2025年中考數(shù)學總復習《二次函數(shù)中面積的存在性問題》專項檢測卷（附答案）

2025年中考數(shù)學總復習《二次函數(shù)中面積的存在性問題》專項檢測卷附答案

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一'選擇題

1.如圖，拋物線y=；/+|久一2與％軸交于點A,B,與y軸交于點C,下列結論：正確的是（）

①點4B的坐標分別是（—4,0）和（1,0）

②點P為（0,血），當乙4PB<90°時，m<-2.

③拋物線上存在點E（除C外），使得△ABE的面積與△ABC面積相等的點E有3個.

④點F是拋物線對稱軸上一點，當△ACF是直角三角形時，點F的縱坐標分別是5,-5,孚-1,-孚-L

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

2.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,E,F分別是邊AD,CD上的點（不與A,D,C

重合），其中DE=DF,過點E,F分別作8。的平行線交ZB,BC于G,H兩點，順次連接E,F,H,G四

點.甲，乙，丙三位同學給出了三個結論：

甲：隨著DE長度的變化，可能存在EG=FH=

乙：隨著DE長度的變化，四邊形EFHG的面積存在最大值，不存在最小值；

丙：當四邊形EFHG的面積是菱形4BCC的面積的一半時，四邊形EFHG一定是正方形.下列說法正確的

是（）

A.甲，乙,丙都對B.甲，丙對，乙不對

C.甲，乙對，丙不對D.甲不對，乙，丙對

二、填空題

3.如圖，已知拋物線y=/-3光+2與久軸交于4B兩點，且與y軸交于點C,若拋物線上存在點P,使得

△PAB的面積為1,則點P的坐標是.

4.如圖，已知二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象與％軸交于4（一3,0）、B（LO）兩點，與y軸交于點C,若在拋

物線上存在一點P（與點C不重合），使SA4BP：S“BC=5:3,則點P的坐標為.

5.如圖，點A、B在y的圖象上,已知A、B的橫坐標分別為一2、4,連接。4、0B.若函數(shù)y=，/的

圖象上存在點P,使APAB的面積等于△AOB的面積的一半，則這樣的點P共有個.

三'解答題

6.如圖，已知二次函數(shù)y=/+2%-3的圖象與x軸交于/、B兩點，與y軸交于點C.若在拋物線上存

在一點P,使SMBP：S"BC=4：3,求點P的坐標.

J

\YC

7.如圖，已知二次函數(shù)y=x?+bx+c過點A(1,0),C(0,-3)

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）在拋物線上存在一點P使^ABP的面積為10,請直接寫出點P的坐標.

8.如圖，拋物線y=32+x-|與x軸相交于A、B兩點，頂點為P.

（1）求點A、B的坐標；

（2）在拋物線是否存在點E,使^ABP的面積等于△ABE的面積？若存在，求出符合條件的點E的坐

標；若不存在，請說明理由；

（3）坐標平面內是否存在點F,使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符

合條件的點F的坐標.

9.如圖，二次函數(shù)了=/+b%+c的對稱軸是％=1,圖象與X軸相交于點4（一1,0）和點B,交y軸于點C.

圖1圖2

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）點P是對稱軸上一點，當△BOCS^APB時，求點P的坐標（請在圖1中探索）；

（3）二次函數(shù)圖象上是否存在點M,使△ABC的面積Si與△ABM的面積S2相等？若存在，請求出所有

滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由（請在圖2中探索）.

10.如圖1,拋物線y=——+3x+4和直線y=x+1交于A,B兩點，過點B作直線BC1久軸于點C.

（1）求NBZC的度數(shù).

（2）如圖2,點P從點A出發(fā)，以每秒或個單位長度的速度沿線段AB向點B運動，點Q從點C出發(fā)，以

每秒2個單位長度的速度沿線段C4向點A運動，點P,Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一個點也

隨之停止運動，設運動時間為t秒（t>0）.以PQ為邊作矩形PQNM,使點N在直線BC上.

①當t為何值時，矩形PQNM的面積最??？并求出最小面積；

②直接寫出當t為何值時，恰好有矩形PQNM的頂點落在拋物線上.

11.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點.拋物線y=K2+故經(jīng)過點p（i,3）,拋物線的頂點為點C,點

A在拋物線上，橫坐標為zn,點B的坐標為（3巾+2,2）.

