高中數(shù)學(xué)北師版第三章《模擬方法-概率的應(yīng)用》導(dǎo)學(xué)案

§3模擬方法——概率的應(yīng)用1．了解模擬方法估計概率的實際應(yīng)用，初步體會幾何概型的意義．2．初步學(xué)會求一些簡單的幾何概型中事件的概率．3．能夠運(yùn)用模擬方法估計概率．幾何概型(1)定義：向平面上有限區(qū)域(集合)G內(nèi)隨機(jī)地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成______，而與G的形狀、位置無關(guān)，即P(點M落在G1)＝____________，則稱這種模型為幾何概型．(2)說明：幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是________之比或________之比．幾何概型的兩個特點．一是無限性，即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是等可能性，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的．【做一做1】判斷下列試驗中事件發(fā)生的概率模型是古典概型還是幾何概型．(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率；(2)如圖所示，圖中有一個轉(zhuǎn)盤，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率．【做一做2】在兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛上一盞燈，則燈與木桿兩端的距離都大于2m的概率是()．A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,4)如何判斷一個概率模型屬于古典概型還是屬于幾何概型？剖析：幾何概型的特征：一是無限性，試驗中所有出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限個，即有無限個不同的基本事件；二是等可能性，每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的．而古典概型的特征是：一是有限性，指在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，即只有有限個不同的基本事件；二是等可能性，指每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性(概率)是均等的．因此判斷一個概率模型屬于古典概型還是屬于幾何概型的步驟是：①確定一次試驗中每個結(jié)果(基本事件)出現(xiàn)的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不屬于古典概型又不屬于幾何概型；②如果試驗中每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等時，再判斷試驗結(jié)果的有限性，當(dāng)試驗結(jié)果有有限個時，這個概率模型屬于古典概型；當(dāng)試驗結(jié)果有無限個時，這個概率模型屬于幾何概型．題型一與長度有關(guān)的幾何概型【例題1】公共汽車在0～5min內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)車站．求汽車在1～3min之間到達(dá)的概率．反思：(1)求與長度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長度，然后求解，應(yīng)特別注意準(zhǔn)確表示所確定的線段的長度．(2)如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的長度,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成區(qū)域的長度).題型二與面積有關(guān)的幾何概型【例題2】假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間是7：00～8：00，問你父親在離開家前能拿到報紙(稱為事件A)的概率是多少？分析：利用直角坐標(biāo)系將題目中的條件轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積，然后利用幾何概型求解．反思：解決本題的關(guān)鍵是將已知的兩個條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，從而轉(zhuǎn)化為平面圖形中的面積型幾何概型問題．如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積，這種概率模型稱為面積型的幾何概型，則可按下列公式來計算其概率：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的面積,全部試驗結(jié)果構(gòu)成的面積).題型三與體積有關(guān)的幾何概型【例題3】有一杯2升的水，其中含有一個細(xì)菌，用一個小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個細(xì)菌的概率．分析：這個細(xì)菌所在的位置有無限個，屬于幾何概型．反思：如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為幾何體的體積，這種概率模型稱為體積型的幾何概型，則可按下列公式來計算其概率：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域體積,全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積).題型四與角度有關(guān)的幾何概型【例題4】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在60°角的終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率．分析：以O(shè)為起點作射線OA是隨機(jī)的，因而射線OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT內(nèi)的概率只與∠xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件．反思：解答此題的關(guān)鍵是弄清過O作射線OA可以在平面內(nèi)任意的位置上，而且是均勻的，因而基本事件的發(fā)生是等可能的．題型五易錯辨析【例題5】在等腰直角△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM＜AC的概率．錯解：設(shè)“AM＜AC”為事件A.如圖，在AB邊上取AC′＝AC.在∠ACB內(nèi)任作射線CM，可以看作在線段AB上任取一點M，以C為端點過M作射線．故P(A)＝eq\f(AC′,AB)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(\r(2),2).錯因分析：雖然在線段上任取一點是等可能的，但以C為端點過任取的點所作的射線是不均勻的(反之，在角內(nèi)作的射線是均勻的，但射線與邊AB的交點是不均勻的)，因而不能把等可能取點看作等可能作射線．因此在確定基本事件時，一定要注意選擇好觀察角度，注意判斷基本事件發(fā)生的等可能性．本題的幾何度量應(yīng)為角度，而不是長度．1向如圖所示的方磚上隨機(jī)投擲一粒豆子，則該豆子落在陰影部分的概率是()．A．B．C．D．2在數(shù)軸上的區(qū)間[0,3]上任取一點，則此點坐標(biāo)大于1的概率為()．A．B．C．D．3在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積不小于的概率是()．A．B．C．D．4如圖所示，轉(zhuǎn)盤上有8個面積相等的扇形，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，則轉(zhuǎn)盤停止時指針落在陰影部分的概率是__________．5如圖，射箭比賽的箭靶上涂有5個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會的比賽中靶面直徑是122cm，靶心直徑是12.2cm，運(yùn)動員在70米外射箭．假設(shè)運(yùn)動員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點是等可能的，那么射中“黃心”的概率是多少？答案：基礎(chǔ)知識·梳理(1)正比eq\f(G1的面積,G的面積)(2)體積長度【做一做1】解：(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6＝36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型．(2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型．【做一做2】A把繩子三等分，當(dāng)燈掛在中間一段繩子上時，燈與木桿兩端的距離都大于2m，故所求概率為eq\f(1,3).典型例題·領(lǐng)悟【例題1】解：將0～5min這段時間看作是一段長度為5個單位長度的線段，則1～3min是這一線段中的2個單位長度．設(shè)“汽車在1～3min之間到達(dá)”為事件A，則P(A)＝eq\f(2,5)＝0.4.【例題2】解：如圖，送報人到達(dá)的時間是6：30～7：30的任一時刻，父親離開家去工作的時間是7：00～8：00的任一時刻，如果在直角坐標(biāo)系內(nèi)以x軸表示報紙送到的時間，y軸表示父親離開家的時間，因為報紙送到的時間和父親離開家的時間都是隨機(jī)的，所以隨機(jī)試驗的所有結(jié)果(x，y)是圖中所示正方形中等可能的任意一點．事件A(父親離開家前能拿到報紙)發(fā)生需x≤y，即正方形內(nèi)陰影部分，事件A發(fā)生的概率只與陰影部分的面積大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件．μA＝12－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,8)，μΩ＝1，所以P(A)＝eq\f(μA,μΩ)＝eq\f(7,8).【例題3】解：把判斷這個細(xì)菌所在的位置看成一次試驗，設(shè)所取的0.1升水中含有這個細(xì)菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是0.1升，全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是2升，所以P(A)＝eq\f(0.1,2)＝0.05.【例題4】解：記B表示“射線OA落在∠xOT內(nèi)”，∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝eq\f(60,360)＝eq\f(1,6).【例題5】正解：設(shè)“AM＜AC”為事件A.如錯解中的圖，在AB邊上取AC′＝AC.以C為端點作射線CM是隨機(jī)的，因而射線CM落在∠ACB內(nèi)任何位置都是等可能的，落在∠ACC′內(nèi)的概率只與∠ACB和∠ACC′的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件．試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是90°的角∠ACB，構(gòu)成事件A的區(qū)域是∠ACC′，∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°，所以P(A)＝eq\f(67.5,90)＝0.75.隨堂練習(xí)·鞏固1．C2.B3．C如圖，在AB邊上取點P′，使eq\f(AP′,AB)＝eq\f(3,4)，則點P應(yīng)在線段AP′上運(yùn)動，則所求概率為eq\f(AP′,AB)＝eq\f(3,4