2025年中考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)：圓的綜合題

微專題43圓的綜合題

類型一與銳角三角函數(shù)結(jié)合

1.如圖，A3為。。的直徑，△BCD內(nèi)接于連接D4并延長交的延長線于點(diǎn)E,且

/E=ZABC.

(1)求證：BC=EC；

(2)若EC=20,tanN3CD=m，求。。的半徑.

第1題圖

2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，對角線3。為O。的直徑，對角線AC是NBCD的平分

線，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：AE是O。的切線；

(2)若NAE5=60°,BD=2?求AC的長.

第2題圖

3.(2021廣東24題10分)如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AB^CD,ZABC=90°,

點(diǎn)E,R分別在線段3C,AD上，且ER〃CD,AB=AF,CD=DF.

(1)求證：CFLFB；

(2)求證：以AD為直徑的圓與3c相切；

(3)若EF=2,ZDFE=120°,求△ADE的面積.

第1頁共19頁

cD

第3題圖

類型二與全等三角形結(jié)合

1.如圖所示，在△ABC中，ZABC=90°,以直角邊A3為直徑作O。，交斜邊AC于點(diǎn)D,

連接3D

(1)若NC=30°,求黑的值；

(2)過點(diǎn)。作。。的切線，交BC于點(diǎn)、E,求證：E是的中點(diǎn).

第2頁共19頁

2.(2024梅州模擬)如圖，尸為。。外一點(diǎn)，PA,P3為。。的切線，切點(diǎn)分別為A,B,直

線尸。交O。于點(diǎn)D,E,交AB于點(diǎn)C.

(1)求證：NADE=NPAE；

(2)若NADE=30°,連接3D,求證：四邊形AD3P是菱形.

3.如圖，為。。的弦，點(diǎn)A為劣弧求的中點(diǎn)，。為3C上一點(diǎn)，連接AD,過點(diǎn)A作。。

的切線AE,連接CE,CE〃AD,點(diǎn)R為AE上一點(diǎn)，AF=BD,連接A3,AC,CF.

(1)求證：四邊形ADCE是平行四邊形;

(2)當(dāng)時，求證：AC=\f2AD.

B

第3題圖

第3頁共19頁

4.(2023廣東22題12分)綜合探究

如圖①，在矩形A3CD中(A3>AD),對角線AC,3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)A關(guān)于3。的對稱點(diǎn)

為4.連接AA，交BD于點(diǎn)E,連接CA'.

(1)求證：AA'±CA'；

(2)以點(diǎn)。為圓心，OE為半徑作圓.

①如圖②，。。與CD相切，求證：AA'=y/3CA'；

②如圖③，。。與C4相切，AD=1,求。。的面積.

ABAB

圖②圖③

第4題圖

類型三與相似三角形結(jié)合

[6年2考：2020.22(2),2019.24(3)]

1.如圖，ZkABC內(nèi)接于。。，A3是O。的直徑，。是O。上一點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)C作。。

的切線交。3的延長線于點(diǎn)E,且DELCE.

(1)求證：AC=CD；

(2)若O。的半徑為5,BC=6,求3。的長.

第1題圖

第4頁共19頁

2.如圖，在RtAABC中，NA4c=90°,D,E分別在邊AB,AC上，DE//BC,△ADE的

外接。。與3C交于點(diǎn)R,連接AR,AR平分NB4c

(1)求證：3C為。。的切線；

(2)若ADCE=8,求。。的半徑.

第2題圖

3.(2024珠海一模)如圖，A3是O。的直徑，C是半圓A3的中點(diǎn)，點(diǎn)。是O。上一點(diǎn)，連

接CD交A3于E,點(diǎn)R是A3延長線上一點(diǎn)，且EF=DF.

(1)求證：DR是O。的切線；

(2)連接BC,BD,AD,若tan/BCD=±DF=3,求。。的半徑.

4.如圖①，在平行四邊形A3CD中，AC為對角線，AB=AC,且△ABC內(nèi)接于。。

(1)當(dāng)3C為。。直徑時，求證：BC=V2AB；

(2)如圖②，當(dāng)CD與。。相切時，求證：四邊形A3CD是菱形；

第5頁共19頁

(3)如圖③，當(dāng)CD與。。相交于點(diǎn)E時，連接3E,交AC于點(diǎn)EEFAB=CE2,求ND

的度數(shù).

