《曲邊梯形的面積》教學設計

1/19第一章導數及其應用曲邊梯形的面積(名師：朱俊)一、教學目標1．核心素養(yǎng)通過定積分的概念的學習，提升分析問題、解決問題的能力、抽象概括能力和邏輯思維能力.2．學習目標（1）通過求曲邊梯形的面積，了解定積分的實際背景．（2）通過求變速直線運動的路程，了解定積分的實際背景．3．學習重點“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.4．學習難點“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.二、教學設計（一）課前設計1．預習任務預習教材P2—P4,完成P6相應練習題2．預習自測1．在“近似代替”中，函數f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于（）A．只能是左端點的函數值f(xi)B．只能是右端點的函數值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內任一點的函數值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正確答案：C2．求由拋物線y＝2x2與直線x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時，將區(qū)間[0，t]等分成n個小區(qū)間，則第i－1個區(qū)間為（）A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i,n)，\f(i＋1,n)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t(i－1),n)，\f(ti,n)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t(i－2),n)，\f(t(i－1),n)))答案：D3．直線x＝a，x＝b(a<b)，y＝0和曲線y＝f(x)(f(x)>0)所圍成的曲邊梯形的面積S＝（）A．eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(1,n)B．eq\o(lim,\s\do15(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξ1)·eq\f(1,n)C．eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n)D．eq\o(lim,\s\do15(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)·f(ξi)答案：D（二）課堂設計1．知識回顧本節(jié)可能會用到的數學公式：（1）；（2）；（3）（其中，為常數，）.2．問題探究問題探究一：求曲邊梯形的面積曲邊梯形的概念：如圖，陰影部分類似于一個梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何求與及所圍成的平面圖形面積S？活動1：請討論：如何分割？以下幾種分割方法，哪種最合適？（1）豎向分割（2）橫向分割（3）隨意分割分析發(fā)現，豎向分割更容易求面積.活動2：請討論：分割多少份合適？分析發(fā)現分割的越多，誤差越小，為了便于計算，引導學生會利用n控制分割的份數，把[0,1]分割成n等份.活動3：以什么樣的直邊圖形近似代替小曲邊梯形？展示部分近似代替的方案：（1）（2）（3）矩形矩形梯形不足過剩代替分割后，轉化成n個曲邊梯形，利用直邊圖形代替，合作交流后確定方案，即以矩形不足或矩形過剩計算較為方便.活動4：如何用n的式子表示直邊圖形面積的和？展示學習小組部分計算結果：（1）以方案（1）計算：（2）以方案（2）計算：（3）以方案（3）計算：通過分割、近似代替兩步以后，進行求和，根據不同的方案計算出不同的面積和，發(fā)現每一種和結果的代數式子不一樣，為后面引入極限做個鋪墊.活動5：請討論：對控制變量n怎樣理解，面積S變化趨勢怎樣？(1)幾何畫板演示，隨變量n變大，它們的變化趨勢.（2）取極限：（1）當時，（2）當時，結論：以上三種方案得到的面積都是用n表示的表達式，而曲邊梯形的面積應該是一個常數，如何確定這個常數，已經知道分割的份數越多，誤差就越小，利用前面導數的概念，可以確定當n趨近于無窮大時，趨近于一個常數，這個常數就是該圖形面積的值，體現了無限逼近的思想方法，極限的含義.活動6：在求小矩形的面積時，我們提到了可以取在區(qū)間上任意一點處的值作為小矩形的高，會有怎樣的結果？例1：求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成的曲邊梯形的面積【知識點：曲邊梯形面積】解:令f(x)＝x2.(1)分割將區(qū)間[0,2]n等分，分點依次為x0＝0，x1＝eq\f(2,n)，x2＝，…，xn－1＝eq\f(2（n－1）,n)，xn＝2.第i個區(qū)間為[eq\f(2i－2,n)，eq\f(2i,n)](i＝1,2，…，n)，每個區(qū)間長度為Δx＝eq\f(2i,n)－eq\f(2i－2,n)＝eq\f(2,n).(2)近似代替、求和，取ξi＝eq\f(2i,n)(i＝1,2，…，n)，Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(eq\f(2i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(eq\f(2i,n))2·eq\f(2,n)＝eq\f(8,n3)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))i2＝eq\f(8,n3)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(8,n3)·eq\f(n（n＋1）(2n＋1),6)＝eq\f(4,3)(2＋eq\f(3,n)＋eq\f(1,n2))．(3)取極限S＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))Sn＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(4,3)(2＋eq\f(3,n)＋eq\f(1,n2))＝eq\f(8,3)，即所求曲邊梯形的面積為eq\f(8,3).