2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)卷（附答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)

檢測(cè)卷附答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.在矩形Q4SC中，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,所在直線為X軸、y軸，建立平

面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)E是射線OC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)。，交直線BC

于點(diǎn)F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)矩形Q4BC是正方形時(shí)，若點(diǎn)E在線段OC上，線段AE與。尸的數(shù)量關(guān)系是

(填“相等”或“不相等”)；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上，且OE=2EC,以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn)在矩形Q4BC的外部作

s

直角三角形CEE,且FH=OE,連接EH,交BC于點(diǎn)G,求曲的值;

)四邊形OEG產(chǎn)

(3)如圖3,若點(diǎn)A(O,3),點(diǎn)C(1,O),點(diǎn)E在線段OC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在線段CB的延長(zhǎng)線

上，F(xiàn)H±FC,FB:BC=1:3,連接OH,取OH的中點(diǎn)V,連接,設(shè)=",DM2=m,

求俄關(guān)于”的函數(shù)關(guān)系式.

2.如圖，拋物線＞=V+6尤+C與X軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)

備用圖

(1)求拋物線的解析式;

⑵點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作跖〃y軸，交于點(diǎn)尸，作EHX軸，交拋物線于點(diǎn)

點(diǎn)H在點(diǎn)E的左側(cè)，以線段所，硝為鄰邊作矩形現(xiàn)文汨，當(dāng)矩形EFGH的周長(zhǎng)為11時(shí)，

求線段E"的長(zhǎng)；

⑶點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形OENM是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐

標(biāo).

3.綜合與探究

在正方形ABC。中，AB=4,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE.

（2）【類(lèi)比探究】如圖2,過(guò)點(diǎn)B作班'J_CE于點(diǎn)/，連接。尸，當(dāng)是等腰三角形時(shí),

求此時(shí)AE的長(zhǎng)度與△CED的面積；

（3）【拓展延伸】如圖3,過(guò)點(diǎn)B作3尸，CE于點(diǎn)/，連接DF，將△CKD沿CE翻折得到ACFG,

FG交BC于點(diǎn)H,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CH的最小值.

4.如圖，E是正方形ABCD邊BC上不與8,C重合的一動(dòng)點(diǎn)，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到砂，連接AF交8。于G,交CD于H,連接CP.

圖I品用圖

【知識(shí)技能】（1）找出圖中與NEEC相等的角，并證明你的結(jié)論：

【數(shù)學(xué)理解】（2）①若AB=1.求△ECF面積的最大值.

②若BE=1,DH=3,則正方形的邊長(zhǎng)為.

【拓展探索】（3）求證：BG=DG+CF.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，對(duì)于圖形G,若存在一個(gè)正方形/,這個(gè)正方形的某條邊與x

軸垂直，且圖形G上的所有的點(diǎn)都在該正方形的內(nèi)部或者邊上，則稱(chēng)該正方形/為圖形G的

一個(gè)正覆蓋.很顯然，如果圖形G存在一個(gè)正覆蓋，則它的正覆蓋有無(wú)數(shù)個(gè)，我們將圖形G

的所有正覆蓋中邊長(zhǎng)最小的一個(gè)，稱(chēng)為它的緊覆蓋.如圖1,圖形G為三條線段和一個(gè)圓弧

組成的封閉圖形，圖中的三個(gè)正方形均為圖形G的正覆蓋，其中正方形A3CD就是圖形G的

緊覆蓋.

(1)對(duì)于一個(gè)底角在坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)，斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，它的緊覆蓋的邊長(zhǎng)為

(2)如圖2,點(diǎn)尸為直線y=3x+3上一動(dòng)點(diǎn)，若線段O尸的緊覆蓋的邊長(zhǎng)為3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

⑶直線y=3x+3與x軸，y軸分別交于A,5.若在拋物線y=ax2+2ax-2{a豐0)上存在點(diǎn)C,

使得△ABC的緊覆蓋的邊長(zhǎng)為3,請(qǐng)求出。的取值范圍.

6.如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為迷，以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半

軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a后得到正方形

AlBlC1O(a<45°),4cl交y軸于點(diǎn)且。為4G的中點(diǎn)，拋物線y=+人尤+￡>過(guò)點(diǎn)A、

⑴填空：tana=,；拋物線的函數(shù)表達(dá)式是.

(2)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P,使△尸與G為直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)

足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若正方形\B{CXO以每秒2垂個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線A0下滑，直至頂點(diǎn)與落在x軸上

時(shí)停止.設(shè)正方形落在無(wú)軸上方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時(shí)間/的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)

出相應(yīng)自變量f的取值范圍.