類型一與銳角三角函數(shù)結(jié)合

1.(1)證明：如解圖，連接AC,

,.?A3是O。的直徑，：.ZACB=90°,即ACLBC,

"：ZE=ZABC,：.AE=AB,：.BC=EC；

第1題解圖

(2)解：VZDAB=ZBCD,

24

tanNDAB=tanN5CD=—,

7

是O。的直徑，

AZADB=9Q°,

：.tanZDAB=-=-,

AD7

設(shè)AD=7x,則3D=24x,

：.AB=JAD2+BD2=25X,

...由(1)知,AE=AB=25x,

：.DE=AE+AD=25x+7x=32x,

,:CE=20,

：.BE=2CE=40,

在RtABDE中,

'：BD2+DE2=BE2,

...(24x)2+(32x)2=402,解得x=1(負(fù)值已舍去),

第6頁共19頁

「?AB=25%=25,

oo的半徑為

2.(1)證明：如解圖，連接。4,

:AC是/BCD的平分線，

ZACB=ZACD,

：.ZAOB=ZAOD,

VZAOB+ZAOD=1SO°,

ZAOB=ZAOD=9Q°,

'：BD//AE,

：.Z0AE=ZA0D=9Q°,

：。4是O。的半徑，

...AE是O。的切線；

(2)解：如解圖，過點(diǎn)3作3/UAC于點(diǎn)E

'JAE//BD,：.ZAEB=ZCBD=6Q°,

,.?皮)是O。的直徑，

AZBCD=9Q°,

A：

ZBDC=30°,.BC=-2BD=42,

：AC平分/BCD,

AZACB=-ZBCD=45°,

2

...△BCT是等腰直角三角形，

：.CF=BF=BCsm45°=1,

,在中，

VZBAC=ZBDC=30°RtZkABRAF=ta-n膽AC-=V3,

.,.AC=AF+CF=V3+1,

第2題解圖

3.(1)證明：,:CD=DF,

.?.設(shè)NDCE=ZDFC=a,

第7頁共19頁

：.ZFDC=180°~2a,

,CCD//AB,

：.ZBAF=180°-(180°~2a)=2a,

X'：AB=AF,

：.ZABF=ZAFB=180°^2a=90°—a,

2

：.ZCFB=1SQ°~ZDFC-ZAFB=180°—a—(90°—a)=90°,

J.CFLFB-,

(2)證明：如解圖①，取AD的中點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。ML3c于點(diǎn)

'JAB//CD,ZABC=9Q°,

：.ZDCB=90°,

X'：OMLBC,

：.OM//AB,

.?.點(diǎn)"為3c的中點(diǎn)，

1

：.OM=^AB+CD),

5L'：AF=AB,DF=DC,

：.AD=AF+DF=AB+CD=2OM,

1

：.OM=-AD=OD,

2

0M是以AD為直徑的圓的半徑，

：.以AD為直徑的圓與BC相切；

(3)解：VZDFE=120°,ZABC=90°,CD//EF,AB//CD,

：.EF//AB,

：.ZCDF=60°,ZBAF=120°,ZAFE=60°,ZCEF=ZBEF=ZEBA=90°,

又,：DC=DF,

...△ZXT為等邊三角形，ZDFC=6Q°,

：.ZCFE=60°,

由⑴得NCFB=90°,

ZEFB=ZCFB-ZCFE=30°,

"：EF=2,

第8頁共19頁

.?.在RtABRE中，BE=EFtan30°=—,

3

在RtZkCER中，CE=ER-tan60°=2-^3,

如解圖②，過點(diǎn)。，A分別作ER的垂線，交直線ER于點(diǎn)H,N,

則四邊形CEHD,四邊形EA4N均為矩形，:.CE=DH=2?BE=AN=^-,

??SAADE=SAEFD~\~SAEFA

11

=-EFDH+-EFAN

22

■\

=^EF(DH+AN)

=|X2X(2V3+^)