點撥：求曲邊梯形面積的步驟①分割：把區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間；（如下圖1）②近似代替：對每個小曲邊梯形“以直代曲”，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值（如下圖2）；③求和：計算出n個小矩形的面積之和Sn，Sn即為曲邊梯形面積的近似值；④取極限：求（即為曲邊梯形的面積）圖1圖1圖2問題探究二、如何求汽車行駛的路程？活動一：汽車以速度作勻速直線運動時，經過時間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運動，在時刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時間內行駛的路程（單位：km）是多少？分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運動的路程問題，化歸為勻速直線運動的路程問題．把區(qū)間分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運動，從而求得汽車在每個小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值．解：1．分割在時間區(qū)間上等間隔地插入個點，將區(qū)間等分成個小區(qū)間：，，…，記第個區(qū)間為，其長度為.把汽車在時間段，，…，上行駛的路程分別記作：，，…，，顯然，（2）近似代替當很大，即很小時，在區(qū)間上，可以認為函數的值變化很小，近似的等于一個常數，不妨認為它近似的等于左端點處的函數值，從物理意義上看，即使汽車在時間段上的速度變化很小，不妨認為它近似地以時刻處的速度作勻速直線運動，即在局部小范圍內“以勻速代變速”，于是用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內“以直代取”，則有①（3）求和由①，====從而得到的近似值（4）取極限當趨向于無窮大時，即趨向于0時，趨向于，從而有點撥：本題所用數學思想為化歸，即用化歸為各個小區(qū)間上勻速直線運動路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運動的路程）．活動二：結合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關系？汽車行駛的路程在數值上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.一般地，如果物體做變速直線運動，速度函數為，那么我們也可采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在內所作的位移.3．課堂總結【知識梳理】求曲邊梯形面積的步驟①分割：把區(qū)間[a，b]等分成個小區(qū)間；（如下圖1）②近似代替：對每個小曲邊梯形“以直代曲”，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值（如下圖2）；③求和：計算出個小矩形的面積之和，即為曲邊梯形面積的近似值；圖1圖1圖2④取極限：求（即為曲邊梯形的面積）.【重難點突破】1.求曲邊梯形面積“近似代替”中，取任意一點代替求出的最終的曲邊梯形面積均是同一個常數.2.求曲邊梯形面積與求變速直線運動的物體的路程的本質是一樣的，都采用分割、近似代替、求和、取極限的步驟求解.4．隨堂檢測1．直線x＝0、x＝2、y＝0與曲線y＝x2所圍成曲邊梯形的面積是_______．答案：見解析解析：【知識點：曲邊梯形的面積；】將區(qū)間[0,2]等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為.第i個小區(qū)間的面積，所以故∴所求曲邊梯形面積為eq\f(8,3).2．已知汽車做變速直線運動，在時刻t的速度(單位：km/h)為v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(單位：h)這段時間行駛的路程為多少？答案：這段時間行駛的路程為eq\f(13,3)km.解析：【知識點：變速直線運動的路程；】解：將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，第i個小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)．第i個時間區(qū)間的路程的近似值為于是所以s＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＋\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))))＝eq\f(13,3).所以，這段時間行駛的路程為eq\f(13,3)km.（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1．函數在區(qū)間上（）A．的值變化很小B．的值變化很大C．的值不變化D．當很大時，的值變化很小答案：D解析：【知識點：定積分；】2．在求由拋物線y＝x2＋6與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形的面積時，把區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，則第i個區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))C．[i－1，i]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i,n)，\f(i＋1,n)))答案：B解析：【知識點：定積分；】在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個點，將它等分成n個小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(n＋1,n)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)，\f(n＋2,n)))，…，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))，…，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n－1,n)，2))，所以第i個區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))(i＝1,2，…，n)．