2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《線段問題（旋轉(zhuǎn)綜合題）》專項(xiàng)檢測(cè)卷（附答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《線段問題(旋轉(zhuǎn)綜合題)》專項(xiàng)檢測(cè)卷附答

案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,根據(jù)題意完成下列問題：

⑴如圖①，點(diǎn)。為VA5C內(nèi)的點(diǎn)，連接8,AD,BD,將。繞著點(diǎn)C按

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后得CE.連接桃，BE,若AC=2,CD=1,AD=^,

求證：CD//BE.

(2)如圖②，若點(diǎn)E是VABC中斜邊AB上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、3重合),

試求BE?、AE\GE?的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

2.在VA5c中，ZABC=a,以點(diǎn)B為中心，將VABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到

VABG；再以點(diǎn)A為中心,將VABG順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,得到VAMG；連結(jié)AB,,

⑴如圖1,若AB=2,a=90°,求的的長(zhǎng)；

(2)如圖2,60°<?<90°,探究的與型的位置關(guān)系，并說明理由.

3.在RCABC中，々=90。,"=磯0。＜。＜45。），點(diǎn)。是線段8C上的動(dòng)點(diǎn)

（不與點(diǎn)5。重合），將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段%.

⑵在線段BC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)尸，滿足中=2如，作點(diǎn)E關(guān)于直線3C的

對(duì)稱點(diǎn)G,連接AG,GF,補(bǔ)充圖形，直接寫出ZAG5的大小，并說明

理由.

4.如圖1,在AABC中，ZACB=90°,BC=AC,點(diǎn)。在A8上，DELAB交

BC于點(diǎn)E,尸是AE中點(diǎn).

⑴線段中與線段”的數(shù)量關(guān)系是和FC,位置關(guān)系是萬

_____FC;

（2）如圖2,將△BDE繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)成0。＜。＜90。），其他條件不變，

線段四與線段”的關(guān)系是否發(fā)生變化？寫出你的結(jié)論并證明；

⑶將ABDE繞點(diǎn)5逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果BC=2魚，BE=2,直接寫出線

段股長(zhǎng)的取值范圍.

5.如圖1,已知VABC、aBE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDEB=90°,

BC=2,E為BC的中點(diǎn)，將aEB繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角成0?！?lt;360。)，如

圖2,連接AD，CE.

(1)求證：AADBsACEB；

(2)當(dāng)々=60。時(shí)，求AD的值；

(3)當(dāng)4、。、E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求CE的長(zhǎng).

6.如圖，已知點(diǎn)。是等邊VABC內(nèi)一點(diǎn)，且瓦)=3,AD=4,CD=5.

(1)求加汨的度數(shù)；

以下是甲，乙，丙三位同學(xué)的談話：

甲：我認(rèn)為這道題的解決思路是借助旋轉(zhuǎn)，我選擇將△3。繞點(diǎn)8順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60?；蚶@點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°；

乙：我也贊成旋轉(zhuǎn)，不過我是將△的進(jìn)行旋轉(zhuǎn)；

丙：我是將d8進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

請(qǐng)你借助甲，乙，丙三位同學(xué)的提示，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ?4)5的度

數(shù)；

(2)若改成1?=6,AD=8,CD=10,24汨的度數(shù)=°,點(diǎn)A到8。的

距離為；

類比遷移：

(3)已知，ZABC=90。，AB=BC,BE=1,CE=^3,AE=逐，求/BEC的度

數(shù).

7.在VABC中，AB=AC,ABAC=90°,。為平面內(nèi)的一點(diǎn).

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在邊8C上時(shí)，BD=2,且/54。=30。，求AD的長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在VABC的外部，且滿足N3DC=45o+ZADC,求證:

BD=y/2AD;

(3)如圖3,AB=6,當(dāng)。、E分別為48、AC的中點(diǎn)時(shí)，把繞點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為。(。＜。＜180。)，直線的與CE的交點(diǎn)為尸，連接PA,

直接寫出旋轉(zhuǎn)中△尸河面積的最大值.

8.如圖，在VABC中，NBAC=90。，AB=AC=2①,入。上先于點(diǎn)。.點(diǎn)6

是射線上一點(diǎn)，過G作GELGr分別交A3、4。于點(diǎn)E、F：

(1汝口圖①所示，若點(diǎn)區(qū)下分別在線段Ab4。上，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。

重合時(shí)，求證：AE+AF=y[2AD;

(2)如圖②所示，當(dāng)點(diǎn)G在線段AZ)外，且點(diǎn)E與點(diǎn)3重合時(shí)，猜想

AE,4尸與4G之間存在的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

⑶當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，請(qǐng)直接寫出AG+3G+CG的最小值.

參考公式：(&+石)=a+b+2y[ab

9.已知，在VA5C中，ZC=90°,AC=BC,E是BC邊上一點(diǎn).

⑴如圖1,點(diǎn)。是AC邊上一點(diǎn)，連接DE,將加繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

至EF,連接所.若AC=6,BE=3,求ABEF的面積；

(2汝口圖2,連接AE,將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至加，連接取

的中點(diǎn)N,連接EN.證明：AB-2EN=y/2EB;

(3)如圖3,已知AC=2/,連接AE,尸為AE上一點(diǎn)，在AP的上方以AP

為邊作等邊△APQ,剛好點(diǎn)。是點(diǎn)尸關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，連接CP,

當(dāng)CP+g”取最小值的條件下，點(diǎn)G是直線PQ上一點(diǎn),連接CG，將ACGP

沿CG所在直線翻折得到ACGK(2XCGK與VABC在同一平面內(nèi))，連接AK,

當(dāng)AK取最大值時(shí)，請(qǐng)直接寫出廠的值.