_8A/3

3,

BABA

圖①圖②

第3題解圖

類型二與全等三角形結(jié)合

1.(1)1?：VZABC=90°,ZC=30°,

AZA=6Q°,

：A3為。。的直徑，

/.ZADB=9Q°,

ZABD=30°,

:.AD*BD,CD=43BD,

.AD苧BDi

??CDV3BD3'

(2)證明：如解圖，連接OD,OE,

是O。的切線，

：.ZODE=90°,

..,(OD=OB,

在RtAOBE與RtAODE中，\

[OE=OE,

/.RtAOBE@RtAODE(HL),

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/.DE=BE,

：.ZBDE=/DBE,

VZDBC+ZC=ZBDE+ZCDE=90°,

：.ZCDE=ZC,

DE=CE,

：?BE=CE,

.?.E是3c的中點(diǎn).

第1題解圖

2.證明：（1）如解圖①，連接。4,

第2題解圖①

,.'DE是O。的直徑，

AZDAE=9Q°,

即NZMO+NO4E=90°,

：PA為。。的切線，

/.ZPAO=90°,

即NP4E+NOAE=90°,

ZDAO=ZPAE,

'：AO=DO,

：.ZDAO=ZADE,

：.ZADE=/PAE；

(2)如解圖②，連接。4,OB,

VZADE=3Q°,

/.ZA0E=6Q°,

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,.?PA為O。的切線，

：.ZPAO=90°,

/.ZAP0=9Q°-ZA0E=3Q°,

：.AD=AP,

,：PA,P3為。。的切線，

：.ZPA0=ZPB0=9Q°,

'：PO=PO,OA=OB,

.*.RtAAPO^RtA3Po(HL),

/.ZAP0=ZBP0=3Q°,

ZADE=ZBPO,

：.AD//PB,

'：PA=PB=AD,

：.四邊形ADBP是平行四邊形，

X'：AD=AP,

...四邊形AD3P是菱形.

第2題解圖②

3.證明：（1）如解圖，連接。4,

???點(diǎn)A為劣弧虎的中點(diǎn)，AE是O。的切線,

J.OALBC,DALAE,

J.AE//BC,BPAE//CD,

,JCE//AD,

???四邊形ADCE是平行四邊形；

第3題解圖

第11頁共19頁

(2)'：BD=AF,BD=EF,

1

：.AF=EF,：.BD=-AE,

2

???點(diǎn)A為劣弧命的中點(diǎn)，

：.AB=AC,ZABC=ZACB,

1

'：BD=-AB,

2

：.BD=-AC,：.AC=AE,

2

由⑴得AE〃CD,

/.ZACB=ZCAF,

：.ZABD=ZCAF,

/.△ABD^ACAF(SAS),

：.AD=CF,

由(1)知四邊形ADCE為平行四邊形,

：.AD=CE,：.CF=CE,

：./E=ZEFC,

'：AC=AE,

：.ZACE=ZE=ZEFC,

：.^EFC^^ECA,

ECAE

設(shè)跖=為則AC=AE=2x,

：.CE=42x,：.AD=V2X,

EC2x

...絲=W=伍：,AC=V2AD.

ADy[2x

4.(1)證明：點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A；

：.AE=A'E,AA'LBD,即AA」OE,

???四邊形A3CD是矩形，

：.OA=OC,

.?.0E是△AC4的中位線，

：.OE//CA',

：.AA'±CA'；(3分)

⑵①證明：如解圖①，設(shè)CD與。。相切于點(diǎn)R連接R9并延長，交A3于點(diǎn)G,

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：.FG±CD,

???四邊形A5CD是矩形，

1

：.OB=OD=OA=-BD,AB//CD,FG±AB,

2

：.ZFDO=ZGBO,ZGAO=ZGBO,

"：ZDOF=ZBOG,

DOF沿ABOG(ASA),(5分)

：.OG=OF=OE,

由(1)知

,?OGLAB,

.*.RtADEA^RtA0GA(HL),

：.ZEAO=ZGAO,

：.ZGBO=ZEAO,

,：ZEAB+ZGB0=9Q°,

AZEAO+ZGAO+ZGB0=9Q°,

：.3ZEAO=9Q°,

：.ZEAO=30°,

由⑴知A4UC4,

：.tanZEAO=—=—,

AA'3

.\AAf=V3CAf；(7分)

