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4/4《導數(shù)的幾何意義》疑難點撥―、導數(shù)的幾何意義1.函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率,是過點和的割線.2.不能以是否與曲線只有一個公共點判斷直線是不是切線.例1(2017四川名校第一次聯(lián)考,★☆☆)已知函數(shù)的圖象如圖所示,是的導函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是()A.B.C.D解題導引比較函數(shù)的圖象在點處的切線斜率及直線的斜率的大小.二、求曲線的切線方程1.在點處的切線與過點的切線的區(qū)別:在點處的切線說明點為此切線的切點;而過點的切線,則強調(diào)切線過點,此點可以是切點,也可以不是切點.因此在求過點的切線方程時,應先判斷點是不是曲線上的點,若點在曲線上且是切點,則切線方程為,若點在曲線上但不是切點,或點不在上,則一般先設切點為,則過此切點的切線方程為,再將代人,求得切點,進而求出過點的切線的方程.2.對于曲線,若存在,則其為切線的斜率,切線自然存在.若不存在,可分為兩種情況:一是,則切線的斜率不存在,但切線存在,為垂直于軸的直線(如曲線在點處的切線);二是則切線不存在.例2(★★☆)已知曲線.(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求曲線過點的切線方程.解題導引(1)先求出的導函數(shù),將代入可求得切線的斜率,再求切線方程;(2)先求出切點坐標,再求切線方程.三、求切點的坐標設切點的坐標為,根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出切線斜率的式子,根據(jù)其與已知切線的斜率相等列方程,求得切點的坐標.例3(★★☆)曲線上哪一點處的切線:(1)平行于直線?(2)垂直于直線?(3)傾斜角為?解題導引設切點坐標—求曲線在切點處切線的斜率利用條件列出方程求出點的坐標.
參考答案例1.答案:B解析:由導數(shù)的幾何意義可知,分別表示曲線在處的切線的斜率,而表示直線的斜率,即.由圖象可知故選B.導師點睛根據(jù)題意,弄清的幾何意義,從而求解.例2.答案:見解析解析:(1)點在曲線上,且在點處的切線的斜率為,曲線在點處的切線方程為,即.(2)設曲線與過點的切線相切于點,則切線的斜率為,切線方程為,即,點在切線上,,即即,解得或,故所求的切線方程為或.導師點睛在求曲線的切線方程時,要注意區(qū)分所求切線是曲線上某點處的切線,還是過某點的切線,曲線上某點處的切線有且只有一條,而過某點的切線不一定只有一條,即使此點在曲線上也不一定只有一條.例3.答案:見解析解析設切點為.令,則.所以.(1)切線與直線平行,,解得,,即.(2)切線與直線垂直,,得,即.(3)切線的傾斜角為,其斜率為-1,即,得,即導師
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