（1）求拋物線解析式;

（2）當點B落在拋物線上時，求點A的橫坐標;

（3）若時，當拋物線在點P和點2之間的部分（包括P、4兩點）的最高點與最低點的縱坐標之差

為2—m時，求m的值；

（4）連結B4并延長交拋物線對稱軸于點。，以為鄰邊作團DBCM,若團DBCM的邊和拋物線只

有三個交點（不包括點4）,設其中兩個交點（不包括團DBCM的頂點）分別為點E、點F.當以點C、E、4、D

（或以點C、F、4、D）為頂點的四邊形的面積是團DBCM面積的J時，直接寫出所有滿足條件的m值（寫

4

出兩個值即可）.

12.拋物線Ci：37=。/+8久—3交*軸于人、B兩點（點A在點B的左邊），交y軸負半軸于點C,0B

OC=30A.

(1)求拋物線Ci的解析式；

(2)點P為拋物線。在第一象限內一點，若乙4co=乙PCB，求點P的坐標；

(3)如圖2,將拋物線的向左平移1個單位，得到新的拋物線。2,直線y=kx-l(k>0)交拋物線C2于

M,N兩點，直線MP,NP與拋物線。2都只有唯一公共點，直線MP，NP分別交x軸于S,T兩點，若△PST

的面積為挈，求k的值.

13.如圖，拋物線y=a/+b久+c經(jīng)過4(—1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，對稱軸與拋物線相交于點P,與直

線BC相交于點M,連接AC,PB.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設對稱軸與x軸交于點N,在對稱軸上是否存在點G,使以0、N、G為頂點的三角形與AAOC相似？

如果存在，請求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由；

(3)拋物線上是否存在一點Q,使AQMB與APMB的面積相等，若存在,求點Q的坐標；若不存在，

請說明理由.

14.已知拋物線y=ax2+bx+6過2(-2,0),3(6,0)交y軸于點C.

(1)求拋物線解析式及其頂點坐標；

(2)已知點D為第一象限內的拋物線上一點，點E,F分別在線段BC,OC上，若四邊形CDEF既是中心

對稱圖形，又是軸對稱圖形，求其周長與面積之比；

(3)點C與點P關于x軸對稱，連接P0交線段BC于Q,若S-PQ=|SABPQ，求點D坐標.

15.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丫=9-gx-4與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側)，與y

軸交于點C.

(1)求點A,B,C的坐標；

(2)點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出

發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運

動.設運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，APBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

(3)在(2)的條件下，當APBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M,使△BMC的面

積是APBQ面積的1.6倍？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由.

16.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點，對稱軸與拋物線相交于點

P、與直線BC相交于點M,連接PB.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點Q,使^QMB與△PMB的面積相等？若存在，求點Q的坐標；若不存在，

說明理由；

(3)在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R,使^RPM與小RMB的面積相等？若存在，

直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由.

17.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A坐標為(2,4),直線x=2與x軸相交于點B,拋物線y=x?的

頂點在直線AO上運動，與直線x=2交于點P,設平移后的拋物線頂點M的橫坐標為m.

(1)如圖1,若m=-1,求點P的坐標；

(2)在拋物線平移的過程中，當APMA是等腰三角形時，求m的值；

(3)如圖2,當線段BP最短時，相應的拋物線上是否存在點Q,使△QMA的面積與△PMA的面積相

等？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

18.下圖是二次函數(shù)y=(x+m)2+k的圖象，其頂點坐標為M(l,—4).

(1)求出圖象與久軸的交點4B的坐標；

(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P,使SAP4B=,SAM4B?若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說

明理由；

(3)將二次函數(shù)的圖象在久軸下方的部分沿久軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請

你結合這個新的圖象回答：當直線y=x+b(b<1)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.

19.如圖，在平面直角坐標系中，ACDE的頂點C點坐標為C(1,-2),點D的橫坐標為弓，將ACDE

繞點C旋轉到△CBO,點D的對應點B在x軸的另一個交點為點A.

(1)圖中，NOCE等于多少；

(2)求拋物線的解析式；

(3)拋物線上是否存在點P,使SAPAEqSACDE?若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理

20.如圖，拋物線y=-x?+bx+c與x軸交于A,B兩點，其中A(3,0),B(―1,0),與y軸交于點

C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,直線y=kx+bi經(jīng)過點A、C,連接CD.