7.如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)(網(wǎng)格線的

交點(diǎn))上，對(duì)角線AC,50相交于點(diǎn)E,二次函數(shù)丁二^^小三彳^^的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)人。,？).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并畫(huà)出符合題意的函數(shù)圖象；

(2)將正方形ABC。向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上時(shí)，平移的距離為.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形Q4BC是正方形，點(diǎn)AC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)8(8,8),p是射

線08上一點(diǎn)，將.AOP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到ABQ.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)。尸=30時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)如圖2,設(shè)點(diǎn)P(x,y)(0<x<8),/XAP。的面積為S,求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S取

得最小值時(shí)無(wú)的值；

(3汝口圖3,若點(diǎn)尸在的延長(zhǎng)線上，當(dāng)8尸+8。=10匹時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

9.如圖，點(diǎn)A、B、M、E、尸依次在直線/上，點(diǎn)A、8固定不動(dòng)，且AB=2,分別以AB、EF

為邊在直線/同側(cè)作正方形ABC。、正方形EFGH,ZPMN=90P,直角邊MP恒過(guò)點(diǎn)C,直

角邊"N恒過(guò)點(diǎn)H.

(1汝口圖1,若班=10,EF=12,求點(diǎn)M與點(diǎn)2之間的距離；

(2)如圖1,若3E=10,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)8、E之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求“E的最大值；

(3汝口圖2,若3尸=22,當(dāng)點(diǎn)￡在點(diǎn)3、尸之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接C”，點(diǎn)。是C"

的中點(diǎn)，連接"B、MO,則2OM+HB的最小值為.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)43在x軸上，拋物線

>=/+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)3,￡>(T,5)兩點(diǎn)，且與直線。C交于另一點(diǎn)E.

(1)求拋物線的解析式;

(2)f為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn),E,B為

頂點(diǎn)的四邊形是以BE、B尸或E&EF邊的菱形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)廠的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為連接ME,BP,探究

EM+MP+P3是否存在最小值.若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

11.如圖1,在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6cm,3c=8cm,。為48的中點(diǎn)，連接

CD,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以女m/s的速度沿AB向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)尸與點(diǎn)A、8不重合)，過(guò)

點(diǎn)P作尸。工A6,交折線AC-C3于點(diǎn)。，以R2為邊向右作正方形PQWN,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為《s)

(1)用含t的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng).

⑵求當(dāng)點(diǎn)〃在邊CD上時(shí)t的值.

(3)設(shè)正方形尸QMN與ACD重疊部分面積為S,當(dāng)重疊部分圖形是四邊形時(shí)，求S與/的函

數(shù)關(guān)系式.

(4)如圖2,點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C關(guān)于Q"的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E,點(diǎn)。關(guān)于"N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為「

連接所，當(dāng)線段砂與VA5c的某一邊垂直時(shí)，直接寫(xiě)出f的值.

12.如圖，在正方形ABCD中，AB=8cm,點(diǎn)。是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸、Q分別從

點(diǎn)A、3同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)尸以2cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的

速度沿折線3C-CD向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，聯(lián)結(jié)P。并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M,聯(lián)結(jié)Q。

并延長(zhǎng)交折線以-于點(diǎn)N,聯(lián)結(jié)尸。、QM,MN、NP,得到四邊形PQMN.設(shè)點(diǎn)

尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)(0<x<4),四邊形尸QVW的面積為yen?.

(l)fiP的長(zhǎng)為_(kāi)cm,CM的長(zhǎng)為_(kāi)cm,(用含x的代數(shù)式表示)

(2)求》關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

⑶當(dāng)四邊形PQMN是軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B分別在x軸，y軸的正半軸上，OA=OB=3.經(jīng)

過(guò)點(diǎn)。，A的拋物線L>=冰2+"交于點(diǎn)。，點(diǎn)c的橫坐標(biāo)為1.點(diǎn)尸在線段上,

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C不重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作PQ〃y軸，與拋物線交于點(diǎn)。.以P。為邊向右側(cè)作矩形

PQMN,且PN=1.設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加時(shí)，解答下列問(wèn)題.

(1)求此拋物線L的解析式；

⑵當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)落在邊PN上時(shí)，求相的值;

⑶矩形PQMN為正方形時(shí)，直接寫(xiě)出機(jī)的值.

14.如圖，直線y=x-4與y軸交于點(diǎn)A,與X軸交于點(diǎn)B,拋物線y=/+bx+c經(jīng)過(guò)A,B

兩點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,長(zhǎng)度為2夜的線段。尸在直線上滑動(dòng)，以D尸為對(duì)角線

作正方形。EPG.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)正方形DEPG與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)，求。點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍;

⑶連接CE,OD,直接寫(xiě)出CE+OD的最小值.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線、=--4尤+°與，軸相交于點(diǎn)4(0,2),點(diǎn)3為,軸

上一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為〃?(機(jī)工2),連接A8,以AB為邊向右作正方形ABCZX

備用圖

⑴求C的值；

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P,當(dāng)點(diǎn)尸在2C上時(shí)，求機(jī)的值；

(3)當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上時(shí)，求機(jī)的值；

(4)當(dāng)拋物線與正方形ABCZ)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出加的取值范圍.

