2023-2024學(xué)年四川省瀘州市瀘縣普通高中共同體高二下學(xué)期4月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1四川省瀘州市瀘縣普通高中共同體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卷上相應(yīng)位置.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填涂在試卷上無(wú)效.3.非選擇題答案請(qǐng)使用黑色簽字筆填寫在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填寫在試卷上無(wú)效.第一部分（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.等差數(shù)列5，8，11，14，…的第11項(xiàng)為（）A.29 B.32 C.35 D.37【答案】C【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，則由題意得，則，則.故選：C.2.已知直線與直線互相垂直，則m為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】?jī)芍本€垂直，則有，即，解得.故選：C3.五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲到過景點(diǎn)，所以甲不選景點(diǎn)，則不同的選法有（）A.60 B.48 C.54 D.64【答案】B【解析】因甲不選景點(diǎn)，應(yīng)該分步完成：第一步，先考慮甲在三個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從中分別任選一個(gè)景點(diǎn)，有中選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同選法有：種.故選：B.4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'x的圖象如圖所示，則下面說(shuō)法正確的是（A.為函數(shù)的極大值點(diǎn) B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】對(duì)于A，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的符號(hào)在區(qū)間上是先負(fù)后正，意味著函數(shù)在區(qū)間上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的符號(hào)在區(qū)間上是先正后負(fù)，意味著函數(shù)在區(qū)間上先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.5.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，從而，，，，故選:B.6.已知正方體的棱長(zhǎng)為3，則點(diǎn)到面的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】以原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)面的法向量為，，所以，令，則，所以，，所以到平面的距離，故選：C.7.函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】設(shè)與直線平行且與函數(shù)fx=lnx設(shè)切點(diǎn)為P(x又因?yàn)?，所以，解得，所以切點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以函數(shù)fx=lnx圖象上的點(diǎn)到直線故選：B.8.已知函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)，則ft的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】求導(dǎo)有，因?yàn)楹瘮?shù)有唯一的極值點(diǎn)，所以，有唯一正實(shí)數(shù)根，因?yàn)椋栽谏蠠o(wú)解，所以，在上無(wú)解，記，則有，所以，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，在上遞增．此時(shí)時(shí)，有最小值，所以，，即，所以，即ft的取值范圍是故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列選項(xiàng)正確的是（

）A.，則B.，則C.，則D.設(shè)函數(shù)，且，則【答案】AD【解析】因?yàn)?，則，則，故A正確；因?yàn)?，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋瑒t，又，則，即，所以，故D正確；故選：AD10.已知曲線，點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.若，則曲線的離心率為B.若，則曲線的漸近線方程為C.若曲線是雙曲線，則曲線的焦點(diǎn)一定在軸上D.若曲線是圓，則的最大值為4【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，時(shí)，曲線為，故，則曲線的離心率為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，時(shí)，曲線為，雙曲線焦點(diǎn)在軸上，則曲線的漸近線方程為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若曲線是雙曲線，則，解得：，因，則曲線的焦點(diǎn)一定在軸上，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若曲線是圓，則，即，，設(shè)，則得，如圖，要求最大值，即求直線的縱截距的最小值，又因Px,y為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，故可考慮直線與圓相切時(shí)的情況，由圓心到直線的距離為，解得，結(jié)合圖象知，即的最大值為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．11.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】，由圖可知，，則，故C正確；，，兩式相減得，即，，則，所以，則，所以，故AB正確；則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.B.C.數(shù)列是等比數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】，①，②兩式作差得：，，，，即，，.數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，.由上述內(nèi)容可知，選項(xiàng)A，C正確.當(dāng)時(shí)，，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，，，數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列.則數(shù)列的前項(xiàng)和為，則選項(xiàng)D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.展開式中的系數(shù)為______.【答案】15【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），所以展開式中的系數(shù)為．故答案為：．14.已知事件與相互獨(dú)立，，，則______．【答案】0.88【解析】因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以，所以．