。的切線；

(2)連接。G,若AC〃E尸時(shí).

①求證：AKGDs4KEG；

②若cosC=V，AK=V10,求8尸的長(zhǎng).

19.如圖，在Rt^ABC中，AF是O。的直徑，BC交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)八過(guò)點(diǎn)。的切線

交BC于點(diǎn)B,連接。2交。。于點(diǎn)使NZ)80=NC20,

(1)求證：BC是O。的切線；

2

(2)若CF=2,sinC-試求cos/DBO的值.

(3)連接A。，分別延長(zhǎng)AC,3。交于點(diǎn)N.當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)是否存在4

CBNsADAN?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們面積的相似比;

若不存在，請(qǐng)你用反證法嘗試證明.

參考答案

1.【解答】(1)證明：?.?ABaOE,

ZABC=ZDEC,

,：ZADC=ZABC,

：.ZADC=/DEC,

:點(diǎn)。為弧AB的中點(diǎn)，

：.BD=AD,

：.NACD=NDCE,

：.△ADCs△DEC；

(2)解：；AADCsADEC,

ACCD

??一，

CDCE

即CD2=CA-CE,

又的半徑為3,

CA?CE=CD2^62=36.

即的最大值為36；

(3)解：①；AADCsADEC,

ACCD

CD~CE'

,/ACACCD/C。、2

??產(chǎn)tan/AxEC=。=而?在=（而）

過(guò)點(diǎn)。作OBLCE,不妨設(shè)EF=a,

■:/CED=/CBA,ZDCE=45°,

：.CF=DF=ax,

CD=y[2ax,

CD0y[2ax2_2-2

(—)2(---------)

??yCEa+ax—X2+2%+1'

CB3

②;--=一,

BES

.CB3

??=一,

CE8

CACA

—：—=8：3,

CBCE

即x：y=8：3,

2x2

將y=代入產(chǎn)得,

x2+2x+l

32x2

-x=

8x2+2x+l，

解得，xi=3,X2=H，

出―公g_2x9_9

當(dāng)x—3時(shí)，y—9+2X3+1一6

M/_1-+_2xi

當(dāng)k科D‘尸中

.9-1

..尸巨或3

2.【解答】(1)證明：??,點(diǎn)。是費(fèi)的中點(diǎn),

：.AD=BD,

:?NBCE=NACE；

(2)證明：:AC是OO的直徑，

AZABC=90°,

：.ZBEC+ZBCE=90°,

'：FC=FE,

；?NFCE=NFEC,

由(1)可知N5CE=NACE,

：.ZFCE+ZACE=90°,

：.ZOCF=90°,

???OC是。。的半徑，

???C尸是oo的切線；

4

(3)解：在Rt△尸BC中，BE=2,sinF=

.BC4

??—二,

CF5

設(shè)5C=4x,CF=5x,

VBC2+BF2=CF2,

(4x)2+(5x-2)2=(5x)2,

,?x=l或x=彳（舍去）,

?.5C=4,CF=5,BF=3,

：ZCBF=ZACF=90°,4F=/F,

\△尸3cs△尸CA,

FBBC

FC~CA

34

5—CA

,?04=當(dāng)

AC4

-sinF=ZF=5'

20

??一，

AF5

?人?25

??A.F—3,

：.AE=AF-EF=竽-5=學(xué)

連接D4,

B

D

■:NDAE=NBCE,NAED=NCEB,

：.AAED^ACEB,

.竺竺

?.—,

CEBE

；?AE?BE=DE?CE,

.10_20

?.DE，CE=-2-Xv29--2-.