(1)分別求拋物線和直線AC的解析式；

(2)在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點P,使得△ACP的面積是小ACD面積的2倍，若存在，

請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q,使線段AQ繞Q點順時針旋轉90。得到線段QAi,且點Ai

恰好落在該拋物線上？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

21.如圖所示，在平面直角坐標系中，OM經(jīng)過原點0,且與萬軸、y軸分別相交于4(-6,0),B(0,-8)兩點.

(1)請求出直線AB的函數(shù)表達式；

(2)若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經(jīng)過點頂點C在。M上，開口向下，且經(jīng)過點B,求此拋

物線的函數(shù)表達式；

(3)設(2)中的拋物線交X軸于D,E兩點，在拋物線上是否存在點P,使得SAPDE=^SAABC?若存

在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

22.如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于B,C兩點，拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過B,C兩點，點A是

拋物線與x軸的另一個交點.

y

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式;

(2)在拋物線上是否存在點P,使SAPAB=2SACAB,若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為(-2,0),點B坐標為(0,2),點E為線段AB上的動點(點

E不與點A,B重合)，以E為頂點作NOET=45。，射線ET交線段OB于點F,C為y軸正半軸上一點，

且OC=AB,拋物線y=-V2x2+mx+n的圖象經(jīng)過A,C兩點.

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；

(2)求證：ZBEF=ZAOE；

(3)當△EOF為等腰三角形時，求此時點E的坐標；

(4)在(3)的條件下，當直線EF交x軸于點D,P為(1)中拋物線上一動點，直線PE交x軸于點G,

在直線EF上方的拋物線上是否存在一點P,使得AEPF的面積是AEDG面積的(2北+1)倍.若存在，請

直接寫出點P坐標；若不存在，請說明理由.

24.如圖

如圖(1),在平面直角坐標系中，直線y=-久+4與x軸交于點B,與y軸交于點C,二次函數(shù)y=

~^x2+bx+c的圖象經(jīng)過B,C兩點，且與x軸的負半軸交于點A.

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖(2),點D是拋物線第四象限上的一動點，連接DC,DB,當SXDCB=S&ABC時，求點

D坐標；

(3)如圖(3),在(2)的條件下，點Q在C4的延長線上，連接DQ,AD,過點Q作QP〃y軸，

交拋物線于P,^AQD=^ACO+^ADC,請求出PQ的長.

25.如圖，在直角坐標系中，0為原點.點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，tanNOAB=2.二

次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點A,B,頂點為D.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)將AOAB繞點A順時針旋轉90。后，點B落到點C的位置.將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或

向下平移后經(jīng)過點C.請直接寫出點C的坐標和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；

(3)設(2)中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點為Bi,頂點為Di.點P在平移后的二次函數(shù)圖

象上，且滿足APBB1的面積是APDD1面積的2倍，求點P的坐標.

26.如圖(1),二次函數(shù)了=a/一5x+c的圖像與x軸交于4(一4,0),B(b,0)兩點，與y軸交于點C(0,

(1)求二次函數(shù)的解析式和b的值.

(2)在二次函數(shù)位于％軸上方的圖像上是否存在點M,使SABOM=^SA4BC?若存在，請求出點M的坐標；

若不存在，請說明理由.

(3)如圖(2),作點4關于原點。的對稱點E,連接CE,作以CE為直徑的圓.點E’是圓在x軸上方圓弧

上的動點(點E'不與圓弧的端點E重合，但與圓弧的另一個端點可以重合)，平移線段AE,使點E移動到點

E，線段AE的對應線段為a,E‘，連接E,C，AA>A4的延長線交直線E,C于點N,求儀的值.

27.在平面直角坐標系xOy中，拋物線丫=公2+以+4與％軸交于A(-2,0),B兩點,與y軸交于點C,

(1)求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)如圖1,連接3C,點。在直線8c上方的拋物線上，過點。作8C的垂線交2C于點E,作y軸

的平行線交3c于點?若CE=3EF,求線段。廠的長；

(3)直線y=-x+加(m<4)與拋物線交于尸，Q兩點(點尸在點。左側)，直線PC與直線BQ的交

點為S,AOCS的面積是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

28.如圖，已知拋物線y=-久2+b久+c與直線ZB相交于2(—3,0),B(0,3)兩點.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)設C是拋物線對稱軸上的一動點，求使NCB4=90。的點C的坐標；

(3)探究在拋物線上是否存在點P,使得APAB的面積等于3?若存在，求出點P的坐標；若不存在，

請說明理由.