3.若做變速直線運動的物體v(t)＝t2在0≤t≤a內經過的路程為9，則a的值為()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：【知識點：定積分；】將區(qū)間[0，a]n等分，記第i個區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a(i－1),n)，\f(ai,n)))(i＝1,2，…，n)，此區(qū)間長為eq\f(a,n)，用小矩形面積eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai,n)))2·eq\f(a,n)近似代替相應的小曲邊梯形的面積，則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai,n)))2·eq\f(a,n)＝eq\f(a3,n3)·(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(a3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))近似地等于速度曲線v(t)＝t2與直線t＝0，t＝a，t軸圍成的曲邊梯形的面積．依題意得eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(a3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))＝9，∴eq\f(a3,3)＝9，解得a＝3．4．汽車以v＝(3t＋2)m/s作變速直線運動時，在第1s到第2s間的1s內經過的路程是________．答案：6.5解析：【知識點：變速直線運動的路程；】將[1,2]n等分，并取每個小區(qū)間左端點的速度近似代替，則Δt＝eq\f(1,n)，v(ξi)＝v(1＋eq\f(i－1,n))＝3(1＋eq\f(i－1,n))＋2＝eq\f(3,n)(i－1)＋5.∴sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))[eq\f(3,n)(i－1)＋5]·eq\f(1,n)＝{eq\f(3,n)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5n}·eq\f(1,n)＝eq\f(3,n2)·eq\f(n(n－1),2)＋5＝eq\f(3,2)(1－eq\f(1,n))＋5.∴s＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))sn＝eq\f(3,2)＋5＝6.5.5．求拋物線f(x)＝1＋x2與直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S.答案：eq\f(4,3)解析：【知識點：求曲邊梯形的面積；】(1)分割：把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)其長度Δx＝eq\f(1,n)，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，其面積分別記為ΔSi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積．ΔSi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))·Δx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))2))·eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))2)).(4)取極限：S＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))2))＝1＋lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))2·eq\f(1,n)＝1＋lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).6．已知一物體做變速直線運動，其瞬時速度是v(t)＝2t(單位：m/s)，求該物體在出發(fā)后從t＝1s到t＝5s這4s內所經過的位移．答案：24m.解析：【知識點：變速直線運動的路程；】(1)分割：把時間段[1,5]分成n等份，分點依次是：1，1＋eq\f(4,n)，1＋eq\f(8,n)，…，1＋eq\f(n－1,n)·4,5，每個小區(qū)間的長度Δx＝eq\f(4,n).(2)近似代替：在時間的小區(qū)間段，以勻速來代替變速，故在每一小時間段內，經過的位移Δsi≈Δs′i＝veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4i,n)))·eq\f(4,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(8i,n)))·eq\f(4,n)，其中i＝1,2，…，n.(3)求和：所求的位移s≈sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)s′i＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(8i,n)))＝8＋eq\f(32,n2)·eq\f(n(n＋1),2)＝8＋16·eq\f(n＋1,n)＝8＋16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n))).(4)取極限：當分割無限變細，即eq\f(4,n)趨向于0(亦即n趨向于＋∞)時，sn趨向于所求位移s，從而有s＝lieq\o(m,\s\do4(n→＋∞))sn＝lieq\o(m,\s\do4(n→＋∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(8＋16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))))＝8＋16＝24，即所求物體經過的位移是24m.能力型師生共研7．eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,[)(eq\f(15i,n))·(eq\f(5,n))]的含義可以是（）A．