3.【解答】（1）證明：如圖，連接O。,

TAB是。。的直徑，

ZADB=90°,

：.ZDAB+ZDBA=90°,

■:/CDA=NCBD,

：.ZDAB+ZCDA=90°,

'：OD=OA,

：.ZDAB=ZADO,

：.ZCDA+ZADO=90°,

：.ZCDO=90°,

??,0O是。。的半徑，

???CD是。。的切線；

（2）證明：?.,a）是oo的切線,

：.ZCDO=90°,

：.ZCDA+ZADO=90°,

「AB是。0的直徑，

ZAZ）B=90°,

：.ZDBA+ZDAB=90°,

又,?Q=O。，

：.ZDAB=ZODA,

：.ZCDA=ZDBA,

又?：/DCA=/BCD,

.'.△CAD^ACDB,

.CACD

?.=,

CDCB

：.CD2=CA'CB；

（3）'：ZCDA^ZDBA,

AT）

在中，tan/CD4=^

ADCD

V**------=——

?BDCB

VCZ)=4,CB=8,

1

二.tanNCD4=才

4.【解答】(1)證明：VZACB=90°,PE±AC,PFLBC,

，四邊形PEC尸是矩形，

平分NACB,PE±AC,PF±BC,

:.PE=PF,

，四邊形CEPF是正方形；

4

(2)解：VsinA=1,AB=10,

.BC4

??=一,

AB5

/.BC=8,

：.AC=7AB2-BC2=V102-82=6,

.BC84

??tanAA==g=于

設(shè)PE=CE=m,則AE=6-m,

PE_m_4

tanA=

AE―6—m—3

24

m=

T9

/-24/-

；.PC=/尸E=＞魚(yú)；

(3)解：：四邊形CEPF是正方形，

：.PE=PF,ZAPE+ZBPF^90°,/PEA=/PFB=90°,

.?.將繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到PF,PA'=B4,如圖所示:

則A'、F、B三點(diǎn)共線，ZAPE^ZA'PF,

：.ZA'PF+ZBPF^90°,即/A'PB=90°,

11

S^PAE+S/^PBF=S/^PA'B=-^PA'?PB=尹(10-x),

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-+5%,

,**y=—2%?+5x=_2(%—5)24—

25

???x=5時(shí)，y有最大值為二.

2

5.【解答】(1)證明：???0O，AC,

：.ZDCE+ZDEC=90°,

VAC=AB,

NACB=NB,

°：OE=OF,

：.ZOEF=ZOFE,

'：ZDEC=ZOEF,NAFB=ZOFE,

：.ZDEC=ZAFB,

：.ZAFB+ZB=9Q°,

：.ZOAB=90°,

??,O4是。。的半徑，

???AB是。。的切線；

(2)解：9：OD±AC,

：.AD=CD,

AT

/中，tan5=通，

在RtAAOD中，

Ar)Qn/7

sinXAOD==耳，tanZACB=

設(shè)AO=3x,0A=5x,

：.OD=yJOA2-AD2=4x,

?：0E=0F=3,

：.DE=4x-3fAF=5x-3,

.\AC=2AD=6x,

.u.AB=6x,

???NACB=NB,

tanZACB=tanB,

.DE_AF_

??—,

CDAB

.4%—35x—3

??=,

3x6x

解得尤=1,

.'.OA—5x—5,

，O。的半徑為5.

6.【解答】(1)證明：如圖1,連接0D

圖1

9：AD平分NBA。，

：.ZBAD=ZCAD9

：.BD=CD,

：.ZBOD=ZCOD=90°,

■:BC//PD,

：.ZODP=ZBOD=90°,

???ODLPD,

，尸。是OO的切線.

(2)證明：,:BC〃PD,

：.ZPDC=ZBCD.

'：ZBCD=ZBAD,

：.NBAD=NPDC,

VZABZ)+ZAC￡)=180°,ZACD+ZPCZ)=180°,

???/ABD=NPCD,

：?4BADS￡\CDP,

.ABBD

??—,

CDCP

：.AB?CP=BD?CD；

(3)解：YBC是OO的直徑，

；.NBAC=90°,

VtanZABC=2,AB=2遍,

：.AC=2AB=4V5,

：.BC=7AB2+AC2=10,

，。。=5,

如圖2,連接過(guò)點(diǎn)C作CGLOP,垂足為G,則四邊形。。GC為正方形,

:.DG=CG=OD=5,

圖2

■:BC//PD,

；?NCPG=NACB,

tanZCPG=tanZACB,

CGAB幡52V5

—=—,即—=—廣，

GPACGP4V5

解得，GP=10,

???￡）尸=Z）G+PG=5+10=15.