四'實踐探究題

29.【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1,在一根4cm長的鐵絲AB上任取一點C彎折后，再連接形成△ABC(如圖2),當

點C在不同位置及NC取不同的大小時，AABC的面積也不同.

A

圖1圖2

圖3

【提出問題】△ABC的面積是否存在最大值？

【分析問題】由于點C的位置及NC的大小都是不確定的，故可借助函數(shù)關系式來探究.設ZC=

S“BC=y(cm2).對于ZC,可以先確定幾個特定的便于計算的角度進行嘗試，然后再推廣到一般的情形.

【解決問題】

(1)如圖3,當ZC=3O。時，試求y與x的函數(shù)關系式，并判斷此時△ABC的面積是否存在最大值？

如果存在，4c的值為多少？

(2)當ZC=90。時,SMBC記為了1，當=135。時,S-BC記為丫2,若存在一個AC的值，使得3Vly2—%=

1,請求出AC的長；

(3)△ABC的面積是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此時的ZC多大，點C在什么位置？如

果不存在，請說明理由.

參考答案

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】(0,2),(3,2)

4.【答案】(2,-5)或(-4,-5).

5.【答案】4

6.【答案】點P的坐標為(2魚-1,4)或(-2金—1,4)或(-1,—4)

7.【答案】(1)根據(jù)曲線上點的坐標與方程的關系，把A(1,0),C(0,-3)代入)二次函數(shù)y=x2+bx+c

中，求出b、c的值，即可得到函數(shù)解析式是y=x?+2x-3.:二次函數(shù)y=x?+bx+c過點A(1,0),C(0,

-3),

..?{fl+cb=+—c3=0'解傳{fcb==_23.

二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3.

(2)求出A、B兩點坐標，得到AB的長，再設P(m,n),根據(jù)△ABP的面積為10可以計算出n的值，

然后再利用二次函數(shù)解析式計算出m的值即可得到P點坐標：

*.*當y=0時,x2+2x-3=0,解得：xi二-3,X2=l.

AA(1,0),B(-3,0).

AABM.

設P(m,n),

?.?△ABP的面積為10,..qAB?|n|=10,解得：n=±5.

當n=5時，m2+2m-3=5,解得：m=-4或2.

：.P(-4,5)(2,5).

當n=-5時，m2+2m-3=-5,方程無解.

???P(-4,5)(2,5).

8.【答案】解：⑴令y=0,則#+x_|=0,

解得Xl=-3,X2=l,

.?.點A坐標為(-3,0),點B的坐標為(1,0)；

(2)存在.

拋物線的對稱軸為直線x=-1,令x=-l,則y=?l-|=-2,

；.P點坐標為(-1,-2),

△ABP的面積等于△ABE的面積，

.?.點E到AB的距離等于2,

設E(a,2),

把E(a,2)代入拋物線的解析式得，|a2+a-|=2,解得a=-1-2直或-1+2金,

..?符合條件的點E的坐標為(-1-2也2)或(-1+2/，2).

(3)所有符合條件的點F的坐標為(-1,2)、(3,-2)、(-5,-2).

9.【答案】(1)y-x2—2x—3

(2)點P的坐標是(1,2)或(1,-2)

(3)存在，點M的坐標是(2,-3),(1+近,3)或(1一近,3)

10.【答案】⑴Z-BAC=45°

(2)①當時，矩形PQNM的面積最?。荷疲虎凇眧、1腎"或2.

11.【答案】(1)y=x2+2x

(2)點4的橫坐標血=+，—i

一3

(3)T產或-2或-3sm

(4)-3+2月或-3-2丹或-5+27TU或-5-2J10

12.【答案】(1)y=x2—2x—3

(2)點P的坐標(4,5)

(3)k=2

13?【答案】⑴y=-x2+2x+3；(2)存在，G(L3)或(1,—3)或(1片)或(L—或;(3)存在,

Q(呼,去巧或(寫/巧或(2,3).