故答案為：0.8815.已知直線，動(dòng)直線被圓截得弦長(zhǎng)的最小值為______．【答案】【解析】由圓可得：圓心，半徑.由直線可得：直線過定點(diǎn).因?yàn)樗渣c(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓相交，則過點(diǎn)且與垂直的弦的弦長(zhǎng)最短，且弦長(zhǎng)的最小值為.故答案為：16.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______【答案】【解析】函數(shù)，則，因?yàn)閔x在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以在上有解，所以當(dāng)時(shí)，有解，令，而當(dāng)時(shí)，令，即為，此時(shí)(此時(shí))，所以，故答案：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最值．解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，即，解得或；令，即，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1），令，即，解得或．因?yàn)?，所以舍去，即，又因?yàn)?，，，所以在上的最大值為，最小值為?8.某倉(cāng)庫(kù)有甲、乙兩箱產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品和3件次品，乙箱中有5件正品和3件次品.（1）從甲箱中任取2件產(chǎn)品，求事件A＝“這2件產(chǎn)品中至少有1件次品”的概率；（2）從甲、乙兩箱中各取1件產(chǎn)品，求事件B＝“這2件產(chǎn)品中恰好有1件次品”的概率.解：（1）從甲箱中取2件產(chǎn)品的樣本空間包含的樣本點(diǎn)，事件A數(shù)包含的樣本點(diǎn)為；所以從甲箱中任取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品至少有1件次品的概率為；（2）設(shè)事件＝“從甲箱中取1件產(chǎn)品是正品”，事件＝“從甲箱中取出1個(gè)產(chǎn)品是次品”，事件＝“從乙箱中取出1件產(chǎn)品是正品”，事件＝“從乙箱中取出1件產(chǎn)品是次品”，所以事件，又事件與事件、事件與事件相互獨(dú)立，事件與互斥，所以.19.已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列an（2）若，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．解：（1）由題意可得：，即，且，解得，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=1+n-1=n（2）由（1）可得，可得，所以.20.如圖，已知長(zhǎng)方體中，AB=BC=1，，連接，過點(diǎn)作的垂線交于，交于（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)樵谏?，可設(shè)，則，又，則，解得，即，可得則，可得，即且，平面．所以平面．（2）由（1）可得：，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)?，則，所以直線與平面所成角正弦值為．21.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，當(dāng)最大時(shí)，求直線的方程.解：（1）由已知得.又，所以橢圓的方程為.（2）①當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則；②當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，，直線的方程為，將代入，整理得.則，.又，，所以，.令，則所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).由①②得，直線的方程為.22.已知.（1）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求，的值；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1），又，所以.因?yàn)?，所以，故，綜上.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，故，當(dāng)時(shí)，，i.當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，又，所以，故，所以時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)ii.當(dāng)時(shí)，今，解得.若，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn).若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，故函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.若時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，，故函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，的取值范圍是.四川省瀘州市瀘縣普通高中共同體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卷上相應(yīng)位置.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填涂在試卷上無(wú)效.3.非選擇題答案請(qǐng)使用黑色簽字筆填寫在答題卷對(duì)應(yīng)題目號(hào)的位置上，填寫在試卷上無(wú)效.第一部分（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.等差數(shù)列5，8，11，14，…的第11項(xiàng)為（）A.29 B.32 C.35 D.37【答案】C【解析】設(shè)該等差數(shù)列為，則由題意得，則，則.故選：C.2.已知直線與直線互相垂直，則m為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】?jī)芍本€垂直，則有，即，解得.故選：C3.五一小長(zhǎng)假前夕，甲、乙、丙三人從四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲到過景點(diǎn)，所以甲不選景點(diǎn)，則不同的選法有（）A.60 B.48 C.54 D.64【答案】B【解析】因甲不選景點(diǎn)，應(yīng)該分步完成：第一步，先考慮甲在三個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從中分別任選一個(gè)景點(diǎn)，有中選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同選法有：種.故選：B.4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'x的圖象如圖所示，則下面說(shuō)法正確的是（A.為函數(shù)的極大值點(diǎn) B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】D【解析】對(duì)于A，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，的符號(hào)在區(qū)間上是先負(fù)后正，意味著函數(shù)在區(qū)間上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的符號(hào)在區(qū)間上是先正后負(fù)，意味著函數(shù)在區(qū)間上先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.5.