7.【解答】解：（1）連接CE,

9：AB=1Q,

：.OF=OE=5,

??,族是直徑，

ZECF=90°,

VZMFO=ZEFC,ZMOF=ZECF=90°,

AMOFsAECF,

.FMOF

??=,

EFCF

：.FM^CF=EF?OF=50；

FM

（2）前■是定值，理由如下：

FH

過(guò)點(diǎn)〃作垂足為點(diǎn)N,

'：EF±AB,

:?DE=DF,

設(shè)。E=￡>尸=2%,

???點(diǎn)〃是BE中點(diǎn)，

EH

---=1,

BH

,:HN1EF,EF±AB.

J.HN//AB,

_E__N___E_H___i

DN~BH~'

：.EN=DN,

1

：.DN=^DE=x,

:?FN=DF+DN=3x,

*：HN〃AB,

：.叢FMDs^FHN,

.FMDF

??FH-FN'

.FM2x2

??FH~3x~3；

(3)若點(diǎn)。在點(diǎn)。的左側(cè)，此時(shí)有。。=0〃，連接0。

???點(diǎn)”是的中點(diǎn)，

，0H_LBE,

'：ZEDO=ZEHO,OD=OH,E0=E0,

：.RtADOE^AHOE(HL),

:?DE=EH,

在RtABDE中，

???點(diǎn)〃是BE的中點(diǎn)，

:?DH=EH=BH,

：.DE=DH=EH,

???△￡)“￡是等邊三角形，

：.ZBEF=60°,

'：BF=BF,

：.ZC=ZBEF=60°,

tanC=V3；

若點(diǎn)D在點(diǎn)0的右側(cè)，此時(shí)有OD=DH,

F

???點(diǎn)H是BE中點(diǎn)，

OH工BE,

：.ZOHB=90°,

:?/HOB+/OBH=90°,N0HD+/DHB=9U°,

OD=DH,

：.ZHOB=ZOHD,

；?NOBH=/DHB,

：.DH=BD,

在RtABDE中,

??,點(diǎn)”是BE的中點(diǎn)，

：.DH=BH=EH,

：.DH=BD=BH,

是等邊三角形，

；?/DBE=60°,

AZBEF=30°,

'：BF=BF,

；./C=/BEF=30°,

??tanC=-2-；

綜上所述，當(dāng)△OQH是等腰三角形時(shí)，tanC=遍或

8.【解答】（1）證明：如圖，連接O。，CD,

,?.AC是。0的直徑，

ZADC=90°,

：.ZBDC=18Q°-ZADC=90°,

??,點(diǎn)M為邊5C的中點(diǎn)，

:.MC=MD,

：.ZMDC=ZMCD,

???OC=OD,

：?NODC=NOCD,

VZACB=90°,即NMCD+NOCD=90°,

ZMDC+ODC=ZMCD+ZOCD=90°,

即NOOM=90°,

：.DM.LOD,

??,oo是。。的半徑，

???DM是。。的切線；

(2)①當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)尸作PTUAB于點(diǎn)T,

在RSBC中，AB=yjAC2+BC2=V82++62=10,

設(shè)PT=x,

1

VtanZBAP=

.PT1

??—―,

AT3

：.AT=3PT=3xf

：.BT=AB-AT=10-3x,

PTAC

*.*t3xi^ABC=-pTp=

.x8

**10-3%—6，

解得：X=l，

.\PT=1,

8

PTACT8

???sin/ABC=皿=而'即康=R'

：.BP=孚

當(dāng)點(diǎn)尸在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作BKLAP于點(diǎn)K,

1

VtanZBAP=

.BK1

??—―,

AK3

設(shè)BK—a,則AK=3a,

在RtZkABK中，AK1+BI^=AB1,

即（3〃）2+?2=102,

解得：a\=V10,ai=-V10（舍去）,

???AK=3VIU,BK=V10,

9：S/^ABP=%P?5K=1i5P*AC,

APAC8

BP~BK~710?

設(shè)貝！

在RtZXAC尸中，AC2+CP2=AP2,

BP82+（m+6）2=（—2,

解得：m\—加2=—竽（舍去）,

綜上所述，3尸的長(zhǎng)為二■或一；

39

②設(shè)CP=n,貝|AP='AC?+CP2=V64+n2,

如圖，???AC是。。的直徑，

CQ1AP,

?.?CQ?AP=AC?CP,

ACCP8n

???CQ=AP

64+n2

.CQ8n

*AP64+712’

Vn>0,

???（n-8）220,

64+幾2》16〃，

CQ8n8n1

—=---------<-------=—

AP64+n2-16n2

.，的最大值句.

