《回歸分析基本思想及其初步應(yīng)用（第3課時）》教學(xué)設(shè)計

1/1選修1-23.1回歸分析基本思想及其初步應(yīng)用第三課時(谷楊華)一、教學(xué)目標1.核心素養(yǎng):通過學(xué)習(xí)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用，初步形成基本的數(shù)據(jù)分析能力.學(xué)習(xí)目標（1）1.1.3.1溫習(xí)線性回歸模型，.理解建立回歸模型的基本步驟.（2）1.1.3.2通過非線性回歸分析，能將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.（3）1.1.3.3通過非線性回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度.3.學(xué)習(xí)重點通過非線性回歸分析，能將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.4.學(xué)習(xí)難點通過非線性回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù) 任務(wù)1 閱讀教材P6－P8，思考在回歸分析中，建立回歸模型的基本步驟是什么？ 任務(wù)2 當(dāng)兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系時，如何建立回歸模型？預(yù)習(xí)自測1.有下列數(shù)據(jù)：x123y35.9912.01下列四個函數(shù)中，模擬效果最好的為（）A.B.C.D.解：A2.已知回歸方程，而試驗得到一組數(shù)據(jù)是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），則殘差平方和是（）A.0.01B.0.02C.0.03D.0.04解：C（二）課堂設(shè)計1.知識回顧（1）線性回歸方程：，其中.，（2）線性回歸模型：y=bx+a+e其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機誤差.（3）數(shù)據(jù)點和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異是隨機誤差的效應(yīng)，稱為殘差.由,得.（4）相關(guān)系指數(shù)：（5）是刻畫回歸效果的量，除了表示回歸模型的擬合效果，也表示解釋變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)關(guān)系（在線性回歸模型中）.越大，說明殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，在線性回歸模型中，越接近于1，回歸的效果越好（因為越接近于1，表示解釋變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強）2.問題探究問題探究一建立回歸模型的基本步驟是什么？ ●活動一歸納提升，總結(jié)一般方法例1某城區(qū)為研究城鎮(zhèn)居民月家庭人均生活費支出和月人均收入的相關(guān)關(guān)系，隨機抽取10戶進行調(diào)查，其結(jié)果如下：月人均收入x／元3003904205205707007608008501080月人均生活費y／元255324335360450520580600630750試預(yù)測人均月收入為1100元和人均月收入為1200元的兩個家庭的月人均生活費.【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】詳解：作出散點分布圖如圖，由圖可知，月人均生活費與人均收入之間具有線性相關(guān)關(guān)系.通過計算可知，，，，所以，所以回歸直線方程為計算相關(guān)系數(shù)得r=0.993136，故月人均收入與月人均生活費之間具有顯著相關(guān)關(guān)系.作殘差圖如圖，由圖可知，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適.計算相關(guān)指數(shù)得＝0.9863，說明城鎮(zhèn)居民的月人均生活費的差異有98.63％是由月人均收入引起的.由以上分析可知，我們可以利用回歸方程來作為月生活費的預(yù)報值.將x＝1100代入回歸方程得y＝784.59元；將x＝1200代入回歸方程得y＝850.58元.故預(yù)測月人均收入分別為1100元和1200元的兩家庭的月人均生活費分別為784.59元和850.58元.點撥：建立回歸模型的基本步驟（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量.（2）畫出解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系等）.（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如果我們觀察到詩句呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）.（4）按一定的規(guī)則（如最小二乘法）估計回歸方程中的參數(shù).（5）得出結(jié)論后分析殘差圖是否有異常（如個別數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差絕對值過大，殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等.問題探究二若兩變量為非線性相關(guān)關(guān)系，如何建立回歸模型？重點、難點知識★▲●活動一整合舊知，發(fā)現(xiàn)新問題當(dāng)兩個變量呈線性相關(guān)關(guān)系時，我們通過模擬線性回歸模型，用回歸分析的基本思想對兩個變量進行研究.若當(dāng)有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān)，怎樣確定回歸模型？例2一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，試建立y與x之間的回歸方程.編號1234567溫度x/°C21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】詳解：根據(jù)收集數(shù)據(jù),作散點圖:●活動二觀察發(fā)現(xiàn),尋找新模型樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi),因此兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系,即不能直接用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系.怎樣確定回歸模型？