高中數(shù)學(xué)北師版第一章8《最小二乘估計(jì)》導(dǎo)學(xué)案

§8最小二乘估計(jì)1．了解最小二乘法的思想．2．能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．最小二乘法求線性回歸直線方程y＝bx＋a時(shí)，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的__________最小的方法叫做最小二乘法．其中a，b的值由以下公式給出：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝，,a＝.))a，b是線性回歸方程的系數(shù)．線性回歸分析涉及大量的計(jì)算，形成操作上的一個(gè)難點(diǎn)，可以利用計(jì)算機(jī)非常方便地作散點(diǎn)圖、回歸直線，并能求出回歸直線方程．因此在學(xué)習(xí)過程中，要重視信息技術(shù)的應(yīng)用．【做一做】已知某工廠在某年里每月生產(chǎn)產(chǎn)品的總成本y(萬元)與該月產(chǎn)量x(萬件)之間的回歸直線方程為y＝0.974＋1.215x，計(jì)算x＝2時(shí)，總成本y的估計(jì)值為______．什么是最小二乘法？剖析：結(jié)合最小二乘法的發(fā)展過程和在實(shí)際生活中的應(yīng)用來了解最小二乘法．最小二乘法的思想是通過最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，是用最簡單的方法求得一些絕對(duì)不可知的真值，而令誤差平方之和為最小，是處理各種觀測數(shù)據(jù)，測量方差的一種基本方法，是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)．在統(tǒng)計(jì)中，主要是利用最小二乘法求線性回歸方程，這是最小二乘法思想的應(yīng)用．最小二乘法不僅是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一種常用的方法，在工業(yè)技術(shù)和其他科學(xué)研究中也有廣泛應(yīng)用，比如洪水實(shí)時(shí)預(yù)報(bào)等等．題型一閱讀理解題【例題1】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料知，y與x線性相關(guān)．(1)求回歸直線方程y＝bx＋a中a與b的值；(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？分析：先求出回歸直線方程，若回歸直線方程為y＝bx＋a，則在x＝x0處的估計(jì)值為y0＝bx0＋a.反思：知道x與y線性相關(guān)，就無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，若兩個(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的線性相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸直線方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測的量也是不可信的．題型二信息提煉題【例題2】某產(chǎn)品的原料中兩種有效成分A和B的含量如下表所示：12345678910A(%)24152319161120161713B(%)67547264392258434634用x(%)表示A的含量，y(%)表示B的含量．(1)作出散點(diǎn)圖；(2)y與x是否線性相關(guān)？若線性相關(guān)，求出回歸直線方程(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后4位小數(shù))．分析：作出散點(diǎn)圖，可判斷y與x是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，可用計(jì)算器求a，b的值．反思：求回歸直線方程，通常是用計(jì)算器來完成的．在有的科學(xué)計(jì)算器中，可通過直接按鍵得出回歸直線方程中的a，b.如果用一般的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，則要先列出相應(yīng)的表格，有了表格中的相關(guān)數(shù)據(jù)，回歸直線方程中的a，b就容易求出來了．題型三線性回歸分析的應(yīng)用【例題3】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)：x3456y2.5344.5(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a；(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)分析：(1)以產(chǎn)量為橫坐標(biāo)，以生產(chǎn)能耗對(duì)應(yīng)的測量值為縱坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫散點(diǎn)圖；(2)應(yīng)用計(jì)算公式求得線性相關(guān)系數(shù)b，a的值；(3)實(shí)際上就是求當(dāng)x＝100時(shí)，對(duì)應(yīng)的y的值．反思：求線性回歸直線方程的步驟如下：①列表表示xi，yi，xiyi；②計(jì)算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi；③代入公式計(jì)算b，a的值；④寫出線性回歸方程．可以利用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測變量的值．1某商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，則其回歸方程可能是()．A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－2002下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的回歸直線必過點(diǎn)()．x0123y1357A．(2,2)B．(1.5,2)C．(1,2)D．(1.5,4)3對(duì)有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸直線方程y＝a＋bx中，回歸系數(shù)b()．A．小于0B．大于0C．等于0D．以上都有可能4給出下列說法：①回歸方程適用于一切樣本和總體；②回歸方程一般都有局限性；③樣本取值的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；④回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的精確值．其中正確的是________(將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)．5某個(gè)服裝店經(jīng)營某種服裝，在某周內(nèi)獲純利潤y(元)與該周每天銷售這種服裝件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)關(guān)系見下表：x3456789y66697381899091已知：，，(1)求，；(2)畫出散點(diǎn)圖；(3)求純利潤y與每天銷售件數(shù)x之間的回歸直線方程．答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理距離的平方和eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)【做一做】3.404由回歸直線方程y＝0.974＋1.215x得，當(dāng)x＝2時(shí)，總成本y的估計(jì)值為y＝0.974＋1.215×2＝3.404.典型例題·領(lǐng)悟【例題1】解：(1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xi2＝90，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3其中，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.所以a＝0.08，b＝1.23.(2)回歸直線方程為y＝1.23x＋0.08.當(dāng)x＝10時(shí)，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，即使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用約為12.38萬元．【例題2】解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)圖中各點(diǎn)大致都分布在一條直線附近，所以y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系．經(jīng)計(jì)算可得eq\x\to(x)＝17.4，eq\x\to(y)＝49.9，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝3182，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝9228，故b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(9228－10×17.4×49.9,3182－10×17.42)≈3.53238≈3.5324，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈49.9－3.53238×17.4≈－11.5634，所以所求回歸直線方程為y＝3.5324x－11.5634.【例題3】解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)由題意，得eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86，∴b＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝eq\f(66.5－63,86－81)＝0.7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35.(3)根據(jù)回歸方程可預(yù)測，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.7×100＋0.35＝70.35(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)，故預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前減少了90－70.35＝19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)．隨堂練習(xí)·鞏固1．A∵商品銷售量y(件)與銷售價(jià)格x(元/件)負(fù)相關(guān)，∴b＜0，排除選項(xiàng)B，D.又∵x＝0時(shí)，y＞0，∴答案為A.2．D回歸直線方程必過中心點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即(1.5,4)，故選D.3．D4．②③樣本或總體具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，才可求回歸方程，而且由回歸方程得到的函數(shù)值是近似值，而非精確值，因此回歸方程有一定的局限性．所以①④錯(cuò)．5．解：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6(件)，eq\x\to(y)＝eq\f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq\f(559,7)≈79.86(元)．(2)散點(diǎn)圖如下：(3)由散點(diǎn)圖知，y與x有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)回歸直線方程為y＝bx＋a.由eq\o(∑,\s\up6(7),\s\d