14.【答案】(1)拋物線解析式為y=—3^+2久+6,頂點坐標為(2,8)

(2)1:1

(3)￡)(2V6,4V6-6)

15.【答案】解：⑴當x=0時，y=|x2-|x-4=-4,.?.點C的坐標為(0,-4)；

當y=0時,有|x2-|x-4=0,解得:xi=-2,X2=3,

...點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(3,0).

(2)設直線BC的解析式為y=kx+b(k,0),

將B(3,0)、C(0,-4)代入y=kx+b,/、七箕°,解得：［k=寺，

(b=-4

...直線BC的解析式為y=1x-4.

過點Q作QE〃y軸，交x軸于點E,如圖1所示，

圖1

當運動時間為t秒時，點P的坐標為(2t-2,0),點Q的坐標為(3-|t,-g),

；.PB=3-(2t-2)=5-2t,QE=1t,

SAPBQ=^PB,QE=-^t2+2t=-季(t-2+^.

-g<0,.?.當t4時，APBQ的面積取最大值，最大值為宗

(3)當APBQ面積最大時，t4,

此時點P的坐標為4，0),點Q的坐標為47)-

假設存在，設點M的坐標為(m,|m2-|m-4),則點F的坐標為(m,|m-4),

；.MF奇m-4-(^m2--4)=-1m2+2m,

SABMC~MF,OB=-m2+3m.

△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，-m2+3m=fxl.6,即irf-3m+2=0,解得：mi=l,012=2.

4

???0VmV3,???在BC下方的拋物線上存在點M,使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點M的坐標

16.【答案】解：(1)把三點代入拋物線解析式

'0=a—b+c

0=9。+3b+c,

、3=c

q=-]

即得：b=1,

c=3

所以二次函數(shù)式為y=-x2+2x+3；

(2)由y二-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

則頂點P(1,4),

由B,C兩點坐標可求直線BC解析式為y=-x+3,

設過點P與直線BC平行的直線為：y=-x+b\

將點P(1,4)代入，得y=-x+5,

則過點P與直線BC平行的直線與拋物線聯(lián)立，有則存在點Q,

-x2+2x+3=-x+5,

即x2-3x+2=0,

解得x=l或x=2,

代入直線則得點(1,4)或(2,3),

已知點P(1,4),

所以點Q(2,3),

由對稱軸及直線BC解析式可知M(1,2),PM=2,

設過P(1,0)且與BC平行的直線為y=-x+f,

將P'代入，得y=-x+l,

AQ(2,3)或(3-”或Q(3+”-1-V17).

(3)由題意求得直線BC代入x=l,則y=2,

AM(1,2),

由點M,P的坐標可知：

點R存在，即過點M平行于x軸的直線，

則代入y=2,貝-x?+2x+3=2,整理得x2-2x-1=0,

解得x=l-應(在對稱軸的左側，舍去)，x=l+V2,

即點R(1+V2，2).

17.【答案】解：(1)設OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx,VA(2,4),二？!^%；.k=2,.'OA所在直