參考答案

1.⑴相等

小、12749

(3)m=—n-----n-\-----

43468

【分析】(1)根據(jù)得到NAC?+NQ4Z)=NAOr>+N￡C?=90。，從而得到

ZOAD=ZEOD根據(jù)角邊角判定即可得到證明；

(2)先證，CGEs.cFO,再證CGE^,FGH,結(jié)合相似三角形面積比等于相似比直接求

解即可得到答案；

(3)取。/中點(diǎn)N,連接MN,過(guò)點(diǎn)。作垂足為T(mén),先證OCF,再

證,"TVsaFcO,利用相似三角形及勾股定理，表示相應(yīng)邊的長(zhǎng)度即可得到答案.

【詳解】(1)解：相等，理由如下，

'：OFLAE,

：.ZAOD+ZOAD=ZAOD+ZEOD=90°,

ZOAD=ZEOD,

,矩形Q4BC是正方形，

:.ZAOE=NOCF=90°,AO=OC,

在ZkAOE與中，

ZAOE=ZOCF

<AO=0C

ZOAD=ZEOD

：.AOE^OCF(ASA),

；?AE=OF,

故答案為：相等；

(2)解：CFH是直角三角形

:.ZHFC=ZOCB=90

:.FH//OE

又FH=OE

???四邊形FOEH是平行四邊形

.\EG//OF,

:.ZGEC=ZFOCfZCGE=ZCFO,

/.CGEsCFO,

0E=2EC,

CE1

?.?—-―，

CO3

.S^ECG_j_

°SOCF-9y，

設(shè)SECG=k,貝！JSOCF=9k,

??S四邊形OEGF=8k,

FH//OE,

:,ZCEG=ZFHGfNECG=NHFG,

/.CGEs,FGH,

OE=2EC,FH=OE,

.CE_1

??=一,

FH2

.uqECG_1i

0SHFG—4，

=

..S.HFG4kf

.SHFG_4k_1

S四邊形OEGr8k2

(3)解：OA//FC,

:.ZAOD=ZOFCf

0F1AE,

/.ZADO=ZOCF=90°,

/.ADO^OCF,

AOADOP

一而一女-7E'

FB:BC=l：3fOA=BC=3,

:.BF=1,FC=4,OF=歷，

3ADOP

歷—14

Uyfn

醇.喘17

取。/中點(diǎn)N,連接MN,過(guò)點(diǎn)。作OTLMN,垂足為T(mén),

,,FH=n,

2

cn1“12屈Vn7后

..NAzDn=OD——OF=-----------------=--------,

217234

.DT//FC,

:.ZNDT=ZOFCf

又./DTN=/FCO=900,

DTNs；FCO,

DTNDTN

FC-OF-CO

7A/17

DT__TN,

4-V17-1

714n7

:.TN=—,DT=—，TM=MN-TN=--------,

3417234

n714

..m=DM2=TM2+DT2=

2-3417

【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形相似的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理,

矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造相似三角形.

5+7573屈-17、-17-3歷

(3)點(diǎn)N坐標(biāo)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)先求得直線的解析式為、=一》+4,設(shè)￡、,-]2+犬+4),則77(x「x+4),利用

對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求得8(2-工一(/+了+4),推出G8=EF=f+2x,GF=EH=2x-2,利用

矩形周長(zhǎng)公式列一元二次方程計(jì)算即可求解；

(3)先求得直線AC的解析式為y=2x+4,分別過(guò)點(diǎn)加、E作y軸的垂線，垂足分別為P、Q,

證明△OEP/△MO0,推出PE=。。,尸。=MQ,設(shè)根，一3蘇+m+4),則

由點(diǎn)Af在直線AC上，列式計(jì)算，可求得優(yōu)的值，利用平移的性質(zhì)即

可求解.當(dāng)加沿著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到OE,設(shè)M(a,6),則點(diǎn)E(b,-“)，然后表示出

M.E的坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)即可解答.