10.在VABC中，ZACB=90°,。是BC上一點(diǎn).

圖1圖2圖3

⑴如圖1,E是A3中點(diǎn)，tan/BCE*,CE=5,AD=3亞,求線段即的

長(zhǎng)度；

(2)如圖2,C4=CB,點(diǎn)下在線段AD上，將線段W繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到線段CG,連接BG,交AC于點(diǎn)H,當(dāng)NG4D=2NABG時(shí)，試猜想AF與

C”的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶如圖3,在(2)的條件下，點(diǎn)”在庭上，點(diǎn)N在CG上，F(xiàn)M=CN,

連接AM,若CF=2幣,直接寫出"WN+NG的最小值.

11.在AABC中，AC=AB,/C4B=120。，點(diǎn)。是邊A3上的一動(dòng)點(diǎn).尸是

邊C￡＞上的動(dòng)點(diǎn).連接AF并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,交BC于G,連接班.且

AE+ZBDF=180°,ZAFC=60°.

(1)如圖1,若BC=6布,BE=4,求8的長(zhǎng).

(2)如圖2,若點(diǎn)。是的中點(diǎn)，求證：AE=DF+^3BF.

(3)如圖3,在(2)的條件下，將ABDE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的

三角形記作△2期，取。四的中點(diǎn)為“，連接CM.當(dāng)CM最大時(shí)，直

接寫出募的值.

12.通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的

目的，下面是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.原題：如圖1,點(diǎn)E、尸分別

在正方形A2CZ)的邊BC、CD上，ZEAF=45°,連接試猜想防、BE、DF

之間的數(shù)量關(guān)系

(1)思路梳理：

把AABE繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADG,可使與A￡＞重合，由

ZADG=ZB=90°,得，ZFDG=180°,即點(diǎn)尸、D、G共線，易證A4FG絲

,故所、BE、之間的數(shù)量關(guān)系為.

(2)類比引申：

如圖2,點(diǎn)石、尸分別在正方形鉆8的邊CB、DC的延長(zhǎng)線上，

㈤F=45。.連接EF,試猜想EF、BE、。廠之間的數(shù)量關(guān)系為

并給出證明.

(3)聯(lián)想拓展：

如圖3,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。、E均在邊8C上，且

ZBAD+ZEAC=45°.若BD=2,EC=2y/3,直接寫出AD和AE的長(zhǎng).

13.在AABC中，AC=BC,AC=6,ZACB=a,點(diǎn)。是BC邊上任意一點(diǎn)，

點(diǎn)E是直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接班，將BE繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

明得到線段防，連接所.

⑴如圖1,a=90%/8AD=15。，點(diǎn)F在射線AD上，求所的長(zhǎng)；

(2)如圖2,BF//AD,CGLAE于點(diǎn)G,2ZABF-3ZEBF=4ZBAE,猜想線段

GE,3E，AC之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：

(3)如圖3,?=60°,點(diǎn)下在射線AD上，點(diǎn)尸是BE上一點(diǎn)且滿足Ab=3BP,

連接"，直接寫出當(dāng)初最小時(shí)，點(diǎn)P到的距離.

14.如圖所示，等腰直角VABC中，ZACB=90°.

⑴如圖1所示，若。是VABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段8繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到CE,連結(jié)A，BE,則線段AD、破的關(guān)系為;

⑵如圖2所示，若。是VASC外一點(diǎn)，將線段CD繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到CE,且AE=AB,求證：BD=y/2CD;

⑶如圖3所示，若OC是斜邊相的中線，M為下方一點(diǎn)，且OM=竽,

CM=1,/BMC=45。,求出3M的長(zhǎng).

15.如圖，將線段A8繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a至!JAC,點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，

連接BC,AD,BD,CD,^ZCAB=ZCDB.

⑴如圖1,當(dāng)夕=60。時(shí)，直接寫出8D,CD,AD之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)3120。時(shí)，探究多產(chǎn)是否為定值，并說明理由；

(3)當(dāng)a=120。，AB=5,AD=2時(shí)，請(qǐng)直接寫出乩)的長(zhǎng).

參考答案

1.(1)證明見解析

(2)2CE2=BE2+AE2,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理得到WC=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

得到CD=CE,ZDCE=90°,求得NCED=NCDE=45。，根據(jù)全等三角形的性

質(zhì)得到/CE3=/ADC=90。，求得NBEZXNCZJE,根據(jù)平行線的判定定理得

至l」CD〃3E；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CE=B,ZECF=90°,求得ZA=/4BC=45。，根

據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到防=鉆，ZCBF=ZA=45°,根據(jù)勾股定理得到

結(jié)論.

【詳解】(1)證明：：AC=2,CD=1,AD=6,

/.CD2+AD2=1+3=4=AC2,

ZADC=90°,

加將。繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后得CE,

/.CD=CE,ZDCE=90°,

/.ZCED=ZCDE=45°,

ZACB=90°,AC=BC,

ZACB-ZBCD=ZDCE-ZBCD,

即ZACD=ZBCE,

在"IC。和"CE中，

AC=BC

<ZACD=ZBCE,

CD=CE

：.AACDgABCE(SAS),

/.ZBEC=ZADC=90°,

：.ABED=ZBEC-ZCED=90°-45°=45°,

/.ZBED=ZCDE,

CD//BE.