線的函數(shù)解析式為y=2x.由題意，把x=-l,代入得，y=-2,.?.拋物線的頂點M(-1,-2),.?.拋物

線解析式為：y=(x+1)2-2=x2+2x-1,當x=2時，y=7,...點P(2,7)；(2)如圖1,

在拋物線平移的過程中，設頂點坐標(m,2m)當APMA是

等腰三角形時，.?.有PA=PM,由點A(2,4),可求：tan/A多cos/A=等，過點M作MN垂直于直

線x=2,過點P作PH_LAM,連接MP,拋物線解析式為：y=(x-m)2+2m,當x=2時，y=m2-2m+4,

此時，MN=2-m,AN=4-2m,AP=4-(m2-2m+4)=-m2+2m,AH=APx等二-2.店加,

AM=2AH=zlvW±8V5m；.?.第=攣，代入解得：mg或m=2(舍去).”號；(3)如圖2,

5/iM544

?.?頂點M的橫坐標為m,且在直線OA上移動，，y=2m..?.頂點

圖2

M的坐標為(m,2m)....拋物線函數(shù)解析式為y=(x-m)2+2m..?.當x=2時，y=(2-m)2+2m=m2-

2m+4..,?點P的坐標是(2,m2-2m+4).VPB=m2-2m+4=(m-1)2+3,?,?當m=l時，PB最短.當線

段PB最短時，此時拋物線的解析式為廣(X-1)2+2即y=x2-2x+3.假設在拋物線上存在點Q,使

SAQMA=SAPMA.設點Q的坐標為(x,x2-2x+3).①點Q落在直線OA的下方時，過P作直線PC〃AO,

交y軸于點C；PB=3,AB=4,...AP=1,；.OC=1,...C點的坐標是(0,-1),：點P的坐標是(2,3),

,直線PC的函數(shù)解析式為y=2x-1,,.,SAQMA=SAPMA,...點Q落在直線y=2x-1±,Ax2-2x+3=2x-1,

解得xi=2,X2=2,即點Q(2,3),.?.點Q與點P重合，，此時拋物線上存在點Q(2,3),使△QMA與

AAPM的面積相等,②當點Q落在直線OA的上方時，作點P關于點A的對稱稱點D,過D作直線DE〃AO,

交y軸于點E,?.?AP=1,??.EO=DA=1,，E、D的坐標分別是(0,1),(2,5),.?.直線DE函數(shù)解析式

為y=2x+l,?；SAQMA=SAPMA,.,.點Q落在直線y=2x+l上，/.x2-2x+3=2x+l,解得：x=2+V2,或x=2-VL

代入y=2x+l,得:y=5+2或或y=5-2V2,A△QMA的面積與^PMA的面積相等時，點Q的坐標為：(2+V2,

5+2V2),(2-V2,5-2V2).

18.【答案】解：(1)因為M(l,-4)是二次函數(shù)y=(x+m)2+k的頂點坐標，

所以y-(x—I)2—4=x2—2x—3,

令x2-2x-3=0,

解之得Xi--1,x2-3.

；.A,B兩點的坐標分別為A(-1,0),B(3,0)；

(2)在二次函數(shù)的圖象上存在點P,使SAPAB=/SAMAB，

設P(x,y).

1

又,；SAMAB=21ABiX|-4|=8,

?*.2|y|=3x8,即丫=±5.

二?二次函數(shù)的最小值為-4,

；.y=5.

當y=5時，x=—2或x=4.

故P點坐標為(—2,5)或(4,5)；

(3)如圖，

\M

當直線y=x+b經(jīng)過A(-L0)時-1+b=0,可得b=1,又因為b<1,

故可知y=x+b在y=x+1的下方，

當直線y=x+b經(jīng)過點B(3,0)時，3+b=0,則b=—3,

由圖可知符合題意的b的取值范圍為—3<b<1時，直線y=x+b(b<1)與此圖象有兩個公共點.

19.【答案】解：(1)?.?△CDE繞點C旋轉到ACBO,；.NOCE=/BCD；故答案為BCD；(2)作CHLOE

于H,如圖，一\°卜”亍豕4一>'CDE繞點C旋轉到△CBO,；.CO=CE,CB=CD,OB=DE,

.,.OH=HE=1,.,.OE=2,；.E點坐標為(2,0),設B(m,0),D(.,n),VCD2=(1-^)2+(-2-

n)2,CB2=(1-m)2+22,DE2=(2-2+n2,(1-善)2+(-2-n)2=(l-m)2+22,(2-2+n2=m2,

；.m=3,n=-孝，AB(3,0),設拋物線解析式為y=a(x-1)2-2,把B(3,0)代入得4a-2=0,解

得a弓，.?.拋物線解析式為y=|(x-1)2-2,即y=#-x-|；(3)存在.A與點B關于直線x=l對稱，

AA(-1,0),「△CDE繞點C旋轉到ACBO,；.△CDE0△CBO,；.SACDE=SACBO=》2?3=3,設P(t,

-

^t2-t-怖)，SAPAE=^SACDE>.,.13?32-t-||=1?3,it2-t-|=1或并t-1=-1,解方程*-t-|=1

得ti=l+V6,t2=l-V6,此時P點坐標為(1+痣，1)或(1-V6,1);解方程，2-t-9=-1得ti=l+V2,

t2=l-V2,此時P點坐標為(1+a，-1)或(1-V2,1);綜上所述，滿足條件的P點坐標為(1+①，1)

或(1-痣，1)或(1+VL-1)或(1-VL1).