9.【解答】(1)證明：連接0C,

〈AC平分ND45,

：.ZDAC=ZEACf

'：ZOCA=ZEAC9

：.ZDAC=ZOCA,

：.OC//AD,

9：CDLAD,

：.OC.LAD,

,.?oc是半徑，

???CD是。。的切線；

(2)證明：:AC平分ND43,

:.ZDAC=ZEAC9

XVCZ)±AZ),FGLAB,

：.ZAGF=ZD=9Q°,

ZAFG+ZDAG=90°,ZE+ZZ)AE=90°,

ZAFG=ZDEA,

：.AAHF^AACE,

.AHAF_

??=,

ACAE

即AF'AC^AE'AH；

(3)過(guò)X作碗_LA￡>,如圖：

4A(1

：.sinZDEA=|=sinZAFG=券，

設(shè)AG=4x,AF=5x,則尸G=3x,

〈AC平分NZM5,

；?MH=GH,AG=AM=4x,

：.MF=x,

設(shè)GH=MH=a,

?,/A“_AG

..tanZAFG=喬=而,

4%a

3x/

45

-X--

：.FH=3x-33

22

AH=y/AG+GH=J（4x）2+（1x）2=

4V10._

.AH4V10

??—t—.

FH-x5

3

10.【解答】解：（1）當(dāng)CQ取最小值時(shí)，CQ±AB,此時(shí)尸點(diǎn)與。點(diǎn)重合，。是3。的

中點(diǎn)，

VBC=2,

???OC=1；

（2）①。。與半圓O相切，

理由如下：連接OQ,

?：OB=OQ,

：.ZB=ZOQB,

9：CQ=CA,

：.ZCQA=ZA.

VZACB=90°,

ZA+ZB=90°,

：.ZOQB-^ZCQA=90°,

：.ZOQC=180°-(NOQ5+NCQ4)=90°,

：.OQ±QC,

又???OQ是圓的半徑，

???C。與半圓O相切；

②如圖，連接尸。，過(guò)C作CD_LAB于。，

B

由題意得，3P=208=15,BQ=6V5,

?:BP是直徑，

：.ZBQP=90°,

：.PQ=JBP2-BQ2=3V5,

VZPQA-^ZA+ZPCA+ZCPQ=360°,

ZA+ZCPQ=180°,

VZCPe+ZBPe=180°,

???ZA=ZBPQf

9

：CQ=CAf

：.ZA=ZCQA.

：.tanZCQA=tanZBPQ=器=2,

???CQ=CAf

；?QD=DA,

設(shè)QD=cif

cn

VtanZCgA=^=2,

:?CD=2a,

■:NPQB=NCDB=90°,

J.PQ//CD,

:?NBPQ=NBCD,

tanZBCD=tanZBPQ=2,

.??8D=4Q,

：.BQ=3a=6V5,

a=2V5,

：.AQ=4V5.

11.【解答】(i)證明：連接on

??,5C為直徑，

???△50。為直角三角形.

在中，E為中點(diǎn)，

：.BE=DE,

：.ZEBD=ZEDB.

又,：OB=OD,：.ZOBD=ZODB,

'：ZOBD+ZABD=90°,；,NODB+NEDB=90°.

???皮＞是。。的切線.

（2）證明：-：PF±BC,

：.ZFPC=90°-NBCP（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）.

VZPDC=90°-/尸。2（直徑所對(duì)的圓周角是直角），/尸。8=/2。尸（同弧所對(duì)的圓

周角相等），

/FPC=ZPDC（等量代換）.

又是公共角，

:.△PCFs^DCP.

（3）解：過(guò)點(diǎn)。作OM，CD于點(diǎn)M,

■:APCFs^DCP,

:.PC2=CF-CD（相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例）.

VCF=1,CP=2,

，C￡）=4.

4

可知sinZDBC=sinA=sinZMOC=

，直徑BC=5,

.MC_4

?.—二,

CO5

：.MC=2,

3

：.MO=^

3

???。到女的距離為3

12.【解答】（1）證明：連接CD

p

??,AO是。。的直徑，

AZACZ)=90°,

：.ZCAD+ZADC=90°.