(2)解：2CE2=BE2+AE2,

理由：將C￡繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到b,連接跖，BF,

貝(jCE=CF,ZECF=90°,

?「ZAC6=90。，AC=BC,

：.ZA=ZABC=45°9

ZACB-ZBCE=ZECF-ZBCE,

ZACE=ZBCF,

在AACE和NBCF中,

AC=BC

<ZACE=ZBCF9

CE=CF

/.AACE^ABCF(SAS),

/.BF=AE,ZCBF=ZCAB=45°,

/.ZEBF=ZABC-^-ZCBF=45°+45°=90°,

22222

/.EF=CF+CE=BE+BF9

2CE2=BE2+AE2.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等

三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，正確地作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

2.⑴A瓦=2

(2)平行，理由見詳解

［分析］(1)通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ZABC=ZABA=ZBAlBl=a=90。，和AB=網(wǎng)，

證明四邊形A%片為正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求出.

（2）過點(diǎn)A作AEIIA瓦交巡于點(diǎn)E,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可

得ZAEB=ABE=a,易證4耳=4￡,因?yàn)锳E||AA,所以四邊形AEA由為平

行四邊形，故可得出A411AB.

【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得當(dāng)。=90。時(shí)，

/ABC=44網(wǎng)=ZB^B,=a=90°,

，四邊形A%4為矩形，

;旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=%,

四邊形A%好為正方形，

.二AB=AB[=2.

，A片的長(zhǎng)為2.

（2）A瓦與A8的位置關(guān)系是平行.

理由：如圖，過點(diǎn)A作AE||A4交現(xiàn)于點(diǎn)石，

則ZAEB=B^B=a,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A2=%=A耳，ZABA=研4=a,

**?Z.AEB=ABE=a,

AB=AE,

，A.B^AE,

又TAEIIA瓦，

四邊形AEA1與為平行四邊形，

，A411Ag.

破與邛的位置關(guān)系是平行.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練

掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.(1)見詳解

(2)ZAGF=90°

【分析】(1)連接犯并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)”，取晶中點(diǎn)N,連接DV,

由等腰三角形的“三線合一”得到DNL3E,NBDN=g/BDE=a,可證明

DN//AC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求證；

(2)在射線OC上取點(diǎn)“，使得連接BGQGRGAF,先證明

NDGH=9。。，則可得3/1=黑=黑，再證明N1=44C,則cos/AC=*,

DIICrAC

繼而警=粵，可證明'G=ZACF，因止匕ABG-AACF，可證明^ABC^AGF，

CrAC

繼而求解.

【詳解】(1)證明：連接班并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)M,取防中點(diǎn)N,連

接DN,

由題意得。3處ZBDE=2a,

?:BE中點(diǎn)、為點(diǎn)、N,

DN±BE,ZBDN=-ZBDE=a,

2

ZDNB=9Q°,

;ZC=a,

ZBDN=ZC,

，DN//AC,

/.ZDNB=ZCMB=90°,

即：BEA.AC；

(2)解：ZAG產(chǎn)=90。，

在射線。。上取點(diǎn)H,使得DH=BD,連接5G,OG,HG,A尸,

,/DB=DE,DE=DG,

DB=DG,

..Z1=ZDGB,

?;DH=DB,

/.DH=DG,

：.N2=N3,

Z1+ZBGH+Z3=18O°,

/.2ZDGB+2Z2=180°,

/./DGB+N2=90。,

即/DGH=90。，

CF=2BD,

/.BH=CF,

?八BGBG

??cosZ1=-----=-----

BHCF

丁點(diǎn)￡與點(diǎn)G關(guān)于此對(duì)稱，

Z1=Z4,

?/ZABC=90°,BE1AC,

：.N4+Z5=N5+/a4C=90。，

/.Z4=ZfiAC,

Z1=ZBAC,

AR

VcosABAC=——,

AC

?BGBA

?*CF-AC?

ZC=a,

：.ZACb=180。-。,Z4=90°-a,

/.Zl=90°-a,

?ZABG=90°+90°-=180°-cr,

/.ZABG=ZACF,

/.AABGS^ACF,

/.ZBAG=ZCAF,

ZBAC=ZGAF,

*/△ABGSAACF,

?ABAG

**AC-AF?

?ABAC

?*AG-AF?

△ABCS^AGF,

/.ZAGF=ZABC=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換以及軸對(duì)稱變換的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練

掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.(1)=,±；

(2)線段如與線段”的關(guān)系不發(fā)生變化.證明見解析；

(3)1<BF<3.

【分析】(1)由直角三角形斜邊中線定理即可證明Q=FC,進(jìn)而可證

DF1CF；

(2)如圖，延長(zhǎng)AC到M使得CM=C4,延長(zhǎng)切到N,使得DN=DE,

連接5N、BM、EM、AN,延長(zhǎng)ME■交AN于H,交A5于。證明

△ABNg&WBE，推出M=再利用三角形中位線定理即可解決問題;

(3)分別求出所的最大值、最小值即可解決問題.

