2025年中考數(shù)學復習：一線三等角模型 （三垂直模型）

一線三等角模型(三垂直模型)

1如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點A在x軸的正半軸上，乙40B=NB=3(T,OA=2.將△AOB

繞點O逆時針旋轉90。,，點B的對應點B，的坐標是()

4(一百，3)B.(-3-V3)C.(-V3-2+V3)D.(-l-2+V3)

2在平面直角坐標系xOy中矩形OABC的頂點A在函數(shù)y=)力。)的圖象上，頂點C在函數(shù)y=-^(x<0

)的圖象上，若頂點B的橫坐標為-5則點A的坐標為()

3如圖，點A,B,C在同一條直線上，點B在點A,C之間，點D,E在直線AC同側，AB<BC,ZA=ZC=9

0°,AEAB^ABCD,連接DE.設AB=a,BC=b,DE=c,給出下面三個結論：①a+b<c;(@a+b>Va2+b2-,③

V2(a+6)>c.

上述結論中，所有正確結論的序號是()

C.②③D.①②③

4如圖在平面直角坐標系中,A(2,0),B(0,l),AC由AB繞點A順時針旋學習筆記:轉90。而得，則AC所在直

線的解析式是.

5如圖，正方形ABCD和IRtAAEF.AB=5,4E=4F=4?連接BF,DE,若△繞點A旋轉，當^ABF

最大時，SAADE==_.

6如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4低D為邊AB上一動點（B點除外）,以CD為一邊作正方形CD

EF,連接BE,則4BDE面積的最大值為.

7如圖,已知點A（4,3）,點B為直線y=-2上的一動1l點，點C（0,n）,-2<n<3,TlCElBC于點C,連接AB.右

直線AB與x軸正半軸所夾的銳角為a,那么當sina的值最大時，n的值為.

8如圖，在R3ABC中,CA=CB,M是AB的中點點D在BM上,.4E回回CD,垂足分別為E,F,連接EM.則

下列結論中:①BF=CE;②/AEM=NDEM;③AE-CE=V2ME;④DE2+DR=2DM2;⑤若AE平分/BAC,貝！1EF:BF=

V2:1;⑥CF.DM=BMQE,正確的有.（只填序號）

9如圖，正方形ABCD的對角線AC上有一點E,且（CE=44E,點F在DC的延長線上，連接EF,過點E作

EGLEF,交CB的延長線于點G,連接GF并延長，交AC的延長線于點P.若AB=5,CF=2,則線段EP的長是____

D

10如圖，點A是雙曲線y=：上的一個動點，連接AO并延長交雙曲線于點B,將線段AB繞點B逆時針旋

轉60。得到線段BC,若點C在雙曲線y=40,久＜0)上運動，則k=.

11如圖所示，△ABC為等邊三角形，點A的坐標為(0,4),點B在x軸上，點C在反比例函數(shù)y=竽的圖

象上，則點B的坐標為

12已知點A是雙曲線y=:在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B,以AB為一邊作等邊

三角形ABC,點C在第四象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這

個函數(shù)的解析式為.

13問題1:如圖①，在四邊形ABCD中，NB=NC=90。,，P是BC上一點，PA=PD,乙4PD=90。.求證：AB+

CD=BC.

問題2:如圖②，在四邊形ABCD中，NB="=45°,P是BC上一點，PA=PD,AAPD=90。,求空沖的值.

DD

A

圖2

14如圖，RtAAOB中，。為坐標原點，AAOB=90。,NB=30。,如果點A在反比例函數(shù)y=《(久》0)的圖象上

運動，那么點B在函數(shù).(填函數(shù)解析式)的圖象上運動.

15如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-為+b分別與x軸、y軸交于點A、B,且點A的坐標為(4,0),

四邊形ABCD是正方形.

(1)填空：b=_;

(2)求點D的坐標；

(3)點M是線段AB上的一個動點(點A、B除外),試探索在x軸上方是否存在另一個點N，使得以0、B、M、

N為頂點的四邊形是菱形?若不存在，請說明理由；若存在，請求出點N的坐標.