【詳解】(1)解：：拋物線y=-；Y+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(4,0)和C(0,4),

19

——x4+4Z?+c=0

：.\2

解得

c=4

，拋物線的解析式為y=尤?+x+4；

（2）解：?.?點(diǎn)3（4,0）和C（0,4）,

設(shè)直線8C的解析式為，=依+4,則0=4左+4,

解得k=-lf

直線BC的解析式為y=-%+4,

設(shè)“S-3②+工+力，且0<x<4,貝ijF（x,—x+4）,

GH=EF=——x2+x+4-（-%+4）=——x2+2%,

Y---------1----二|1

???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線2x,1，

H[2—x,——+x+4）,

???GF=EH=x-（2-x）=2x-2f

依題意得21一#+2工+2尸2）=11,

解得x=5>4（舍去）或九=3,

?,.EW=2x—2=2x3—2=4；

（3）解：令y=0,貝|」一；尤2+X+4=O,

解得彳=一2或尤=4,

4（-2,0）,

設(shè)直線AC的解析式為y=/+4（pw0）,將A（-2,0）,C（0,4）代入，-2。+4=0

解得,P=2,

直線AC的解析式為y=2x+4,

:四邊形是正方形，

：.OE=OM,AEOM=90°,分別過(guò)點(diǎn)M、E作V軸的垂線，垂足分別為尸、Q,如圖,

.?.40PM=ZEQO=90°,ZOMP=90°-/MOP=ZEOQ

：.OMP^AEOQ(AAS),

??.PM=OQ,PO=EQ

設(shè)+根+4],

當(dāng)點(diǎn)E在,軸左側(cè)，工軸下方時(shí)，

1o

則PO=EQ=-m,PM=OQ=—m2-m-4,

2

A/m2+m+4,,

??,點(diǎn)M在直線AC±,

-m=加之+根+41+4.

解得機(jī)=土亙或”=1±2巨（舍去），

22

當(dāng)砂手時(shí)，E[產(chǎn),

點(diǎn)。向左平移”一扃個(gè)單位,再向下平移叵9個(gè)單位，得到點(diǎn)加，

42

則點(diǎn)E向左平移I1一反個(gè)單位,再向下平移巨過(guò)個(gè)單位，得到點(diǎn)N,

42

當(dāng)點(diǎn)石在y軸左側(cè)，n軸上方時(shí)，如圖，分別過(guò)點(diǎn)〃、石作,軸的垂線，垂足分別為P、Q,

貝IPO=EQ=-m,PM=OQ=—m2-m-4,

??,點(diǎn)M在直線AC上，

根=2[g根?一根_41+4,

解得：叫=4（舍去），餌=-1,

同理可得：

當(dāng)點(diǎn)E在y軸右側(cè)，X軸下方時(shí)，作EGLx軸，MHLx軸，如圖:

設(shè)M（加2加+4）,則點(diǎn)E（-2m-4,m）,則點(diǎn)N^-m-4,3m+4）,

12

——（―2m—4y—2m—4+4=m,

解得M=TI士炳,

4

.—ii—Vs7—（仝土、

??n\=-------,m2=-------（告去3

--，…f-17-35/57-5+歷）

點(diǎn)N的坐標(biāo)為---------,

I44J

當(dāng)點(diǎn)E在〉軸右側(cè)，x軸上方時(shí)，作￡Cx軸，MH_Lx軸，如圖:

-m2+m+4

2

：.M-m2m-4,m

2

:點(diǎn)M在直線AC上，

=21gI??一機(jī)—41+4,

解得：叫=4,7%=一1(舍去),

E（4,0）,Af（0,4）,

...點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,4)；

5+屈3屈-17)/73、J-17-3后

綜上,點(diǎn)N坐標(biāo)或〔一5句叫—4—

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,

一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的關(guān)

系，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論思想等知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

3.⑴見(jiàn)解析

32

(2)當(dāng)CF=D9時(shí)，AE=O,S^CDF=4；當(dāng)DF=CD時(shí)，A￡=2,SACDF=-

(3)y

【分析】(i)利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定即可證明；

(2)由正方形和直角三角形的性質(zhì)得到CD>CF,再根據(jù)△CTO是等腰三角形得出

CF=DF或DF=CD,則分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形三線合一性質(zhì)以及三角形的面積公式分別求解即可；

(3)連接DG交EC于點(diǎn)K,交于點(diǎn)L由翻折的性質(zhì)得，CD=CG,FD=FG,得出CP

是DG的垂直平分線，同理(2)的方法證出CDKABCF,CDL咨3CE,得到DK=CF,

CK=BF,DL=CE,CL=BE,設(shè)CL=BE=x,利用相似三角形的性質(zhì)表示出的長(zhǎng)，

64

進(jìn)而得出CH=BC-BH=結(jié)合龍的范圍即可求出線段的最小值.

20-（x-2）2CH

【詳解】（1）證明：四邊形A5CD是正方形，

;.ZABC=/DCB=900,

ZDCF-^-ZECB=90°,

DF工CE,

:./DFC=9b0,

/DCF+/CDF=90°,

/.ZDCF+ZCDF=/DCF+ZECB,

ZCDF=ZECBf

又Z￡）FC=ZB=90°,

:.CFDsEBC.