VZ7^C=ZPBA,/ADC=NPBA,

：.ZPAC=ZADC,

.?.ZCAD+ZB4C=90°,

：.PALOA,而AO是。。的直徑，

???B4是。0的切線；

(2)解：由(1)知，PA±AD,

9

：CF±ADf

：.CF//PA,

：.ZGCA=ZR\C.

'：ZR\C=ZPBA,

：.ZGCA=ZPBA.

又,.?NCAG=N3AC,

/.△CAG^ABAC,

ACAG

???__—__，

ABAC

即AC2=AG'AB.

：AG?AB=12,

：.AC=2V3；

(3)解：\'AF；FD=1：2,

設(shè)AF=尤，F(xiàn)D=2x,則A￡>=AF+F￡)=3x.

在RtZ\AC￡)中，

；CF_LAD,

：.ZAFC^ZACD^9Qa.

又；NCAB=ND4C,

：./\CAF^/\DAC,

.AFAC

??—,

ACAD

：.AC2=AF*AD,

即3x2=12,

解得x=2,

?'A廠=2,F￡)=4,AD=6.

在RtZXA尸G中，

VAF=2,GF=1,

',AG=Vi4F2+GF2=V22+l2=V5.

由(2)知，AG?A3=12,

噌

???AO是。。的直徑,

ZABZ)=90°,

：.sin/.ADB=瑞=等.

NACE=ZACB=ZADB,

：.sin^ACE=等.

13.【解答】（1）證明：連接05.

???四邊形ABDC內(nèi)接于O。，

：.ZBDC+ZBAC=1SO°,

VZBDF+ZBZ)C=180°,

???NBAC=NBDF,

ZBDF=ZACB.

：.ZBAC=ZACB.

：.AB=CB,

VAC±CE,

ZACE=90°,

：.ZE+ZEAC=9Q°,ZBCE+ZACB=90°,

：.ZE=ZBCE,

：?EB=CB,

：.AB=BE,

OB是△ADE的中位線.

J.OB//CE,

VBF±CE,

：.BFLOB,

???5廠為。。的切線；

(2)解：???AO是直徑，

/.ZABD=90°,

*.*/ADB=/ACB,

4R2

sinZACB=sinZADB=卷=本

'：AD=2OA=8,

.U.AB=6,

：.BC=AB=6；

(3)解：設(shè)CD=DF=a,

由(2)知5E=BC.

又,：BFA_CE,

：.CF=EF=2a

:?DE=3a,

由(1)可知，05是△ADE1的中位線,

0B//DE且0B=^DE=當(dāng)，

:.叢BOMs叢CDM.

.DMCD2

"0M~BO~3

.DM1

AM-4,

14?【解答】證明：(1)如圖所示，連接0。,

'：AB=AC,0B=0D,

:?NC=NB=N0DB,

VZ)E±AC,即NZ)EC=90°,

：.ZC+ZCDE=90°,

：.ZODB-^ZCDE=90°,

：.ZODE=90°,

：.OD±OE,

又丁。。是。。的半徑，

???。石是。。的切線；

A

C

(2)如圖所示，連接OM,

9：0A=0M,

：.ZOAM=ZOMA,

'：OD±DE,AC.LDE,

J.AC//OD,

：.ZBOD=ZOAM=ZDOM=ZOMA,ZODM=ZDMC,/C=/ODB,

?：OB=OD=OM,

：./\OBD^AOMD(SAS),

ZODB=ZODM=ZDMC,

：.ZDMC=ZC,

：.DM=DC；

(3)TAB是直徑，

ZADB=90°,

VAB=AC,

:?BD=CD,

在RtAABD中,sin^BAD=器=孚，

可設(shè)BD=3x,AB=3V3x,

.9.AC=3v5%,CD=3%,

VZCZ)E+ZC=90°=ZBAD+ZB.NB=NC,

：?NCDE=NBAD,

sinZCDE=sinNBAD,

在RtACDE中，CE=CD,sin乙CDE=V3x,

9：DM=DC,DE1,CM,

：.CM=2CE=2V3x,

：.AM=AC-CM=?c,

：.AM=CE.

15?【解答】(1)證明：連接OF.