20.【答案】⑴y=-x2+2x+3,y=-x+3；(2)存在，(-1,0)或(4,—5)；(3)存在，(1,2)或(1,

-3)

2

21.【答案】⑴y=-ix-8；(2)y=-%-6%-8；(3)這樣的P點存在，且有三個，Pi(—3,1),

P2(-3+V2,-l),P3(-3-V2,-l)

22.【答案】(1)y=—/+2久+3；(2)存在這樣的P點，且坐標為：(“U+1,-6),(-V10+1,-6)

23.【答案】(1)解：如圖①，VA(-2,0)B(0,2).-.OA=OB=2

AB2=OA2+OB2=22+22=8AB=2V2OC=ABOC=2V2,即C(0,2/)又...拋物線y=V^+mx+n

的圖象經(jīng)過A、C兩點，則可得：/4/—2m±n=°解得：］血=一旺.?.拋物線的表達式為

(n=2V2<-n=2V2

y=-V2x2-V2x+2V2(2)證明：VOA=OBZAOB=90°/.ZBAO=ZABO=45°X

ZBEO=ZBAO+ZAOE=45°+ZAOE,ZBEO=ZOEF+ZBEF=45°+ZBEF；.ZBEF=ZAOE(3)解：當

△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論①當OE=OF時，NOFE=NOEF=45。在△EOF中，

NEOF=180。-NOEF-NOFE=180。-45。-45。=90。又^.^NAOB=90。則此時點E與點A重合，不符合題意，此

種情況不成立.②如答圖②，當FE=FO時，ZEOF=ZOEF=45°,在△EOF中，

ZEFO=180°-ZOEF-ZEOF=180。-45。-45。=90。/.ZAOF+ZEFO=90°+90°=180°；.EF//AO/.

ZBEF=ZBAO=45°又,:由(2)可知，ZABO=45°.\ZBEF=ZABO.*.BF=EF/.EF=BF=OF=1oB=1x2

=1AE(-l,1)③如圖③，當EO=EF時，過點E作EHLy軸于點H在△AOE和ABEF中，NEAO=NFBE,

EO=EF,ZAOE=ZBEF.\AAOE^ABEFABE=AO=2VEH±OB

ZEHB=90°.\ZAOB=ZEHB：.EH//AOZ.NBEH=/BAO=45。在RtABEH中，

?.?NBEH=NABO=45°，EH=BH=BECOS45°=2X￥=V^.*.OH=OB-BH=2-&；.E(-V2,2-四)綜上所述，當

△EOF為等腰三角形時，所求E點坐標為E(-l,1)或E(-VL2-/)⑷解：P(0,2/)或P(-1,

24?【答案】(1)解：y=-1x+4與x軸交于點B,與y軸交于點C,則B(8,0)、C(0,4),

2

把B,C兩點坐標代入二次函數(shù)，得：f0=-5x8+8b+c,

Ic=4

解得，\b=l

(c=4

二次函數(shù)的表達式為：y=—^x2+|x+4

■1O-1Q

2

(2)解：令y=0,代入y=--%+,久+4，得：—a，+[%+4=0，解得：xr=8,x2=—2,

AA(-2,0),

由A、B、C點坐標得：AB2=AC2+BC2,

.,.ZACB=90°,

過點D作DLLCB交BC于L點，

"?'SADCB=SAABC,

；.DL=AC,

又?；DL〃AC,

四邊形DLCA為平行四邊形，又NACB=90。，

四邊形DLCA為矩形，

AZCBA=ZBAD,

.\tanZBAD=tanZCBA=盥=1,

D(JL

設點D的坐標為(m,n),

則n——^m2+|m+4，…①，tanNBAD=i…②，

聯(lián)立①②解得：m=10或m=-2(舍去)，

則D(10,-6)

(3)解：如下圖：設直線CD與x軸交于R,過點D作DMJ_x軸，DTLy軸,

VC(0,4),D(10,-6),

直線CD所在的方程為：y=-x+4,

令y=0,則R(4,0),

AOR=OC=4,

.\ZRCO=45°,

.,.ZACO+ZDCB=90°-45°=45°,

又?.?/CDA=NDCB,

.\ZAQD=ZACO+ZADC=ZACO+ZDCB=45°,

?..四邊形DLCA為矩形，則△AQD為等腰直角三角形，

；.AQ=AD,

X,/ZDAB+ZQAN=ZAQN+ZQAN=90°,即：ZDAB=ZAQN,

RtAAQN絲RtAADM(AAS),

；.AN=DM=6,QN=AM=12,

AN(-8,0),

把x=-8代入二次函數(shù)表達式，解得P(-8,-24),

貝ijPQ=PN-QN=24-12=12.