（2）解：四邊形A5CD是正方形，

:.CD=BC=AB=4fZBCD=90°,ZDCA=45°,

BFVCE,

.?.ZBFC=90。,

廠.在RtBCF中,BC>CF,

:.CD>CF,

.△ca為等腰三角形，

:.CF=DF或DF=CD；

①當(dāng)CF=O尸時(shí)，如圖，作出，8于點(diǎn)兒

:.DH=CH=-CD=2,"HC=90。，

2

BF1CE,

ZCFB=90°,

:.ZFCB+ZCBF=90°f

/FCB+/FCH=/BCD=90°,

/.ZFCB+ZFCH=ZFCB-^-ZCBF,即NFCH=NCBF,

又ZFHC=ZCFB=90°9

CFHsBCF,

.HF_CF

,#一法’

,\CF2=BCHF=4HF,

設(shè)HF=a,貝!JCF2=4a,

在RtZXCF”中，HF2+CH2=CF2,

.Q2+22=4〃，

解得：a=2,即HF=2,

/.HF=CH=2,SCFD=；C。=；x4x2=4,

/.CFH是等腰直角三角形，

AZHCF=45°,

/.ZHCF=ZDCA=45°,

二?AEC三點(diǎn)共線，

???點(diǎn)A和點(diǎn)E重合，

AE=0；

②當(dāng)。尸=CD時(shí)，如圖，作DHLCE于點(diǎn)凡

DF=DC,DHLCE,

:.FH=CH,NDHC=90。,

ZDHC=ZCFB=90°,

由①中的結(jié)論得，NDCF=NCBF,

又?CD=BC,

CDHm-BCF,

:.CH=BF,DH=CF,

設(shè)CH—BF—a,貝IFH=a,

:.CF=CH+FH=2a,

在Rt^CFB中，CF2+BF2=BC2,

:.（2a）2+a2=42,

4A/5

解得:d---

5

"2=竽

18小85/532

?q=-CFDH—X---------X----------=——

?,2.CDF22555

ZCFB=ZCBE=90°,/BCF=/ECB,

...CFBs,CBE,

4758>/5

BFCF

?即MM，

BEBC

BE4

解得：BE=2,

.\AE=AB-BE=2;

32

，綜上所述，當(dāng)CF=O/時(shí)，AE=O,SACDF=4；當(dāng)上=CD時(shí)，AE=2,SACDF=y.

（3）解：如圖，連接DG交EC于點(diǎn)K,交3C于點(diǎn)L

由翻折的性質(zhì)得，CD=CG,FD=FG,

.?.CF是DG的垂直平分線，

:.DK=KG,CFIDG,

:./DKC=90°,

同理（2）的方法可得，CDK&BCF,CDLWBCE,

:.DK=CF,CK=BF,DL=CE,CL=BE,

設(shè)CL=BE=x,則=CE=JBE?+BC，=&+16，BL=4-x,

由（2）得，CFBs,CBE,

CF_BF_BC_4

FF，一6+16，

164x

:.CF=BF=

+16，

32

DG=2DK=2CF=

+16'

16-x2

...LG=DG—DL

Vx2+16，

CF1BF,CFIDG,

BF//DG,

BFHs.LGH,

BH_BF_4x

"LH~LG~16-x2，

BH_BH__4x

"BL~BH+LH-4x+l6-x2

又［BL=4-x,

.加工64

4x+16-x20-(x-2)2，

CH=BC-BH=---------------7

20-（尤-2），

又Q0W4,

.?.當(dāng)x=2時(shí)，20-（x-2）2有最大值20,此時(shí)CH有最小值=],

.??線段CH的最小值為

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾

股定理與翻折問(wèn)題、全等三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)

會(huì)結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵.本題屬于幾何綜

合題，需要較強(qiáng)的幾何知識(shí)儲(chǔ)備和輔助線構(gòu)造能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生.