首先要作出散點圖，如果散點圖中的樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，不能直接利用回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系，根據(jù)已有的函數(shù)知識，觀察樣本點是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次函數(shù)關(guān)系，選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型.根據(jù)已有的函數(shù)知識,從散點圖中可以看到樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線的周圍.●活動三非線性轉(zhuǎn)化為線性問題如果兩個變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系，怎樣求出回歸方程？可以通過對解釋變量進行變換，如對數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個變量間的回歸方程，再得到所求兩個變量的回歸方程.現(xiàn)在，我們通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，即對兩邊取自然對數(shù)令，建立z與x之間的線性回歸方程分析x與z之間的關(guān)系，通過畫散點圖（如下圖），可知x與z之間是存在著線性回歸關(guān)系，可以用最小二乘法求出線性回歸方程z=a+bx.由表1的數(shù)據(jù)可以得到變換后的樣本數(shù)據(jù)表x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784列表計算出各個量編號1234567合計溫度x/°C21232527293235192產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325569z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.78425.285xi2441529625729841102412255414xizi40.955.276.185.8121.5151.8202.4733.727.4293.6125414733.71問題探究三能否用其它模型來擬合上述問題?如何判斷各種的模型的擬合效果? ●活動一二次曲線模型樣本點還可以看作是分布在二次函數(shù)曲線的周圍.，建立y與t之間的線性回歸方程.分析y與t之間的關(guān)系，通過畫散點圖（如下圖），可看到y(tǒng)與t的散點圖并不分布在一條直線的周圍，即不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線來擬合y與x之間的關(guān)系，這個結(jié)論還可以用殘差分析得到.●活動二對比提升為比較兩個不同模型的殘差，需建立相應(yīng)的回歸模型，用線性回歸模型擬合回歸方程.所以，即y關(guān)于x的二次回歸方程為.●活動三殘差分析指數(shù)回歸模型與二次回歸模型中哪個能更好地刻畫紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的關(guān)系？通過什么數(shù)據(jù)說明？一般在參數(shù)個數(shù)一定的條件下，相關(guān)指數(shù)越大或殘差平方和越小說明模型擬合得越好.計算每個模型的相關(guān)指數(shù)，并進行模型的比較.指數(shù)函數(shù)模型的相關(guān)指數(shù)二次函數(shù)模型的相關(guān)指數(shù)從相關(guān)指數(shù)的計算結(jié)果來看，指數(shù)函數(shù)模型的比二次函數(shù)模型的更接近于1，所以指數(shù)函數(shù)模型的回歸效果好.再從殘差圖看：從圖中可看出指數(shù)函數(shù)模型的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀域中，所以指數(shù)函數(shù)模型擬合精度較二次函數(shù)模型的高.點撥：歸納判斷模型擬合效果的方法：（1）可以通過變換后的散點圖觀察兩個新變量之間是否存在線性回歸方程；（2）通過殘差分析比較兩種模型的擬合效果.一般情況下，比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些樣本點的情況則相反），故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好.3.課堂總結(jié)【知識梳理】（1）建立回歸模型的基本步驟①確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量.②畫出解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在線性關(guān)系等）.③由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如果我們觀察到詩句呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）.④按一定的規(guī)則（如最小二乘法）估計回歸方程中的參數(shù).⑤得出結(jié)論后分析殘差圖是否有異常（如個別數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差絕對值過大，殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤或模型是否合適等.（2）歸納判斷模型擬合效果的方法：①可以通過變換后的散點圖觀察兩個新變量之間是否存在線性回歸方程；②通過殘差分析比較兩種模型的擬合效果.一般情況下，比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些樣本點的情況則相反），故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好. 【重難點突破】（1）如果兩個變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，常見的兩個變量間的關(guān)系還有指數(shù)函數(shù)關(guān)系、二次函數(shù)關(guān)系.（2）兩個變量間的非線性關(guān)系可以通過對解釋變量的變換(對數(shù)變換、平方變換等)轉(zhuǎn)化為另外兩個變量的線性關(guān)系.（3）比較不同模型的擬合效果，可以通過殘差平方和的大小，相關(guān)指數(shù)的大小來判斷.4.隨堂檢測1.變量x，y的散點圖如圖所示，那么x，y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為（）A.1B.