17以RM28C的兩邊AB、AC為邊，向外作正方形ABDE和正方形ACFG,連接EG,過點A作AMLBC于

M,延長MA交EG于點N.

(1)如圖①，若ABAC=90°,AB=4C,求證:EN=GN;

(2)如圖②，NB4C=90。;如圖③，乙BAC豐90。，⑴中結論，是否成立，若成立，選擇一個圖形進行證明；若

不成立，寫出你的結論，并說明理由.

18(1)如圖1,已知：在A4BC中,ABAC=90。,4用=4C,直線1經過點A,BD1,CE團1,CE團1,垂足分別為點

D、E.證明：?ZCAE=ZABD;②DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在4ABC中，AB=AC,D、A、E三點都在1上，并且有乙BDA=^AEC=/.BAC

=a,,其中a為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)如圖3,過△ABC的邊AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC邊上的高，延長HA交E

G于點I,求證：I是EG的中點.

19如圖，在正方形ABCD中，AB=6,M是對角線BD上的一個動點(0<DM<喬。),連接AM,過點M作

MN±AM交BC于點N.

⑴如圖①，求證：MA=MN;

(2)如圖②，連接AN,0為AN的中點，M0的延長線交邊AB于點P,當?出空=葛時，求AN和PM的長;

'△BCD

⑶如圖③，過點N作NHLBD于H,當AM=2有時，求4HMN的面積.

20【感知】如圖①，在四邊形ABCD中，ZC=ZD=90。點E在邊CD上，AAEB=90。，求證：=第

EBCB

【探究】如圖②在四邊形ABCD中，NC=乙4DC=90°?點E在邊CD上，點F在邊AD的延長線上，乙FEG

=4AEB=90。,且—=空連接BG交CD于點H.求證：BH=GH.

EGEB

【拓展】如圖③，點E在四邊形ABCD內，AAEB+乙DEC=180。,且黑=暮，過E作EF交AD于點F,若/

EBEC

EFA=ZAEB,延長FE交BC于點G,求證：BG=CG.

21如圖△4BC為等邊三角形，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE,延長AB分別交CE、DE的延長線于

點F,N,CHLAF于點H,EMLAF于點M,連接AE.

⑴判斷ACHB和ABME是否全等.并說明理由;

（2）求證：AE2=AC-AF-,

⑶若力B=若點P是直線AF上的動點，直接寫出4CEP周長的最小值.

1解：如圖，過點B，作B，D，x軸于D.過點B作BELx軸于E點.先證△BDO0AOEB

；.BD=OE,DO=EB,VZAOB=ZB=30°,OA=2.\AB=OA=2,ZOBE=60°,ZABE=30°

AE=1,BE=V3,.-.OEOA+AE=3,B'D=OE=3,DO=EB=陋：.3）,故選：A.

155.解：如圖，作AD_Lx軸于點D,CELx軸于點E,

:四邊形OABC是矩形，，ZAOC=90°,

/.ZAOD+ZCOE=90°,VZAOD+ZOAD=90°,

ZCOE=ZOAD,VZCEO=ZODA,

ACOE^AOAD,

??S”。。―'AD-OD~OAr

111

S^COE=-x|-4|=2,S〉AOD=3X1=3,

,,1lo//**OA>

2

.?.黑=需=*=2,OE=2AD,CE=2。。,設A（m，￡）（㈤0）,；.C（-、,2m）,OE=0-（一frac2m）=*

:點B的橫坐標為—：,AB間的水平寬度=EO間的水平寬度；.=:整理得2機2+7爪-4=0,=

2\2/m

j,m2=-4（不符合題意，舍去），經檢驗，m=:是方程的解，:A62）,故選：A.

2.解：①過點D作DF〃AC,交AE于點F;過點B作BGLFD,交FD于點G.

VDF/7AC,ACXAE,/.DF±AE.