25.【答案】(1)解：由題意，點B的坐標為(0,2),

；.OB=2,

VtanZOAB=2,即需=2.

AOA=1.

.?.點A的坐標為(1,0).

又：二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象過點A,

/.0=l2+m+2.

解得m=-3,

所求二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x+2

由于NBAC=90。，可知NCAE=NOBA,△CAE^AOBA,

可得CE=OA=1,AE=OB=2,可得點C的坐標為(3,1).

由于沿y軸運動，故圖象開口大小、對稱軸均不變，

設出解析式為y=x2-3x+c,代入C點作標得1=9-9+c,c=l,

所求二次函數(shù)解析式為y=x2-3x+l.

(3)解：由(2),經(jīng)過平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移1個單位后所得的圖象,

?.?點P在平移后所得二次函數(shù)圖象上，

設點P的坐標為(X,x2-3x+l).

在小PBB/DAPDDI中，SAPBBI=2SAPDDI,

.?.邊BBi上的高是邊DDi上的高的2倍.

①當點P在對稱軸的右側時，x=2(x-|),得x=3,

.?.點P的坐標為(3,1)；

②當點P在對稱軸的左側，同時在y軸的右側時，x=2(1-x),得x=l,

...點P的坐標為(1,-1)；

③當點P在y軸的左側時，x<0,又-x=2(|-x),

得x=3>0(舍去)，

二所求點P的坐標為(3,1)或(1,-1)

26.【答案】(1)解：?二次函數(shù)y=a/一5%+c的圖像與％軸交于做_4,0),B(b,0)兩點，與y軸交于

點C(0,—4)1

.[16a+20+c=0

7c=-4f

解得：1=一3

=-4

J二次函數(shù)的解析式為y=-%2-5%-4,

當y=0時，得：———5%—4=0,

解得：勺=-4,x2=-1,

AB(-1,0),

J二次函數(shù)的解析式為y=--一5%-4,b--1；

(2)解：不存在.理由如下：

如圖，

設—m2—5m—4),

4,0),B(—1,0),C(0,-4),

C.AB=-1—(—4)=3,OB=1,OC=4,

?點M在二次函數(shù)位于工軸上方的圖像上，且SABOM=^SMBC，

111

?X1X(—7712—5171-4)=xX3X4?

整理得：m2+5m+8=0,

=52-4x8=-7<0,

...方程無實數(shù)根，

不存在符合條件的點M；

(3)解：如圖，設C?交x軸于點M,

丁力(—4,0),<7(0,一4),

AOA=OC=4,

???點E與點A關于原點。對稱，

：.OE=OA=OC=4,

"：^AOC=Z.EOC=90°,

：.AOAC=AOCA=45°=4OCE=乙OEC,

：.AC=EC,

為圓的直徑，

J.^CE'E=90°,

?.?平移線段AE,使點E移動到點E‘，線段AE的對應線段為//，

①當點E'與點。不重合時，

--AE=AE，AE||AE，

四邊形ZEE'A'是平行四邊形，

■'-AA||E,E，AA=EE，

:.乙ANE'=/-CE'E=90°,4MAN=AMEE',

：.^ANC=90°,

在RtAANM^WRtACOM中，

'."MAN=90°—ZAMN,AMCO=90°-ACMO,

：.AMAN=AMCO,

"：^OAC=乙OCE=45°,

"CAN=^ECE',

又?：乙ANC=乙CE'E=90°,

^△71/VC^A中，

(AANC=乙CE'E

\^CAN=乙ECE‘，

(AC=CE

：.AANC=△CE'E(AAS),

：.CN=EE',

.MA'=CN,

.?應

CN~L

②當點E‘與點。重合時，此時點N與點。重合，

：.AA'=EE'=OE=4,CN=CO=4,

CN-4T

綜上所述，M的值為L

CN

27.【答案】(1)解：:?拋物線對稱軸為x=l,A(-2,0)

AB(4,0)

設拋物線解析式為y=a(x+2)(久-4)=ax2-2ax-8a

???拋物線與y軸交點為(0,4)

1

.?.a=-2

1