【詳角軍】(1)VZADE=ZACE=9Q°,AF=FE,

「?DF=AF=EF=CF,

ZFAD=4FDA,ZFAC=ZFCA,

/.ZDFE=/FDA+/FAD=2/FAD,ZEFC=ZMC+ZFC4=2ZFAC,

?.?CA=CB,ZACB=90°,

ABAC=45°,

/.ZDFC=ZEFD^ZEFC=2(ZFAD^-ZFAC)=90°,

/.DF=FC,DF1FC,

故答案為：=,-L；

(2)線段如與線段FC的關(guān)系不發(fā)生變化.理由如下：

如圖，延長(zhǎng)AC到M使得加=8,延長(zhǎng)a到N,使得DN=DE,連接BN、

BM、EM、AN,延長(zhǎng)ME交A2V于"，交AB于0,

VZACB=90°,BC=AC,

：.ZBAC=ZABC=45°,

?「BC-LAM,AC=CM,

BA=BM,

/.ZABC=ZMBC=45°,

：.ZABM=90°,

同理可證3￡=3N,/EBN=9伊

ZABM=ZEBN=90°,

：.ZNBA=ZEBM,

：.△ABNgJWBE(SAS),

/.AN=EM,ZBAN=ZBME,

AF=FE,AC=CM,

/.CF=^EM,FC\\EM,

同理可證尸。=；AN,FD\\AN,

/.FD=FC,

/BME+/BOM=90°,ZBOM=ZAOH,

/.ZBAN+ZAOH=90°,

：.ZAHO=90°,

：.AN1MH,FD1FC；

(3)如圖2,連接防.

V\BE-BF\<BF<BE+BF,

???如圖3時(shí)防取得最大值時(shí)，點(diǎn)石落在A8上時(shí),

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)石落在A5的延長(zhǎng)線上時(shí),所的值最小,

VAB=4,BE=2,

AE=AB+BE=6,

???點(diǎn)歹是AE的中點(diǎn),

AF=EF=3,

B/的最小值4-3=1,

綜上所述，

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三

角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，三角形

三邊的關(guān)系，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常

用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

5.⑴見解析

（2）庭

⑶CE長(zhǎng)為姮乎或叵走.

【分析】

此題是相似形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，判斷出會(huì)跖是等邊三角形是

解本題的關(guān)鍵.

（1）先判斷出告=黑，再判斷出夾角相等，即可得出結(jié)論；

AnDU

（2）先判斷出是等邊三角形，進(jìn)而判斷出/3EC=90。，求出CE,

借助（1）的結(jié)論得出比例式，即可得出結(jié)論；

（3）分兩種情況：先判斷出"=90。，利用勾股定理求出AE,進(jìn)而

得出A。，最后借助（1）結(jié)論得出比例式，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）

證明：在RtZXABC中，AC=BC=2,ZACB=9Q°,

:.ZB=45°,

,BC

,,=0，

AB2

同理：ZDBE=45°,些=交

14BD2

.BCBE

ZABC=ZEBD,

ZACB-ZABE=ZDBE-ZABE,

:.ZCBE=ZABD,

:.AADBs"EB；

(2)

如圖2,旋轉(zhuǎn)前，點(diǎn)E是8C的中點(diǎn),

:.BE=-BC=1,

2

在RtAABC中，AB=^2BC=2也

圖2

取的中點(diǎn)，連接跖，

/.BF=-BC=1,

2

:.BF=BE,

由旋轉(zhuǎn)知，NCB石=60。，

.△BEF是等邊三角形，

:.ZBFE=6O°,EF=BF=CF9

:.ZBCE=30°9

..NBCE+NCBE=9。。，

ZBEC=90°,

:.CE=A/BC2-BE2=石，

由(1)知，AADB^ACEB,

.ADAB

'~CE~~BC"

..3空三邁里反

BC2'

(3)

①當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，如圖3,

圖3

vZBED=90°,

:.ZAEB=90°,

在Rt"BE中，根據(jù)勾股定理得，河=房-BE?=J(2物?二近,

Ri公BED中,DE=BE=1,

.?.AD=AE+DE=yfi+l,

由(1)知，AADBMCEB,

,ADAB

"CE~BC，

丁ADBC(V7+l)x2V14+A/2

②當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上，如圖4,

圖4

同①的方法得，AE=不，

:.AD=AE-DE=yf7-l,

由(1)知，AADBSMEB,

,ADAB

"CE~BC，

“ADBC(V7-l)x2714-^

C/S=--------------=-----------==-----=-----------------,

AB2-722

即：滿足條件的CE長(zhǎng)為"詆或巫"L

6.⑴ZADB=150。

(2)150,4.

(3)ZBEC=135°

【分析】(1)甲：將"DC繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6。。，得到△BEA,連接祝，

分別計(jì)算-4DE與/①汨的度數(shù)即可得到L的度數(shù).乙：將ABAD繞

點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到V3CP,連接加，分別計(jì)算/班》與ZDFC的

度數(shù)即可得到4DB的度數(shù).

(2)利用(1)中的方法，同理可得W8=150。，再由30度直角三角

形性質(zhì)可求點(diǎn)A到刖的距離；

(3)利用(1)中的方法，將△及邊繞著點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到VCM,

同理可得NF8E=/BEb=45。，ZFEC=90°,由此即可求出/BEC=135。.