－0.5C.0D.0.5答案：C解析：【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】2.某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，某同學(xué)獲得一組實驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出下列擬合曲線，其中擬合程度最好的是（）A.y＝2x－2B.y＝(eq\f(1,2))xC.y＝log2xD.y＝eq\f(1,2)(x2－1)【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：D4.已知方程eq\o(y,\s\up10(^))＝0.85x－82.71是根據(jù)女大學(xué)生的身高預(yù)報她的體重的回歸方程，其中x的單位是cm，eq\o(y,\s\up10(^))的單位是kg，那么針對某個體(160，53)的殘差是（）A.－0.29B.0.29C.－0.58D.3【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：A5.在研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數(shù)曲線的周圍，令，求得線性回歸方程為＝0.25x－2.58，則該模型的回歸方程為________.【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：∵＝0.25x－2.58，z＝lny，∴（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.兩個變量有線性相關(guān)關(guān)系且殘差的平方和等于0，則（）A.樣本點都在回歸直線上B.樣本點都集中在回歸直線附近C.樣本點比較分散D.不存在規(guī)律【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：A2.散點圖在回歸分析中的作用是（）A.查找個體個數(shù)B.比較個體數(shù)據(jù)大小關(guān)系C.探究個體分類D.粗略判斷變量是否相關(guān)【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：D3.為了考察兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性,甲、乙兩位同學(xué)各自獨立地做了100次和150次試驗,并且利用線性回歸方法,求得回歸直線分別為l1和l2.已知兩個人在試驗中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s,對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是t,那么下列說法正確的是（）.A.l1和l2有交點(s,t)B.l1與l2相交,但交點不一定是(s,t)C.l1與l2必定平行D.l1與l2必定重合【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解:A都過樣本中心點(s,t),但斜率不確定.4.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量做回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和如下表甲乙丙丁散點圖殘差平方和115106124103哪位同學(xué)的實驗結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高？（）A.甲B.乙C.丙D.丁【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：D5.在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時，若求得相關(guān)指數(shù)R2≈________，表明“氣溫解釋了85%的熱茶銷售杯數(shù)變化”或者說“熱茶銷售杯數(shù)差異有85%是由氣溫引起的”.【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：0.85能力型師生共研6.若一函數(shù)模型為，為將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的線性回歸方程，則需作的變換=（）A.B.C.D.以上都不對【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】答案：C解析：關(guān)于的線性回歸方程，實際上就是關(guān)于的一次函數(shù)，又因為7.某學(xué)生在高三學(xué)年最近九次考試中的數(shù)學(xué)成績加下表：第x考試123456789數(shù)學(xué)成績y（分）121119130106131123110124116設(shè)回歸直線方程y=bx+a，則點（a，b）在直線x+5y﹣10=0的（）A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：C8.某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次試驗，收集數(shù)據(jù)如下：加工零件x（個）1020304050加工時間y（分鐘）6469758290經(jīng)檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，那么對于加工零件的個數(shù)x與加工時間y這兩個變量，下列判斷正確的是（）A.成正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點（30，75）B.成正相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點（30，76）C.成負相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點（30，76）D.成負相關(guān)，其回歸直線經(jīng)過點（30，75）【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：B探究型多維突破9.下表提供了甲產(chǎn)品的產(chǎn)量（噸）與利潤（萬元）的幾組對照數(shù)據(jù).（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）計算相關(guān)指數(shù)的值，并判斷線性模型擬合的效果.參考公式：，【知識點：線性回歸方程的算法；，回歸方程的應(yīng)用】（1）∴，，∴，∴∴關(guān)于的線性回歸方程（2）∴∴線性模型擬合的效果較好10.