4.（1）NEAB=NFEC,NFEH=NFEC,證明見(jiàn)詳解；（2）①面積的最大值是。；

8

②正方形ABC￡）的邊長(zhǎng)為2+V7；（3）見(jiàn)詳解

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AD=AB，ZABC=ZADC=ZBAD=90°,由旋轉(zhuǎn)得

ZAEF=90°,則N￡AH=/EE4=45°,ZEAB+ZAEB^90°,NFEC+ZAEB=90。,所以

ZEAB=ZFEC；W皿/繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABL,可證明，皿也得

ZAEB=ZAEH,則/FEC+ZA￡B=90。，NFEH+ZAEH=90°,所以/FEH=NFEC；

（2）①作FK_L3C交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,可證明FEK^EAB,得KF=BE,則

SECF=gcE.KF=gcE.BE,設(shè)CE=x,則郎=1一%,所以

S.EB='x（l一x）=_：（x_g）2+：,當(dāng)尤=!時(shí)，SEB最大=所以△EC尸面積的最大值是

222X2o

]_

8；

②設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為機(jī)，則2C=OC=m，而6E=1,SL==3,所以CE=〃7-1,

CH=m-3,EL=EH=4,由勾股定理得（m-lf+（m-3子=42,求得符合題意的加值為

2+用,于是得到問(wèn)題的答案；

（3）作FP〃BC交BD于點(diǎn)P,作正KL3C交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,則KF=3E,

EK=AB=BC,推導(dǎo)出KC=3E,所以KF=KC,則NKCF=NKFC=45。，所以

NKCF=/CBP,則CF〃族，所以四邊形PBCr是平行四邊形，則3P=B,再證明

GFP^GAD,得PG=DG,所以BG=PG+BP=DG+CF.

【詳解】（1）解：ZEAB=ZFEC,NFEH=NFEC,

證明：四邊形ABC。是正方形，

:.AD=AB,ZABCZADCZBAD9Q0,

,將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF,

:.FE=AE,ZAEF=90°,

：.ZEAH=ZEFA=45°,ZEAB+ZAEB=90°,ZFEC+ZAEB=90°,

:.NEAB=NFEC；

如圖1,將ADH繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到八ABL,則AL=AH,NBAL=ADAH,

:.ZEAL=ZBAE+ZBAL=ZBAE+ZDAH=45°,

:.ZEAL=ZEAH,

ZABL^ZADH=90°,ZABE=90°,

:.ZABL+ZABE=18Q°,

:.L、B、E三點(diǎn)在同一條直線上，

在/E4L和，胡”中，

AL=AH

-ZEAL=NEAH,

AE=AE

EAL^EAH（SAS）,

:.ZAEB=ZAEH,

NFEC+ZAEB=90。,ZFEH+ZAEH=90°,

NFEH=ZFEC.

（2）解：①如圖1,作產(chǎn)KLBC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,則/K=9（r=/ABE,

圖1

在4莊長(zhǎng)和一中,

NK=NABE

<ZFEK=ZEAB,

EF=AE

/.一FEK=EAB（AAS）,

:.KF=BE,

S=-CEKF=-CEBE,

EFCF22

設(shè)CE=x,

BC=AB=1,

BE=l—x,

-SECF=；%（1一%）二一；（%—；）2+：，

,--<0,

2

11

.?.當(dāng)x=3時(shí)，sm最大=d，

Zo

△ECF面積的最大值是。.

o

②如圖1,設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為根，則3C=OC=

BE=1,BL=DH=3,

:.CE=m-l,CH=m—3,EL=EH=BE+BL=l+3=4,

ZECH=90。,

:.CE2+CH2=EH2,

(m-l)2+(m-3)2=42,

解得仍=2+J7,=2—5/7(不符合題意，舍去)，

「?正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2+幣,

故答案為：2+77.

(3)證明：如圖2,作EP〃3。交于點(diǎn)P，作尸KL3C交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,則NK=90。,

由(2)得”EK空EAB,

:.KF=BE,EK=AB,

BC=AB,

:.EK=BC,

:.EK-CE=BC-CEf

;.KC=BE,

/.KF=KC,

,\ZKCF=ZKFC=45°,

./CBP=NCDB=45。,

.\ZKCF=ZCBP,

CF//BP,

???四邊形MCE是平行四邊形，

:.BP=CF,FP=BC,

AD\BC,AD=BC,

:.FP//AD.FP=AD,

,\ZGFP=ZGAD,

在方P和.G4D中，

ZGFP=ZGAD

</FGP=/AGD,

FP=AD

：.GFP^GAD(AAS),

:.PG=DG,

BG=PG+BP,S.PG+BP=DG+CF,

:.BG=DG+CF.

圖2

【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確

地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.⑴立

（2）（-2,-3）或（0,3）

（3）a2：或aV-2

【分析】（1）由題意得，斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，它的緊覆蓋正方形鄰邊恰好與等腰

直角三角形的兩腰重合，一條對(duì)角線為等腰直角三角形的斜邊，由勾股定理求解即可；

（2）由題意當(dāng)點(diǎn)尸到坐標(biāo)軸的距離等于3時(shí)，線段。尸的緊覆蓋的正方形的邊長(zhǎng)為3.分三

種情形分別求解即可；

（3）如圖2中，由題意當(dāng)拋物線與圖中矩形EFG〃區(qū)域有交點(diǎn)時(shí)，在拋物線

、="2+26-2（。*0）上存在點(diǎn)C,使得VABC的緊覆蓋的邊長(zhǎng)為3.