求由直線x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積B．求由直線x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x圍成的圖形的面積C．求由直線x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積D．求由直線x＝0，x＝5，y＝0及曲線y＝eq\f(5,x)圍成的圖形的面積答案：C解析：【知識點：曲邊梯形的面積；】將區(qū)間[0,5]n等分，則每一區(qū)間的長度為eq\f(5,n)，各區(qū)間右端點對應函數值為y＝eq\f(15i,n)，因此eq\i\su(i＝1,n,[)(eq\f(15i,n))·(eq\f(5,n))]可以表示由直線x＝0、x＝5、y＝0和y＝3x圍成的圖形的面積的近似值．8．由直線x＝0、x＝1、y＝0和曲線y＝x2＋2x圍成的圖形的面積為________．答案：eq\f(4,3)解析：【知識點：曲邊梯形的面積；】將區(qū)間[0,1]n等分，每個區(qū)間長度為eq\f(1,n)，區(qū)間右端點函數值y＝(eq\f(i,n))2＋2·eq\f(i,n)＝eq\f(i2,n2)＋eq\f(2i,n).作和eq\i\su(i＝1,n,[)(eq\f(i2,n2)＋eq\f(2i,n))eq\f(1,n)]＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(i2,n3)＋eq\f(2i,n2))＝eq\f(1,n3)eq\i\su(i＝1,n,i)2＋eq\f(2,n2)eq\i\su(i＝1,n,i)＝eq\f(1,n3)×eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)＋eq\f(8n2＋9n＋1,6n2)，∴所求面積S＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(8n2＋9n＋1,6n2)＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))(eq\f(4,3)＋eq\f(3,2n)＋eq\f(1,6n2))＝eq\f(4,3).9．設函數f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b把區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，作和式In＝eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx(其中Δx為小區(qū)間的長度)，那么In的大小()A．與f(x)和區(qū)間[a，b]有關，與分點的個數n和ξi的取法無關B．與f(x)、區(qū)間[a，b]和分點個數n有關，與ξi的取法無關C．與f(x)、區(qū)間[a，b]和ξi的取法有關，與分點的個數n無關D．與f(x)、區(qū)間[a，b]、分點的個數n、ξi的取法都有關答案：D解析：【知識點：定積分】10．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成的曲邊梯形的面積.答案：eq\f(8,3)解析：【知識點：曲邊梯形的面積；數學思想：以不變代變】令f(x)＝x2.(1)分割：將區(qū)間[0,2]n等分，分點依次為x0＝0，x1＝eq\f(2,n)，x2＝eq\f(4,n)，…，xn－1＝eq\f(2(n－1),n)，xn＝2.第i個區(qū)間為[eq\f(2i－2,n)，eq\f(2i,n)](i＝1,2，…，n)，每個區(qū)間長度為Δx＝eq\f(2i,n)－eq\f(2i－2,n)＝eq\f(2,n).(2)近似代替、求和，取ξi＝eq\f(2i,n)(i＝1,2，…，n)，Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(eq\f(2i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(eq\f(2i,n))2·eq\f(2,n)＝eq\f(8,n3)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))i2＝eq\f(8,n3)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(8,n3)·eq\f(n(n＋1)(2n＋1),6)＝eq\f(4,3)(2＋eq\f(3,n)＋eq\f(1,n2))．(3)取極限S＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))Sn＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(4,3)(2＋eq\f(3,n)＋eq\f(1,n2))＝eq\f(8,3)，即所求曲邊梯形的面積為eq\f(8,3).探究型多維突破11．設力F作用在質點m上使m沿x軸正向從x＝1運動到x＝10，已知F＝x2＋1且力的方向和x軸正向相同，求F對質點m所作的功．.答案：342.解析：【知識點：定積分；】將區(qū)間[1,10]n等分，則各小區(qū)間的長度為eq\f(9,n)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,n)(i－1)，1＋\f(9,n)i))上取ξi＝1＋eq\f(9,n)i.∴Fi＝ξeq\o\al(2,i)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,n)i))2＋1，∴Wi＝Fi·eq\f(9,n)＝eq\f(9,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,n)i))2＋eq\f(9,n)(i＝1,2，…，n)．∴W＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,n)i))2＋\f(9,n)))＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(9,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(18,n)i＋\f(81,n2)i2))＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,n)＋\f(162,n2)i＋\f(729,n3)i2))＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18＋\f(162,n2)·\f(n(n＋1),2)＋\f(729,n3)·\f(n(n＋1)(2n＋1),6)))＝18＋81＋243＝342.