【詳解】(1)解：(1)選擇甲：如圖1,作4?E=60。，且BE=BD,連

接￡>E,AE,則VBZJE是等邊三角形，

*/△ABC是等邊二角形，

:.AB=BC9ZABC=60°,

.\ZABE=ZCBD,

:.AABEACBD,

AE=CD=5,

?/AD2+DE2=42+32=52=AE2,

ZADE=90°,

:.ZADB=ZADE+ZBDE=90°-^-60°=150°；

乙：如圖2,同理可得，ZBFD=60°,NDFC=90°,

.\ZADB=ZBFC=ZBFD+ZDFC=600+90°=150；

丙：如圖3同理可得，ZAGD=60°,ZBDG=90°,

ZADB=ZADG+ZBDG=60O+90°=150；

圖3

(2)同理(1)可得：AD-+BD1=CD-,

/.ZADB=150°,

如圖4,過點(diǎn)A作血)的垂線AH,垂足為H,

/.ZADH=30°,

AH=-AD=4,

2

故答案為：150,4.

(3)如圖5,將繞著點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到VCBF,連接用,

圖5

...AABE^ACBF,

:.BE=BF=1,AE=CF=y[5,

：.NFBE=NBEF=45。，

:.EF2=BE^+BF2=2

-,'EF2+EC2=2+3=5=盤,

二?ZFEC=90°,

ZBEC=ZBEF+NFEC=45。+90。=135。

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)、全

等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以

及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形

和全等三角形，依據(jù)圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解.

7.(1)2A/2

(2)見解析

(3)95/2-9

【分析】(1)將△的沿折疊，得到△母，連接DE,利用全等三

角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理求解即可；

(2)過A作AEJ_AD,且=連接利用全等三角形的判定與

性質(zhì)以及勾股定理求解即可；

(3)連接尸。交48于G,證明出4c(SAS),得至I1/DBA=NECA,

然后證明出-BPC為直角三角形，點(diǎn)尸在以3C中點(diǎn)V為圓心，3M為半

徑的圓上，連接尸河交43所在直線于點(diǎn)N,當(dāng)鉆時(shí)，點(diǎn)尸到直線A8

的距離最大，然后利用三角形中位線和勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，將△的沿A5折疊，得到連接￡>E,

圖1

VAB=AC,ABAC=90°

：.ZC=ZABC=45°,

將△板)沿AB折疊，得到△年,

，AABD^/\ABE

ZABE=ZABD=4509BE=BD,AE=AD,ZBAD=ZBAE=30°

/.ZEBD=90°,ZDAE=60°

，VAD石為等邊三角形，△①汨為等腰直角三角形

/.AD=DE,2BD2=DE2

AD=DE=y/2BD=2y[2;

(2)如圖，過A作且AE=AD,連接

圖2

?/AE±AD

:.ZDAE=ZBAC=90°

ZBAE=ZDAC9

又<AD=AE,AB=AC

：.四△GW(SAS)

/.ZACD=ZABE

?.?ZACD+ZDCB+ZABC=90°

ZDCB+ZABC+ZABE=90°

NBOC=90。

AE=AD,AE±AD

2

/.ZADE=4509DE=2AD,SRDE=y/2AD

vZBDC=45°+ZADC

:.NBDC=ZADC+45。=NEDC,DO=DO,ZDOB=ZDOE=90°

：.ADOB注ADOE(ASA)

BD=DE=y/2AD;

(3)如圖3,連接PC交相于G點(diǎn)

圖3

屋/ME繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

.AD=AE,AB=AC,

*ZDAE=ZBAC=90°

?ZDAB=ZEAC

.△Q4B也△E4C(SAS)

?ZDBA=ZECA

?ZPGB=ZAGC

?ZBPC=ZGAC=90°

A3PC為直角三角形

.?.點(diǎn)尸在以3c中點(diǎn)M為圓心，8M為半徑的圓上，連接9交科所在

直線于點(diǎn)N,

當(dāng)尸加，血時(shí)，點(diǎn)尸到直線的距離最大，

/ABAC=90°

，A、P、B、。四點(diǎn)共圓

PMLAB,

.?.N是AB的中點(diǎn)

是5c的中點(diǎn)

.，.MN=-AC=3

2

AB=AC=6,

?*.CB=』G+G=6五,

BM=PM=-BC=3y/2,

2

:.PN=3近-3,

?\點(diǎn)尸到AB所在直線的距離的最大值為3收-3.

/.的面積最大值為:ABxPN=；x6x(3&-3)=90-9.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角

形的性質(zhì)和判定，三角形中位線性質(zhì)，四點(diǎn)共圓性質(zhì)，勾股定理等知

識(shí)，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

8.(1)證明見詳解

(T)AE+AF=4IAG,理由如下

⑶3n+3應(yīng)

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)即可求證;

(2)過點(diǎn)G作曲上AG交延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,由等腰直角三角形可得

ZDAB=ZDAC=45°,AG=HG,由"AS4"可證"G尸四?GE,可得AF=3H,

可得結(jié)論；

(3)將AABG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△連接B'C,過點(diǎn)B，

作？N，AC,交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

AG+BG+CG=GG'+B'G'+CG,則當(dāng)點(diǎn)？，點(diǎn)G,點(diǎn)G,點(diǎn)C共線時(shí),AG+BG+CG

的值最小，最小值為EC的長(zhǎng)，由30。角所對(duì)直角邊是斜邊一半和勾股

定理可求解.