【詳解】（1）解：由題意得，斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，它的緊覆蓋正方形鄰邊恰好與

等腰直角三角形的兩腰重合，一條對(duì)角線為等腰直角三角形的斜邊，

...設(shè)邊長(zhǎng)為x,

由勾股定理得，尤2+爐=22,

解得：x=?（舍負(fù)），

故答案為：72;

（2）解：當(dāng)點(diǎn)尸在第一象限時(shí)，OP>3,故不符合題意；

當(dāng)點(diǎn)尸在第二象限包括坐標(biāo)軸時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作PZ）_Lx軸于點(diǎn)D,

，當(dāng)y=3時(shí)，3x+3=3

解得：x=0,

???尸（0,3）；

當(dāng)點(diǎn)尸在第三象限時(shí)，尸時(shí),

y=-9+3=-6,不符合題意;

當(dāng)。P>DO時(shí)，把y=-3%=—3代入y=3x+3得，3x+3=-3,

解得：x=-2,

???尸(-2,-3),

綜上所述：若線段OP的緊覆蓋的邊長(zhǎng)為3,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（-2,-3）或（0,3）；

（3）解：如圖2中，如圖由題意當(dāng)拋物線與圖中矩形EFG〃區(qū)域有交點(diǎn)時(shí)，在拋物線

）=g2+2依—2（。工0）上存在點(diǎn)C,使得VABC的緊覆蓋的邊長(zhǎng)為3.

由題意E（—3,3）/（—3,0）,G（2,0）,H（2,3）.

當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)G時(shí)，4〃+4〃一2=0,

1

Q=—,

4

:拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=-l,經(jīng)過(guò)（0,-2）,

觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，在拋物線＞=1+2依-2（aw0）上存在點(diǎn)C,使得VABC的緊

覆蓋的邊長(zhǎng)為3.

當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，解析式為y=-2（x+l『，

觀察圖象可知，當(dāng)時(shí)，在拋物線丁=加+26-2（"0）上存在點(diǎn)C,使得VA2C的緊

覆蓋的邊長(zhǎng)為3.

綜上所述，滿(mǎn)足條件的。的值為a2：或。＜-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，圖形G的緊

覆蓋的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意,靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題.

6.（1）@|;②,=-|工2-9+：

/623

⑵存在點(diǎn)尸，使△股G為直角三角形.滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸共有4個(gè)：4Hml，心D

（325+2回）（325-25'

寫(xiě)「仿，1。J'勺一歷，io:

3+”1

⑶s='—<t<1

42

5/一15.+?[1</<3

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出0G=4G，NOC4=90。.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

ZCiOD=ZAOAl=a,再根據(jù)正切的定義求解即可.過(guò)點(diǎn)A作人石上彳軸，垂足為點(diǎn)已過(guò)

點(diǎn)耳作與尸軸，垂足為點(diǎn)凡設(shè)4石=左，則0E=23在RtAE。中，利用勾股定理

求得A￡和OE,即可求得點(diǎn)4的坐標(biāo),進(jìn)一步證明“AEO烏BFA，有AE=B,F,EO=FAl,

即可求得點(diǎn)4和點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

3

（2）將（1）的拋物線解析式配方得對(duì)稱(chēng)軸％=-而.根據(jù)題意分三種情況：①以點(diǎn)司為直

角頂點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得直線4月的解析式，即可求得點(diǎn)A；②以點(diǎn)C1為直角頂點(diǎn)，

同理求得點(diǎn)八；③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)耳、G作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為G、

H,設(shè)點(diǎn)+1yj,進(jìn)一步分點(diǎn)P在直線8G上方和點(diǎn)尸在直線下方，利用相似三角

形求解即可；

（3）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)A，運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，求得。0，=2后，0E'=g00'=族，利用

三角形的面積即可；②當(dāng)點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)到無(wú)軸上時(shí)，則OO',OA,A'F=-OA',O'E^-OO',

22

B'F=AB'-AF,C'E=OIC-OE,利用三角形的面積即可；③當(dāng)點(diǎn)笈運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，

同②可得：B'F^AB'-AF,BrE=2B'F,利用三角形的面積即可.

【詳解】（1）解：①：四邊形4BC0為正方形，

OCX=4G,NOC[B尸90°.

又?.?。是BG的中點(diǎn)，

：.CiD=^BlCl=^OCl

:由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，/CQD=ZAOA=a,

C1

.,.在RtCQD中,GD2°

tana=——=------

2

OGocx

tanor的值是g.