又；BGJ_FD,；.BG〃AE,

.??四邊形ABGF為矩形.

同理可得，四邊形BCDG也為矩形.

/.FD=FG+GD=a+b.

.?.在RSEFD中，斜邊DE>直角邊FD.即c>a+b.故①正確.

②?.?△EABHBCD,；.AE=BC=b,

...在RtAEAB中，BE=VXB2+AE2=<a2+b2.

AB+AE>BE,a+b>Ma2+b2.故②正確.

?VAEAB^ABCD,ZAEB=ZCBD,XVZAEB+ZABE=90°,

AZCBD+ZABE=90°,ZEBD=90°.

VBE=BD,ZBED=ZBDE=45°,

??.△EDB是等腰直角三角形

BE=Va2+b2.c=42BE=V2Va2+b2.

a+b>Va2+b2,V2(a+b)>V2Vci2+b2

■-V2(a+b)>c.故③正確.故選：D.

3.解：：A(2,0),B(0,1),'.OA=2,OB=1

過點C作CDLx軸于點D,則易知△ACD絲△BAO(AAS),；.AD=OB=1,CD=OA=2；.C(3,2)設直線AC的解

析式為y=kx+b,將點A,點C坐標代入，得方程組,并解得：k=2,b=-4,.?.直線AC的解析式為y=2x-4.故答

案為：y=2x-4.

4.解：如圖，過點D作DGLAE于G,

AF=4,^AAEF繞點A旋轉時點F在以A為圓心,4為半徑的圓上，；.當BF為此圓的切線時，/ABF最大

即BF_LAF,在R3ABF中，BF=V52-42=3,VZEAF=90°,AZBAF+ZBAG=90°,

VZDAG+ZBAG=90°,.\ZDAG=ZBAF,i^AADGABF中：先證△ADG絲△ABF(AAS),；.DG=BF=3,；.

SMDE=XDW=iX3X4=6.故答案為6.

5.解過點C作CG_LBA于點G,作EH_LAB于點H,作AM_LBC于點M.：AB=AC=5,BC=4V5

；.BM=CM=2V5,.".△AMB^ACGB,

BMAB□[-]2V55rJ-.c

???—=—,即一=—EGB=8,

GBCBGB4V5

設BD=x,貝！]DG=8-x,

VED=DC,ZEHD=ZDGC,NHED=NGDC,

AAEDH^ADCG(AAS),EH=DG=8-x,

???SWE=3xBD義EH=|%(8-x)=-|(x-4)2+8,當x=4時，△BDE面積的最大值為8.故答案為8.

6.解：過點A作AMJ_y軸于點M,作AN±BN交于點N,:直線y=-2與x軸平行，，ZABN=a,

當sina的值最大時,則tana=黑=白值最大，故BN最小，即BG最大時，tana最大，即當BG最大時，則s

ina的值最大，設86=丫廁AM=4,GC=n+2,CM=3-n,

VZACM+ZMAC=90°,ZACM+ZBCG=90°,

???ZCAM=ZBCG,tanZCAM=tanZBCG,

??費譚即―=急，--2-3)

2

(n+2)=-l(n-|)+||,v-i<0,

:?當踐=泄，y取得最大值，故n=點故答案為：!

7.解：VZACB=90°,.,.ZBCF+ZACE=90°,VZBCF+ZCBF=90°，，/ACE=/CBF,又：/BFD=90。=

ZAEC,AC=BC,

/.ABCF^ACAE(AAS),.\BF=CE,故①正確;由全等可得：AE=CF,BF=CE,AE-CE=CF-CE=EF.連接F

M,CM,；點M是AB中點

CM=|XF=BM=AM,CM1AB,^ABDF^ACDM中，ZBFD=ZCMD,ZBDF=ZCDM,NDBF=ND

CM,又BM=CM,BF=CE,/.ABFM^ACEM(SAS),

；.FM=EM,ZBMF=ZCME,VZBMC=90°,

/.ZEMF=90°,即4EMF為等腰直角三角形，

EF=近EM=AE-CE,,故③正確，

ZAEC=90°,ZDEM=ZAEM=45°,故②正確

如圖，連接CM,設AE與CM交于點N,連接DN,；/DMF=NNME,FM=EM,NDFM=/DEM=NAEM=45。，

.'.△DFM^ANEM(ASA),

.*.DF=EN,DM=MN,.?.△DMN為等腰直角三角形，DN=/DM,而/DEA=90。，

DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正確;