A'

AcB

第4題解圖①

②解：如解圖②，設(shè)C4與。。相切于點(diǎn)H,連接。

：。。與C4相切，

：.OH±CA',

由(1)知，AA'±CA',AA'±BD,OA=OC,

四邊形OHA'E為矩形，

第13頁共19頁

"：OE=OH,

???四邊形。HA'E為正方形，

：.AA'=2A'E=2OH,CA'=2A'H=2OE,

：.AA'=CA',

：.ZA'AC=ZA'CA=45°,

/.ZAOE=ZACA'=45°,

：.AE=OE,OD=OA=^AE,

設(shè)AE=DE=x,則。。=。4=缶，

：.DE=0D~0E=(V2-l)x,

在RtZkADE中，x2+[(V2-l)x]2=l2,

即塢

44

：.SQO=TI-OE2=21I+^.(12分)

A'

第4題解圖②

類型三與相似三角形結(jié)合

1.(1)證明：如解圖，連接。C,AD,

：CE是O。的切線，

AZ0CE=9Q°,BPOCLCE.

■:DEICE,

：.OC//DE,

：.ZOCB=ZCBE.

?：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZCBE=ZOBC.

:四邊形AC3D內(nèi)接于。。，

：.ZCAD=ZCBE.

第14頁共19頁

ZADC=ZABC=ZCBE,

：.ZCAD=ZADC,

：.AC=CD；

第1題解圖

(2)解：:。。的半徑為5,

：.AB=1Q,

在RtAABC中，BC=6,：.CD=AC=JAB2-BC2=8.

VZBAC=ZBDC,ZACB=ZCED=90°,

:.AABCSADCE,

在RtZkBCE中，BE=

14

：.BD=DE-BE=—.

5

2.(1)證明：如解圖，連接0E

,：ZBAC=90°,...DE是O。的直徑，

又平分NB4C,

AZBAF=ZCAF=45°,ZDOF=2ZDAF=9Q°,

'JDE//BC,：.ZOFB=1SO°~ZDOF=9Q°,

,.,。/為。。的半徑，

...3C為O。的切線；

(2)解：如解圖，連接DREF,

???四邊形ADRE是O。的內(nèi)接四邊形，

AZADF+ZAEF=180°,

又,.?NCEF+NAER=180°,

ZADF=ZCEF,

'JDE//BC,二ZDEF=ZEFC,

"：ZDAF=ZDEF,

第15頁共19頁

ZDAF=ZEFC,

DAF^AEFC,EFEC

：.EFDF=DAEC=8,

VZDAF=ZCAF=45°,

：.EF=DF,：.EF2=8,

：.EF=2yf2,

'：OE=OF,

：

.0E=—2EF=2,

Oo的半徑為2.

3.(1)證明：如解圖，連接0C,

是半圓A3的中點(diǎn)，

AZAOC=ZBOC=9Q°,

：.ZOCE-\-ZOEC=90°.

'：ZOEC=ZDEF,

：.ZDEF+Z0CD=9Q°.

?；EF=DF,

：.ZDEF=ZEDF,

：.ZEDF+ZOCD=90°.

'：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC,

：.ZEDF-\-ZODC=90°,

即NODR=90°,

：.OD±DF,

為。。的半徑，

.,.DR是O。的切線；

(2)解：VZBCD=ZA,tanZBCD=|,

第16頁共19頁

1

tanA=tan/BCD=-,

2

,.'AB是O。的直徑，

/.ZADB=90°,

.?.t,anA4=——BD=-1,

AD2

'：ZODF=ZADB=9Q°,

ZODA=ZBDF,

又

ZA=ZODA,

：.ZBDF=ZA,

'：ZF=ZF,

:FBDs^FDA,

.FB_DF_BD_1

''FDAFDA2'

'：DF=3,

3

：.FB=-AF=6,

29

39

：.AB=AF-BF=6--=-

229

二?oo的半徑為?x4=2.

224