故F對質點所作的功為342.自助餐1.求曲邊梯形面積的四步曲中的第二步是()A．分割B．近似代替C．求和D．取極限答案：B解析：【知識點：求曲邊梯形的面積】2.在“近似代替”中，函數f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上近似值等于()A．只能是左端點的函數值f(xi)B．只能是右端點的函數值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內任一點的函數值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]D．以上答案均正確答案：C解析：【知識點：定積分】3.和式eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－3)等于()A．(x1－3)＋(x10－3)B．x1＋x2＋x3＋…＋x10－3C．x1＋x2＋x3＋…＋x10－30D．(x1－3)(x2－3)(x3－3)·…·(x10－3)答案：C解析：【知識點：和式的概念】eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－3)＝(x1－3)＋(x2－3)＋(x3－3)＋…＋(x10－3)＝(x1＋x2＋…＋x10)－30.4.對于由函數y＝x3和直線x＝1，y＝0圍成的曲邊梯形，把區(qū)間[0,1]三等分，則曲邊梯形面積的近似值(每個ξi取值均為小區(qū)間的左端點)是()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,25)C.eq\f(1,27)D.eq\f(1,30)答案：A解析：【知識點：求曲邊梯形的面積】S＝0×eq\f(1,3)＋(eq\f(1,3))3×eq\f(1,3)＋(eq\f(2,3))3×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).5.一物體沿直線運動，其速度v(t)＝t，這個物體在t＝0到t＝1這段時間內所走的路程為（）A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．1D．eq\f(3,2)答案：B解析：【知識點：變速直線運動的路程】6.在等分區(qū)間的情況下，f(x)＝eq\f(1,1＋x2)(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形的面積和式的極限形式正確的是()A．lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋(\f(i,n))2)·\f(2,n)))B．lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋(\f(2i,n))2)·\f(2,n)))C．lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋i2)·\f(1,n)))D．lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋(\f(i,n))2)·n))答案:B解析：【知識點：求曲邊梯形的面積】將區(qū)間n等分后，每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(2,n)，第i個小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2(i－1),n)，\f(2i,n)))(i＝1,2,3，…，n)，則由求曲邊梯形的面積的步驟可得曲邊梯形的面積和式的極限形式為lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋(\f(2i,n))2)·\f(2,n))).7．把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為________．答案：見解析解析：【知識點：求曲邊梯形的面積】區(qū)間[1,3]的長度為2，故n等分后，每個小區(qū)間的長度均為eq\f(2,n).8．如果汽車做勻變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，則該汽車在1≤t≤2這段時間內行駛的路程可用一個平面圖形的面積來表示，則圍成該圖形的直線和曲線分別是_____________________．答案：見解析解析：【知識點：求曲邊梯形的面積】圍成該圖形的直線和曲線分別是t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2.9．已知某物體運動的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個小區(qū)間右端點處的函數值為近似小矩形的高，則物體運動的路程近似值為________．答案：55解析：【知識點：變速直線運動的路程】把區(qū)間[0,10]10等分，每個小區(qū)間右端點處的函數值為n(n＝1,2，…，10)，每個小區(qū)間的長度為1.∴物體運動的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10.求由曲線y＝eq\f(1,2)x2與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個小區(qū)間的左端點)是________.答案：1.02解析：【知識點：求曲邊梯形的面積】將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(6,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(7,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(8,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(9,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs