第十章計(jì)數(shù)原理與概率導(dǎo)學(xué)案一

第十章計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理[最新考綱展示]1．理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理有什么區(qū)別？分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“完成事件的方法種類不同”問(wèn)題，其各種方法是相互獨(dú)立的，用其中任何一種方法都能完成這件事情；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“完成事件需分幾個(gè)步驟”問(wèn)題，其各個(gè)步驟中的方法是相互聯(lián)系的，只有各個(gè)步驟都完成才能完成這件事情1．從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不同的選法種數(shù)為()A．6B．5C．3 D．22．(2014年濟(jì)南調(diào)研)已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．103.(2014年臨沂模擬)如圖所示的陰影部分由方格紙上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為L(zhǎng)型(每次旋轉(zhuǎn)90°仍為L(zhǎng)型圖案)，那么在由4×5個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫(huà)出不同位置的L型圖案的個(gè)數(shù)是()A．16 B．32C．48 D．644．有不同顏色的四件襯衣與不同顏色的三條領(lǐng)帶，如果一條領(lǐng)帶與一件襯衣配成一套．則不同的配法種數(shù)是________．5．(2013年高考山東卷改編)用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．(用數(shù)字作答)．類型一分類加法計(jì)數(shù)原理【例1】有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有()A．8種 B．9種C．10種 D．11種變式訓(xùn)練：1．(2014年濟(jì)南模擬)橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．類型二分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】由數(shù)字1,2,3,4，(1)可組成多少個(gè)3位數(shù)；(2)可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)．類型三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【例3】(1)(2014年濰坊模擬)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．240 B．204C．729 D．920(2)(2014年沈陽(yáng)模擬)一生產(chǎn)過(guò)程有四道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有________種．變式訓(xùn)練2．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．18 B．10C．16 D．14數(shù)學(xué)思想方法----分類討論的思想在計(jì)數(shù)原理中的應(yīng)用縱觀歷年高考對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)用的考查，多以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)，考查蘊(yùn)含在實(shí)際問(wèn)題的解決中，多是兩原理結(jié)合在一起應(yīng)用，做好問(wèn)題轉(zhuǎn)化，分好類與步是關(guān)鍵，今年高考仍會(huì)堅(jiān)持此規(guī)律，不會(huì)有大的變化．1．(2013年高考福建卷)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．102.如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)1,2,3,4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通．今發(fā)現(xiàn)A，B之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有()A．9種 B．11種C．13種 D．15種作業(yè)及練習(xí)[A組]一、選擇題1．高三年級(jí)的三個(gè)班去甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠參加社會(huì)實(shí)踐，但去何工廠可自由選擇，甲工廠必須有班級(jí)要去，則不同的分配方案有()A．16種B．18種C．37種D．48種2．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P?Q.把滿足上述條件的一對(duì)有序整數(shù)對(duì)(x，y)作為一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．9B．143．(2014年濰坊模擬)從1到10的正整數(shù)中，任意抽取兩個(gè)數(shù)相加，所得和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是()A．10B．154．從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．24B．185．用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，若把每位數(shù)字比其左鄰的數(shù)字小的數(shù)叫做“漸降數(shù)”，則上述四位數(shù)中“漸降數(shù)”的個(gè)數(shù)為()A．14B．156．(2014年海淀模擬)書(shū)架上原來(lái)并排著5本不同的書(shū)，現(xiàn)要再插入3本不同的書(shū)，那么不同的插法共有()A．336種B．120種C．24種 D．18種二、填空題7．從6個(gè)人中選4個(gè)人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市至少有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這6個(gè)人中，甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有________種．8.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)．9.將1,2,3填入3×3的方格中，要求每行、每列都沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫(xiě)方法共有________種．123312231三、解答題10．標(biāo)號(hào)為A、B、C的三個(gè)口袋，A袋中有1個(gè)紅色小球，B袋中有2個(gè)不同的白色小球，C袋中有3個(gè)不同的黃色小球，現(xiàn)從中取出2個(gè)小球．(1)若取出的兩個(gè)球顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個(gè)球顏色相同，有多少種取法？11.編號(hào)為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A球不能放在1,2號(hào)，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，求不同的放法有多少種？[B組]1．如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”．在一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)是()A．60B．48C．362．(2014年濰坊期中)如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個(gè)．3.用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2，…，9的9個(gè)小正方形(如圖)，使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為“1、5、9”123456789第二節(jié)排列與組合[最新考綱展示]1．理解排列、組合的概念．2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3.能利用排列與組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．考點(diǎn)一排列與排列數(shù)1．排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素， ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．2．排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的 ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，記作.注意：排列與排列數(shù)是不同概念，易混淆，排列數(shù)是問(wèn)題中所有不同排列的個(gè)數(shù)．考點(diǎn)二組合與組合數(shù)1．組合從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素 ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．2．組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的 ，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記作 .排列與組合有何異同點(diǎn)？排列與組合問(wèn)題的共同點(diǎn)：都是“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素”；不同點(diǎn)：前者與元素的順序有關(guān)，為“將取出的元素按照一定順序排成一列”，后者與元素的順序無(wú)關(guān)，為“將取出的元素合成一組”．因此我們可以得到：區(qū)分某一問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)．考點(diǎn)三排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)1．對(duì)于排列數(shù)公式的連乘形式和階乘形式，運(yùn)用時(shí)注意把握以下幾點(diǎn)(1)排列數(shù)公式的連乘形式常用于計(jì)算具體的排列數(shù)．(2)排列數(shù)公式的階乘形式主要有兩個(gè)作用：一是當(dāng)m，n較大時(shí)，使用計(jì)算器快捷地算出結(jié)果；二是對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形．2．組合數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用：性質(zhì)①主要有兩個(gè)方面的應(yīng)用，一是簡(jiǎn)化運(yùn)算，當(dāng)m>eq\f(n,2)時(shí)，通常將計(jì)算Ceq\o\al(m,n)轉(zhuǎn)化為計(jì)算Ceq\o\al(n－m,n)；二是列等式，由Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(y,n)可得x＝y(tǒng)或x＋y＝n.性質(zhì)②主要應(yīng)用于恒等變形，簡(jiǎn)化運(yùn)算．1．一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為()A．3×3！ B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!2．電視臺(tái)在直播2013年世錦賽廣州地區(qū)羽毛球比賽時(shí)要連續(xù)插播5個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的世錦賽宣傳廣告，要求最后播放的是世錦賽宣傳廣告，且2個(gè)世錦賽宣傳廣告不能連播．則不同的播放方式有()A．120 B．48C．36 D．183．(2014年開(kāi)封一模)某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種4．有3張都標(biāo)著字母A,6張分別標(biāo)著數(shù)字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5張卡片組成牌號(hào)，則可以組成的不同牌號(hào)的總數(shù)等于________．(用數(shù)字作答)類型一排列問(wèn)題【例1】有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，男生不能排在一起；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人．類型二組合問(wèn)題【例2】某課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊(duì)長(zhǎng)．現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(3)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(4)至多有兩名女生當(dāng)選；(5)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．式訓(xùn)練1．從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，其中至少有1名女生的選法共有()A．36種 B．30種C．42種 D．60種類型三排列與組合的綜合應(yīng)用【例3】(1)某地奧運(yùn)會(huì)火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動(dòng)分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方法共有________種(用數(shù)字作答)．(2)有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的藍(lán)色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)．變式訓(xùn)練2.從5種不同的水果和4種不同的糖果中各選出3種，放入如圖所示的6個(gè)不同的區(qū)域(用數(shù)字表示)中拼盤(pán)，每個(gè)區(qū)域只放一種，且水果不能放在有公共邊的相鄰區(qū)域內(nèi)，則不同的放法共有()A．2880種 B．2160種C．1440種 D．720種高考熱點(diǎn)——有限制條件的排列組合問(wèn)題有限制條件的排列組合問(wèn)題，高考每年必考，解決此類問(wèn)題時(shí)，一是要明確問(wèn)題中是排列還是組合或排列組合混合問(wèn)題；二是要講究一些基本策略和方法技巧．常用的有：元素位置分析法、捆綁法或插空法、先整體后局部法、定序問(wèn)題相除法、正難則反排除法、分組分配法等．【典例1】1名老師和5位同學(xué)站成一排照相，老師不站在兩端的排法共有()A．450種B．460種C．480種D．500種【典例2】(2014年張家界模擬)在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，問(wèn)實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有()A．34種 B．48種C．96種 D．144種練習(xí)：有5盆各不相同的菊花，其中黃菊花2盆、白菊花2盆、紅菊花1盆，現(xiàn)把它們擺放成一排，要求2盆黃菊花必須相鄰，2盆白菊花不能相鄰，則這5盆花的不同擺放種數(shù)是()A．12 B．24C．36 D．48[A組]1．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰)，那么不同的排法共有()A．24種B．60種C．90種 D．120種2．若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種B．63種C．65種 D．66種3．(2014年武昌調(diào)研)將4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有()A．12種B．24種C．36種 D．48種4．兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有()A．10種B．15種C．20種 D．30種5．有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐標(biāo)有()A．36種B．48種C．72種 D．96種6．甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站2人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是()A．258B．306C．336 D．2967．(2014年長(zhǎng)春模擬)用1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)字之間的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．8．將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)9．從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)10．某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過(guò)2個(gè)，求該外商不同的投資方案有多少種？11．7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種．(1)A，B必須當(dāng)選；(2)A，B必不當(dāng)選；(3)A，B不全當(dāng)選；(4)至少有2名女生當(dāng)選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長(zhǎng)、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長(zhǎng)必須由女生擔(dān)任．12．(能力提升)已知10件不同產(chǎn)品中共有4件次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直至找到所有次品為止．(1)若恰在第5次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品的不同測(cè)試方法數(shù)有多少種？(2)若恰在第5次測(cè)試后，就找出了所有次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)有多少種？[B組]1．某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課(第5和第6節(jié)不算連上)，那么這位教師一天的課的所有排法有()A．474種B．77種C．462種 D．79種2．若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”，現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有()A．120個(gè)B．80個(gè)C．40個(gè) D．20個(gè)3．(2014年呼和浩特模擬)奧運(yùn)選手選拔賽上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽．其中甲、乙、丙三人必須在1、2、3、4、5、6、7、8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有________種．第三節(jié)二項(xiàng)式定理[最新考綱展示]1．能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題．考點(diǎn)一二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二項(xiàng)式定理．2．二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr為展開(kāi)式的第 項(xiàng)．考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)1．二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)C(r∈{0,1，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．2．項(xiàng)的系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是該項(xiàng)中非字母因數(shù)部分，包括符號(hào)等．與二項(xiàng)式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念．3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

4.各二項(xiàng)式系數(shù)的和(a＋b)n的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n，即_______________________________＝2n.二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即 ＝ ＝ .注意：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念．二項(xiàng)式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．如(a＋bx)n的展開(kāi)式中，第k＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)，而該項(xiàng)的系數(shù)是Ceq\o\al(k,n)an－kbk.當(dāng)然，在某些二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的．基礎(chǔ)自測(cè)：1．(1＋x)7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是()A．42B．35C．28D．212．二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x2)))5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為()A．9 B．8C．7 D．64.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－\f(1,x)))4展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______5．在(1－x)5＋(1－x)6的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是________．類型一二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)【例1】(1)(2014年濰坊模擬)若二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))n的展開(kāi)式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則自然數(shù)n的值可能為()A．6B．10C．12D．15(2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1變式訓(xùn)練1．(2014年密云調(diào)研)若二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2－\f(1,x)))n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是512，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．－27Ceq\o\al(3,9) B．27Ceq\o\al(3,9)C．－9Ceq\o\al(4,9) D．9Ceq\o\al(4,9)類型二二項(xiàng)式系數(shù)的和或各項(xiàng)的系數(shù)和【例2】二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和．類型三二項(xiàng)式定理的應(yīng)用與函數(shù)最值問(wèn)題【例3】(1)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，則a＝()A．0 B．1C．11 D．12(2)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n的展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是()A．180B．90C．45 D．360變式訓(xùn)練2．(2013年高考全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ)設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝()A．5 B．6C．7 D．8高考熱點(diǎn)——二項(xiàng)式定理題型透析通過(guò)對(duì)近三年高考試題的研究可以看出，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是高考的必考內(nèi)容之一，二項(xiàng)式定理揭示了二項(xiàng)式的冪展開(kāi)式在項(xiàng)數(shù)、系數(shù)以及各項(xiàng)中的指數(shù)等方面的聯(lián)系，試題相對(duì)獨(dú)立，是高考中多年來(lái)最缺少變化的題型之一．【典例1】(2013年高考天津卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))6的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______．【典例2】(2013年高考四川卷)二項(xiàng)式(x＋y)5的展開(kāi)式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是________．(用數(shù)字作答)練習(xí)：1．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\r(x)))9(a為實(shí)數(shù))的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為18，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．42B．672C.eq\f(21,2)D．3662．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))5的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)為()A．10B．－10C．40 D．－40[A組基礎(chǔ)演練·能力提升]1．二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為()A．32B．－32C．0 D．12．(2013年高考江西卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x3)))5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．80B．－80C．40 D．－403．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))24的展開(kāi)式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)共有()A．3項(xiàng)B．4項(xiàng)C．5項(xiàng) D．6項(xiàng)4．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是()A．28 B．38C．1或38 D．1或285．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8＝()A．180B．90C．－5 D．56．(2013年高考遼寧卷)使得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x\r(x))))n(n∈N＋)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A．4B．5C．6 D．77．(2013年高考浙江卷)設(shè)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,\r(3,x))))5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A＝________.8．設(shè)(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，則|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.9．若n是正整數(shù)，則7n＋7n－1Ceq\o\al(1,n)＋7n－2Ceq\o\al(2,n)＋…＋7Ceq\o\al(n－1,n)除以9的余數(shù)是________．10．已知二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)＋\f(1,x)))n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為256.(1)求n；(2)求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．11．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求n；(2)求第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及項(xiàng)的系數(shù)；(3)求含x項(xiàng)的系數(shù)．12．(能力提升)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋2x))n，(1)若展開(kāi)式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)；(2)若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．[B組因材施教·備選練習(xí)]1．(2014年聊城一模)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,\r(x))))n的展開(kāi)式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為eq\f(3,14)，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是()A．－10 B．10C．－45 D．452．Ceq\o\al(2,2n)＋Ceq\o\al(4,2n)＋…＋Ceq\o\al(2k,2n)＋…＋Ceq\o\al(2n,2n)的值為()A．2n B．22n－1C．2n－1 D．22n－1－13．(2014年銀川模擬)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋第四節(jié)隨機(jī)事件的概率[最新考綱展示]1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別．2.了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．考點(diǎn)一隨機(jī)事件及其概率和頻率1．事件(1)在條件S下， 的事件，叫做相對(duì)于條件S的必然事件．(2)在條件S下， 的事件，叫做相對(duì)于條件S的不可能事件．(3)在條件S下， 的事件，叫做相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件．2．概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現(xiàn)的頻率．(2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用 來(lái)估計(jì)概率P(A)．思考：頻率與概率有什么區(qū)別與聯(lián)系？頻率在一定程度上可以反映事件發(fā)生的可能性的大?。?yàn)轭l率不是一個(gè)完全確定的數(shù)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的不同產(chǎn)生的頻率也可能不同，所以頻率無(wú)法從根本上來(lái)刻畫(huà)事件發(fā)生的可能性的大?。珡拇罅康闹貜?fù)試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就穩(wěn)定在某一固定的值上，頻率具有某種穩(wěn)定性．概率是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加時(shí)，所得的頻率可近似地當(dāng)作事件的概率．考點(diǎn)二事件的關(guān)系與運(yùn)算怎樣區(qū)分互斥事件與對(duì)立事件？互斥事件與對(duì)立事件都是指兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是對(duì)立事件．例如：擲一枚骰子“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1”與“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”是互斥事件，但不是對(duì)立事件；而“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”與“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”是互斥事件，也是對(duì)立事件．考點(diǎn)三概率的基本性質(zhì)1．概率的取值范圍： .2．必然事件的概率：P(E)＝ .3．不可能事件的概率：P(F)＝.4．概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝ ．5．對(duì)立事件的概率若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝ ．1．當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果時(shí)要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，注意涉及的各事件要彼此互斥．2．P(eq\x\to(A1∪A2∪…∪An))＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An)．基礎(chǔ)自測(cè)1．?dāng)S一枚均勻的硬幣兩次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．則下列結(jié)果正確的是()A．P(M)＝eq\f(1,3)P(N)＝eq\f(1,2)B．P(M)＝eq\f(1,2)P(N)＝eq\f(1,2)C．P(M)＝eq\f(1,3)P(N)＝eq\f(3,4)D．P(M)＝eq\f(1,2)P(N)＝eq\f(3,4)2．在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，當(dāng)n很大時(shí)，P(A)與eq\f(m,n)的關(guān)系是()A．P(A)≈eq\f(m,n)B．P(A)<eq\f(m,n)C．P(A)>eq\f(m,n) D．P(A)＝eq\f(m,n)3．(2014年長(zhǎng)沙調(diào)研)甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對(duì)立事件，那么()A．甲是乙的充分但不必要條件B．甲是乙的必要但不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件4．2013年亞冠決賽由中國(guó)廣州恒大與韓國(guó)首爾FC強(qiáng)強(qiáng)較量．中國(guó)選手獲勝的概率為0.41.戰(zhàn)平的概率為0.27，那么中國(guó)選手不輸?shù)母怕蕿開(kāi)_______．5．從分別寫(xiě)有0,1,2,3,4的五張卡片中取出一張卡片，記下數(shù)字后放回，再?gòu)闹腥〕鲆粡埧ㄆ畡t兩次取出的卡片上的數(shù)字之和恰好等于4的概率是________．類型一隨機(jī)事件的頻率與概率【例1】(2013年高考湖南卷)某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收貨量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米．(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量：(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．變式訓(xùn)練1．假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示：(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率；(2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí)，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率．類型二事件關(guān)系的判斷【例2】從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件．(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；(2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”．變式訓(xùn)練2．一個(gè)均勻的正方體的玩具的各個(gè)面上分別標(biāo)以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個(gè)玩具向上拋擲1次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則()A．A與B是互斥而非對(duì)立事件B．A與B是對(duì)立事件C．B與C是互斥而非對(duì)立事件D．B與C是對(duì)立事件類型三互斥事件、對(duì)立事件的概率【例3】某公務(wù)員去開(kāi)會(huì)，他乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)去的概率分別為0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火車或乘飛機(jī)去開(kāi)會(huì)的概率；(2)求他不乘輪船去開(kāi)會(huì)的概率．高考熱點(diǎn)——互斥事件與對(duì)立事件的概率從近兩年高考命題看，隨機(jī)事件及其概率基本上不單獨(dú)考查，但概率與統(tǒng)計(jì)交匯、互斥事件、對(duì)立事件與古典概型、幾何概型滲透是命題的熱點(diǎn)，題目不超過(guò)中等難度，重點(diǎn)考查學(xué)生分析問(wèn)題與數(shù)學(xué)計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解事件間關(guān)系及其概率．【典例】(2014年洛陽(yáng)模擬)(本題滿分12分)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：求(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是多少？(2)至少3人排隊(duì)等候的概率是多少？[A組]1．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶2．(2014年紹興一模)從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述事件中，是對(duì)立事件的是()A.①B．②④C．③ D．①③3．(2014年日照模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為()A．0.7