【詳解】(1)解：由題：在VASC中，ZBAC=90°,AB=AC=6,AD±BC

于點(diǎn)，GE1GF,

則。也是BC上的中點(diǎn)，即AD是3c的垂直平分線，

VZ￡4D=ZC=45°,AD=CD,ZADE=ZCDF,

/.AADE也ACDF(ASA),

..AE=CF,

,\AE+AF=AC,

AE+AF=y[2AD.

(2)AE+AF=42AG,理由如下：

如圖1,過點(diǎn)G作〃GLAG交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)

.?.ZDAB=NDAC=45。,

ZAHG=ZBAD=45°,

:.AG=HG,

/.AH=?AG,

?.?ZEGF=ZAGH=90。,

.\ZAGF=ZEGH,

又???ZA/7G=44G=45。，

:小AGF沿AHGE(ASA)，

：.AF=BH,

:.AH=AE+BH=AE+AF=42AG.

(3)如圖2,將A>G繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△連接GG,

B'C,過點(diǎn)a作?N,AC,交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,

/.ZBABr=60°,NGAG'=60°,BG=BG,

.,.△AG(7是等邊三角形，

AG=GG,

AG+BG+CG=GG'+B'C+CG,

:?當(dāng)點(diǎn)？，點(diǎn)G,點(diǎn)G,點(diǎn)C共線時(shí),

AG+3G+CG的值最小，最小值為9C的長(zhǎng),

ZBfAC=ZB'AB+ZBAC=60。+90。=150°,

ZB'AN=30°,

.'.BW=3,AN==3^3,

:.CN=6+3j3,

B'C=7(6+3A/3)2+9=3A/6+3>/2,

.1AG+BG+CG的最小值為：3n+30.

【點(diǎn)睛】考查綜合運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)作輔助線證明的能力，用旋轉(zhuǎn)的知

識(shí)解決幾何最值問題，對(duì)于與等腰直角三角形有關(guān)的證明題往往要進(jìn)

行圖形的9。。旋轉(zhuǎn)，把要證明的要素集中到一個(gè)熟悉的圖形中進(jìn)行，

最值問題常常要通過軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)6。。把要求的線段之和或差轉(zhuǎn)化為

俱有固定端點(diǎn)的折線，然后據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短來解決.

9.(1)9|

(2)見解析

(3)2-6

【分析】(1)證明ACDE%HE?？傻肅E=m=3,由三角形的面積公式

可求解；

(2)作輔助線如解析圖，證明△兩名JWGN,可得NE=GN,MG=BE,

進(jìn),zjz-OjMG=EQ=BE,BQ=\f2BE,證明AAEQ/AEMG,可得EG=AQ,從

而可得結(jié)論；

(3)作輔助線如解析圖，可得當(dāng)點(diǎn)c,P,N三點(diǎn)共線時(shí)，有

最小值，由折疊的性質(zhì)可得CP=CK,進(jìn)而得點(diǎn)K在以。為圓心，CP為

半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，可得當(dāng)點(diǎn)K落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AK有最大值,

然后由直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可求解.

【詳解】（1）解：如圖1,過點(diǎn)尸作mJL直線于”,

:將DE繞點(diǎn)￡逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EF,

:./DEF=9U。,DE=EF,

VAC=6=BC,BE=3,

/.CE=BE=3,

*/ZACB=ZDEF=ZH=9Q0,

：.ZCED+ZCDE=90°=ZCED+ZBEF

ZCDE=ZBEF,

ACDEM出EF(AAS),

/.CE=FH=3,

???A5￡F的面積=；3￡切=|；

(2)證明：如圖2,過點(diǎn)M作MG〃改，交直線NE于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作

EQ//AC,交相于Q,

?/MG//BC,

.ZG=ZNEB,/GMN=/EBN,ZGME=/CEM,

???點(diǎn)N是瓶的中點(diǎn)，

/.MN=BN,

△5EN%MGN(AAS),

：.NE=GN,MG=BE,

：.GE=2NE,

,/EQ//AC,

/.ZCAB=ZEQB=45°=ZABC,ZC=ZQEB=ZCEQ=90°,

：.QE=BE,

/.MG=EQ=BE,BQ=41BE,

:將AE繞點(diǎn)石順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至EN,

/.AE=ME,ZAEM=90°=ZCEQ,

/.ZAEQ=AMEC,

/.ZAEQ=ZEMG,

：.△AEQ%EMG(SAS),

EG=AQ9

「?AB=AQ+BQ=2NE+42BE；

（3）解：如圖，作點(diǎn)。關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)C,連接AC,CC',

?點(diǎn)。是點(diǎn)尸關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，

.AP=AQ,AC平分NPAQ,AC垂直平分尸Q,

?△APQ是等邊三角形，

./C4P=30。，

.PN=-AP,

2

?點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于AE對(duì)稱，

.PC=PC,AC=AC,ZCAP=ZC'AP=30°,

.ZCAC=60°,

.△C4C為等邊三角形，

?CP+-AP=C'P+PN,

2

?當(dāng)點(diǎn)c,p,N三點(diǎn)共線時(shí)，+有最小值,

?將△CGP沿CG所在直線翻折得到ACGK,

.CP=CK,

.點(diǎn)K在以。為圓心，CP為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

?當(dāng)點(diǎn)K落在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，AK有最大值，

?△C4C為等邊三角形，CNLAC,

.CN垂直平分AC,

'AC=2下,

.AN=CN=y(3,

'PN=；AP,PN2+AN2^AP2,

.PN=1,AP=2=CP,

c

：.ZAPN=ZCPN=9。，

''將△CGP沿CG所在直線翻折得到ACGK,

CP=CK=2,Z.CKG=ZCPG=60°

KN=2+粗，4KGN=30。,

NG=6KN=26+3,

%KG=：X2X（26+3）=2百+3,

?,，…二號(hào)乂?。=5

?S&CGK=26+3=2+石

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，

折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),

確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵.