過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)及過(guò)點(diǎn)用作AE，3/軸，垂足為點(diǎn)凡如圖,

設(shè)AE=左，則0E=2左，在Rt4E。中，4。=逐

222

根據(jù)勾股定理，n\E+OE=AxO.

即r+（2笈y=（占『

解得勺=T（舍），左2=1.

/.A￡=1，OE=2.

又..?點(diǎn)A在第二象限,

...點(diǎn)4的坐標(biāo)為

o

ZOAiE+ZAiOE=ZOAlE+ZB1AlF=90,

：.NAQE=NB&F,

：/4￡0=/瓦%=90。，A,O=A,B,

：.\EO^t^^(AAS),

A￡=B[F,EO=FA^,

則點(diǎn)區(qū)的坐標(biāo)為(-1,3),同理點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,2).

；p=以2+灰+。過(guò)點(diǎn)A、耳、Cx.

l=4a-2b+c

v3=a—Z?+c

2=a+b+c

5

a=——

6

解得＜b=一;

10

T

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=.

623

(2)解：將(1)的拋物線解析式配方，得丁=_91%+上］+—.

6110J120

3

拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線％

假設(shè)存在符合條;件的點(diǎn)P，分三種情況：

8J

①以點(diǎn)修為直角頂點(diǎn);

由(1)知點(diǎn)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,1),點(diǎn)耳的坐標(biāo)為(-1,3),

設(shè)直線A耳的解析式：，=履+可上力0),則

l=-2k+bk=2

3i+b，解得

b=5

則直線A片的解析式：y=2x+5,

3+5=2

當(dāng)％=——時(shí)，y=2x

105

則點(diǎn)

②以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn);

同理可得直線0C1的解析式：y=2x,

③以點(diǎn)尸為直角頂點(diǎn);

分別過(guò)點(diǎn)與、G作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的垂線，垂足為G、H；

設(shè)點(diǎn)d，4

當(dāng)點(diǎn)尸在直線gG上方時(shí),

37313

B.G=l--=—.PG=y-3C,H=l+—=—PH=y-2

11010>11010

?.,/B、PG=90°-ZC.PH=NPC[H,ABfiP=ZPHQ=90°,

.??B[GPsPHC],

.BfiGP

**PH-HQJ

7

則圣=導(dǎo)，解得：產(chǎn)”+2月,25-2729(舍).

y-2131010

10

當(dāng)點(diǎn)尸在直線4G下方時(shí)，同上，可求得y=竺看叵；

綜上，存在點(diǎn)尸，使△P&G為直角三角形.滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸共有4個(gè)：Px

f_3_(_3_25+2屈］(_3_25-25、

2，，-,

Cio-5j\10~10y4［一元，"10J

(3)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)后的正方形為O'AEC,分三種情況:

①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，

???正方形A［B{C{0以每秒2非個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線4。下滑,

._行_1

一塞-法一于

當(dāng)時(shí)，如圖①,

2

OO'=2s[5t,OE=；O(y=底,

**?S-S正方形_Soo,E=5—~x2^/5^xy/5t——5產(chǎn)+5?

②當(dāng)點(diǎn)C'運(yùn)動(dòng)到無(wú)軸上時(shí)，"岑=羋=1；

2V52V5

貝U00'=2后，OA'=2y/5t-y[5,NF=goAJ#；下,O'E=^OO'=45t,

B'F=A'B'-A'F=3癢2后,c，￡=o，c'-O'E=占一百，

2

1/,,\,,1(3\/5—2^/5zqrz/r25-20z

S=—(BF+CE)xBC=-x---------------卜N5-Y5tx>/5=-----------；

2Ag+A0，3

③當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=---韭---=-;

3

當(dāng)IV"；；■時(shí)，如圖③，

2

:.S=gB'FxB'E=g義3君;2后卜卜七_(dá)2.)=5產(chǎn)-151+?

綜上,

5r2-15f+y^l<z<|^|

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，以及熟練應(yīng)用分類(lèi)討論思想.

7.(1)二次函數(shù)的解析式為y函數(shù)圖象如圖所示

(2)4-271

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；

(2)根據(jù)(1)中解析式，令丁=4,解方程求出x的值，即可求平移距離.

【詳解】(1)解：：二次函數(shù)丁="2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(2,2),

/.4。=2,

解得：a=g，

???二次函數(shù)的解析式為y=g/；

畫(huà)出二次函數(shù)的圖象如圖所示:

解得：x=2&或x=-2&（舍去），

，當(dāng)點(diǎn)E落在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上時(shí)，正方形ABCD向左平移了4-2應(yīng)個(gè)單位,

故答案為：4-272.

8.⑴點(diǎn)。的坐標(biāo)為。1,5）；

（2）S與尤的函數(shù)關(guān)系式為S=f-8x