9：0A=0F,

：.ZOAF=ZOFA9

U：EF=FB,

：.ZCAF=ZFAB,

：.ZCAF=ZAFO,

：.OF//AC,

9：ACLCD,

：.OF上CD,

,.?o尸是半徑，

???C。是。。的切線.

(2)解：TAB是直徑，

ZAFB=90°,

OFLCD,

：.ZOFD=ZAFB=90°,

ZAFO=ZDFB,

'：ZOAF=ZOFA,

：.ZDFB=ZOAF,

???GO平分NA。尸，

NADG=NFDG,

9：ZFGH=ZOAF+ZADG.ZFHG=NDFB+/FDG,

:./FGH=/FHG=45°,

???sinN戶HG=￥；

(3)解：過(guò)點(diǎn)〃作/于點(diǎn)M,HNLAD于點(diǎn)、N.

;印)平分NAOF,

：.HM=HN,

..SADHFFH/DFHMDF

?——-1-，

S〉DHBHB-DBHNDB

???△尸GH是等腰直角三角形，GH=4V2,

；?FH=FG=4,

DF4

???_—_o—乙,

DB2

設(shè)DB=k,DF=2k,

,：/FDB=ZADF,NDFB=ZDAF,

:ADFBsADAF,

:.DF2=DB-DA,

.\AD=4k,

,.?G。平分NAOE

NFDH=ZADG,

；?/\FDHS/\ADG,

tFHDF1

''AG~AD~2"

???AG=8,

VZAFB=90°,A尸=12,尸5=6,

：.AB=y/AF2+BF2=V122+62=6函,

???OO的直徑為6V5.

解法二：由（2）可知sinNfHG=孝，

；.FH=FG=4,

FH

：.FB=FH+HB=4+2=6,—=2,

BH

???DG是NfIM的角平分線，

FH

可證—==2,

BDBH

■:ADAFSADFB,

.DFAF

BDFB

：.AF=12,

VZAFB=90°,A尸=12,FB=6,

：.AB=y/AF2+BF2=6V5.

解法三：可以作GP_LA尸交AO于點(diǎn)尸，再證△。尸G之△DGP,△AGPS/^A尸5可以求

出A尸的長(zhǎng)，用勾股定理求出直徑AB的長(zhǎng).

16.【解答】（1）證明：如圖1,連接OC,

圖1

VOA=OC,

：.ZCAO=ZACO,

〈AC平分ND45,

：.ZDAC=ZOAC,

：.ZDAC=ZACO,

J.AD//OC,

u：CDLAD,

JOCLCD,

??,0C是。。的半徑，

二?CD是。。的切線；

(2)解:\9AE=4BE,OA=OB,

BE=x,則AB=3x,

I.OC=OB=\.5x,

9

：AD//0Cf

：.ZCOE=ZDAB,

nr1Sx3

cosZZ)AB=cosZCOE=浣=寂=*

(3)解:由(2)知：OE=2.5xf0C=1.5x,

：.EC=yJOE2-OC2=V(2.5x)2-(1.5%)2=2x,

VFG±AB,

ZAGF=90°,

ZAFG+ZMG=90°,

VZCOE+ZE=90°,/COE=/DAB,

：./E=ZAFH,

9：ZFAH=ZCAE,

：.AAHF^AACE,

eFHCE2x1

"AF~AE~4x~2,

17.【解答】(1)證明：連接ODBD,如圖，

?:DE1BE,

??.NEDB+NEBD=90°.

???。是尼的中點(diǎn)，

工ZEBD=ZABD.

?：OD=OB,

：.ZABD=ZODB.

：.ZODB=ZEBD,

：.ZODB+ZEDB=90°.

即ODLDE.

??,0。是。。的半徑，

???。石是。。的切線；

(2)證明：???A3是。。的直徑，

???NAOB=90°.

???四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

：.ZECD=ZA.

9

：DE1.BE,

：?NDEC=90°.

JZADB=/DEC.

：.AABD^ACDE.

.ADAB

?&-CD,

???。是元的中點(diǎn)，

：.AD=CD.

：.AD=CD

.ADAB

,,CE.AD'

：.AD2=ABCE；

(3)解：VZECD=ZAftanNA=2,

np

tanZEC￡)==2.

:,DE=2CE.

AABDsACDE,

：.ZEDC=ZABD=ZEBD.

,.?NE=NE