10.（1）BD=5

⑵AF=2CH,證明見解析

⑶5+庖

【分析】（1）過點(diǎn)E作EG,8c交2C于點(diǎn)G,由題意得到EG=：CG,利

用勾股定理得到EG,CG,根據(jù)E是A8中點(diǎn)，ZACB=90°,得到

CE=BE=AE=5,推出ABCE是等腰三角形，即得至lj3C=23G=2CG=8,利

用勾股定理求出AC,CD,即可求出8D的長(zhǎng)；

（2）延長(zhǎng)BC,在3c延長(zhǎng)線上截取ar=C3,取BG的中點(diǎn)0,連接CQ，B'G,

證明AACF絲》CG（SAS）,得至[jZB，=NC4O,A尸=?G,設(shè)NABG=（z,則

ACAD=AB'=2a,根據(jù)點(diǎn)。，。分別為例3G的中點(diǎn)推出CQ〃皆G,得至I」

NBCQ=NB，=2a,由三角形外角的性質(zhì)得至ljNCQG=45。+a,NBHC=45。+a,

推出/XCQa是等腰三角形，故得到CQ=S=.G,即可得出結(jié)論；

（3）連接陽，取FG的中點(diǎn)P,連接CP,PM,PN,將GC繞點(diǎn)G逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)30。得到GC’,過點(diǎn)尸作尸SLGC,交GC’于點(diǎn)S,交GC于點(diǎn)T；根

據(jù)△CFG是等腰直角三角形，得CPLPG,利用勾股定理求得FG=2內(nèi)，

貝ljPG=PF=g/G=&?,由題意證明"GN0ApeM（SAS）,得到

NGPN=NCPM,PN=PM,進(jìn)而得到ZMPN=9O。，ZWPN是等腰直角三角形，

推出"WN=2PN,y]2MN+NG=2PN+NG,此時(shí)當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)T重合時(shí)，有

NS=；NG,PN+；NG有最小值，則在WN+NG=2PS有最小值，最后根據(jù)

ZMNC=ZSPG,利用銳角三角函數(shù)求解出MN,PN的長(zhǎng)即可得出PS的長(zhǎng),

即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)E作EG,3c交8c于點(diǎn)G,

,/tan/BCE=—3,EGIBC,

4'

??,CE=5,

75

:.CE2=CG2+EG2,BP—CG2=25,

「.CG=4,EG=3,

???E是AB中點(diǎn)，ZACB=90°,

.e.CE=BE=AE=5,AB=2BE=10,

“CE是等腰三角形，

BC=2BG=2CG=8,

22

???AC=YIAB-BC?

.'.AC=6,

■■AD=3號(hào)

：.CD=YIAD2-AC2=3,

:.BD=BC-CD=5；

(2)解：AF=2CH,理由如下:

如圖，延長(zhǎng)BC,在BC延長(zhǎng)線上截取CB=CB,取BG的中點(diǎn)Q,連接CQ,B'G,

???線段b繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

線段CG,

:.CF=CG,ZFCG=9Q°,

ZACB'=ZB'CG+ZACG=90°,ZFCG=NAb+NACG=90°,

:.NB'CG=ZACF,

■：CB=CA,CB'=CB,

:.CA^CB'

AACF^AB,CG（SAS）,

NB'=ACAD,AF=B'G,

設(shè)ZABG=cr,貝lj/C4D=/?=2a,

???點(diǎn)C。分別為網(wǎng)3G的中點(diǎn),

CQ//B'G,

ZBCQ=ZB'=2a,

ZCQG=45°+a,ZBHC=45°+a,

是等腰三角形，

CQ=CH=；B'G,

-.-AF=B'G,

:.CH=^AF,gpAF=2CH；

（3）解：如圖，連接FG,取FG的中點(diǎn)尸，連接CP,PM,PN,將GC繞點(diǎn)

G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。得到GC’,過點(diǎn)尸作PS_LGC,交GC'于點(diǎn)S,交GC于

點(diǎn)T;

??AC尸G是等腰直角三角形,點(diǎn)尸是FG的中點(diǎn),

CP1.FG,PC=PG,NPGC=/PCF=45。,

FG=VCF2+CG2==2舊，

PG=PF=-FG=>/14,

2

FM=CN,貝l]CR_CM=CG_NG,

;.CM=NG,

???PC=PG,NPGC=NPCF=45。,

△PGW^APCM(SAS),

ZGPN=NCPM,PN=PM,

NGPC=9Q。,

:"CPM+/CPS=/CPS+Z.GPS=90°,

,ZMPN=9Q°,

??.zw/w是等腰直角三角形，

也MN=2PN,y/2MN+NG=2PN+NG,

如圖，此時(shí)當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)7重合時(shí)，有NS=：NG,PN+；NG有最小值,