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，，從而，，，，故選:B.6.已知正方體的棱長(zhǎng)為3，則點(diǎn)到面的距離為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】以原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，設(shè)面的法向量為，，所以，令，則，所以，，所以到平面的距離，故選：C.7.函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】設(shè)與直線平行且與函數(shù)fx=lnx設(shè)切點(diǎn)為P(x又因?yàn)?，所以，解得，所以切點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以函數(shù)fx=lnx圖象上的點(diǎn)到直線故選：B.8.已知函數(shù)有唯一的極值點(diǎn)，則ft的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】求導(dǎo)有，因?yàn)楹瘮?shù)有唯一的極值點(diǎn)，所以，有唯一正實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，所以在上無(wú)解，所以，在上無(wú)解，記，則有，所以，當(dāng)時(shí)，，在上遞減，當(dāng)時(shí)，，在上遞增．此時(shí)時(shí)，有最小值，所以，，即，所以，即ft的取值范圍是故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列選項(xiàng)正確的是（

）A.，則B.，則C.，則D.設(shè)函數(shù)，且，則【答案】AD【解析】因?yàn)?，則，則，故A正確；因?yàn)?，則，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，則，又，則，即，所以，故D正確；故選：AD10.已知曲線，點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.若，則曲線的離心率為B.若，則曲線的漸近線方程為C.若曲線是雙曲線，則曲線的焦點(diǎn)一定在軸上D.若曲線是圓，則的最大值為4【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，時(shí)，曲線為，故，則曲線的離心率為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，時(shí)，曲線為，雙曲線焦點(diǎn)在軸上，則曲線的漸近線方程為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若曲線是雙曲線，則，解得：，因，則曲線的焦點(diǎn)一定在軸上，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若曲線是圓，則，即，，設(shè)，則得，如圖，要求最大值，即求直線的縱截距的最小值，又因Px,y為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，故可考慮直線與圓相切時(shí)的情況，由圓心到直線的距離為，解得，結(jié)合圖象知，即的最大值為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．11.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】，由圖可知，，則，故C正確；，，兩式相減得，即，，則，所以，則，所以，故AB正確；則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.B.C.數(shù)列是等比數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】，①，②兩式作差得：，，，，即，，.數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，.由上述內(nèi)容可知，選項(xiàng)A，C正確.當(dāng)時(shí)，，則選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，，，數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列.則數(shù)列的前項(xiàng)和為，則選項(xiàng)D正確.故選：ACD.第二部分（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.展開式中的系數(shù)為______.【答案】15【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），所以展開式中的系數(shù)為．故答案為：．14.已知事件與相互獨(dú)立，，，則______．【答案】0.88【解析】因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以，所以．故答案為：0.8815.已知直線，動(dòng)直線被圓截得弦長(zhǎng)的最小值為______．【答案】【解析】由圓可得：圓心，半徑.由直線可得：直線過定點(diǎn).因?yàn)樗渣c(diǎn)在圓內(nèi)，直線與圓相交，則過點(diǎn)且與垂直的弦的弦長(zhǎng)最短，且弦長(zhǎng)的最小值為.故答案為：16.若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______【答案】【解析】函數(shù)，則，因?yàn)閔x在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以在上有解，所以當(dāng)時(shí)，有解，令，而當(dāng)時(shí)，令，即為，此時(shí)(此時(shí))，所以，故答案：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）17.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在上的最值．解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，即，解得或；令，即，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1），令，即，解得或．因?yàn)?，所以舍去，即，又因?yàn)?，，，所以在上的最大值為，最小值為?8.某倉(cāng)庫(kù)有甲、乙兩箱產(chǎn)品，其中甲箱中有4件正品和3件次品，乙箱中有5件正品和3件次品.（1）從甲箱中任取2件產(chǎn)品，求事件A＝“這2件產(chǎn)品中至少有1件次品”的概率；（2）從甲、乙兩箱中各取1件產(chǎn)品，求事件B＝“這2件產(chǎn)品中恰好有1件次品”的概率.解：（1）從甲箱中取2件產(chǎn)品的樣本空間包含的樣本點(diǎn)，事件A數(shù)包含的樣本點(diǎn)為；所以從甲箱中任取2件產(chǎn)品，求這2件產(chǎn)品至少有1件次品的概率為；（2）設(shè)事件＝“從甲箱中取1件產(chǎn)品是正品”，事件＝“從甲箱中取出1個(gè)產(chǎn)品是次品”，事件＝“從乙箱中取出1件產(chǎn)品是正品”，事件＝“從乙箱中取出1件產(chǎn)品是次品”，所以事件，又事件與事件、事件與事件相互獨(dú)立，事件與互斥，所以.19.已知等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列an（2）若，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．解：（1）由題意可得：，即，且，解得，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=1+n-1=n（