VAC=BC,ZACB=90°,AZCAB=45°,

：AE平分NBAC,，NDAE=/CAE=22.5°,ZADE=67.5°,VZDEM=45°,ZEMD=67.5°,即DE=EM,

:AE=AE,ZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,

.,.△ADE^AACE(ASA)，,DE=CE,

AMEF為等腰直角三角形，；.EF=五EM,

VZCDM=ZADE,ZCMD=ZAED=90°,

-nn/ACLCDCMDM

CDM?△ADE,?.?一=—=—,

ADAEDE

???BM=CM,AE=CF,..?—=—,

CFDE

CF-DM=BM-DE,故⑥正確;

故答案為：①②③④⑤⑥.

8.解如圖，作FH_LPE于H.

'?,四邊形ABCD是正方形，AB=5,

AC=5V2,/-ACD=Z.FCH=45°,

VZFHC=90°,CF=2,；.CH=HF=V2

22

???CE=44E,EC=442,AE=VXEH=5V2,RtAEFH中，EF2=EH2+FH2=(5&)+(V2)=52,VZ

GEF=ZGCF=90°,GE,G,F,C四點共圓,

/.ZEFG=ZECG=45°,AZECF=ZEFP=135°,

VZCEF=ZFEP,.?.△CEF^AFEP,

EFEC2T?rcn

???一=—,1E7rl*=EC?EP,

EPEF

52=4V2xEP.EP=等，故答案為竽

10.解：連接OC、AC,設A(a,b),：點A是雙曲線y=j±..-.ab=5,VAB=BC,ZAOB=60°

.?.△ABC為等邊三角形，?.,點A與點B關于原點對稱，.?.OA=OB,??.ABLOC,過點C作CD，x軸于點

D,AE_Lx軸于點E,：/COD+/AOE=/OCD+/COD=90°,ZAOE=ZOCD,AAAOE^AOCD,

OD*=雷=信,?°°=聞E=圖,

AE

CD=V3OF=Ba,設點C的坐標為(x,y),

CD-OD=—x-y=V3a-y[3b=3ab=15,

:.k=xy=-3ab=-15.古故答案為-15.

11.解：如圖，作CDXABTD,CGLx軸于G,過D點作EF〃OB,交y軸于E,交CG于F,

：AABC是等邊三角形，CDJ_BC,；.BD=AD,設點C的坐標為(%，竽)，點B的坐標為(a,0),

VA(0,4),；.AB的中點D的坐標為g-2);VCD±AB.AZADE+ZCDF=90°,VZADE+ZDAE=90°,A

x_a15V32

ZDAE=ZCDF,VZAED=ZCFD=90°,AAAED^ADFC,=*,艮?=不二=?整理，可得x-|ct

2

2

=2百①,2遍+|a=§②由①②整理得，|ct+4V3ct-33=0,解得ar=2V3,a2=一等(舍去)，B

(2V3<0).

故答案為(2V3,0).

12.解：過點B作BD±x軸于點D,過點C作CE±x軸于點E，由一線三等角模型，可以得到△BOE-AOCD,

￡￡=則SABOE3

則相似比，AJ3S^BOE

ocV3S&OCD2’

?*.k=-9,y=一沁)0).

13證明：(1)VZB=ZAPD=90°,

/.ZBAP+ZAPB=90°,ZAPB+ZDPC=90°,

/.ZBAP=ZDPC,又PA=PD,ZB=ZC=90°,

/.ABAP^ACPD(AAS),；.BP=CD,AB=PC,

；.BC=BP+PC=AB+CD;

⑵如圖2,過點A作AE±BC于E,過點D作DF±BC于F,由⑴可知，EF=AE+DF,

ZB=ZC=45°,AE±BC,DF±BC,/B=NBAE=45。，ZC=ZCDF=45°,

???BE=AE,CF=DF,AB=匝AE,CD=V2OF,

；.BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),

.AB+CD_V2(_AE+DF)_>J2

"BC-2Q4E+Z)尸)-2'

D

14.解:分別過A、B作AC，y軸于C,BD，y軸于D.設A(a,b)?點A在反比例函數(shù)y=其比)0)的圖象上,

.?.ab=l,在AOAC與ABOD中，ZAOC=90°-ZBOD=ZOBD,ZOCA=ZBDO=90°,

AAOAC^ABOD,AOC:BD=AC:OD=OA:OB,在RSAOB中，ZAOB=90°,ZB=30°,

OA-.OB=1：V3,.-.b:BD=a:OD=1：V3BD=y/3b,OD=y/3a,■.BD-OD=3ab=3,又：點B在第四象

限，，點B在函數(shù)y=-2>0)的圖象上運動.故答案為：y=-|(x)0).

15解⑴把(4,0)代入y=一3+仇得：-3+b=0,解得：b=3,故答案是：3;

⑵如圖1,過點D作DE，x軸于點E,：正方形ABCD中，ZBAD=90°,/.ZDAE+ZOAB=90°,又；直角△

OAB中，ZOAB+ZABO=90°,

ZDAE=ZABO,

SAOAB和△EDA中，易證△OABgZkEDA(AAS)，,AE=OB=3,DE=OA=4,

；.OE=4+3=7,.,.點D的坐標為(7,4);

(3)存在.①如圖1,當OM=MB=BN=NM時，四邊形OMBN為菱形.則MN在OB的中垂線上，則M的縱坐標

是|,把y=|代入y=-江+3中狷x=2,即M的坐標是(2,|)廁點N的坐標為(-2,|②如圖3,當OB=BN=NM=

MO=3時,四邊形BOMN為菱形.?rONLBM,，ON的解析式是y=卜

__3^+3X=—

根據(jù)題意聯(lián)立得：｛,—，解得：｛久二意則ON與BM的交點坐標是(||，^，則點N的坐標為

綜上所述，滿足條件的點N的坐標為(-2，|)或(If嚼).

16.解：(1)證明:：/BAC=90°,AB=AC,AZACB=45°,AM±BC,/.ZMAC=45°,AZEAN=ZMAC=45°

,同理/NAG=45°,；.NEAN=NNAG,；四邊形ABDE和四邊形ACFG為正方形，；.AE=AB=AC=AG,；.EN=G

N.

(2)如圖2,NBAC=90。時,(1)中結論成立.

理曲過點E作EPLAN交AN的延長線于P過點G作GQLAM于Q,；四邊形ABDE是正方形，.,.AB=A

E,ZBAE=90°,.,.ZEAP+ZBAM=180°-90°=90°,VAM±BC,AZABM+ZBAM=90°,ZABM=ZEAP,

LABM=^EAP

在^ABM和仆EAP中，｛Z.AMB=zP

AB=AE

：.AABM^AEAP(AAS),；.EP=AM,

同理可得：GQ=AM,；.EP=GQ,

乙P=NNQG

在小EPN和4GQN中，｛NENP=乙GNQ

EP=GQ

：.AEPN^AGQN(AAS),.\EN=NG.

如圖2,/BAC力90。時，⑴中結論成立.理由：

過點E作EPLAN交AN的延長線于P.過點G作GQLAM于Q,：四邊形ABDE是正方形，

；.AB=AE,ZBAE=90°,AZEAP+ZBAM=180°-90°=90°,VAM±BC,AZABM+ZBAM=90°,.\ZAB

M=NEAP,

^ABM=/.EAP

在小ABM和4EAP中，｛AAMB=NP,

AB=AE

：.AABM^AEAP(AAS),；.EP=AM,同理可得：GQ).=AM,.\EP=GQ,

乙P=NNQG

在△EPN和△GQN中，｛NENP=NGNQ.,.△EPN0AGC^N(AAS),.\EN=NG.