某公司采用眾籌的方式募集資金,開發(fā)一種創(chuàng)新科技產(chǎn)品,為了解募集資金（單位：萬元）與收益率之間的關(guān)系,對近個季度籌到的資金和收益率的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù)表：（1）通過繪制并觀察散點圖的分布特征后,分別選用與作為眾籌到的資金與收益率的擬合方式,再經(jīng)過計算,得到這兩種擬合方式的回歸方和下表統(tǒng)計數(shù)值,試運用相關(guān)指數(shù)比較以上兩回歸方程的擬合效果；（2）根據(jù)以上擬合效果較好的回歸方程，解答：預(yù)測眾籌資金為萬元時的收益率.（精確到）【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：（1）由已知，得對于方程,相關(guān)指數(shù)；對于方程,相關(guān)指數(shù),所以方程的擬合效果更好.（2）當(dāng)時,；（四）自助餐1.變量x與y之間的回歸方程表示（）A.x與y之間的函數(shù)關(guān)系B.x與y之間的不確定性關(guān)系C.x與y之間的真實關(guān)系形式D.x與y之間的真實關(guān)系達到最大限度的吻合【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：D2.已知回歸方程，而試驗得到一組數(shù)據(jù)是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），則殘差平方和是（）A.0.01B.0.02C.0.03D.0.04【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：C3.一臺機器由于使用時間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機器零件有一些會有缺點，每小時生產(chǎn)有缺點零件的多少隨機器運轉(zhuǎn)的速度而變化，下表是抽樣試驗結(jié)果：轉(zhuǎn)速x/(rad/s)1614128每小時生產(chǎn)有缺點的零件數(shù)y/件11985若實際生產(chǎn)中，允許每小時的產(chǎn)品中有缺點的零件數(shù)最多為10個，那么機器的轉(zhuǎn)速應(yīng)該控制所在的范圍是（）A.10轉(zhuǎn)/s以下B.15轉(zhuǎn)/s以下C.20轉(zhuǎn)/s以下D.25轉(zhuǎn)/s以下【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：B4.已知x,y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7若x,y具有線性相關(guān)關(guān)系,且回歸方程為=0.95x+a,則a的值為（）A.0.325B.2.6C.2.2D.0【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解:B由已知得=2，=4.5,而回歸方程過點，則4.5=0.95×2+a,∴a=2.6.5.某工廠為了新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單位x(元)456789銷量y(件)908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為（）A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：B6.某企業(yè)對自己的拳頭產(chǎn)品的銷售價格（單位：元）與月銷售量（單位：萬件）進行調(diào)查，其中最近五個月的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：價格99.510.511銷售量11865由散點圖可知，銷售量與價格之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是：（）A.10B.5C.13D.2【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：A7.以下四個命題，其中正確的序號是________.①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每20分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量相關(guān)性越強，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程中，當(dāng)解釋變量x每增加一個單位時，預(yù)報變量平均增加0.2個單位；④對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：②③①是系統(tǒng)抽樣；對于④，隨機變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小.8.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，8)，其線性回歸方程是，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝2(y1＋y2＋y3＋…＋y8)＝6，則實數(shù)的值是________.【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】答案：解析：依題意可知樣本點的中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,8)))，則，解得.9.某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與醫(yī)院抄錄了至月份每月日的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期月日月日月日月日月日月日晝夜溫差就診人數(shù)（個）該興趣小組確定的研究方案是：先從這六組數(shù)據(jù)中選舉組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.（1）若選取的是月與月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)至月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過人，則認為得到的線性回歸方程是理想的，試問該小組所得線性回歸方程是否理想？（參考公式：）【知識點：線性回歸，線性相關(guān)關(guān)系】解：（1）由數(shù)據(jù)求得,由公式求得,.所以回歸方程是.（2）當(dāng)時，；同樣，當(dāng)時，，所以，該小組所得線性回歸方程是理想的.10.某種書每冊的成本費(元)與印刷冊數(shù)(千冊)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)