則垃MN+NG=2PS有最小值，

?：/GPS+/CPN=90°,

ZMNC=/SPG,

???△GPS,WNC都是直角三角形,

sinZMNC=sin/SPG,

.GSCM

"PG~MN,

設(shè)2vs=x,^\NG=CM=2x,GS=6x,CN=2>Ji-2x,

由x2x

四一MN

3

V42MN=2PN，

2V2T

，PN二——

3

:.PS=PN+NS=^^-+x

3

,/tanZMNC=tan/SPG,

2x

CM

即2幣-2x12后

CNu+x-------

3

3V7-V2T

解得:x=------------

6

27213V7-V21A/7+V21

...PS=----------F

362

也MN+NG=2PS=不+而.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合問題，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全

等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)，解直角三

角形，正確構(gòu)造輔助線，證明三角形全等和構(gòu)造直角三角形是解題的

關(guān)鍵.

11.(l)cn=2Vi9

(2)見解析

_17+473

()EM"一-5~

【分析】(1)解等腰三角形ABC求得電，解斜三角形鉆石，求得AE,

證明AACDmABAE,進(jìn)而求得結(jié)果；

(2)作AQLCO于Q,作于H,連接DE,作交C4的延長(zhǎng)

線于R,由AACDMA&鉆得出CD=AE,證明ACQ=ABAH可得CQ=AH,解斜三

角形ACD可得tan/C4D,進(jìn)而得出質(zhì)和3F的關(guān)系，進(jìn)一步求得結(jié)論；

(3)可得出點(diǎn)/在以8為圓心，孝8。為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)

動(dòng)到CB的延長(zhǎng)線交0B的N處時(shí)，CM最大,然后解直角三角形E2N和

斜三角形,，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】(1)解:如圖1,

圖1

作AT,3c于T,作招，環(huán)交BE的延長(zhǎng)線于R,

AC=AB9

ZCAT=ZBAT=-ABAC=60°BT=-BC=3^3,

22，

BT

AB=

sinZBAT

2

在四邊形BERD中，ZE+ZBZ)F=180°,ZDFE=ZAFC=^)°,

.\ZABE^DFE=1SO°,

ZABE=120°,

在RtAABR中，ZABR=1SO°-ZABE=60°,AB=6,

/.B^=6cos60°=3,A7?=6sin60°=6x^=3^,

:.ER=BE+BR=1,

:.AE={AR2+ER2=收回+72=2M,

在AACD和ABAE中，

ZCAB=ZABE=120°

<ZADC=ZE

AC=AB

:.^ACD=ABAE(AAS),

；.CD=AE=2M;

(2)證明：如圖2,

作AQLCD于Q,作于H,連接￡>E,作￡>R，G4交C4的延長(zhǎng)線于R,

由(1)知：/^CD=ABAE,

:.BE=AD,ZBAE=ZACD,CD=AE,

??,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

/.AD=BD,

BE=BD,

,\ZBDE=ZBED,

???ZE+ZBDF=180°,ZAFC=60°,

???點(diǎn)3、E、F、。共圓，

:.ZBFD=ZBED,ZBFE=ZBDE,

ZBFD=ZBFE=-ZDFE=-ZACF=30°,

22'

h\

FH=BF-cosZBFE=BF-cos30°=—BF,BH=-BF,

2'2

在RtAAFQ中,

QF=AF-cosZAFC=AFCOS600=|AF,

在AACQ和Afi4H中，

ZAQC=ZAHB=90°

<ZCAD=NBAE,

AC^AB

ACQ=ABAH(AAS),

:.CQ=AH,

:.CF-QF=FH+AF,

AF--AF=—BF+AF,

22

:.CF=-BF+-AF,

22

設(shè)AD=X,貝!jAC=AB=2AD=2x,

在RtAADR中，ZDAR=18O0-ZBAC=6O°,

AR=—AD=—x,DR=——x,

22'2

/.CR=AC+AR=2x+—x=—x,

22'

Tl_73

tanNBAE=tanZACD=—

5-5

CR—x

2

.BHA/3

??----------=--------a

AH5

.-AF底

?-2=蛇，

AH5

AH=—BF,

6

:.AF+FH=—BF,

6

:.AF+4BF:半BF,

-,AF=—BF,

3

,■,CF=—BF+-AF=—BF+-x^-BF=>/3BF,

22223

■,AE=CD=DF+CF,

:.AE=DF+y/3BF;

(3)解：如圖3,

由（2）得：BD=BE,

丁點(diǎn)M是的中點(diǎn),

:.BM±DE,

■.■ZBDE=30°,

BM=BD-cos30°=-BD,

2

二點(diǎn)M在以B為圓心，岑8。為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

，當(dāng)點(diǎn)“運(yùn)動(dòng)到CB的延長(zhǎng)線交08的N處時(shí)，CM最大,

設(shè)BE=BD=x,

/.AB=2x,

:.BN=-x,

2，

ZABE=120°,ZABC=30°,

:.NEBN=NCBE=90°,

EM2=EN2=BE2+BN2=x2+(1x)2=|x2,

在RtAABH中，AB=2x,ZABC=30。,

==x

??~^9BH=y/3x?

:.NH=BN+BH=?X+LX,

2

.-