EP=GQ

17(1)證明：①：BD_L直線1,CE±1,ZBDA=ZCEA=90°,VZBAC=90°,ZBAD+ZCAE=90°,

VZBAD+ZABD=90°,ZCAE=ZABD;

②在△ADB和△CEA中，｛空用ADB注△CEA(AAS),/.AE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+

CE;

(2)解：成立：DE=BD+CE.證明如下:,.,NBDA=NBAC=a,「.NDBA+NBAD=NBAD+NCAE=180。-a,AZ

DBA=ZCAE,iSAADB和△CEA中,CEA(AAS),AAE=BD,AD=CE,DE=AE+AD=BD+CE;

BHC

圖3

(3)解：如圖3,過E作EMLHI于M,GNLHI的延長線于N,工NEMI=GNI=90。，由⑴和⑵的結論可知E

M=AH=GN,AEM=GN,

(G1H=乙EIM

*

在^EMI和^GNI中，｛EM=GN/..AEMI^AGNI(AAS),JEI=GI,二.I是EG的中點

乙GHI=乙EMI

18(1)證明：過點M作MFXAB于F,作MG_LBC于G,如圖①所示：,NAFM=NMFB=NBGM=NNGM=

90。，???四邊形ABCD是正方形，

AZABC=ZDAB=90°,AD二AB,ZABD=ZDBC=45°,VMF±AB,MG±BC,.\MF=MG,

???NABC=90。，???四邊形FBGM是正方形，

ZFMG=90°,：.ZFMN+ZNMG=90°,

VMN±AM,ZAMF+ZFMN=90°,

???ZAMF=ZNMG,

^AFM=乙NGM

在^AMF和^NMG中，｛MF=MG,

Z.AMF=乙NMG

.,.△AMF^ANMG(ASA),AMA=MN;

ADAD

圖1

(2)解：在R3AMN中,由(1)知：MA=MN,.\ZMAN=45°,VZDBC=45°,AZMAN=ZDBC,/.RtAAM

N^RtABCD,ASAANV=(4NB)2,在RtAABD中，AB=AD=6,ABD=6V2.??==解得：AN=2^13,

?(6V2)18

.?.在RtAABN中，勾股定理得BN=4,

;在RtAAMN中，MA=MN,O是AN的中點,

{/嗎=f???△ADB=A.-.OM=OA=ON-AN=V13,OM1AN

VZ.BDA=Z.CEA2

VZPAO=ZNAB,.".△PAO^ANAB,

...”=生即?"=退解得?op=空亙

BNAB'46'用牛守1.3'

??.PM=OM+OP=g+^=^

(3)解：過點A作AFLBD于F,如圖③所示:

ZAFM=90°,AZFAM+ZAMF=90°,VMN±AM,

JZAMN=90°,AZAMF+ZHMN=90°,

???ZFAM=ZHMN,

/.FAM=乙HMN

VNH±BD,???ZAFM=ZMHN=90°，在△AFM和^MHN中，{NA尸M=乙MHN,

AM=MN

AAFM^AMHN(AAS),??.AF=MH,在等腰直角^ABD中，?.?AF_LBD,

AF=-BD=-x6A/2=3企，

22

MH=3V2,-??AM=2V5,MN=2V5,

HN=y/MN2-MH2=V2,

SAHMN=|MW--Ix3V2xV2=3,

AHMN的面積為3.

19.【感知】證明：?.,ZC=ZD=ZAEB=90°,.\ZBEC+ZAED=ZAED+ZEAD=90°,ZBEC=ZEAD,.'.Rt

△AEDsRtAEBC,；.AEEB=DEB.

【探究】證明：如圖2,過點G作GMLCD于